Limiti di Funzioni: Definizione, Proprietà e Calcolo

Che cos'è il limite di una funzione

Il limite di una funzione descrive il comportamento dei valori \(f(x)\) quando la variabile \(x\) si avvicina a un certo valore, oppure quando \(x\) assume valori sempre più grandi in valore assoluto.

Per esempio, scrivere

\[ \lim_{x \to x_0} f(x)=L \]

significa che, quando \(x\) si avvicina a \(x_0\), i valori della funzione \(f(x)\) si avvicinano al numero reale \(L\).

L'aspetto importante è che non si sta studiando necessariamente il valore della funzione nel punto \(x_0\), ma il suo comportamento nei punti vicini a \(x_0\). Per questo motivo il limite può esistere anche quando la funzione non è definita in \(x_0\), oppure quando \(f(x_0)\) esiste ma è diverso dal limite.

In altre parole, il limite riguarda ciò che accade avvicinandosi al punto, non ciò che accade esattamente nel punto. Questo distingue il concetto di limite dal semplice calcolo del valore \(f(x_0)\).

La stessa idea vale anche quando la variabile non tende a un numero reale, ma all'infinito. Scrivere

\[ \lim_{x \to +\infty} f(x)=L \]

significa che i valori \(f(x)\) si avvicinano a \(L\) quando \(x\) assume valori positivi sempre più grandi.

Il concetto di limite permette quindi di studiare il comportamento locale di una funzione vicino a un punto e il suo comportamento globale per valori molto grandi della variabile. Da esso dipendono nozioni fondamentali dell'analisi, come la continuità, gli asintoti e il calcolo differenziale.

Punti di accumulazione e significato di \(x \to x_0\)

Prima di dare una definizione rigorosa di limite, è necessario chiarire che cosa significa affermare che \(x\) tende a un punto \(x_0\).

Sia \(f:A\to\mathbb{R}\) una funzione reale di variabile reale, definita su un insieme \(A\subseteq\mathbb{R}\). Quando scriviamo

\[ x \to x_0 \]

non stiamo dicendo che \(x\) sia uguale a \(x_0\), ma che \(x\) assume valori del dominio \(A\) arbitrariamente vicini a \(x_0\), eventualmente diversi da \(x_0\).

Perché questa idea abbia senso, il punto \(x_0\) deve essere un punto di accumulazione per il dominio della funzione. Ciò significa che in ogni intorno di \(x_0\) esiste almeno un punto di \(A\) diverso da \(x_0\).

In modo equivalente, \(x_0\) è un punto di accumulazione per \(A\) se, per ogni \(\delta >0\), esiste almeno un punto \(x\in A\), con \(x\neq x_0\), tale che

\[ |x-x_0|<\delta. \]

La condizione \(x\neq x_0\) è essenziale: nello studio del limite interessa il comportamento della funzione nei punti vicini a \(x_0\), non necessariamente il valore della funzione nel punto \(x_0\).

Per questo motivo, \(x_0\) può anche non appartenere al dominio \(A\). Se però esistono punti di \(A\) arbitrariamente vicini a \(x_0\), allora ha senso studiare il limite di \(f(x)\) per \(x\to x_0\).

Al contrario, se \(x_0\) è un punto isolato del dominio, non esistono punti del dominio arbitrariamente vicini a \(x_0\) e diversi da \(x_0\). In tal caso il limite per \(x\to x_0\) non descrive un comportamento di avvicinamento reale della funzione.

In sintesi, la scrittura \(x\to x_0\) deve sempre essere interpretata rispetto al dominio della funzione: la variabile \(x\) si avvicina a \(x_0\) assumendo valori per i quali \(f(x)\) è definita.

Limite finito per \(x\) che tende a un punto finito

Consideriamo una funzione \(f:A\to\mathbb{R}\), con \(A\subseteq\mathbb{R}\), e sia \(x_0\in\mathbb{R}\) un punto di accumulazione per \(A\).

Dire che \(f(x)\) tende al numero reale \(L\) quando \(x\) tende a \(x_0\) significa che i valori \(f(x)\) possono essere resi arbitrariamente vicini a \(L\), purché \(x\) sia sufficientemente vicino a \(x_0\), con \(x\neq x_0\).

In simboli si scrive:

\[ \lim_{x\to x_0} f(x)=L. \]

La definizione rigorosa è la seguente:

\[ \lim_{x\to x_0} f(x)=L \]

se e solo se, per ogni \(\varepsilon >0\), esiste un \(\delta >0\) tale che, per ogni \(x\in A\),

\[ 0<|x-x_0|<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon. \]

Il numero \(\varepsilon\) misura quanto vogliamo che \(f(x)\) sia vicino a \(L\). La definizione richiede che questa vicinanza possa essere ottenuta per qualunque scelta di \(\varepsilon >0\), anche molto piccola.

Il numero \(\delta\), invece, misura quanto \(x\) deve essere vicino a \(x_0\) affinché \(f(x)\) risulti vicino a \(L\). In generale, \(\delta\) può dipendere da \(\varepsilon\): più piccola è la tolleranza richiesta sui valori di \(f(x)\), più può essere necessario restringere l'intorno di \(x_0\).

La condizione

\[ 0<|x-x_0|<\delta \]

significa che \(x\) appartiene a un intorno di \(x_0\), ma è diverso da \(x_0\). Per questo motivo il valore \(f(x_0)\), se esiste, non interviene nella definizione di limite.

Di conseguenza, il limite può esistere anche se la funzione non è definita in \(x_0\). Può inoltre accadere che \(f(x_0)\) sia definito, ma diverso dal limite. In entrambi i casi, il limite descrive il comportamento della funzione nei punti vicini a \(x_0\), non necessariamente il valore assunto nel punto \(x_0\).

Per esempio, la funzione

\[ f(x)=\frac{x^2-1}{x-1} \]

non è definita per \(x=1\). Tuttavia, per \(x\neq 1\), possiamo semplificare:

\[ \frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1. \]

Pertanto, quando \(x\) si avvicina a \(1\), i valori della funzione si avvicinano a \(2\). Scriviamo quindi:

\[ \lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}=2. \]

Questo esempio mostra perché, nello studio dei limiti, è fondamentale distinguere il comportamento della funzione vicino a un punto dal valore della funzione nel punto stesso.

Limite infinito per \(x\) che tende a un punto finito

Consideriamo una funzione \(f:A\to\mathbb{R}\), con \(A\subseteq\mathbb{R}\), e sia \(x_0\in\mathbb{R}\) un punto di accumulazione per \(A\).

Può accadere che, quando \(x\) si avvicina a \(x_0\), i valori \(f(x)\) non si avvicinino a un numero reale, ma diventino sempre più grandi in valore assoluto. In questo caso si parla di limite infinito.

Scrivere

\[ \lim_{x\to x_0} f(x)=+\infty \]

significa che i valori della funzione diventano maggiori di qualunque numero positivo prefissato, purché \(x\) sia sufficientemente vicino a \(x_0\), con \(x\neq x_0\).

La definizione rigorosa è la seguente:

\[ \lim_{x\to x_0} f(x)=+\infty \]

se e solo se, per ogni \(M>0\), esiste un \(\delta>0\) tale che, per ogni \(x\in A\),

\[ 0<|x-x_0|<\delta \implies f(x)>M. \]

In modo analogo, scrivere

\[ \lim_{x\to x_0} f(x)=-\infty \]

significa che i valori della funzione diventano minori di qualunque numero negativo sufficientemente grande in valore assoluto, purché \(x\) sia abbastanza vicino a \(x_0\), con \(x\neq x_0\).

Formalmente:

\[ \lim_{x\to x_0} f(x)=-\infty \]

se e solo se, per ogni \(M>0\), esiste un \(\delta>0\) tale che, per ogni \(x\in A\),

\[ 0<|x-x_0|<\delta \implies f(x)<-M. \]

È importante osservare che \(+\infty\) e \(-\infty\) non sono numeri reali. Dire che una funzione tende a \(+\infty\) o a \(-\infty\) non significa quindi che la funzione si avvicini a un valore numerico, ma che i suoi valori crescono o decrescono senza limitazione.

