Nello studio dei limiti è fondamentale distinguere due situazioni che, pur essendo strettamente collegate, descrivono aspetti differenti del comportamento di una funzione.
Si parla di limite infinito quando sono i valori della funzione \(f(x)\) a crescere o diminuire senza limite. Per esempio,
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty \]
significa che \(f(x)\) supera qualunque soglia positiva prefissata quando \(x\) è sufficientemente vicino a \(x_0\).
Si parla invece di limite all’infinito quando è la variabile indipendente \(x\) a tendere verso \(+\infty\) oppure verso \(-\infty\). Per esempio,
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=L \]
significa che i valori di \(f(x)\) si avvicinano al numero reale \(L\) quando \(x\) assume valori positivi arbitrariamente grandi.
Le due situazioni possono anche presentarsi contemporaneamente. La scrittura
\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty \]
descrive infatti un limite all’infinito, perché \(x\to-\infty\), e nello stesso tempo un limite infinito, perché \(f(x)\to-\infty\).
In questo articolo studieremo le definizioni formali dei limiti infiniti e dei limiti all’infinito, i limiti destro e sinistro, la loro interpretazione geometrica e il legame con gli asintoti verticali e orizzontali. Vedremo inoltre le principali proprietà necessarie per comprendere e calcolare questi limiti, insieme ad alcuni esempi rappresentativi.
Indice
- Limiti infiniti e limiti all’infinito: differenza fondamentale
- Limiti infiniti in un punto
- Limiti destro e sinistro infiniti
- Interpretazione geometrica e asintoti verticali
- Limiti finiti per \(x\to+\infty\) e \(x\to-\infty\)
- Interpretazione geometrica e asintoti orizzontali
- Limiti infiniti per \(x\to+\infty\) e \(x\to-\infty\)
- Proprietà fondamentali dei limiti infiniti e dei limiti all’infinito
- Confronto tra funzioni e comportamento dominante
- Esempi di limiti infiniti e limiti all’infinito
Limiti infiniti e limiti all’infinito: differenza fondamentale
Le espressioni limite infinito e limite all’infinito descrivono due caratteristiche distinte di un limite. La prima riguarda il comportamento dei valori della funzione \(f(x)\); la seconda riguarda invece il comportamento della variabile indipendente \(x\).
Si parla di limite infinito quando
\[ f(x)\to+\infty \qquad\text{oppure}\qquad f(x)\to-\infty. \]
In questo caso non si sta affermando che la funzione raggiunga un valore chiamato \(+\infty\) o \(-\infty\). I simboli \(+\infty\) e \(-\infty\) non sono numeri reali: indicano che i valori della funzione superano qualunque soglia positiva oppure scendono al di sotto di qualunque soglia negativa.
Per esempio,
\[ \lim_{x\to2}\frac{1}{(x-2)^2}=+\infty \]
è un limite infinito, perché i valori della funzione crescono senza limite quando \(x\) si avvicina a \(2\).
Si parla invece di limite all’infinito quando è la variabile \(x\) a tendere verso \(+\infty\) oppure verso \(-\infty\). Per esempio,
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0 \]
è un limite all’infinito perché \(x\) assume valori positivi arbitrariamente grandi, mentre la funzione tende al valore finito \(0\).
Le due nozioni sono indipendenti
Un limite può essere infinito senza essere un limite all’infinito. È quanto accade, per esempio, in
\[ \lim_{x\to0}\frac{1}{x^2}=+\infty. \]
Qui \(x\) tende al numero reale \(0\), mentre è la funzione a tendere a \(+\infty\).
Viceversa, un limite può essere all’infinito senza essere infinito. Per esempio,
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{2x+1}{x+1}=2. \]
In questo caso \(x\to+\infty\), ma la funzione tende al numero reale \(2\).
Infine, le due caratteristiche possono presentarsi contemporaneamente. La scrittura
\[ \lim_{x\to+\infty}x^2=+\infty \]
rappresenta sia un limite all’infinito, perché \(x\to+\infty\), sia un limite infinito, perché \(x^2\to+\infty\).
Le quattro situazioni fondamentali
Combinando il comportamento della variabile con quello della funzione si ottengono quattro situazioni fondamentali.
- Limite finito in un punto: \(x\) tende a un numero reale \(x_0\) e \(f(x)\) tende a un numero reale \(L\): \[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L. \]
- Limite infinito in un punto: \(x\) tende a un numero reale \(x_0\) e \(f(x)\) tende a \(+\infty\) oppure a \(-\infty\): \[ \lim_{x\to x_0}f(x)=\pm\infty. \]
- Limite finito all’infinito: \(x\) tende a \(+\infty\) oppure a \(-\infty\) e \(f(x)\) tende a un numero reale \(L\): \[ \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=L. \]
- Limite infinito all’infinito: \(x\) tende a \(+\infty\) oppure a \(-\infty\) e anche \(f(x)\) tende a \(+\infty\) oppure a \(-\infty\): \[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=\pm\infty \qquad\text{oppure}\qquad \lim_{x\to-\infty}f(x)=\pm\infty. \]
È quindi importante osservare separatamente ciò che accade alla variabile e ciò che accade ai valori della funzione. Questa distinzione permette di riconoscere immediatamente il tipo di limite che si sta studiando e di scegliere la definizione formale appropriata.
Il significato dei simboli \(+\infty\) e \(-\infty\)
Nei limiti, i simboli \(+\infty\) e \(-\infty\) descrivono un comportamento e non un valore assunto dalla funzione. Scrivere
\[ f(x)\to+\infty \]
significa che \(f(x)\) supera definitivamente qualunque soglia reale positiva prefissata. Analogamente,
\[ f(x)\to-\infty \]
significa che \(f(x)\) scende definitivamente al di sotto di qualunque soglia reale negativa prefissata.
Le definizioni formali delle sezioni successive renderanno precise queste affermazioni mediante opportuni quantificatori e disuguaglianze.
Limiti infiniti in un punto
Sia \(f:D\to\mathbb{R}\) e sia \(x_0\) un punto di accumulazione del dominio \(D\). Un limite infinito in \(x_0\) descrive una situazione in cui i valori della funzione superano qualunque soglia positiva oppure scendono al di sotto di qualunque soglia negativa quando \(x\) si avvicina a \(x_0\).
Si possono presentare i due casi
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty \]
e
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=-\infty. \]
Limite uguale a \(+\infty\)
Scrivere
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty \]
significa che \(f(x)\) supera qualunque soglia positiva prefissata quando \(x\) è sufficientemente vicino a \(x_0\).
Formalmente,
\[ \forall M>0\ \exists\delta>0\ \forall x\in D: \quad 0<|x-x_0|<\delta \Longrightarrow f(x)>M. \]
La soglia \(M\) può essere scelta arbitrariamente grande. Una volta fissato \(M\), deve essere possibile trovare un numero \(\delta>0\) tale che tutti i punti del dominio che soddisfano
\[ 0<|x-x_0|<\delta \]
abbiano immagini maggiori di \(M\).
