Insiemi Numerici: Naturali, Interi, Razionali, Irrazionali e Reali

Intuitivamente, un insieme può essere pensato come una collezione di oggetti ben determinati, chiamati elementi. In una trattazione elementare, ciò significa che deve essere chiaro, senza ambiguità, se un oggetto appartiene oppure non appartiene all'insieme.

Quando gli elementi considerati sono numeri, si parla di insieme numerico. Tra gli insiemi numerici fondamentali troviamo i numeri naturali, i numeri interi, i numeri razionali e i numeri reali. I numeri irrazionali costituiscono invece la parte dei numeri reali che non appartiene ai razionali.

La loro introduzione segue un criterio preciso: ogni ampliamento permette di risolvere problemi che, nell'insieme precedente, non hanno sempre soluzione. I numeri naturali permettono di contare; i numeri interi rendono possibile la sottrazione senza uscire dall'insieme; i numeri razionali permettono di rappresentare rapporti tra interi; i numeri reali raccolgono in un unico insieme numeri razionali e numeri irrazionali.

Gli insiemi numerici fondamentali sono collegati dalla seguente catena di inclusioni:

\[ \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}. \]

Questa relazione significa che ogni numero naturale è anche un numero intero, ogni numero intero è anche un numero razionale e ogni numero razionale è anche un numero reale. Studiare gli insiemi numerici significa quindi comprendere come sono organizzati i numeri, quali proprietà possiedono e quali operazioni sono possibili in ciascun insieme.

Indice

• Perché si introducono nuovi insiemi numerici
• I numeri naturali \(\mathbb{N}\)
• I numeri interi \(\mathbb{Z}\)
• I numeri razionali \(\mathbb{Q}\)
• I numeri irrazionali
• I numeri reali \(\mathbb{R}\)
• Relazioni tra gli insiemi numerici
• Rappresentazione decimale dei numeri reali
• Schema riassuntivo

Per comprendere il ruolo degli insiemi numerici non basta elencarli: è necessario capire quale esigenza matematica porta alla loro introduzione. Il punto centrale è che un insieme può essere adatto a certe operazioni, ma non ad altre.

Una proprietà importante è la chiusura rispetto a un'operazione. Un insieme numerico è chiuso rispetto a una certa operazione se, applicando quell'operazione a elementi dell'insieme, il risultato appartiene ancora allo stesso insieme.

Per esempio, i numeri naturali sono chiusi rispetto all'addizione e alla moltiplicazione. Infatti

\[ 3+5=8 \]

e

\[ 3\cdot 5=15. \]

In entrambi i casi il risultato è ancora un numero naturale.

La sottrazione, invece, non è sempre possibile restando nei numeri naturali. Infatti

\[ 3-5=-2, \]

ma \(-2\) non appartiene a \(\mathbb{N}\). Per rendere possibile la sottrazione in modo più generale si introducono allora i numeri interi.

I numeri interi permettono di eseguire addizioni, sottrazioni e moltiplicazioni senza uscire dall'insieme, ma non sono chiusi rispetto alla divisione. Per esempio, l'equazione

\[ 2x=1 \]

non ha soluzione intera, perché la sua soluzione è

\[ x=\frac{1}{2}. \]

Per rappresentare rapporti di questo tipo si introducono i numeri razionali, cioè i numeri che possono essere scritti come frazione di due interi con denominatore diverso da zero.

Anche i numeri razionali, però, non descrivono tutte le grandezze matematiche. La diagonale di un quadrato di lato \(1\), per esempio, misura \(\sqrt{2}\), e questo numero non può essere scritto come rapporto di due interi. Per includere anche grandezze di questo tipo si passa all'insieme dei numeri reali.

Il percorso fondamentale è quindi

\[ \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}. \]

Ogni ampliamento contiene il precedente e permette di affrontare problemi che prima non avevano sempre soluzione. Per questo gli insiemi numerici vanno studiati in modo progressivo: ciascuno nasce da una precisa esigenza e possiede proprietà proprie.

I numeri naturali sono i numeri usati per contare e ordinare. Servono, per esempio, per indicare quante unità contiene una certa quantità oppure quale posizione occupa un elemento in una successione ordinata.