Per esempio, consideriamo la funzione

\[ f(x)=\frac{1}{(x-1)^2}. \]

Essa non è definita per \(x=1\). Tuttavia, quando \(x\) si avvicina a \(1\), il denominatore \((x-1)^2\) diventa positivo e sempre più vicino a \(0\). Di conseguenza, il rapporto diventa positivo e arbitrariamente grande.

Pertanto:

\[ \lim_{x\to 1}\frac{1}{(x-1)^2}=+\infty. \]

Analogamente, per la funzione

\[ g(x)=-\frac{1}{(x-1)^2} \]

si ha:

\[ \lim_{x\to 1}\left(-\frac{1}{(x-1)^2}\right)=-\infty. \]

I limiti infiniti sono strettamente collegati agli asintoti verticali. Se una funzione tende a \(+\infty\) o a \(-\infty\) quando \(x\) tende a \(x_0\), allora la retta verticale \(x=x_0\) è un asintoto verticale per il grafico della funzione.

Limite finito per \(x\) che tende all'infinito

Finora abbiamo considerato il comportamento di una funzione quando \(x\) si avvicina a un punto finito \(x_0\). Possiamo però studiare anche ciò che accade quando \(x\) assume valori sempre più grandi, oppure sempre più piccoli.

Consideriamo una funzione \(f:A\to\mathbb{R}\), con \(A\subseteq\mathbb{R}\). Per studiare il limite per \(x\to+\infty\), è necessario che il dominio \(A\) contenga valori arbitrariamente grandi. In altre parole, per ogni numero reale \(R\) deve esistere almeno un \(x\in A\) tale che \(x>R\).

Scrivere

\[ \lim_{x\to+\infty} f(x)=L \]

significa che i valori \(f(x)\) si avvicinano al numero reale \(L\) quando \(x\) diventa sempre più grande.

La definizione rigorosa è la seguente:

\[ \lim_{x\to+\infty} f(x)=L \]

se e solo se, per ogni \(\varepsilon>0\), esiste un numero reale \(R\) tale che, per ogni \(x\in A\),

\[ x>R \implies |f(x)-L|<\varepsilon. \]

Il significato è analogo a quello della definizione con \(\varepsilon\) e \(\delta\): il numero \(\varepsilon\) stabilisce quanto vogliamo che \(f(x)\) sia vicino a \(L\), mentre il numero \(R\) indica da quale punto in poi questa vicinanza è garantita.

In modo simile, per studiare il limite per \(x\to-\infty\), il dominio \(A\) deve contenere valori arbitrariamente piccoli. Scrivere

\[ \lim_{x\to-\infty} f(x)=L \]

significa che i valori \(f(x)\) si avvicinano al numero reale \(L\) quando \(x\) diventa sempre più piccolo.

Formalmente:

\[ \lim_{x\to-\infty} f(x)=L \]

se e solo se, per ogni \(\varepsilon>0\), esiste un numero reale \(R\) tale che, per ogni \(x\in A\),

\[ x<R \implies |f(x)-L|<\varepsilon. \]

In questa definizione il numero \(R\) è scelto in modo che, considerando valori di \(x\) minori di \(R\), la funzione assuma valori vicini a \(L\).

Per esempio, consideriamo la funzione

\[ f(x)=\frac{1}{x}. \]

Quando \(x\) assume valori positivi sempre più grandi, il rapporto \(\displaystyle \frac{1}{x}\) diventa sempre più vicino a \(0\). Pertanto:

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0. \]

Lo stesso accade quando \(x\) assume valori negativi sempre più piccoli: anche in questo caso il valore assoluto di \(\displaystyle \frac{1}{x}\) diventa sempre più piccolo. Quindi:

\[ \lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x}=0. \]

Un limite finito per \(x\to+\infty\) o per \(x\to-\infty\) descrive quindi il fatto che, allontanandosi indefinitamente lungo l'asse reale, la funzione si avvicina a un valore reale determinato. Questo comportamento è alla base della nozione di asintoto orizzontale.

Limite infinito per \(x\) che tende all'infinito

Possiamo infine considerare il caso in cui la variabile \(x\) tende all'infinito e, nello stesso tempo, anche i valori della funzione diventano arbitrariamente grandi o arbitrariamente piccoli.

Consideriamo una funzione \(f:A\to\mathbb{R}\), con \(A\subseteq\mathbb{R}\), e supponiamo che il dominio \(A\) contenga valori arbitrariamente grandi.

Scrivere

\[ \lim_{x\to+\infty} f(x)=+\infty \]

significa che i valori della funzione diventano maggiori di qualunque numero positivo prefissato, purché \(x\) sia sufficientemente grande.

La definizione rigorosa è la seguente:

\[ \lim_{x\to+\infty} f(x)=+\infty \]

se e solo se, per ogni \(M>0\), esiste un numero reale \(R\) tale che, per ogni \(x\in A\),

\[ x>R \implies f(x)>M. \]

In modo analogo, scrivere

\[ \lim_{x\to+\infty} f(x)=-\infty \]

significa che i valori della funzione diventano minori di qualunque numero negativo sufficientemente grande in valore assoluto, purché \(x\) sia sufficientemente grande.

Formalmente:

\[ \lim_{x\to+\infty} f(x)=-\infty \]

se e solo se, per ogni \(M>0\), esiste un numero reale \(R\) tale che, per ogni \(x\in A\),

\[ x>R \implies f(x)<-M. \]

Le definizioni per \(x\to-\infty\) sono simili. Se il dominio \(A\) contiene valori arbitrariamente piccoli, allora

\[ \lim_{x\to-\infty} f(x)=+\infty \]

se e solo se, per ogni \(M>0\), esiste un numero reale \(R\) tale che, per ogni \(x\in A\),

\[ x<R \implies f(x)>M. \]

Analogamente,

\[ \lim_{x\to-\infty} f(x)=-\infty \]

se e solo se, per ogni \(M>0\), esiste un numero reale \(R\) tale che, per ogni \(x\in A\),

\[ x<R \implies f(x)<-M. \]

Per esempio, per la funzione \(f(x)=x^2\) si ha:

\[ \lim_{x\to+\infty}x^2=+\infty \]

e anche

\[ \lim_{x\to-\infty}x^2=+\infty. \]

Infatti, quando \(x\) diventa sempre più grande in valore assoluto, il quadrato \(x^2\) diventa arbitrariamente grande.

Per la funzione \(g(x)=x^3\), invece, si ha:

\[ \lim_{x\to+\infty}x^3=+\infty \]

mentre

\[ \lim_{x\to-\infty}x^3=-\infty. \]

In questo caso il segno dei valori della funzione dipende dal segno di \(x\), perché la potenza ha esponente dispari.

I limiti infiniti per \(x\to+\infty\) o per \(x\to-\infty\) descrivono quindi funzioni che non si avvicinano a un valore reale finito, ma crescono o decrescono senza limitazione lungo una direzione dell'asse reale.

Limite destro e limite sinistro

Quando si studia il limite di una funzione per \(x\to x_0\), la variabile \(x\) può avvicinarsi a \(x_0\) da due direzioni diverse: da destra oppure da sinistra.

Dire che \(x\) tende a \(x_0\) da destra significa che \(x\) si avvicina a \(x_0\) assumendo valori maggiori di \(x_0\). In simboli si scrive:

\[ x\to x_0^+. \]

Dire invece che \(x\) tende a \(x_0\) da sinistra significa che \(x\) si avvicina a \(x_0\) assumendo valori minori di \(x_0\). In simboli si scrive:

\[ x\to x_0^-. \]

Consideriamo una funzione \(f:A\to\mathbb{R}\), con \(A\subseteq\mathbb{R}\). Per studiare il limite destro in \(x_0\), è necessario che esistano punti del dominio \(A\) arbitrariamente vicini a \(x_0\) e maggiori di \(x_0\).

Scrivere

\[ \lim_{x\to x_0^+} f(x)=L \]

significa che i valori \(f(x)\) si avvicinano a \(L\) quando \(x\) si avvicina a \(x_0\) assumendo valori maggiori di \(x_0\).