Il numero \(\delta\) può dipendere da \(M\): soglie sempre più alte possono richiedere di scegliere \(x\) sempre più vicino a \(x_0\).
Limite uguale a \(-\infty\)
Analogamente,
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=-\infty \]
significa che \(f(x)\) scende al di sotto di qualunque soglia negativa prefissata quando \(x\) è sufficientemente vicino a \(x_0\).
Una formulazione particolarmente comoda utilizza ancora una soglia positiva \(M\):
\[ \forall M>0\ \exists\delta>0\ \forall x\in D: \quad 0<|x-x_0|<\delta \Longrightarrow f(x)<-M. \]
Al crescere di \(M\), il numero \(-M\) diventa sempre più piccolo. La definizione richiede quindi che la funzione scenda definitivamente al di sotto di qualunque livello negativo prefissato.
Il valore della funzione in \(x_0\)
Il valore eventualmente assunto dalla funzione nel punto \(x_0\) non interviene nella definizione del limite. La condizione
\[ 0<|x-x_0| \]
esclude infatti \(x=x_0\).
La funzione può quindi non essere definita in \(x_0\), oppure può essere definita e assumere in quel punto un valore qualsiasi. Il limite dipende esclusivamente dal comportamento di \(f(x)\) nei punti del dominio arbitrariamente vicini a \(x_0\).
Esempio: \(\displaystyle\frac{1}{x^2}\) per \(x\to0\)
Consideriamo
\[ f(x)=\frac{1}{x^2}, \qquad x\neq0. \]
Quando \(x\) si avvicina a \(0\), il numero \(x^2\) rimane positivo e tende a \(0\). Il suo reciproco diventa quindi arbitrariamente grande:
\[ \lim_{x\to0}\frac{1}{x^2}=+\infty. \]
Verifichiamolo direttamente dalla definizione. Fissato \(M>0\), vogliamo ottenere
\[ \frac{1}{x^2}>M. \]
Poiché \(x^2>0\) e \(M>0\), questa disuguaglianza equivale a
\[ x^2<\frac{1}{M}, \]
cioè
\[ |x|<\frac{1}{\sqrt{M}}. \]
È quindi sufficiente scegliere
\[ \delta=\frac{1}{\sqrt{M}}. \]
Se
\[ 0<|x|<\delta, \]
allora
\[ |x|<\frac{1}{\sqrt{M}}, \]
e pertanto
\[ \frac{1}{x^2}>M. \]
Poiché la costruzione è possibile per ogni \(M>0\), la definizione è verificata.
Esempio: \(-\displaystyle\frac{1}{x^2}\) per \(x\to0\)
Consideriamo ora
\[ f(x)=-\frac{1}{x^2}, \qquad x\neq0. \]
Poiché
\[ \frac{1}{x^2}\to+\infty, \]
cambiando segno otteniamo
\[ \lim_{x\to0}\left(-\frac{1}{x^2}\right)=-\infty. \]
Anche questo risultato può essere verificato direttamente. Fissato \(M>0\), vogliamo che
\[ -\frac{1}{x^2}<-M. \]
Moltiplicando per \(-1\) e invertendo il verso della disuguaglianza, otteniamo
\[ \frac{1}{x^2}>M. \]
Come nell’esempio precedente, è quindi sufficiente scegliere
\[ \delta=\frac{1}{\sqrt{M}}. \]
Ne segue che, per ogni \(M>0\),
\[ 0<|x|<\delta \Longrightarrow -\frac{1}{x^2}<-M, \]
e dunque
\[ \lim_{x\to0}\left(-\frac{1}{x^2}\right)=-\infty. \]
Un errore da evitare
Per avere un limite uguale a \(+\infty\) non è sufficiente che la funzione assuma valori molto grandi soltanto in alcuni punti che si avvicinano a \(x_0\). Una volta fissata una soglia \(M>0\), la disuguaglianza
\[ f(x)>M \]
deve essere verificata da tutti i punti del dominio sufficientemente vicini a \(x_0\), escluso \(x_0\).
Analogamente, per avere limite uguale a \(-\infty\), la funzione deve risultare definitivamente minore di \(-M\) per ogni soglia \(M>0\).
I simboli \(+\infty\) e \(-\infty\) descrivono quindi un comportamento preciso della funzione e non valori effettivamente raggiunti.
Il limite infinito non implica monotonia
L’esistenza di un limite infinito non richiede che la funzione sia monotona vicino al punto considerato. Una funzione può oscillare anche infinitamente spesso e, nello stesso tempo, superare definitivamente ogni soglia positiva prefissata.
Consideriamo, per esempio,
\[ f(x)=\frac{2+\sin\left(\displaystyle\frac{1}{x^2}\right)}{|x|}, \qquad x\neq0. \]
Poiché
\[ 1\leq2+\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)\leq3, \]
si ha
\[ f(x)\geq\frac{1}{|x|}. \]
Inoltre,
\[ \lim_{x\to0}\frac{1}{|x|}=+\infty. \]
Dal teorema del confronto segue quindi che
\[ \lim_{x\to0}f(x)=+\infty. \]
Il termine oscillante impedisce alla funzione di essere monotona in prossimità di \(0\), ma non le impedisce di tendere a \(+\infty\).
Limiti destro e sinistro infiniti
Quando il comportamento di una funzione in prossimità di un punto \(x_0\) dipende dal lato da cui \(x\) si avvicina, è necessario distinguere il limite destro dal limite sinistro.
Nel limite destro, \(x\) si avvicina a \(x_0\) assumendo valori maggiori di \(x_0\); nel limite sinistro, invece, assume valori minori di \(x_0\).
Anche i limiti laterali possono essere infiniti. Le quattro possibilità fondamentali sono
\[ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=+\infty, \qquad \lim_{x\to x_0^+}f(x)=-\infty, \]
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=+\infty, \qquad \lim_{x\to x_0^-}f(x)=-\infty. \]
Limite destro infinito
Supponiamo che \(x_0\) sia un punto di accumulazione da destra del dominio \(D\). Si dice che
\[ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=+\infty \]
se, per ogni \(M>0\), esiste \(\delta>0\) tale che, per ogni \(x\in D\),
\[ 0<x-x_0<\delta \quad\Longrightarrow\quad f(x)>M. \]
La condizione
\[ 0<x-x_0<\delta \]
equivale a
\[ x_0<x<x_0+\delta, \]
quindi vengono considerati soltanto i punti del dominio situati a destra di \(x_0\).
Analogamente,
\[ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=-\infty \]
se, per ogni \(M>0\), esiste \(\delta>0\) tale che
\[ 0<x-x_0<\delta \quad\Longrightarrow\quad f(x)<-M \]
per ogni \(x\in D\).