Adottiamo la convenzione secondo cui lo zero appartiene all'insieme dei numeri naturali:

\[ \mathbb{N}=\{0,1,2,3,\dots\}. \]

Se si vogliono indicare soltanto i numeri naturali positivi, cioè senza lo zero, si può usare la notazione

\[ \mathbb{N}^{*}=\{1,2,3,\dots\}. \]

L'insieme dei numeri naturali è infinito e ordinato. Infatti i suoi elementi possono essere disposti secondo l'ordine naturale

\[ 0<1<2<3<\dots \]

e, dato un numero naturale \(n\), il numero \(n+1\) è ancora un numero naturale. Il numero \(n+1\) si chiama successivo di \(n\).

I numeri naturali sono chiusi rispetto all'addizione e alla moltiplicazione. Questo significa che, se \(a\) e \(b\) sono numeri naturali, allora anche \(a+b\) e \(a\cdot b\) sono numeri naturali:

\[ a,b\in\mathbb{N} \quad\Longrightarrow\quad a+b\in\mathbb{N} \quad\text{e}\quad a\cdot b\in\mathbb{N}. \]

Per esempio,

\[ 4+7=11 \quad\text{e}\quad 4\cdot 7=28. \]

In entrambi i casi il risultato appartiene ancora a \(\mathbb{N}\).

Non tutte le operazioni, però, sono sempre possibili all'interno dei numeri naturali. La sottrazione può condurre a un risultato che non appartiene a \(\mathbb{N}\). Per esempio,

\[ 3-5=-2. \]

Poiché \(-2\) non è un numero naturale, l'insieme \(\mathbb{N}\) non è chiuso rispetto alla sottrazione.

Questa osservazione mostra il primo limite dei numeri naturali: essi sono adatti a rappresentare quantità intere non negative, ma non bastano quando occorre descrivere differenze che possono essere negative. Per questo motivo si introduce l'insieme dei numeri interi.

I numeri interi nascono dall'esigenza di eseguire sottrazioni che, nei numeri naturali, non sono sempre possibili. Per esempio, la sottrazione \(3-5\) non ha risultato appartenente a \(\mathbb{N}\), perché dà un numero negativo.

L'insieme dei numeri interi si indica con \(\mathbb{Z}\) ed è formato dai numeri naturali e dai loro opposti:

\[ \mathbb{Z}=\{\dots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots\}. \]

Poiché ogni numero naturale è anche un numero intero, vale l'inclusione

\[ \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}. \]

L'insieme \(\mathbb{Z}\) è infinito sia verso destra sia verso sinistra. Infatti i suoi elementi possono essere ordinati nel modo seguente:

\[ \dots<-3<-2<-1<0<1<2<3<\dots \]

A differenza di \(\mathbb{N}\), l'insieme dei numeri interi non ha un elemento minimo: dato un qualsiasi numero intero, esiste sempre un numero intero più piccolo.

La proprietà fondamentale dei numeri interi è l'esistenza dell'opposto. Se \(a\) è un numero intero, anche \(-a\) è un numero intero, e si ha

\[ a+(-a)=0. \]

Grazie agli opposti, la sottrazione tra numeri interi è sempre possibile. Infatti sottrarre un numero equivale ad aggiungere il suo opposto:

\[ a-b=a+(-b). \]

Per esempio,

\[ 3-5=3+(-5)=-2. \]

Il risultato appartiene a \(\mathbb{Z}\), quindi l'insieme dei numeri interi è chiuso rispetto alla sottrazione.

Inoltre, i numeri interi sono chiusi anche rispetto all'addizione e alla moltiplicazione. Se \(a\) e \(b\) sono numeri interi, allora

\[ a+b\in\mathbb{Z} \quad\text{e}\quad a\cdot b\in\mathbb{Z}. \]

Per esempio,

\[ (-4)+7=3 \quad\text{e}\quad (-4)\cdot 7=-28. \]

In entrambi i casi il risultato è ancora un numero intero.

Tuttavia, i numeri interi non sono chiusi rispetto alla divisione. Per esempio,

\[ 1:2=\frac{1}{2}, \]

ma \(\displaystyle \frac{1}{2}\) non è un numero intero. In modo equivalente, l'equazione

\[ 2x=1 \]

non ha soluzione in \(\mathbb{Z}\).

Questo mostra il limite dei numeri interi: essi permettono di eseguire addizioni, sottrazioni e moltiplicazioni senza uscire dall'insieme, ma non bastano per rappresentare tutti i rapporti tra numeri. Per questo motivo si introducono i numeri razionali.

I numeri razionali nascono dall'esigenza di rappresentare rapporti tra numeri interi. Infatti, anche se nei numeri interi sono sempre possibili addizione, sottrazione e moltiplicazione, la divisione non produce sempre un numero intero.