Formalmente:

\[ \lim_{x\to x_0^+} f(x)=L \]

se e solo se, per ogni \(\varepsilon>0\), esiste un \(\delta>0\) tale che, per ogni \(x\in A\),

\[ 0<x-x_0<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon. \]

In modo analogo, per studiare il limite sinistro in \(x_0\), è necessario che esistano punti del dominio \(A\) arbitrariamente vicini a \(x_0\) e minori di \(x_0\).

Scrivere

\[ \lim_{x\to x_0^-} f(x)=L \]

significa che i valori \(f(x)\) si avvicinano a \(L\) quando \(x\) si avvicina a \(x_0\) assumendo valori minori di \(x_0\).

Formalmente:

\[ \lim_{x\to x_0^-} f(x)=L \]

se e solo se, per ogni \(\varepsilon>0\), esiste un \(\delta>0\) tale che, per ogni \(x\in A\),

\[ 0<x_0-x<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon. \]

Le condizioni \(0<x-x_0<\delta\) e \(0<x_0-x<\delta\) indicano rispettivamente che \(x\) appartiene a un intorno destro o sinistro di \(x_0\), escludendo il punto \(x_0\) stesso.

Il limite per \(x\to x_0\) esiste se e solo se esistono il limite destro e il limite sinistro e questi due limiti sono uguali. In tal caso il loro valore comune è il limite della funzione in \(x_0\).

In simboli:

\[ \lim_{x\to x_0} f(x)=L \]

se e solo se

\[ \lim_{x\to x_0^-} f(x)=L \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to x_0^+} f(x)=L. \]

Se invece il limite destro e il limite sinistro esistono ma sono diversi, allora il limite della funzione per \(x\to x_0\) non esiste.

Per esempio, consideriamo la funzione

\[ f(x)=\frac{|x|}{x}. \]

Per \(x>0\) si ha \(|x|=x\), quindi \(f(x)=1\). Per \(x<0\), invece, si ha \(|x|=-x\), quindi \(f(x)=-1\). Pertanto:

\[ \lim_{x\to 0^+}\frac{|x|}{x}=1 \]

mentre

\[ \lim_{x\to 0^-}\frac{|x|}{x}=-1. \]

Poiché il limite destro e il limite sinistro sono diversi, il limite

\[ \lim_{x\to 0}\frac{|x|}{x} \]

non esiste.

Unicità del limite

Una funzione non può avere due limiti diversi nello stesso punto, o per la stessa modalità di convergenza. Questo fatto è espresso dal seguente teorema.

Teorema (unicità del limite). Sia \(f:A\to\mathbb{R}\), con \(A\subseteq\mathbb{R}\), e sia \(x_0\) un punto di accumulazione per \(A\). Se esistono i limiti

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to x_0}f(x)=M, \]

allora necessariamente

\[ L=M. \]

Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che \(L\neq M\). Senza perdere generalità, possiamo assumere \(L<M\).

Scegliamo

\[ \varepsilon=\frac{M-L}{2}. \]

Poiché

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L, \]

esiste \(\delta_1>0\) tale che

\[ 0<|x-x_0|<\delta_1 \implies |f(x)-L|<\varepsilon. \]

Analogamente, poiché

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=M, \]

esiste \(\delta_2>0\) tale che

\[ 0<|x-x_0|<\delta_2 \implies |f(x)-M|<\varepsilon. \]

Poniamo

\[ \delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}. \]

Se

\[ 0<|x-x_0|<\delta, \]

valgono contemporaneamente entrambe le disuguaglianze:

\[ |f(x)-L|<\varepsilon \qquad\text{e}\qquad |f(x)-M|<\varepsilon. \]

Dalla prima segue

\[ L-\varepsilon<f(x)<L+\varepsilon, \]

mentre dalla seconda otteniamo

\[ M-\varepsilon<f(x)<M+\varepsilon. \]

Sostituendo \(\varepsilon=\displaystyle\frac{M-L}{2}\), risulta

\[ L+\varepsilon = L+\frac{M-L}{2} = \frac{L+M}{2}, \]

e analogamente

\[ M-\varepsilon = M-\frac{M-L}{2} = \frac{L+M}{2}. \]

Di conseguenza,

\[ f(x)<\frac{L+M}{2} \qquad\text{e}\qquad f(x)>\frac{L+M}{2}, \]

che è impossibile.

L'ipotesi \(L\neq M\) conduce quindi a una contraddizione. Ne segue che deve essere necessariamente

\[ L=M. \]

Osservazione

Il teorema garantisce che, quando un limite esiste, esso è unico. Se invece il limite destro e il limite sinistro sono diversi, il limite non esiste, come visto nella sezione precedente.

Teorema della permanenza del segno

Il teorema della permanenza del segno afferma che, se una funzione tende a un limite positivo, allora essa è positiva in un intorno sufficientemente piccolo del punto considerato. Analogamente, se tende a un limite negativo, allora è negativa in un intorno sufficientemente piccolo.

Questo risultato è importante perché permette di trasferire, almeno localmente, il segno del limite ai valori della funzione.

Teorema. Sia \(f:A\to\mathbb{R}\) una funzione e sia \(x_0\) un punto di accumulazione per \(A\). Supponiamo che

\[ \lim_{x\to x_0} f(x)=L. \]

Se \(L>0\), allora esiste un \(\delta>0\) tale che, per ogni \(x\in A\),

\[ 0<|x-x_0|<\delta \implies f(x)>0. \]

Se invece \(L<0\), allora esiste un \(\delta>0\) tale che, per ogni \(x\in A\),

\[ 0<|x-x_0|<\delta \implies f(x)<0. \]

Dimostrazione nel caso \(L>0\)

Supponiamo che \(L>0\). Poiché

\[ \lim_{x\to x_0} f(x)=L, \]

possiamo applicare la definizione di limite scegliendo

\[ \varepsilon=\frac{L}{2}. \]

Poiché \(L>0\), si ha \(\varepsilon>0\). Dunque esiste un \(\delta>0\) tale che, per ogni \(x\in A\),

\[ 0<|x-x_0|<\delta \implies |f(x)-L|<\frac{L}{2}. \]

Dalla disuguaglianza

\[ |f(x)-L|<\frac{L}{2} \]

segue in particolare

\[ -\frac{L}{2}<f(x)-L<\frac{L}{2}. \]

Aggiungendo \(L\) ai tre membri otteniamo

\[ \frac{L}{2}<f(x)<\frac{3L}{2}. \]

In particolare, poiché \(L>0\), risulta

\[ f(x)>0. \]

Quindi \(f(x)\) è positiva per tutti i punti del dominio sufficientemente vicini a \(x_0\), escluso eventualmente \(x_0\) stesso.

Caso \(L<0\)

Il caso \(L<0\) si dimostra in modo analogo. Si sceglie

\[ \varepsilon=-\frac{L}{2}, \]

che è positivo perché \(L<0\). Dalla definizione di limite si ottiene, per \(x\) sufficientemente vicino a \(x_0\),

\[ |f(x)-L|<-\frac{L}{2}. \]

Questa disuguaglianza implica che \(f(x)\) resta vicino al numero negativo \(L\). Più precisamente si ottiene

\[ \frac{3L}{2}<f(x)<\frac{L}{2}. \]

Poiché \(L<0\), anche \(\frac{L}{2}\) è negativo. Di conseguenza

\[ f(x)<0. \]

Osservazioni

Il teorema non afferma che la funzione abbia lo stesso segno del limite in tutto il suo dominio, ma soltanto in un intorno sufficientemente piccolo del punto verso cui tende la variabile.

Inoltre, se il limite è uguale a zero, non si può dedurre alcuna permanenza del segno. Una funzione può tendere a \(0\) assumendo valori positivi, valori negativi, oppure valori di segno alterno.

Le stesse idee valgono anche per i limiti per \(x\to+\infty\) e per \(x\to-\infty\): se il limite è positivo, la funzione è positiva da un certo punto in poi; se il limite è negativo, la funzione è negativa da un certo punto in poi.