Limite sinistro infinito
Supponiamo ora che \(x_0\) sia un punto di accumulazione da sinistra del dominio \(D\). Si dice che
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=+\infty \]
se, per ogni \(M>0\), esiste \(\delta>0\) tale che, per ogni \(x\in D\),
\[ 0<x_0-x<\delta \quad\Longrightarrow\quad f(x)>M. \]
In questo caso
\[ 0<x_0-x<\delta \]
equivale a
\[ x_0-\delta<x<x_0, \]
e vengono quindi considerati soltanto i punti del dominio situati a sinistra di \(x_0\).
Analogamente,
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=-\infty \]
se, per ogni \(M>0\), esiste \(\delta>0\) tale che
\[ 0<x_0-x<\delta \quad\Longrightarrow\quad f(x)<-M. \]
Relazione con il limite per \(x\to x_0\)
Supponiamo che \(x_0\) sia un punto di accumulazione del dominio sia da sinistra sia da destra. In questo caso,
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty \]
se e soltanto se
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=+\infty \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to x_0^+}f(x)=+\infty. \]
Analogamente,
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=-\infty \]
se e soltanto se
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=-\infty \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to x_0^+}f(x)=-\infty. \]
Se i due limiti laterali sono infiniti ma hanno segno opposto, il limite per \(x\to x_0\) non esiste.
Se invece il dominio presenta punti arbitrariamente vicini a \(x_0\) soltanto da uno dei due lati, il limite deve essere interpretato relativamente al dominio e coincide con il limite calcolato dal lato nel quale tali punti sono presenti.
Esempio fondamentale: la funzione \(\displaystyle\frac{1}{x}\)
Consideriamo
\[ f(x)=\frac{1}{x}, \qquad x\neq0. \]
Quando \(x\) si avvicina a \(0\) da destra, \(x\) è positivo e tende a \(0\). Il suo reciproco diventa quindi positivo e arbitrariamente grande:
\[ \lim_{x\to0^+}\frac{1}{x}=+\infty. \]
Quando invece \(x\) si avvicina a \(0\) da sinistra, \(x\) è negativo e tende a \(0\). Il reciproco diventa negativo e arbitrariamente grande in valore assoluto:
\[ \lim_{x\to0^-}\frac{1}{x}=-\infty. \]
I due limiti laterali hanno quindi segno opposto. Di conseguenza,
\[ \lim_{x\to0}\frac{1}{x} \]
non esiste.
Verifica formale dei due limiti laterali
Per il limite destro, fissiamo \(M>0\). Vogliamo che
\[ \frac{1}{x}>M. \]
Poiché \(x>0\), questa disuguaglianza equivale a
\[ x<\frac{1}{M}. \]
È quindi sufficiente scegliere
\[ \delta=\frac{1}{M}. \]
Infatti,
\[ 0<x<\delta \quad\Longrightarrow\quad x<\frac{1}{M} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{x}>M. \]
Per il limite sinistro, con la stessa scelta
\[ \delta=\frac{1}{M}, \]
dalla condizione
\[ 0<-x<\delta \]
segue
\[ -\frac{1}{M}<x<0. \]
Essendo \(x\) negativo, passando ai reciproci otteniamo
\[ \frac{1}{x}<-M. \]
Sono quindi verificate entrambe le definizioni:
\[ \lim_{x\to0^+}\frac{1}{x}=+\infty, \qquad \lim_{x\to0^-}\frac{1}{x}=-\infty. \]
Interpretazione geometrica e asintoti verticali
I limiti infiniti in un punto hanno un’immediata interpretazione geometrica. Quando \(x\) si avvicina a un numero reale \(x_0\) e \(f(x)\) tende a \(+\infty\) oppure a \(-\infty\), i punti del grafico si avvicinano alla retta verticale
\[ x=x_0 \]
mentre le loro ordinate crescono oppure diminuiscono senza limite.
In particolare, se
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty, \]
allora, fissata una qualunque altezza \(M>0\), per \(x\) sufficientemente vicino a \(x_0\) si ha
\[ f(x)>M. \]
Il grafico si trova quindi al di sopra di qualunque retta orizzontale \(y=M\), purché \(x\) sia sufficientemente vicino a \(x_0\).
Analogamente, se
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=-\infty, \]
allora, per ogni \(M>0\), avvicinandosi sufficientemente a \(x_0\) si ha
\[ f(x)<-M. \]
In questo caso il grafico scende al di sotto di qualunque retta orizzontale \(y=-M\).
Asintoti verticali
Questa situazione conduce naturalmente al concetto di asintoto verticale.
Sia \(f:D\to\mathbb{R}\) e sia \(x_0\in\mathbb{R}\) un punto di accumulazione del dominio almeno da uno dei due lati. La retta
\[ x=x_0 \]
si dice asintoto verticale del grafico di \(f\) se almeno uno dei limiti laterali
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x), \qquad \lim_{x\to x_0^+}f(x) \]
è uguale a \(+\infty\) oppure a \(-\infty\).
Non è quindi necessario che la funzione presenti lo stesso comportamento da entrambi i lati. È sufficiente che almeno da uno dei due lati i valori della funzione crescano o diminuiscano senza limite.
Il limite può non esistere
L’esistenza di un asintoto verticale non implica necessariamente l’esistenza del limite per \(x\to x_0\).
Per esempio, per
\[ f(x)=\frac{1}{x} \]
si ha
\[ \lim_{x\to0^-}\frac{1}{x}=-\infty, \qquad \lim_{x\to0^+}\frac{1}{x}=+\infty. \]
I due limiti laterali hanno segno opposto, quindi
\[ \lim_{x\to0}\frac{1}{x} \]
non esiste. Tuttavia, la retta
\[ x=0 \]
è un asintoto verticale del grafico.
Il comportamento può presentarsi da un solo lato
Un asintoto verticale può essere determinato anche da un solo limite laterale. Un esempio fondamentale è la funzione logaritmica
\[ f(x)=\ln(x), \qquad x>0. \]
Per \(x\to0^+\),
\[ \lim_{x\to0^+}\ln(x)=-\infty. \]
La funzione non è definita per \(x\leq0\), quindi non esistono punti del dominio arbitrariamente vicini a \(0\) da sinistra. Il limite destro infinito è comunque sufficiente per concludere che
\[ x=0 \]
è un asintoto verticale.
Il punto dell’asintoto può appartenere al dominio
La presenza di un asintoto verticale non richiede che la funzione sia necessariamente indefinita in \(x_0\). Il valore eventualmente assunto dalla funzione nel punto non modifica infatti il comportamento del limite.