Per esempio, l'equazione

\[ 2x=1 \]

non ha soluzione in \(\mathbb{Z}\), perché la sua soluzione è

\[ x=\frac{1}{2}. \]

Per includere numeri di questo tipo si introduce l'insieme dei numeri razionali, indicato con \(\mathbb{Q}\).

Un numero è razionale se può essere scritto come rapporto di due numeri interi, con denominatore diverso da zero. In simboli,

\[ \mathbb{Q}= \left\{ \frac{p}{q}:p,q\in\mathbb{Z},\ q\neq 0 \right\}. \]

La condizione \(q\neq 0\) è necessaria perché la divisione per zero non è definita.

Sono numeri razionali, per esempio,

\[ \frac{1}{2}, \qquad -\frac{3}{5}, \qquad \frac{7}{4}, \qquad 0. \]

Anche ogni numero intero è razionale, perché può essere scritto come frazione con denominatore uguale a \(1\). Per esempio,

\[ 5=\frac{5}{1}, \qquad -3=\frac{-3}{1}, \qquad 0=\frac{0}{1}. \]

Di conseguenza vale l'inclusione

\[ \mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}. \]

Uno stesso numero razionale può essere rappresentato da frazioni diverse. Per esempio,

\[ \frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{6}. \]

Queste frazioni sono diverse, ma rappresentano lo stesso numero razionale. In generale, moltiplicando numeratore e denominatore per uno stesso intero non nullo, oppure dividendo entrambi per uno stesso divisore comune non nullo, il numero razionale rappresentato non cambia.

L'insieme dei numeri razionali è chiuso rispetto all'addizione, alla sottrazione e alla moltiplicazione. Inoltre è chiuso rispetto alla divisione, purché il divisore sia diverso da zero. Se \(a,b\in\mathbb{Q}\) e \(b\neq 0\), allora

\[ a+b\in\mathbb{Q}, \qquad a-b\in\mathbb{Q}, \qquad a\cdot b\in\mathbb{Q}, \qquad \frac{a}{b}\in\mathbb{Q}. \]

Per esempio,

\[ \frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6} \]

e

\[ \frac{2}{3}\cdot\frac{5}{4}=\frac{5}{6}. \]

In entrambi i casi il risultato è ancora un numero razionale.

Tuttavia, i numeri razionali non bastano a rappresentare tutte le grandezze che compaiono in matematica. Esistono infatti numeri che non possono essere scritti come rapporto di due interi. Un esempio fondamentale è \(\sqrt{2}\), che rappresenta la lunghezza della diagonale di un quadrato di lato \(1\).

Questo mostra il limite dei numeri razionali: essi permettono di rappresentare tutti i rapporti tra interi, ma non tutte le grandezze geometriche e numeriche. Per descrivere questi nuovi numeri occorre introdurre i numeri irrazionali.

I numeri razionali permettono di rappresentare tutti i rapporti tra numeri interi, ma non esauriscono tutti i numeri che compaiono in matematica. Esistono infatti grandezze che non possono essere espresse mediante una frazione con numeratore e denominatore interi.

Un esempio fondamentale è dato da \(\sqrt{2}\). Questo numero rappresenta la lunghezza della diagonale di un quadrato di lato \(1\). Infatti, per il teorema di Pitagora, se \(d\) indica la diagonale, allora

\[ d^2=1^2+1^2=2, \]

quindi

\[ d=\sqrt{2}. \]

Il numero \(\sqrt{2}\), però, non è razionale. Mostriamolo con una dimostrazione per assurdo.

Supponiamo che \(\sqrt{2}\) sia razionale. Allora esistono due numeri interi \(p\) e \(q\), con \(q\neq 0\), tali che

\[ \sqrt{2}=\frac{p}{q}. \]

Possiamo inoltre supporre che la frazione sia ridotta ai minimi termini, cioè che \(p\) e \(q\) non abbiano divisori comuni diversi da \(1\) e \(-1\).

Elevando al quadrato entrambi i membri, otteniamo

\[ 2=\frac{p^2}{q^2}, \]

da cui

\[ p^2=2q^2. \]

Quindi \(p^2\) è pari. Poiché il quadrato di un intero dispari è dispari, anche \(p\) deve essere pari. Esiste allora un intero \(k\) tale che

\[ p=2k. \]

Sostituendo nell'uguaglianza \(p^2=2q^2\), si ottiene

\[ (2k)^2=2q^2, \]

cioè

\[ 4k^2=2q^2. \]

Dividendo per \(2\), segue che

\[ q^2=2k^2. \]

Pertanto \(q^2\) è pari. Di nuovo, poiché il quadrato di un intero dispari è dispari, anche \(q\) deve essere pari.