Teorema del confronto

Il teorema del confronto permette di determinare il limite di una funzione confrontandola con due funzioni di cui si conosce già il limite.

L'idea è semplice: se una funzione \(g(x)\) è compresa tra due funzioni \(f(x)\) e \(h(x)\), e se \(f(x)\) e \(h(x)\) tendono allo stesso limite \(L\), allora anche \(g(x)\) deve tendere a \(L\).

Teorema. Siano \(f,g,h:A\to\mathbb{R}\) tre funzioni e sia \(x_0\) un punto di accumulazione per \(A\). Supponiamo che esista un intorno bucato di \(x_0\) in cui valga

\[ f(x)\leq g(x)\leq h(x). \]

Supponiamo inoltre che

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to x_0}h(x)=L. \]

Allora esiste anche il limite di \(g(x)\) per \(x\to x_0\) e si ha

\[ \lim_{x\to x_0}g(x)=L. \]

Dimostrazione. Fissiamo un numero \(\varepsilon>0\). Poiché

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L, \]

esiste un numero \(\delta_1>0\) tale che, per ogni \(x\in A\),

\[ 0<|x-x_0|<\delta_1 \implies |f(x)-L|<\varepsilon. \]

Da questa disuguaglianza segue in particolare

\[ L-\varepsilon<f(x)<L+\varepsilon. \]

Poiché

\[ \lim_{x\to x_0}h(x)=L, \]

esiste un numero \(\delta_2>0\) tale che, per ogni \(x\in A\),

\[ 0<|x-x_0|<\delta_2 \implies |h(x)-L|<\varepsilon. \]

Da questa disuguaglianza segue in particolare

\[ L-\varepsilon<h(x)<L+\varepsilon. \]

Per ipotesi, esiste inoltre un numero \(\delta_0>0\) tale che, per ogni \(x\in A\),

\[ 0<|x-x_0|<\delta_0 \implies f(x)\leq g(x)\leq h(x). \]

Poniamo

\[ \delta=\min\{\delta_0,\delta_1,\delta_2\}. \]

Se \(x\in A\) e \(0<|x-x_0|<\delta\), allora valgono contemporaneamente

\[ L-\varepsilon<f(x), \qquad f(x)\leq g(x)\leq h(x), \qquad h(x)<L+\varepsilon. \]

Di conseguenza,

\[ L-\varepsilon<g(x)<L+\varepsilon. \]

Questo equivale a dire che

\[ |g(x)-L|<\varepsilon. \]

Abbiamo quindi dimostrato che, per ogni \(\varepsilon>0\), esiste un \(\delta>0\) tale che

\[ 0<|x-x_0|<\delta \implies |g(x)-L|<\varepsilon. \]

Per definizione di limite, segue che

\[ \lim_{x\to x_0}g(x)=L. \]

Esempio. Consideriamo il limite

\[ \lim_{x\to 0}x^2\sin\frac{1}{x}. \]

La funzione \(\displaystyle \sin\frac{1}{x}\) non ammette limite per \(x\to 0\), perché oscilla indefinitamente. Tuttavia sappiamo che, per ogni \(x\neq 0\),

\[ -1\leq \sin\frac{1}{x}\leq 1. \]

Moltiplicando tutti i membri per \(x^2\), che è non negativo, otteniamo

\[ -x^2\leq x^2\sin\frac{1}{x}\leq x^2. \]

Poiché

\[ \lim_{x\to 0}(-x^2)=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to 0}x^2=0, \]

per il teorema del confronto si conclude che

\[ \lim_{x\to 0}x^2\sin\frac{1}{x}=0. \]

Confronto con limiti infiniti

Il teorema del confronto ha anche versioni utili per i limiti infiniti.

Se, in un intorno bucato di \(x_0\), si ha

\[ f(x)\leq g(x) \]

e

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty, \]

allora

\[ \lim_{x\to x_0}g(x)=+\infty. \]

Infatti, se \(f(x)\) diventa maggiore di qualunque numero \(M>0\), allora anche \(g(x)\), essendo maggiore o uguale a \(f(x)\), diventa maggiore di \(M\).

Analogamente, se, in un intorno bucato di \(x_0\), si ha

\[ g(x)\leq h(x) \]

e

\[ \lim_{x\to x_0}h(x)=-\infty, \]

allora

\[ \lim_{x\to x_0}g(x)=-\infty. \]

Queste versioni esprimono lo stesso principio: una funzione costretta, localmente, a stare sopra una quantità che tende a \(+\infty\) tende anch'essa a \(+\infty\); una funzione costretta a stare sotto una quantità che tende a \(-\infty\) tende anch'essa a \(-\infty\).

Osservazioni

Il confronto deve valere in un intorno del punto considerato, escluso eventualmente il punto stesso. Non è necessario che le disuguaglianze siano valide in tutto il dominio della funzione.

Il teorema del confronto è particolarmente utile quando la funzione di cui si vuole calcolare il limite contiene un fattore oscillante ma limitato, come nel caso delle funzioni seno e coseno.

Operazioni sui limiti

Le operazioni sui limiti permettono di calcolare il limite di funzioni ottenute mediante somme, prodotti, quozienti e potenze, a partire da limiti già noti.

Consideriamo due funzioni \(f,g:A\to\mathbb{R}\), con \(A\subseteq\mathbb{R}\), e sia \(x_0\) un punto di accumulazione per \(A\). Supponiamo che esistano due limiti finiti:

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=M. \]

Allora valgono le seguenti proprietà.

Limite della somma

Il limite della somma è uguale alla somma dei limiti:

\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)+g(x)\bigr)=L+M. \]

In modo analogo,

\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)=L-M. \]

Limite del prodotto

Il limite del prodotto è uguale al prodotto dei limiti:

\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)g(x)\bigr)=LM. \]

In particolare, se \(c\in\mathbb{R}\), allora

\[ \lim_{x\to x_0}cf(x)=cL. \]

Limite del quoziente

Se \(M\neq 0\), allora il limite del quoziente è uguale al quoziente dei limiti:

\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M}. \]

La condizione \(M\neq 0\) è essenziale. Infatti, se il limite del denominatore è diverso da zero, per il teorema della permanenza del segno la funzione \(g(x)\) è diversa da zero in un intorno bucato di \(x_0\). In tale intorno il quoziente è quindi ben definito.

Limite delle potenze

Se \(n\in\mathbb{N}\), allora

\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)\bigr)^n=L^n. \]

Questa proprietà segue dal limite del prodotto, applicato ripetutamente.

Limite delle radici

Per le radici occorre prestare attenzione al dominio. Se la funzione \(\sqrt[n]{f(x)}\) è definita in un intorno bucato di \(x_0\), allora, nei casi in cui la radice reale è ben definita, vale

\[ \lim_{x\to x_0}\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{L}. \]

In particolare, per le radici di indice pari è necessario che i valori considerati siano non negativi e che il limite \(L\) sia non negativo.

Esempi

Calcoliamo il limite

\[ \lim_{x\to 2}(3x^2-5x+1). \]

Poiché le funzioni potenza, somma e prodotto rispettano le regole precedenti, possiamo sostituire direttamente \(x=2\):

\[ \lim_{x\to 2}(3x^2-5x+1) = 3\cdot 2^2-5\cdot 2+1 = 12-10+1 = 3. \]

Consideriamo ora il limite

\[ \lim_{x\to 1}\frac{x^2+1}{x+2}. \]

Il limite del denominatore è \(3\), quindi è diverso da zero. Possiamo dunque applicare la regola del quoziente:

\[ \lim_{x\to 1}\frac{x^2+1}{x+2} = \frac{1^2+1}{1+2} = \frac{2}{3}. \]

Quando le regole non bastano

Le regole precedenti valgono direttamente quando le operazioni tra i limiti producono un risultato determinato. Non si possono invece applicare in modo meccanico quando compaiono espressioni prive di significato determinato.

Per esempio, se

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=0, \]

non possiamo concludere che

\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} \]

abbia un valore determinato. L'espressione

\[ \frac{0}{0} \]

non rappresenta un risultato, ma una forma indeterminata.