Consideriamo, per esempio,
\[ f(x)= \begin{cases} \displaystyle\frac{1}{x^2}, & x\neq0,\\ 0, & x=0. \end{cases} \]
La funzione è definita in \(x=0\), ma
\[ \lim_{x\to0}f(x)=+\infty. \]
Di conseguenza, la retta \(x=0\) rimane un asintoto verticale, indipendentemente dal valore assegnato a \(f(0)\).
L’annullamento del denominatore non basta
Nelle funzioni razionali, l’annullamento del denominatore in un punto non implica automaticamente la presenza di un asintoto verticale.
Consideriamo
\[ f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}. \]
Il denominatore si annulla per \(x=1\), ma per \(x\neq1\) possiamo semplificare:
\[ \frac{x^2-1}{x-1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1. \]
Pertanto,
\[ \lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=2. \]
Il limite è finito, quindi \(x=1\) non è un asintoto verticale. L’annullamento del denominatore deve sempre essere accompagnato da uno studio effettivo del limite.
Un esempio con comportamento infinito da entrambi i lati
Per la funzione
\[ f(x)=\frac{1}{(x-2)^2}, \]
il denominatore tende a \(0\) assumendo valori positivi sia per \(x\to2^-\) sia per \(x\to2^+\). Si ha quindi
\[ \lim_{x\to2^-}\frac{1}{(x-2)^2}=+\infty, \qquad \lim_{x\to2^+}\frac{1}{(x-2)^2}=+\infty. \]
Di conseguenza,
\[ \lim_{x\to2}\frac{1}{(x-2)^2}=+\infty, \]
e la retta
\[ x=2 \]
è un asintoto verticale del grafico.
Dal punto di vista geometrico, quindi, un asintoto verticale identifica una retta alla quale il grafico si avvicina orizzontalmente mentre le ordinate diventano arbitrariamente grandi in valore assoluto almeno da uno dei due lati.
Limiti finiti per \(x\to+\infty\) e \(x\to-\infty\)
Un limite finito all’infinito descrive il comportamento di una funzione quando la variabile \(x\) tende verso \(+\infty\) oppure verso \(-\infty\), mentre \(f(x)\) si avvicina a un numero reale \(L\).
Occorre distinguere i due casi
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=L \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to-\infty}f(x)=L, \]
perché il comportamento della funzione per valori positivi molto grandi può essere diverso da quello osservato per valori negativi molto grandi in valore assoluto.
Limite finito per \(x\to+\infty\)
Per poter considerare il limite per \(x\to+\infty\), il dominio \(D\) della funzione deve essere non limitato superiormente, cioè deve contenere elementi arbitrariamente grandi.
Sia \(f:D\to\mathbb{R}\), con \(D\) non limitato superiormente, e sia \(L\in\mathbb{R}\). Si dice che
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=L \]
se, per ogni \(\varepsilon>0\), esiste \(A\in\mathbb{R}\) tale che, per ogni \(x\in D\),
\[ x>A \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-L|<\varepsilon. \]
In forma simbolica,
\[ \forall\varepsilon>0\ \exists A\in\mathbb{R}\ \forall x\in D: \quad x>A \Longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon. \]
Il numero \(\varepsilon\) stabilisce la precisione con cui \(f(x)\) deve approssimare \(L\), mentre \(A\) determina quanto debba essere grande \(x\) perché tale precisione sia garantita.
La condizione
\[ |f(x)-L|<\varepsilon \]
equivale a
\[ L-\varepsilon<f(x)<L+\varepsilon. \]
Pertanto, per \(x\) sufficientemente grande, i valori della funzione rimangono arbitrariamente vicini a \(L\).
Limite finito per \(x\to-\infty\)
Per considerare il limite per \(x\to-\infty\), il dominio \(D\) deve invece essere non limitato inferiormente, cioè deve contenere elementi arbitrariamente piccoli.
Sia \(f:D\to\mathbb{R}\), con \(D\) non limitato inferiormente, e sia \(L\in\mathbb{R}\). Si dice che
\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=L \]
se, per ogni \(\varepsilon>0\), esiste \(A\in\mathbb{R}\) tale che, per ogni \(x\in D\),
\[ x<A \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-L|<\varepsilon. \]
In forma simbolica,
\[ \forall\varepsilon>0\ \exists A\in\mathbb{R}\ \forall x\in D: \quad x<A \Longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon. \]
Anche in questo caso, \(\varepsilon\) può essere scelto arbitrariamente piccolo. La soglia \(A\) deve essere tale che tutti i punti del dominio posti sufficientemente a sinistra producano valori di \(f(x)\) a distanza minore di \(\varepsilon\) da \(L\).
Esempio: il limite di \(3+\displaystyle\frac{2}{x}\)
Consideriamo
\[ f(x)=3+\frac{2}{x}. \]
Poiché
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{2}{x}=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to-\infty}\frac{2}{x}=0, \]
si ha
\[ \lim_{x\to+\infty}\left(3+\frac{2}{x}\right)=3 \]
e
\[ \lim_{x\to-\infty}\left(3+\frac{2}{x}\right)=3. \]
Possiamo verificare direttamente il primo limite. Fissato \(\varepsilon>0\), imponiamo
\[ \left|3+\frac{2}{x}-3\right|<\varepsilon. \]
Per \(x>0\), questa condizione equivale a
\[ \frac{2}{x}<\varepsilon, \]
e quindi a
\[ x>\frac{2}{\varepsilon}. \]
È dunque sufficiente scegliere
\[ A=\frac{2}{\varepsilon}. \]
Per \(x\to-\infty\), invece, dalla condizione
\[ \left|\frac{2}{x}\right|<\varepsilon \]
è sufficiente richiedere
\[ x<-\frac{2}{\varepsilon}. \]
Le due definizioni formali conducono quindi allo stesso valore \(L=3\).
I due limiti possono essere differenti
L’esistenza di un limite per \(x\to+\infty\) non determina il comportamento della funzione per \(x\to-\infty\). I due limiti devono essere studiati separatamente.
Consideriamo, per esempio,
\[ f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}. \]
Poiché
\[ \sqrt{x^2+1} = |x|\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}, \]
per \(x\to+\infty\) si ha definitivamente \(|x|=x\), e quindi
\[ \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} = \frac{1}{\sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{x^2}}} \to1. \]
Per \(x\to-\infty\), invece, si ha definitivamente \(|x|=-x\), perciò
\[ \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} = -\frac{1}{\sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{x^2}}} \to-1. \]
Pertanto,
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=1, \qquad \lim_{x\to-\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=-1. \]
Il limite non descrive l’intero grafico
Un limite finito all’infinito riguarda esclusivamente il comportamento definitivo della funzione. Modificare \(f\) su un insieme limitato non cambia il suo limite per \(x\to+\infty\) o per \(x\to-\infty\).