Abbiamo così ottenuto che \(p\) e \(q\) sono entrambi pari. Questo è impossibile, perché avevamo scelto la frazione \(\displaystyle \frac{p}{q}\) ridotta ai minimi termini. La contraddizione mostra che \(\sqrt{2}\) non è razionale:

\[ \sqrt{2}\notin\mathbb{Q}. \]

Numeri come \(\sqrt{2}\), cioè numeri che non possono essere scritti come rapporto di due interi, si chiamano numeri irrazionali.

Nel contesto dei numeri reali, l'insieme dei numeri irrazionali si indica come

\[ \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}. \]

Sono numeri irrazionali, per esempio,

\[ \sqrt{2}, \qquad \sqrt{3}, \qquad \pi. \]

I numeri irrazionali mostrano che i numeri razionali non sono sufficienti per descrivere tutte le grandezze geometriche e numeriche. Per questo motivo è necessario considerare un insieme più ampio, capace di contenere sia i numeri razionali sia quelli irrazionali: l'insieme dei numeri reali.

L'insieme dei numeri reali contiene tutti i numeri razionali e tutti i numeri irrazionali. Si indica con il simbolo \(\mathbb{R}\).

In particolare, ogni numero razionale è anche reale, quindi

\[ \mathbb{Q}\subset\mathbb{R}. \]

Sono invece reali ma non razionali numeri come

\[ \sqrt{2},\qquad \sqrt{3},\qquad \pi. \]

Possiamo quindi distinguere i numeri reali in due classi:

• i numeri razionali, che possono essere scritti come frazione di due interi con denominatore diverso da zero;
• i numeri irrazionali, che non possono essere scritti in questa forma.

In simboli, l'insieme dei numeri irrazionali si indica con

\[ \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}. \]

Pertanto i numeri reali sono formati dall'unione dei numeri razionali e dei numeri irrazionali:

\[ \mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}). \]

Inoltre, un numero reale non può essere contemporaneamente razionale e irrazionale. Infatti i due insiemi non hanno elementi in comune:

\[ \mathbb{Q}\cap(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})=\varnothing. \]

I numeri reali possono essere rappresentati sulla retta numerica. Su questa retta si collocano i numeri naturali, gli interi, i razionali e anche gli irrazionali.

Per esempio, i numeri

\[ -2,\qquad 0,\qquad \frac{1}{2},\qquad \sqrt{2},\qquad 3 \]

sono tutti numeri reali e possono essere ordinati sulla retta numerica.

L'insieme \(\mathbb{R}\) permette quindi di lavorare in un unico ambiente con numeri interi, frazioni, numeri decimali finiti, numeri decimali periodici e numeri decimali infiniti non periodici.

In questo senso, i numeri reali costituiscono l'insieme numerico più ampio tra quelli studiati in questa introduzione:

\[ \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}. \]

Dopo aver introdotto i principali insiemi numerici, possiamo descrivere in modo più preciso le relazioni che li collegano.

Dire che un insieme è contenuto in un altro significa che ogni elemento del primo insieme è anche elemento del secondo. Per esempio, ogni numero naturale è anche un numero intero; quindi l'insieme dei numeri naturali è contenuto nell'insieme dei numeri interi:

\[ \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}. \]

Allo stesso modo, ogni numero intero è anche un numero razionale, perché può essere scritto come frazione con denominatore \(1\). Infatti, se \(n\in\mathbb{Z}\), allora

\[ n=\frac{n}{1}. \]

Perciò vale l'inclusione

\[ \mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}. \]

Infine, ogni numero razionale è anche un numero reale, quindi

\[ \mathbb{Q}\subset\mathbb{R}. \]

Riunendo queste relazioni, otteniamo la catena fondamentale degli insiemi numerici:

\[ \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}. \]

Questa catena va letta da sinistra verso destra: passando da un insieme al successivo, non si perdono i numeri già introdotti, ma se ne aggiungono di nuovi.

Per esempio:

• \(5\) è un numero naturale, quindi è anche intero, razionale e reale;
• \(-3\) è un numero intero, quindi è anche razionale e reale, ma non è naturale;
• \(\displaystyle \frac{2}{5}\) è un numero razionale e reale, ma non è intero;
• \(\sqrt{2}\) è un numero reale, ma non è razionale.