In questi casi è necessario trasformare l'espressione, semplificarla oppure applicare strumenti più specifici. Le principali forme indeterminate saranno studiate nella sezione successiva.

Le stesse proprietà valgono, con le opportune modifiche, anche per i limiti per \(x\to+\infty\), per \(x\to-\infty\), per il limite destro e per il limite sinistro.

Forme indeterminate

Nel calcolo dei limiti può accadere che l'applicazione diretta delle regole sulle operazioni non permetta di determinare il risultato. In questi casi si parla di forme indeterminate.

Una forma indeterminata non è un numero e non è un risultato. È una situazione in cui le informazioni sui singoli limiti non sono sufficienti per stabilire il limite dell'espressione considerata.

Per esempio, se

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=0, \]

non possiamo dedurre direttamente il limite del quoziente

\[ \frac{f(x)}{g(x)}. \]

Infatti, a seconda delle funzioni coinvolte, il limite può essere un numero reale, può essere infinito oppure può non esistere.

La forma indeterminata \(0/0\)

La forma

\[ \frac{0}{0} \]

si presenta quando numeratore e denominatore tendono entrambi a zero.

Per esempio:

\[ \lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}. \]

Sostituendo formalmente \(x=1\), si ottiene la forma \(0/0\). Tuttavia, per \(x\neq 1\), possiamo semplificare:

\[ \frac{x^2-1}{x-1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1. \]

Quindi:

\[ \lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1} = \lim_{x\to 1}(x+1) = 2. \]

Questo mostra che la forma \(0/0\) non indica che il limite sia uguale a zero, ma che è necessario trasformare l'espressione.

La forma indeterminata \(\infty/\infty\)

La forma

\[ \frac{\infty}{\infty} \]

si presenta quando numeratore e denominatore diventano entrambi arbitrariamente grandi in valore assoluto.

Per esempio:

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2+1}{x^2-5}. \]

Numeratore e denominatore tendono entrambi a \(+\infty\). Per calcolare il limite, possiamo dividere numeratore e denominatore per \(x^2\):

\[ \frac{3x^2+1}{x^2-5} = \frac{3+\displaystyle\frac{1}{x^2}}{1-\displaystyle\frac{5}{x^2}}. \]

Poiché \(\displaystyle\frac{1}{x^2}\to 0\) e \(\displaystyle\frac{5}{x^2}\to 0\) per \(x\to+\infty\), otteniamo:

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2+1}{x^2-5}=3. \]

Anche in questo caso la scrittura \(\infty/\infty\) non rappresenta un risultato: indica soltanto che occorre analizzare più attentamente l'espressione.

La forma indeterminata \(\infty-\infty\)

La forma

\[ \infty-\infty \]

compare quando due quantità divergenti vengono sottratte tra loro. Il risultato dipende dalla velocità con cui le due quantità crescono.

Per esempio:

\[ \lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right). \]

Entrambi i termini tendono a \(+\infty\), quindi si presenta una forma \(\infty-\infty\). Per risolverla, razionalizziamo:

\[ \sqrt{x^2+x}-x = \frac{(\sqrt{x^2+x}-x)(\sqrt{x^2+x}+x)}{\sqrt{x^2+x}+x} = \frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}. \]

Per \(x\to+\infty\), possiamo dividere numeratore e denominatore per \(x\):

\[ \frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x} = \frac{1}{\sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{x}}+1}. \]

Pertanto:

\[ \lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right) = \frac{1}{2}. \]

La forma indeterminata \(0\cdot\infty\)

La forma

\[ 0\cdot\infty \]

si presenta quando un fattore tende a zero e l'altro diventa arbitrariamente grande in valore assoluto.

In questi casi si cerca spesso di trasformare il prodotto in un quoziente, in modo da ricondursi a una forma \(0/0\) oppure \(\infty/\infty\).

Per esempio:

\[ \lim_{x\to 0^+}x\ln x. \]

Quando \(x\to 0^+\), si ha \(x\to 0\) e \(\ln x\to-\infty\), quindi compare una forma \(0\cdot(-\infty)\). Possiamo riscrivere:

\[ x\ln x=\frac{\ln x}{\displaystyle\frac{1}{x}}. \]

In questo modo il limite viene ricondotto a una forma \(\infty/\infty\), che può essere studiata con strumenti adeguati. In particolare, si ottiene:

\[ \lim_{x\to 0^+}x\ln x=0. \]

Forme indeterminate esponenziali

Esistono anche forme indeterminate che coinvolgono potenze con base ed esponente variabili. Le principali sono:

\[ 1^\infty, \qquad 0^0, \qquad \infty^0. \]

Queste forme si presentano nello studio di limiti del tipo

\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)\bigr)^{g(x)}, \]

quando la base \(f(x)\) e l'esponente \(g(x)\) variano contemporaneamente. In tali casi si richiede, almeno in un intorno bucato del punto considerato, che la base sia positiva, così da poter usare la scrittura esponenziale

\[ \bigl(f(x)\bigr)^{g(x)} = e^{g(x)\ln(f(x))}. \]

Lo studio del limite viene così ricondotto al calcolo del limite dell'esponente \(g(x)\ln(f(x))\).

Elenco delle principali forme indeterminate

Le principali forme indeterminate sono:

\[ \frac{0}{0}, \qquad \frac{\infty}{\infty}, \qquad \infty-\infty, \qquad 0\cdot\infty, \qquad 1^\infty, \qquad 0^0, \qquad \infty^0. \]

Quando compare una forma indeterminata, non bisogna assegnare automaticamente un valore al limite. Occorre invece trasformare l'espressione, usare limiti notevoli, applicare confronti oppure ricorrere ad altri strumenti dell'analisi.

Forme non indeterminate

Non tutte le espressioni che coinvolgono zero o infinito sono indeterminate. Per esempio, se \(L\in\mathbb{R}\), allora in molti casi il rapporto tra una quantità che tende a \(L\) e una quantità che tende a infinito tende a zero:

\[ \frac{L}{\infty}=0. \]

Questa scrittura è solo un'abbreviazione intuitiva: il significato rigoroso è che il numeratore tende a un numero reale finito, mentre il denominatore diventa arbitrariamente grande in valore assoluto.

Analogamente, espressioni come \(L+\infty\), con \(L\in\mathbb{R}\), non sono forme indeterminate: il termine infinito domina il termine finito.

La distinzione tra forme determinate e forme indeterminate è essenziale, perché permette di capire quando le regole sui limiti forniscono subito una risposta e quando, invece, è necessario un lavoro ulteriore.

Limiti notevoli

I limiti notevoli sono limiti fondamentali che ricorrono frequentemente nello studio delle funzioni. Essi permettono di risolvere molte forme indeterminate, soprattutto del tipo \(0/0\), riconducendo l'espressione a limiti già noti.

Questi limiti non devono essere applicati in modo meccanico: occorre sempre verificare che la variabile o l'espressione considerata tenda al valore richiesto e che le funzioni coinvolte siano definite in un intorno bucato del punto considerato.

Limite notevole del seno

Uno dei limiti notevoli più importanti è

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1. \]

Questo limite è valido quando l'angolo \(x\) è misurato in radianti. Esso afferma che, per valori di \(x\) vicini a \(0\), il seno di \(x\) si comporta come \(x\).

In modo equivalente, per \(x\to 0\) possiamo scrivere informalmente:

\[ \sin x \sim x. \]

La scrittura \(\sin x \sim x\) significa che il rapporto tra \(\sin x\) e \(x\) tende a \(1\).

Limite notevole del coseno

Un altro limite fondamentale è

\[ \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}. \]

Esso descrive il comportamento di \(1-\cos x\) vicino a \(0\). In particolare, per \(x\to 0\), si ha

\[ 1-\cos x \sim \frac{x^2}{2}. \]

Questo limite è spesso utile quando compaiono espressioni trigonometriche in forma indeterminata.

Limite notevole della tangente

Dal limite notevole del seno e dalla continuità del coseno in \(0\) si ricava:

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=1. \]

Infatti,

\[ \frac{\tan x}{x} = \frac{\sin x}{x}\cdot\frac{1}{\cos x}. \]

Poiché \(\displaystyle\frac{\sin x}{x}\to 1\) e \(\cos x\to 1\), segue che \(\displaystyle\frac{\tan x}{x}\to 1\).