Inoltre, l’esistenza di un limite finito non implica che la funzione sia monotona. Per esempio,
\[ f(x)=\frac{\sin(x)}{x} \]
continua a oscillare, ma
\[ \left|\frac{\sin(x)}{x}\right| \leq \frac{1}{|x|}, \]
e poiché
\[ \lim_{x\to\pm\infty}\frac{1}{|x|}=0, \]
dal teorema del confronto segue che
\[ \lim_{x\to\pm\infty}\frac{\sin(x)}{x}=0. \]
Dire che \(x\to+\infty\) o \(x\to-\infty\) non significa quindi che \(x\) raggiunga un valore chiamato infinito. Significa che la variabile supera qualunque soglia positiva prefissata oppure scende al di sotto di qualunque soglia negativa prefissata, mentre i valori della funzione si avvicinano arbitrariamente al numero reale \(L\).
Interpretazione geometrica e asintoti orizzontali
Quando una funzione tende a un numero reale \(L\) per \(x\to+\infty\) oppure per \(x\to-\infty\), i punti del suo grafico si avvicinano alla retta orizzontale
\[ y=L. \]
Infatti, la condizione
\[ |f(x)-L|<\varepsilon \]
significa che la distanza verticale tra il punto del grafico \((x,f(x))\) e la retta \(y=L\) è minore di \(\varepsilon\).
Poiché \(\varepsilon\) può essere scelto arbitrariamente piccolo, tale distanza tende a zero nel verso considerato.
Definizione di asintoto orizzontale
Sia \(f:D\to\mathbb{R}\). Se
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=L, \]
con \(L\in\mathbb{R}\), la retta
\[ y=L \]
si dice asintoto orizzontale destro del grafico di \(f\).
Se invece
\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=L, \]
allora la stessa retta
\[ y=L \]
si dice asintoto orizzontale sinistro.
Quando non è necessario specificare il verso, si parla semplicemente di asintoto orizzontale.
Interpretazione mediante fasce orizzontali
Supponiamo che
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=L. \]
Per ogni \(\varepsilon>0\), esiste una soglia \(A\) tale che
\[ L-\varepsilon<f(x)<L+\varepsilon \]
per ogni \(x\in D\) con \(x>A\).
Geometricamente, il grafico rimane quindi definitivamente all’interno della fascia compresa tra le rette
\[ y=L-\varepsilon \qquad\text{e}\qquad y=L+\varepsilon. \]
Per \(x\to-\infty\) vale la stessa interpretazione, con la differenza che la condizione viene richiesta per tutti gli \(x\in D\) sufficientemente negativi.
Avvicinamento dall’alto, dal basso o con oscillazioni
Il grafico non deve necessariamente avvicinarsi all’asintoto sempre dallo stesso lato.
Per esempio,
\[ f(x)=2+\frac{1}{x} \]
soddisfa, per \(x>0\),
\[ f(x)>2 \]
e
\[ \lim_{x\to+\infty}\left(2+\frac{1}{x}\right)=2. \]
Il grafico si avvicina quindi alla retta \(y=2\) dall’alto.
Analogamente,
\[ f(x)=2-\frac{1}{x} \]
soddisfa \(f(x)<2\) per \(x>0\) e tende ugualmente a \(2\). In questo caso il grafico si avvicina all’asintoto dal basso.
È possibile anche un avvicinamento oscillante. Per esempio,
\[ f(x)=L+\frac{\sin(x)}{x} \]
assume alternativamente valori maggiori e minori di \(L\), ma
\[ \lim_{x\to+\infty}\left(L+\frac{\sin(x)}{x}\right)=L. \]
L’esistenza di un asintoto orizzontale non implica quindi che il grafico rimanga definitivamente da uno stesso lato della retta.
La stessa retta può essere asintoto nei due versi
Se
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=L \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to-\infty}f(x)=L, \]
la retta \(y=L\) è asintoto orizzontale sia a destra sia a sinistra.
Per esempio,
\[ f(x)=\frac{1}{x^2} \]
soddisfa
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^2}=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x^2}=0. \]
La retta \(y=0\) è quindi asintoto orizzontale in entrambi i versi.
Una funzione può avere due asintoti orizzontali distinti
I limiti per \(x\to+\infty\) e per \(x\to-\infty\) possono essere differenti. Se
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=L_1 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to-\infty}f(x)=L_2, \]
con \(L_1\neq L_2\), allora \(y=L_1\) è l’asintoto orizzontale destro e \(y=L_2\) è l’asintoto orizzontale sinistro.
Un esempio è
\[ f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}, \]
per la quale
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=1, \qquad \lim_{x\to-\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=-1. \]
Le rette \(y=1\) e \(y=-1\) sono quindi rispettivamente l’asintoto orizzontale destro e quello sinistro.
Il grafico può intersecare l’asintoto
Un asintoto orizzontale non è una retta che il grafico non può attraversare. La definizione richiede soltanto che la distanza verticale dalla retta tenda a zero all’infinito.
Per esempio,
\[ f(x)=\frac{\sin(x)}{x} \]
ha \(y=0\) come asintoto orizzontale, ma il grafico interseca tale retta per
\[ x=k\pi, \qquad k\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}. \]
In questo caso le intersezioni sono addirittura infinite.
Unicità dell’asintoto in ciascun verso
Una funzione può avere al massimo un asintoto orizzontale per \(x\to+\infty\) e al massimo uno per \(x\to-\infty\).
Ciò segue dall’unicità del limite: se
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=L_1 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=L_2, \]
allora necessariamente \(L_1=L_2\). Lo stesso vale per \(x\to-\infty\).
Come individuare gli asintoti orizzontali
Per determinare gli eventuali asintoti orizzontali di una funzione si calcolano separatamente
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x) \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to-\infty}f(x), \]
quando il dominio permette di considerare entrambi i limiti.
Se uno dei due limiti è uguale a un numero reale \(L\), la retta \(y=L\) è un asintoto orizzontale nel verso corrispondente. Se invece il limite è uguale a \(+\infty\), a \(-\infty\) oppure non esiste, non vi è alcun asintoto orizzontale in quel verso.
Limiti infiniti per \(x\to+\infty\) e \(x\to-\infty\)
Un limite infinito all’infinito si presenta quando la variabile \(x\) tende verso \(+\infty\) oppure verso \(-\infty\) e, contemporaneamente, i valori della funzione crescono oppure diminuiscono senza limite.
Si possono verificare quattro situazioni:
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty, \qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty, \]
\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty, \qquad \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty. \]
In ciascun caso è necessario distinguere il comportamento della variabile da quello della funzione: il segno dell’infinito verso cui tende \(x\) non determina il segno dell’infinito verso cui tende \(f(x)\).
Limiti infiniti per \(x\to+\infty\)
Sia \(f:D\to\mathbb{R}\), con \(D\) non limitato superiormente. Si dice che
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty \]
se, per ogni \(M>0\), esiste \(A\in\mathbb{R}\) tale che, per ogni \(x\in D\),
\[ x>A \quad\Longrightarrow\quad f(x)>M. \]
In forma simbolica,
\[ \forall M>0\ \exists A\in\mathbb{R}\ \forall x\in D: \quad x>A \Longrightarrow f(x)>M. \]
La definizione richiede quindi che la funzione superi definitivamente qualunque soglia positiva prefissata.