I numeri irrazionali meritano un'attenzione particolare. Essi non formano un insieme collocato tra \(\mathbb{Q}\) e \(\mathbb{R}\), ma costituiscono la parte dei numeri reali che non appartiene a \(\mathbb{Q}\).

In simboli, l'insieme dei numeri irrazionali è

\[ \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}. \]

Ogni numero reale è quindi razionale oppure irrazionale. Le due possibilità si escludono a vicenda:

\[ \mathbb{Q}\cap(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})=\varnothing. \]

Inoltre, la loro unione restituisce tutto l'insieme dei numeri reali:

\[ \mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}). \]

In conclusione, gli insiemi numerici non sono separati tra loro in modo indipendente: sono organizzati secondo relazioni di inclusione. Comprendere queste relazioni permette di stabilire con precisione a quali insiemi appartiene un numero e quali proprietà si possono usare quando si lavora con esso.

Ogni numero reale può essere scritto in forma decimale. La rappresentazione decimale descrive un numero mediante una parte intera e una parte decimale, separate dalla virgola.

Per esempio,

\[ \frac{1}{2}=0{,}5, \qquad \frac{1}{4}=0{,}25, \qquad \frac{1}{3}=0{,}333\dots \]

La forma decimale permette di distinguere in modo semplice i numeri razionali dai numeri irrazionali.

Numeri decimali finiti

Un numero decimale si dice finito se, dopo la virgola, ha un numero finito di cifre. Per esempio,

\[ 0{,}5, \qquad 1{,}25, \qquad -3{,}75 \]

sono numeri decimali finiti.

Ogni numero decimale finito è razionale, perché può essere scritto come frazione con denominatore una potenza di \(10\). Infatti

\[ 0{,}5=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}, \qquad 1{,}25=\frac{125}{100}=\frac{5}{4}. \]

Numeri decimali periodici

Un numero decimale si dice periodico se, da un certo punto in poi, una cifra o un gruppo di cifre si ripete indefinitamente.

Per esempio,

\[ 0{,}333\dots \]

è periodico, perché la cifra \(3\) si ripete senza fine. Anche

\[ 1{,}272727\dots \]

è periodico, perché il gruppo di cifre \(27\) si ripete indefinitamente.

I numeri decimali periodici sono razionali. Per esempio,

\[ 0{,}333\dots=\frac{1}{3}, \qquad 1{,}272727\dots=\frac{14}{11}. \]

In generale, un numero è razionale se e solo se la sua rappresentazione decimale è finita oppure periodica.

Numeri decimali infiniti non periodici

Un numero decimale si dice infinito non periodico se ha infinite cifre dopo la virgola e, da nessun punto in poi, la sua parte decimale diventa periodica.

I numeri decimali infiniti non periodici sono irrazionali. Per esempio,

\[ \sqrt{2}=1{,}414213562\dots \]

e

\[ \pi=3{,}141592653\dots \]

sono numeri irrazionali: la loro rappresentazione decimale non termina e non diventa periodica.

Possiamo quindi riassumere la situazione nel modo seguente:

• i numeri decimali finiti sono razionali;
• i numeri decimali periodici sono razionali;
• i numeri decimali infiniti non periodici sono irrazionali.

Questa distinzione è molto utile per riconoscere la natura di un numero. Per esempio,

\[ 0{,}75=\frac{3}{4} \]

è razionale, mentre

\[ \sqrt{3}=1{,}732050807\dots \]

è irrazionale.

Alcuni numeri reali ammettono due rappresentazioni decimali. Per esempio,

\[ 1=0{,}999\dots \]

Questa particolarità non cambia la classificazione precedente, ma mostra che la scrittura decimale va interpretata con attenzione.

Riassumiamo ora le caratteristiche principali degli insiemi numerici studiati.

Le inclusioni fondamentali tra gli insiemi numerici sono:

\[ \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}. \]

Questo significa che ogni numero naturale è anche intero, ogni numero intero è anche razionale e ogni numero razionale è anche reale.

I numeri irrazionali, invece, non appartengono a \(\mathbb{Q}\), ma appartengono a \(\mathbb{R}\). In simboli:

\[ \mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}) \quad\text{e}\quad \mathbb{Q}\cap(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})=\varnothing. \]

Gli insiemi numerici permettono quindi di organizzare i numeri in modo progressivo. Ogni ampliamento conserva i numeri già introdotti e consente di rappresentare nuove quantità o di risolvere operazioni che prima non erano sempre possibili.