Limite notevole esponenziale

Un limite fondamentale legato al numero di Nepero \(e\) è

\[ \lim_{x\to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e. \]

In questa scrittura si considera \(x\) sufficientemente vicino a \(0\), con \(x\neq 0\), e tale che \(1+x>0\).

Una forma equivalente dello stesso limite è

\[ \lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e. \]

Questi limiti sono alla base di molte trasformazioni che coinvolgono espressioni del tipo \(1^\infty\).

Limite notevole del logaritmo

Per il logaritmo naturale vale il limite notevole

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1. \]

La funzione è definita per \(1+x>0\), cioè per \(x>-1\). Il limite afferma che, per \(x\to 0\), il logaritmo \(\ln(1+x)\) si comporta come \(x\):

\[ \ln(1+x)\sim x. \]

Più in generale, se \(u(x)\to 0\) e \(1+u(x)>0\) in un intorno bucato del punto considerato, allora

\[ \lim \frac{\ln(1+u(x))}{u(x)}=1. \]

Limite notevole dell'esponenziale

Per la funzione esponenziale naturale vale

\[ \lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1. \]

Questo limite afferma che, vicino a \(0\), la quantità \(e^x-1\) si comporta come \(x\):

\[ e^x-1\sim x. \]

Più in generale, se \(a>0\), allora

\[ \lim_{x\to 0}\frac{a^x-1}{x}=\ln a. \]

Infatti \(a^x=e^{x\ln a}\), quindi il comportamento di \(a^x-1\) vicino a \(0\) dipende dal fattore \(\ln a\).

Limite notevole delle potenze

Se \(\alpha\in\mathbb{R}\), vale il limite

\[ \lim_{x\to 0}\frac{(1+x)^\alpha-1}{x}=\alpha. \]

Anche in questo caso bisogna considerare \(x\) in un intorno di \(0\) in cui la potenza reale \((1+x)^\alpha\) sia definita. In particolare, è sufficiente richiedere \(1+x>0\).

Questo limite è molto utile quando compaiono radici o potenze con esponente reale. Per esempio, scegliendo \(\alpha=\displaystyle\frac{1}{2}\), si ottiene:

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}=\frac{1}{2}. \]

Esempio di applicazione

Calcoliamo il limite

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin(3x)}{x}. \]

Moltiplichiamo e dividiamo per \(3\):

\[ \frac{\sin(3x)}{x} = 3\cdot\frac{\sin(3x)}{3x}. \]

Poiché \(3x\to 0\) per \(x\to 0\), dal limite notevole del seno segue che

\[ \frac{\sin(3x)}{3x}\to 1. \]

Pertanto:

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin(3x)}{x}=3. \]

Tabella dei principali limiti notevoli

Riassumiamo i principali limiti notevoli:

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1, \qquad \lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=1, \qquad \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}. \]

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1, \qquad \lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1, \qquad \lim_{x\to 0}\frac{a^x-1}{x}=\ln a. \]

\[ \lim_{x\to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e, \qquad \lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e, \qquad \lim_{x\to 0}\frac{(1+x)^\alpha-1}{x}=\alpha. \]

Le forme equivalenti ottenute da questi limiti sono spesso decisive nel calcolo dei limiti. Tuttavia, esse devono essere usate solo quando l'argomento tende effettivamente a \(0\), oppure quando la variabile tende all'infinito nel modo richiesto dalla formula.

Infinitesimi e infiniti

Nello studio dei limiti è spesso utile descrivere una funzione non solo in base al valore del suo limite, ma anche in base alla velocità con cui essa tende a zero oppure diventa arbitrariamente grande.

Questa esigenza porta ai concetti di infinitesimo, infinito e confronto tra ordini.

Infinitesimi

Una funzione \(f\) si dice infinitesima per \(x\to x_0\) se

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=0. \]

In altre parole, un infinitesimo è una funzione che, nel processo di limite considerato, assume valori arbitrariamente vicini a zero.

Per esempio, per \(x\to 0\), sono infinitesimi le funzioni

\[ x, \qquad x^2, \qquad \sin x, \qquad 1-\cos x. \]

Infatti tutte queste funzioni tendono a zero quando \(x\to 0\).

Anche la funzione \(\displaystyle\frac{1}{x}\) è infinitesima, ma per \(x\to+\infty\) oppure per \(x\to-\infty\), poiché

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x}=0. \]

Infiniti

Una funzione \(f\) si dice infinita per \(x\to x_0\) se

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty \]

oppure

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=-\infty. \]

Più in generale, si parla di funzione infinita quando i valori di \(f(x)\) diventano arbitrariamente grandi in valore assoluto nel processo di limite considerato.

Per esempio, per \(x\to+\infty\), sono funzioni infinite

\[ x, \qquad x^2, \qquad e^x. \]

Per \(x\to 0\), invece, è infinita la funzione

\[ \frac{1}{x^2}, \]

perché

\[ \lim_{x\to 0}\frac{1}{x^2}=+\infty. \]

Relazione tra infinitesimi e infiniti

I concetti di infinitesimo e infinito sono strettamente collegati. Se \(f(x)\) è un infinitesimo e \(f(x)\neq 0\) in un intorno bucato del punto considerato, allora la funzione reciproca

\[ \frac{1}{f(x)} \]

è infinita, salvo il caso in cui il segno di \(f(x)\) produca comportamenti diversi da destra e da sinistra.

Per esempio, per \(x\to 0\), la funzione \(x^2\) è infinitesima e positiva per \(x\neq 0\). Di conseguenza,

\[ \frac{1}{x^2} \]

è infinita positiva per \(x\to 0\).

Analogamente, se \(f(x)\) è infinita e non si annulla in un intorno bucato del punto considerato, allora

\[ \frac{1}{f(x)} \]

è infinitesima.

Confronto tra infinitesimi

Due infinitesimi possono tendere a zero con velocità diverse. Per confrontarli, si studia il limite del loro rapporto.

Siano \(f\) e \(g\) due infinitesimi per \(x\to x_0\), con \(g(x)\neq 0\) in un intorno bucato di \(x_0\). Consideriamo il limite

\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}. \]

Se

\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0, \]

allora \(f\) è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a \(g\). Questo significa che \(f(x)\) tende a zero più rapidamente di \(g(x)\).

Se invece

\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\ell, \qquad \ell\in\mathbb{R},\quad \ell\neq 0, \]

allora \(f\) e \(g\) sono infinitesimi dello stesso ordine.

Se infine

\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\pm\infty, \]

allora \(f\) tende a zero più lentamente di \(g\).

Esempio sul confronto tra infinitesimi

Per \(x\to 0\), confrontiamo gli infinitesimi \(x^2\) e \(x\). Calcoliamo:

\[ \lim_{x\to 0}\frac{x^2}{x} = \lim_{x\to 0}x = 0. \]

Dunque \(x^2\) è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a \(x\): infatti \(x^2\) tende a zero più rapidamente di \(x\).

Confrontiamo ora \(\sin x\) e \(x\), sempre per \(x\to 0\). Dal limite notevole

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1 \]

segue che \(\sin x\) e \(x\) sono infinitesimi dello stesso ordine.

Infiniti equivalenti e infinitesimi equivalenti

Due funzioni \(f\) e \(g\) si dicono equivalenti per \(x\to x_0\) se

\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=1. \]

In tal caso si scrive

\[ f(x)\sim g(x) \qquad\text{per }x\to x_0. \]

La scrittura \(f(x)\sim g(x)\) significa che, nel processo di limite considerato, le due funzioni hanno lo stesso comportamento principale.

Per esempio, per \(x\to 0\), dai limiti notevoli si ottengono le equivalenze

\[ \sin x\sim x, \qquad \tan x\sim x, \qquad 1-\cos x\sim \frac{x^2}{2}, \qquad \ln(1+x)\sim x, \qquad e^x-1\sim x. \]

Queste equivalenze sono molto utili nel calcolo dei limiti, perché permettono di sostituire una funzione con un'altra più semplice avente lo stesso comportamento principale.