Analogamente,
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty \]
se, per ogni \(M>0\), esiste \(A\in\mathbb{R}\) tale che
\[ x>A \quad\Longrightarrow\quad f(x)<-M \]
per ogni \(x\in D\).
In questo caso, per valori sufficientemente grandi di \(x\), la funzione scende al di sotto di qualunque soglia negativa prefissata.
Limiti infiniti per \(x\to-\infty\)
Supponiamo ora che il dominio \(D\) sia non limitato inferiormente. Si dice che
\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty \]
se, per ogni \(M>0\), esiste \(A\in\mathbb{R}\) tale che, per ogni \(x\in D\),
\[ x<A \quad\Longrightarrow\quad f(x)>M. \]
In forma simbolica,
\[ \forall M>0\ \exists A\in\mathbb{R}\ \forall x\in D: \quad x<A \Longrightarrow f(x)>M. \]
Analogamente,
\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty \]
se, per ogni \(M>0\), esiste \(A\in\mathbb{R}\) tale che
\[ x<A \quad\Longrightarrow\quad f(x)<-M. \]
In questo caso la funzione assume valori arbitrariamente piccoli per tutti gli \(x\) del dominio sufficientemente negativi.
Esempi fondamentali con le potenze
La funzione
\[ f(x)=x^2 \]
tende a \(+\infty\) in entrambi i versi:
\[ \lim_{x\to+\infty}x^2=+\infty, \qquad \lim_{x\to-\infty}x^2=+\infty. \]
Infatti, \(x^2\) diventa arbitrariamente grande quando il valore assoluto di \(x\) cresce, indipendentemente dal segno di \(x\).
La funzione cubica
\[ f(x)=x^3 \]
presenta invece comportamenti differenti:
\[ \lim_{x\to+\infty}x^3=+\infty, \qquad \lim_{x\to-\infty}x^3=-\infty. \]
Il segno del termine rimane infatti quello di \(x\).
Il ruolo della parità dell’esponente
Più in generale, il comportamento della potenza \(x^n\), con \(n\) intero positivo, dipende dalla parità dell’esponente.
Per \(x\to+\infty\), si ha sempre
\[ \lim_{x\to+\infty}x^n=+\infty. \]
Per \(x\to-\infty\), invece, se \(n\) è pari,
\[ \lim_{x\to-\infty}x^n=+\infty, \]
mentre, se \(n\) è dispari,
\[ \lim_{x\to-\infty}x^n=-\infty. \]
Il coefficiente che moltiplica la potenza può naturalmente modificare il segno del limite. Per esempio,
\[ \lim_{x\to+\infty}(-x^2)=-\infty, \qquad \lim_{x\to-\infty}(-x^3)=+\infty. \]
Verifica formale di \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^2=+\infty\)
Fissato \(M>0\), dobbiamo trovare una soglia \(A\) tale che
\[ x>A \quad\Longrightarrow\quad x^2>M. \]
Per \(x>0\), la condizione
\[ x^2>M \]
è verificata quando
\[ x>\sqrt{M}. \]
Possiamo quindi scegliere
\[ A=\sqrt{M}. \]
Poiché questa scelta è possibile per ogni \(M>0\), segue dalla definizione che
\[ \lim_{x\to+\infty}x^2=+\infty. \]
Verifica formale di \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x^3=-\infty\)
Fissato \(M>0\), vogliamo trovare \(A\in\mathbb{R}\) tale che
\[ x<A \quad\Longrightarrow\quad x^3<-M. \]
Poiché la funzione cubica è strettamente crescente,
\[ x^3<-M \]
equivale a
\[ x<-\sqrt[3]{M}. \]
È quindi sufficiente scegliere
\[ A=-\sqrt[3]{M}. \]
Ne segue che
\[ \lim_{x\to-\infty}x^3=-\infty. \]
Interpretazione geometrica
Se
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty, \]
allora, fissata una qualunque retta orizzontale \(y=M\), con \(M>0\), il grafico si trova definitivamente al di sopra di tale retta procedendo verso destra.
Se invece
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty, \]
il grafico si trova definitivamente al di sotto di qualunque retta \(y=-M\).
Le stesse interpretazioni valgono per \(x\to-\infty\), procedendo però verso sinistra lungo l’asse delle ascisse.
A differenza dei limiti finiti all’infinito, in questi casi non esiste un asintoto orizzontale: le ordinate non si avvicinano a un numero reale, ma crescono o diminuiscono senza limite.
Proprietà fondamentali dei limiti infiniti e dei limiti all’infinito
Le proprietà dei limiti permettono spesso di determinare il comportamento di somme, prodotti e quozienti senza ricorrere direttamente alle definizioni formali.
Nelle scritture che seguono, i limiti di \(f\) e \(g\) si intendono sempre rispetto al medesimo processo di limite, che può essere un limite in un punto, un limite laterale oppure un limite all’infinito.
Quando compaiono \(+\infty\) e \(-\infty\), è però essenziale ricordare che questi simboli non rappresentano numeri reali. Scritture come
\[ +\infty+L=+\infty \]
devono essere interpretate come abbreviazioni di proprietà relative ai limiti, non come normali operazioni aritmetiche.
Permanenza del segno
Se una funzione tende a \(+\infty\), allora è definitivamente positiva. Infatti, dalla definizione possiamo scegliere, per esempio, \(M=1\); ne segue che
\[ f(x)>1>0 \]
per tutti i valori di \(x\) sufficientemente vicini al punto considerato oppure, nei limiti all’infinito, sufficientemente grandi se \(x\to+\infty\) o sufficientemente negativi se \(x\to-\infty\).
Analogamente, se
\[ f(x)\to-\infty, \]
allora \(f(x)\) è definitivamente negativa.
Questa proprietà è particolarmente importante nei prodotti e nei quozienti, perché consente di stabilire correttamente il segno del risultato.
Somma con un limite finito
Supponiamo che, nello stesso processo di limite,
\[ f(x)\to+\infty \qquad\text{e}\qquad g(x)\to L, \]
con \(L\in\mathbb{R}\). Allora
\[ f(x)+g(x)\to+\infty. \]
Analogamente,
\[ f(x)\to-\infty, \qquad g(x)\to L \]
implica
\[ f(x)+g(x)\to-\infty. \]
In forma simbolica,
\[ +\infty+L=+\infty, \qquad -\infty+L=-\infty. \]
Un termine che tende a un valore finito non modifica quindi il comportamento infinito della somma.
Somma di limiti infiniti
Se due funzioni tendono entrambe a \(+\infty\), la loro somma tende a \(+\infty\):
\[ (+\infty)+(+\infty)=+\infty. \]
Analogamente,
\[ (-\infty)+(-\infty)=-\infty. \]
Il caso in cui i due termini abbiano segno opposto è invece differente. La forma
\[ \infty-\infty \]
è indeterminata: la sola conoscenza dei limiti dei due termini non permette di stabilire il limite della differenza.
Per esempio, per \(x\to+\infty\),
\[ x^2-x\to+\infty, \qquad x-x^2\to-\infty, \]
mentre
\[ (x+1)-x\to1. \]
In tutti questi casi i due termini principali tendono a \(+\infty\), ma i risultati sono differenti.
Prodotti
Se una funzione tende a infinito e l’altra tende a un numero reale non nullo, il valore assoluto del prodotto tende a infinito e il segno si determina con la consueta regola dei segni.
Per esempio, se
\[ f(x)\to+\infty \qquad\text{e}\qquad g(x)\to L>0, \]
allora
\[ f(x)g(x)\to+\infty. \]
Se invece \(L<0\),
\[ f(x)g(x)\to-\infty. \]
Quando entrambi i fattori tendono a infinito, vale analogamente
\[ (+\infty)(+\infty)=+\infty, \qquad (+\infty)(-\infty)=-\infty, \]
\[ (-\infty)(+\infty)=-\infty, \qquad (-\infty)(-\infty)=+\infty. \]
La situazione cambia se uno dei fattori tende a \(0\). La forma
\[ 0\cdot\infty \]
è indeterminata e richiede uno studio ulteriore dell’espressione.
Quoziente con denominatore infinito
Se
\[ f(x)\to L\in\mathbb{R} \]
e
\[ g(x)\to+\infty \qquad\text{oppure}\qquad g(x)\to-\infty, \]
allora
\[ \frac{f(x)}{g(x)}\to0, \]
purché il quoziente sia definito definitivamente.
In particolare, per una costante reale \(L\),
\[ \frac{L}{\pm\infty}=0 \]
è una scrittura simbolica che riassume questa proprietà.
Se invece numeratore e denominatore tendono entrambi a infinito, compare la forma indeterminata
\[ \frac{\infty}{\infty}. \]
Il risultato dipende dal comportamento relativo di numeratore e denominatore e non può essere stabilito dalla sola forma simbolica.
Reciproco
Se
\[ f(x)\to+\infty \qquad\text{oppure}\qquad f(x)\to-\infty, \]
allora
\[ \frac{1}{f(x)}\to0. \]
Viceversa, se una funzione tende a zero mantenendo definitivamente un segno preciso, il reciproco tende a infinito con il segno corrispondente:
\[ f(x)\to0^+ \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{f(x)}\to+\infty, \]
mentre
\[ f(x)\to0^- \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{f(x)}\to-\infty. \]
Il controllo del segno del denominatore è quindi indispensabile quando una quantità tende a zero.
Le principali forme indeterminate
Le forme indeterminate che ricorrono più frequentemente nello studio dei limiti sono
\[ \frac{0}{0}, \qquad \frac{\infty}{\infty}, \qquad \infty-\infty, \qquad 0\cdot\infty. \]
Una forma indeterminata non rappresenta il valore del limite. Indica soltanto che le regole elementari non consentono di concludere immediatamente e che l’espressione deve essere trasformata o studiata più attentamente.
Per esempio,
\[ \frac{x}{x}\to1, \qquad \frac{x}{x^2}\to0, \qquad \frac{x^2}{x}\to+\infty \]
per \(x\to+\infty\), nonostante tutte e tre le espressioni presentino inizialmente la forma
\[ \frac{\infty}{\infty}. \]
Per risolvere questi casi è necessario analizzare il comportamento relativo dei termini coinvolti. Nella sezione successiva vedremo come il confronto tra funzioni e l’individuazione del termine dominante permettano di affrontare molti di questi limiti.
Confronto tra funzioni e comportamento dominante
Nei limiti all’infinito è spesso utile individuare quale termine determina il comportamento complessivo di un’espressione. Questo principio è particolarmente importante quando compaiono forme indeterminate come
\[ \frac{\infty}{\infty} \qquad\text{oppure}\qquad \infty-\infty. \]
L’idea fondamentale consiste nel confrontare i termini presenti e riconoscere quello dominante, cioè quello che assume un peso decisivo nel limite considerato.
Termine dominante di un polinomio
Consideriamo un polinomio di grado \(n\):
\[ P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0, \qquad a_n\neq0. \]
Per \(x\to\pm\infty\), il comportamento del polinomio è determinato dal termine di grado massimo \(a_nx^n\). Infatti, raccogliendo \(x^n\),
\[ P(x) = x^n \left( a_n+\frac{a_{n-1}}{x} +\frac{a_{n-2}}{x^2} +\cdots+ \frac{a_0}{x^n} \right). \]
Tutti i termini contenenti potenze di \(x\) al denominatore tendono a \(0\). Di conseguenza, il segno e il comportamento infinito di \(P(x)\) dipendono dal coefficiente principale \(a_n\), dalla parità di \(n\) e dal verso del limite.
Per esempio,
\[ P(x)=-2x^5+3x^2-1 \]
ha come termine dominante \(-2x^5\). Pertanto,
\[ \lim_{x\to+\infty}P(x)=-\infty, \qquad \lim_{x\to-\infty}P(x)=+\infty. \]
Funzioni razionali
Consideriamo una funzione razionale
\[ f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}, \]
dove \(P\) e \(Q\) sono polinomi, con \(Q\) non identicamente nullo. Per studiarne il comportamento all’infinito è sufficiente confrontare i termini di grado massimo del numeratore e del denominatore.
Se il grado di \(P\) è minore del grado di \(Q\), allora
\[ \lim_{x\to\pm\infty}\frac{P(x)}{Q(x)}=0. \]
Se i due polinomi hanno lo stesso grado, il limite è uguale al rapporto tra i rispettivi coefficienti principali.
Per esempio,
\[ \lim_{x\to\pm\infty} \frac{3x^2-x+1}{2x^2+5} = \frac{3}{2}. \]
Se invece il grado del numeratore è maggiore di quello del denominatore, il valore assoluto del rapporto cresce senza limite; il segno deve essere determinato studiando i termini dominanti.
Per esempio,
\[ \frac{2x^3+1}{x^2-4} \]
si comporta, per grandi valori di \(|x|\), come \(2x\). Pertanto,
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{2x^3+1}{x^2-4}=+\infty, \qquad \lim_{x\to-\infty}\frac{2x^3+1}{x^2-4}=-\infty. \]
Il teorema del confronto
Il comportamento di una funzione può essere dedotto anche confrontandola con una funzione più semplice.