Uso corretto degli equivalenti

Gli equivalenti devono essere usati con attenzione. In particolare, la sostituzione mediante equivalenti è sicura nei prodotti e nei quozienti, mentre non può essere applicata meccanicamente all'interno di somme o differenze in cui può verificarsi una cancellazione dei termini principali.

Per esempio, poiché \(\sin x\sim x\) per \(x\to 0\), possiamo calcolare:

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1. \]

Tuttavia, in un'espressione come

\[ \sin x-x, \]

non possiamo semplicemente sostituire \(\sin x\) con \(x\) e concludere che la differenza sia nulla. In realtà, la differenza ha un ordine più alto e richiede strumenti più fini, come sviluppi o trasformazioni specifiche.

Questa osservazione è fondamentale: gli equivalenti descrivono il comportamento principale di una funzione, ma possono non essere sufficienti quando i termini principali si cancellano.

Confronto tra infiniti

Anche le funzioni infinite possono essere confrontate mediante il rapporto. Se \(f\) e \(g\) sono infinite per \(x\to x_0\), si studia

\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}. \]

Se il limite è \(0\), allora \(f\) cresce più lentamente di \(g\). Se il limite è un numero reale non nullo, le due funzioni hanno lo stesso ordine di infinito. Se il limite è infinito, allora \(f\) cresce più rapidamente di \(g\).

Per esempio, per \(x\to+\infty\),

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{x}{x^2} = \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x} = 0. \]

Dunque \(x\) è un infinito di ordine inferiore rispetto a \(x^2\), cioè \(x^2\) cresce più rapidamente di \(x\).

Più in generale, per \(x\to+\infty\), le potenze positive di \(x\) crescono tanto più rapidamente quanto maggiore è l'esponente.

Osservazioni

Il confronto tra infinitesimi e infiniti non riguarda soltanto il valore del limite, ma la velocità con cui una funzione tende a zero o diverge. Questo punto di vista è essenziale per risolvere molte forme indeterminate.

In particolare, molte tecniche di calcolo dei limiti consistono nel riconoscere il termine dominante, cioè il termine che determina il comportamento principale dell'espressione nel processo di limite considerato.

Strategie per il calcolo dei limiti

Il calcolo di un limite non consiste nell'applicare sempre la stessa regola. A seconda della forma dell'espressione, può essere necessario usare proprietà algebriche, limiti notevoli, confronti, equivalenze o trasformazioni specifiche.

Una buona strategia consiste nel riconoscere anzitutto se l'espressione conduce a una forma determinata oppure a una forma indeterminata.

Sostituzione diretta quando possibile

Quando le operazioni sui limiti sono applicabili direttamente e non compaiono forme indeterminate, il limite si calcola sostituendo il valore verso cui tende \(x\).

Per esempio:

\[ \lim_{x\to 2}(x^2+3x-1) = 2^2+3\cdot 2-1 = 9. \]

In questo caso non compare alcuna difficoltà: polinomi, somme e prodotti si comportano in modo regolare rispetto al limite.

Semplificazione nelle forme \(0/0\)

Quando compare una forma \(0/0\), una delle prime strategie consiste nel semplificare l'espressione, se possibile.

Per esempio:

\[ \lim_{x\to 3}\frac{x^2-9}{x-3}. \]

Sostituendo formalmente \(x=3\), si ottiene \(0/0\). Fattorizziamo il numeratore:

\[ x^2-9=(x-3)(x+3). \]

Per \(x\neq 3\), possiamo quindi scrivere:

\[ \frac{x^2-9}{x-3} = \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x+3. \]

Ne segue che

\[ \lim_{x\to 3}\frac{x^2-9}{x-3} = \lim_{x\to 3}(x+3) = 6. \]

La semplificazione è lecita perché il limite studia il comportamento per \(x\) vicino a \(3\), ma diverso da \(3\).

Razionalizzazione

Quando compaiono radicali e differenze, può essere utile moltiplicare e dividere per l'espressione coniugata.

Consideriamo:

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}. \]

Sostituendo formalmente \(x=0\), si ottiene \(0/0\). Razionalizziamo:

\[ \frac{\sqrt{1+x}-1}{x} = \frac{(\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1+x}+1)}{x(\sqrt{1+x}+1)} = \frac{1+x-1}{x(\sqrt{1+x}+1)}. \]

Poiché \(1+x-1=x\), per \(x\neq 0\) otteniamo:

\[ \frac{\sqrt{1+x}-1}{x} = \frac{1}{\sqrt{1+x}+1}. \]

Pertanto:

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x} = \frac{1}{2}. \]

Divisione per il termine dominante

Nei limiti di funzioni razionali per \(x\to+\infty\) o per \(x\to-\infty\), una strategia fondamentale consiste nel dividere numeratore e denominatore per la potenza di grado massimo.

Per esempio:

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{2x^3-x+1}{5x^3+4x^2-7}. \]

Il termine dominante è \(x^3\). Dividiamo numeratore e denominatore per \(x^3\):

\[ \frac{2x^3-x+1}{5x^3+4x^2-7} = \frac{2-\displaystyle\frac{1}{x^2}+\displaystyle\frac{1}{x^3}}{5+\displaystyle\frac{4}{x}-\displaystyle\frac{7}{x^3}}. \]

Poiché

\[ \frac{1}{x}\to 0, \qquad \frac{1}{x^2}\to 0, \qquad \frac{1}{x^3}\to 0 \]

per \(x\to+\infty\), si ottiene:

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{2x^3-x+1}{5x^3+4x^2-7} = \frac{2}{5}. \]

Uso dei limiti notevoli

Quando compaiono funzioni trigonometriche, logaritmiche, esponenziali o potenze, molti limiti si riconducono ai limiti notevoli.

Per esempio:

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+4x)}{x}. \]

Moltiplichiamo e dividiamo per \(4\):

\[ \frac{\ln(1+4x)}{x} = 4\cdot\frac{\ln(1+4x)}{4x}. \]

Poiché \(4x\to 0\) per \(x\to 0\), dal limite notevole

\[ \lim_{t\to 0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1 \]

segue che

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+4x)}{x}=4. \]

Uso degli infinitesimi equivalenti

Gli infinitesimi equivalenti permettono di sostituire, in prodotti e quozienti, una funzione con un'altra più semplice avente lo stesso comportamento principale.

Per esempio, per \(x\to 0\), sappiamo che

\[ \sin x\sim x \qquad\text{e}\qquad e^x-1\sim x. \]

Quindi:

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{e^x-1} = 1. \]

Infatti numeratore e denominatore sono entrambi equivalenti a \(x\).

Questo metodo è molto rapido, ma va usato con attenzione: gli equivalenti sono sicuri nei prodotti e nei quozienti, mentre nelle somme e nelle differenze possono produrre errori se i termini principali si cancellano.

Uso del teorema del confronto

Quando una funzione è difficile da trattare direttamente, ma può essere racchiusa tra due funzioni con lo stesso limite, si può usare il teorema del confronto.

Per esempio:

\[ \lim_{x\to 0}x^2\cos\frac{1}{x}. \]

Poiché, per ogni \(x\neq 0\),

\[ -1\leq \cos\frac{1}{x}\leq 1, \]

moltiplicando per \(x^2\geq 0\) otteniamo:

\[ -x^2\leq x^2\cos\frac{1}{x}\leq x^2. \]

Poiché

\[ \lim_{x\to 0}(-x^2)=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to 0}x^2=0, \]

per il teorema del confronto segue che

\[ \lim_{x\to 0}x^2\cos\frac{1}{x}=0. \]

Studio separato da destra e da sinistra

Quando l'espressione cambia comportamento a seconda del segno di \(x-x_0\), è necessario studiare separatamente il limite destro e il limite sinistro.

Per esempio, consideriamo

\[ \lim_{x\to 0}\frac{|x|}{x}. \]

Per \(x>0\), si ha \(|x|=x\), quindi

\[ \frac{|x|}{x}=1. \]

Per \(x<0\), si ha \(|x|=-x\), quindi

\[ \frac{|x|}{x}=-1. \]

Dunque:

\[ \lim_{x\to 0^+}\frac{|x|}{x}=1, \qquad \lim_{x\to 0^-}\frac{|x|}{x}=-1. \]

Poiché il limite destro e il limite sinistro sono diversi, il limite per \(x\to 0\) non esiste.

Riconoscere il termine dominante

In molte espressioni, soprattutto per \(x\to+\infty\) o per \(x\to-\infty\), il comportamento del limite è determinato dal termine dominante, cioè dal termine che cresce più rapidamente.

Per esempio:

\[ \lim_{x\to+\infty}(x^3-4x^2+7x). \]

Il termine dominante è \(x^3\). Gli altri termini crescono più lentamente e non modificano il comportamento principale. Pertanto:

\[ \lim_{x\to+\infty}(x^3-4x^2+7x)=+\infty. \]

Per \(x\to-\infty\), invece, il termine dominante è ancora \(x^3\), ma \(x^3\to-\infty\). Quindi:

\[ \lim_{x\to-\infty}(x^3-4x^2+7x)=-\infty. \]

Schema operativo

In sintesi, per calcolare un limite conviene procedere così:

1. verificare il punto o la direzione verso cui tende la variabile;
2. controllare se le regole sui limiti si applicano direttamente;
3. riconoscere eventuali forme indeterminate;
4. scegliere una trasformazione adatta: fattorizzazione, semplificazione, razionalizzazione, divisione per il termine dominante, limiti notevoli, equivalenti o confronto;
5. se necessario, studiare separatamente limite destro e limite sinistro;
6. concludere solo dopo aver verificato che le condizioni usate siano valide nel processo di limite considerato.

Il punto essenziale è non confondere le scritture simboliche con risultati automatici. Una forma indeterminata segnala che il limite richiede un'analisi più precisa; una forma determinata, invece, permette spesso di concludere usando direttamente le proprietà dei limiti.

Interpretazione grafica dei limiti e asintoti

Il concetto di limite ha una forte interpretazione grafica. Studiare un limite significa osservare il comportamento del grafico di una funzione quando il punto di ascissa \(x\) si avvicina a un valore fissato, oppure quando \(x\) si allontana indefinitamente verso \(+\infty\) o verso \(-\infty\).

Il grafico non serve a sostituire la definizione rigorosa, ma aiuta a visualizzare il significato delle diverse situazioni che possono presentarsi.

Limite finito in un punto

Se

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L, \]

allora, quando \(x\) si avvicina a \(x_0\), i punti del grafico di \(f\) si avvicinano alla quota \(L\).

Questo non significa necessariamente che il grafico passi per il punto \((x_0,L)\). Infatti il valore \(f(x_0)\) può non essere definito, oppure può essere diverso da \(L\).

Dal punto di vista grafico, il limite descrive quindi l'andamento del grafico vicino alla retta verticale \(x=x_0\), ma non dipende necessariamente dal punto del grafico con ascissa \(x_0\).

Limite destro e limite sinistro nel grafico

Il limite destro descrive il comportamento del grafico quando ci si avvicina a \(x_0\) da valori maggiori di \(x_0\). Il limite sinistro descrive invece il comportamento del grafico quando ci si avvicina a \(x_0\) da valori minori di \(x_0\).

Se

\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=L \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to x_0^+}f(x)=L, \]

allora il grafico si avvicina alla stessa quota \(L\) da entrambi i lati, e il limite per \(x\to x_0\) esiste.

Se invece il limite destro e il limite sinistro sono diversi, il grafico si avvicina a due quote differenti. In questo caso il limite per \(x\to x_0\) non esiste.

Limite infinito e asintoto verticale

Se, quando \(x\) si avvicina a \(x_0\), i valori della funzione diventano arbitrariamente grandi o arbitrariamente piccoli, il grafico si avvicina alla retta verticale \(x=x_0\).

Se almeno uno tra il limite destro e il limite sinistro è infinito, allora la retta

\[ x=x_0 \]

è un asintoto verticale per il grafico della funzione.

Per esempio, se

\[ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=+\infty, \]

allora, avvicinandosi a \(x_0\) da destra, il grafico sale indefinitamente lungo la direzione della retta verticale \(x=x_0\).

Analogamente, se

\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=-\infty, \]

allora, avvicinandosi a \(x_0\) da sinistra, il grafico scende indefinitamente lungo la direzione della stessa retta verticale.

È quindi possibile che il comportamento da destra e da sinistra sia diverso. Per esempio, una funzione può tendere a \(+\infty\) da un lato e a \(-\infty\) dall'altro.

Limite finito all'infinito e asintoto orizzontale

Se una funzione tende a un numero reale \(L\) quando \(x\to+\infty\), allora il grafico si avvicina alla retta orizzontale

\[ y=L \]

quando ci si sposta indefinitamente verso destra.

In questo caso la retta \(y=L\) è un asintoto orizzontale destro per il grafico della funzione.

Analogamente, se

\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=M, \]

allora la retta

\[ y=M \]

è un asintoto orizzontale sinistro.

I due asintoti orizzontali possono coincidere oppure essere diversi. Per esempio, può accadere che una funzione tenda a un certo valore per \(x\to+\infty\) e a un altro valore per \(x\to-\infty\).

Asintoto obliquo

Oltre agli asintoti verticali e orizzontali, una funzione può avere un asintoto obliquo. Questo accade quando, per \(x\to+\infty\) oppure per \(x\to-\infty\), il grafico della funzione si avvicina a una retta non orizzontale.

Una retta di equazione

\[ y=mx+q, \qquad m\neq 0, \]

è un asintoto obliquo per \(f\) per \(x\to+\infty\) se

\[ \lim_{x\to+\infty}\bigl(f(x)-(mx+q)\bigr)=0. \]

In modo analogo, la stessa definizione vale per \(x\to-\infty\), sostituendo il processo di limite considerato.

La condizione precedente significa che la distanza verticale tra il grafico della funzione e la retta \(y=mx+q\) tende a zero.

Quando l'asintoto obliquo esiste, i coefficienti \(m\) e \(q\) si calcolano, nei casi ordinari, mediante i limiti

\[ m=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x} \]

e

\[ q=\lim_{x\to+\infty}\bigl(f(x)-mx\bigr), \]

purché questi limiti esistano, siano finiti e risulti \(m\neq 0\). Per \(x\to-\infty\) si usano le stesse formule con il limite per \(x\to-\infty\).

Esempi di interpretazione grafica

Consideriamo la funzione

\[ f(x)=\frac{1}{x}. \]

Per \(x\to 0^+\), si ha

\[ \lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x}=+\infty, \]

mentre per \(x\to 0^-\) si ha

\[ \lim_{x\to 0^-}\frac{1}{x}=-\infty. \]

Quindi la retta \(x=0\), cioè l'asse \(y\), è un asintoto verticale per il grafico della funzione.

Inoltre,

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x}=0. \]

Perciò la retta \(y=0\), cioè l'asse \(x\), è un asintoto orizzontale sia destro sia sinistro.

Consideriamo ora la funzione

\[ g(x)=x+\frac{1}{x}. \]

Per \(x\to+\infty\), si ha

\[ g(x)-x=\frac{1}{x}\to 0. \]

Quindi la retta

\[ y=x \]

è un asintoto obliquo per \(x\to+\infty\). Lo stesso vale anche per \(x\to-\infty\), perché \(\displaystyle\frac{1}{x}\to 0\) anche in quella direzione.

Osservazioni finali

L'interpretazione grafica dei limiti consente di collegare la definizione rigorosa al comportamento visibile del grafico. Tuttavia, il grafico deve essere considerato una guida, non una dimostrazione.

Per stabilire con certezza l'esistenza e il valore di un limite, occorre sempre fare riferimento alle definizioni, ai teoremi e alle proprietà studiate nelle sezioni precedenti.

In sintesi, i limiti permettono di descrivere con precisione tre aspetti fondamentali del comportamento di una funzione: che cosa accade vicino a un punto, che cosa accade all'infinito e come il grafico si dispone rispetto a eventuali asintoti.