Se, definitivamente,
\[ f(x)\geq g(x) \]
e
\[ g(x)\to+\infty, \]
allora
\[ f(x)\to+\infty. \]
Analogamente, se definitivamente
\[ f(x)\leq g(x) \]
e
\[ g(x)\to-\infty, \]
allora
\[ f(x)\to-\infty. \]
Il confronto e l’individuazione del termine dominante permettono quindi di risolvere molti limiti all’infinito senza applicare meccanicamente regole simboliche alle forme indeterminate.
Esempi di limiti infiniti e limiti all’infinito
Concludiamo con alcuni esempi rappresentativi che riuniscono le principali situazioni studiate. L’obiettivo è riconoscere il tipo di limite, individuare il comportamento determinante dell’espressione e interpretare geometricamente il risultato quando ciò è possibile.
Esempio 1: limite infinito in un punto
Consideriamo
\[ \lim_{x\to2}\frac{1}{(x-2)^2}. \]
Quando \(x\to2\), si ha
\[ (x-2)^2\to0^+. \]
Il denominatore tende quindi a zero mantenendosi positivo. Il suo reciproco assume valori positivi arbitrariamente grandi e pertanto
\[ \lim_{x\to2}\frac{1}{(x-2)^2}=+\infty. \]
Lo stesso comportamento si verifica da entrambi i lati:
\[ \lim_{x\to2^-}\frac{1}{(x-2)^2}=+\infty, \qquad \lim_{x\to2^+}\frac{1}{(x-2)^2}=+\infty. \]
La retta
\[ x=2 \]
è quindi un asintoto verticale.
Esempio 2: limiti laterali infiniti di segno opposto
Consideriamo
\[ \lim_{x\to1}\frac{1}{x-1}. \]
Per \(x\to1^+\), il denominatore tende a zero attraverso valori positivi:
\[ x-1\to0^+. \]
Di conseguenza,
\[ \lim_{x\to1^+}\frac{1}{x-1}=+\infty. \]
Per \(x\to1^-\), invece,
\[ x-1\to0^-, \]
e quindi
\[ \lim_{x\to1^-}\frac{1}{x-1}=-\infty. \]
Poiché i due limiti laterali non coincidono,
\[ \lim_{x\to1}\frac{1}{x-1} \]
non esiste. La retta \(x=1\) è comunque un asintoto verticale, perché entrambi i limiti laterali sono infiniti.
Esempio 3: limite finito all’infinito e asintoto orizzontale
Calcoliamo
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{3x+1}{x+2}. \]
Numeratore e denominatore tendono entrambi a \(+\infty\), quindi l’espressione presenta inizialmente la forma indeterminata
\[ \frac{\infty}{\infty}. \]
Dividiamo numeratore e denominatore per \(x\):
\[ \frac{3x+1}{x+2} = \frac{3+\displaystyle\frac{1}{x}} {1+\displaystyle\frac{2}{x}}. \]
Poiché
\[ \frac{1}{x}\to0 \qquad\text{per}\qquad x\to+\infty, \]
otteniamo
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{3x+1}{x+2}=3. \]
Il limite è finito, quindi la retta
\[ y=3 \]
è un asintoto orizzontale destro.
Esempio 4: limite infinito di un polinomio
Consideriamo
\[ \lim_{x\to-\infty}\left(2x^4-3x^2+x-1\right). \]
Il termine dominante del polinomio è
\[ 2x^4. \]
Poiché l’esponente \(4\) è pari,
\[ x^4\to+\infty \qquad\text{per}\qquad x\to-\infty. \]
Inoltre, il coefficiente principale è positivo. I termini di grado inferiore non modificano il comportamento dominante e quindi
\[ \lim_{x\to-\infty}\left(2x^4-3x^2+x-1\right)=+\infty. \]
Questo esempio mostra come, nei polinomi, sia generalmente sufficiente individuare il termine di grado massimo per determinare il comportamento all’infinito.
Esempio 5: forma indeterminata \(\infty-\infty\)
Calcoliamo
\[ \lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right). \]
Si ha
\[ \sqrt{x^2+x}\to+\infty \qquad\text{e}\qquad x\to+\infty, \]
quindi compare la forma indeterminata
\[ \infty-\infty. \]
Per eliminarla, razionalizziamo:
\[ \sqrt{x^2+x}-x = \frac{\left(\sqrt{x^2+x}-x\right) \left(\sqrt{x^2+x}+x\right)} {\sqrt{x^2+x}+x}. \]
Al numeratore otteniamo
\[ x^2+x-x^2=x, \]
e dunque
\[ \sqrt{x^2+x}-x = \frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}. \]
Poiché per \(x\to+\infty\) si ha definitivamente \(x>0\), possiamo dividere numeratore e denominatore per \(x\):
\[ \frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x} = \frac{1} {\sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{x}}+1}. \]
Passando al limite,
\[ \lim_{x\to+\infty} \left(\sqrt{x^2+x}-x\right) = \frac{1}{2}. \]
La forma \(\infty-\infty\) non rappresentava quindi il risultato del limite: dopo un’opportuna trasformazione algebrica si ottiene un valore finito.
Esempio 6: limite infinito con un termine oscillante
Consideriamo
\[ f(x)=x+2\sin(x). \]
Il termine \(2\sin(x)\) oscilla continuamente, ma rimane limitato. Infatti,
\[ -1\leq\sin(x)\leq1, \]
e quindi
\[ -2\leq2\sin(x)\leq2. \]
Sommando \(x\),
\[ x-2\leq x+2\sin(x)\leq x+2. \]
In particolare,
\[ x+2\sin(x)\geq x-2. \]
Poiché
\[ \lim_{x\to+\infty}(x-2)=+\infty, \]
dal teorema del confronto segue che
\[ \lim_{x\to+\infty}\left(x+2\sin(x)\right)=+\infty. \]
Questo esempio è importante perché mostra che una funzione non deve essere monotona per tendere a \(+\infty\). Le oscillazioni sono compatibili con un limite infinito, purché la funzione superi definitivamente qualunque soglia positiva prefissata.
Schema conclusivo
Nello studio di un limite infinito o di un limite all’infinito è utile procedere in modo ordinato:
- individuare verso quale punto, oppure verso quale infinito, tende la variabile;
- se \(x\) tende a un punto reale, verificare se è necessario distinguere il comportamento da destra e da sinistra;
- controllare con attenzione il segno delle quantità che tendono a zero;
- riconoscere eventuali forme indeterminate;
- individuare, quando possibile, il termine dominante oppure applicare un opportuno confronto;
- interpretare geometricamente il risultato, verificando l’eventuale presenza di asintoti verticali o orizzontali.
Le definizioni formali rimangono il fondamento della teoria. Le proprietà dei limiti, le trasformazioni algebriche e i confronti consentono di riconoscere in modo più rapido quale dei comportamenti descritti dalle definizioni si verifica nel caso considerato.