Il teorema del limite di una successione monotona è uno dei risultati fondamentali sui limiti di successioni. Esso stabilisce che una successione monotona ha sempre limite, finito oppure infinito.
Più precisamente, una successione crescente tende al suo estremo superiore, eventualmente uguale a \(+\infty\), mentre una successione decrescente tende al suo estremo inferiore, eventualmente uguale a \(-\infty\). In particolare, una successione monotona e limitata è sempre convergente.
Questo risultato è molto importante perché permette di dimostrare l'esistenza del limite di una successione senza doverlo calcolare esplicitamente. È sufficiente verificare la monotonia e, nel caso in cui si voglia ottenere un limite finito, la limitatezza.
Indice
- Richiamo sulle successioni monotone
- Teorema del limite di una successione monotona
- Caso di una successione crescente
- Caso di una successione decrescente
- Successioni monotone e limitate
- Esempi
Richiamo sulle successioni monotone
Assumiamo che le successioni siano indicizzate dai numeri naturali positivi, cioè \(n\in\mathbb{N}\) con \(\mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}\).
Una successione reale \((a_n)\) si dice crescente se
\[ a_n\leq a_{n+1} \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\). In altre parole, ogni termine è minore o uguale al termine successivo.
Una successione reale \((a_n)\) si dice invece decrescente se
\[ a_n\geq a_{n+1} \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\). In questo caso ogni termine è maggiore o uguale al termine successivo.
In entrambi i casi stiamo usando la monotonia in senso debole: una successione crescente può avere termini consecutivi uguali, così come una successione decrescente può avere termini consecutivi uguali.
Con questa terminologia, una successione crescente è anche detta non decrescente, mentre una successione decrescente è anche detta non crescente. Quando le disuguaglianze sono strette, si parla invece di successioni strettamente crescenti o strettamente decrescenti.
Una successione si dice monotona se è crescente oppure decrescente.
La monotonia descrive quindi l'andamento ordinato dei termini della successione. Tuttavia, da sola, non dice se il limite sia finito oppure infinito. Per esempio, una successione crescente può convergere a un numero reale oppure divergere a \(+\infty\).
Teorema del limite di una successione monotona
Sia \((a_n)\) una successione reale monotona.
Se \((a_n)\) è crescente, allora
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=\sup\{a_n:n\in\mathbb{N}\}, \]
dove l'estremo superiore è inteso in senso esteso e può essere un numero reale oppure \(+\infty\).
Se \((a_n)\) è decrescente, allora
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=\inf\{a_n:n\in\mathbb{N}\}, \]
dove l'estremo inferiore è inteso in senso esteso e può essere un numero reale oppure \(-\infty\).
In forma sintetica:
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n = \begin{cases} \sup\{a_n:n\in\mathbb{N}\}, & \text{se } (a_n) \text{ è crescente},\\[4pt] \inf\{a_n:n\in\mathbb{N}\}, & \text{se } (a_n) \text{ è decrescente}. \end{cases} \]
Questo significa che una successione monotona non può essere irregolare: il suo limite esiste sempre, eventualmente come limite infinito.
Poiché il limite di una successione, quando esiste, è unico, questo valore identifica completamente il comportamento limite della successione monotona.
Per esempio, la successione \(a_n=(-1)^n\) è irregolare, ma non è monotona. La monotonia è quindi una condizione forte: impedisce oscillazioni persistenti tra valori diversi.
Caso di una successione crescente
Supponiamo che \((a_n)\) sia una successione crescente. Distinguiamo due casi: la successione può essere superiormente limitata oppure non superiormente limitata.
Successione crescente e superiormente limitata
Supponiamo che \((a_n)\) sia crescente e superiormente limitata. Allora l'insieme dei suoi valori
\[ \{a_n:n\in\mathbb{N}\} \]
è non vuoto e superiormente limitato. Per la proprietà di completezza dei numeri reali, esiste il suo estremo superiore. Poniamo
\[ S=\sup\{a_n:n\in\mathbb{N}\}. \]
Vogliamo dimostrare che
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=S. \]
Per definizione di estremo superiore, \(S\) è un maggiorante dell'insieme \(\{a_n:n\in\mathbb{N}\}\). Quindi
\[ a_n\leq S \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\).
Inoltre, sempre per la definizione di estremo superiore, per ogni \(\varepsilon>0\) il numero \(S-\varepsilon\) non è un maggiorante dell'insieme. Di conseguenza esiste un indice \(k\in\mathbb{N}\) tale che
\[ S-\varepsilon<a_k. \]
Poiché la successione è crescente, per ogni \(n\geq k\) si ha
\[ a_k\leq a_n. \]
Quindi, per ogni \(n\geq k\),
\[ S-\varepsilon<a_k\leq a_n\leq S. \]
Da questa catena di disuguaglianze segue che
\[ 0\leq S-a_n<\varepsilon. \]
Pertanto
\[ |a_n-S|<\varepsilon \]
per ogni \(n\geq k\). Per definizione di limite,
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=S. \]
Quindi una successione crescente e superiormente limitata converge al suo estremo superiore.
Successione crescente non superiormente limitata
Supponiamo ora che \((a_n)\) sia crescente e non superiormente limitata. Vogliamo dimostrare che
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=+\infty. \]
Poiché la successione non è superiormente limitata, per ogni \(M>0\) esiste un indice \(\nu\in\mathbb{N}\) tale che
\[ a_\nu>M. \]
Poiché \((a_n)\) è crescente, per ogni \(n\geq \nu\) si ha
\[ a_n\geq a_\nu>M. \]
Dunque, per ogni \(M>0\), esiste \(\nu\in\mathbb{N}\) tale che, per ogni \(n\geq\nu\),
\[ a_n>M. \]
Per definizione di divergenza a \(+\infty\),
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=+\infty. \]
Quindi una successione crescente non superiormente limitata diverge a \(+\infty\).
Caso di una successione decrescente
Supponiamo che \((a_n)\) sia una successione decrescente. Anche in questo caso distinguiamo due possibilità: la successione può essere inferiormente limitata oppure non inferiormente limitata.
Successione decrescente e inferiormente limitata
Supponiamo che \((a_n)\) sia decrescente e inferiormente limitata. Allora l'insieme dei suoi valori
\[ \{a_n:n\in\mathbb{N}\} \]
è non vuoto e inferiormente limitato. Per la proprietà di completezza dei numeri reali, esiste il suo estremo inferiore. Poniamo
\[ L=\inf\{a_n:n\in\mathbb{N}\}. \]
Vogliamo dimostrare che
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=L. \]
Per definizione di estremo inferiore, \(L\) è un minorante dell'insieme \(\{a_n:n\in\mathbb{N}\}\). Quindi
\[ L\leq a_n \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\).
Inoltre, per la definizione di estremo inferiore, per ogni \(\varepsilon>0\) il numero \(L+\varepsilon\) non è un minorante dell'insieme. Di conseguenza esiste un indice \(k\in\mathbb{N}\) tale che
\[ a_k<L+\varepsilon. \]
Poiché la successione è decrescente, per ogni \(n\geq k\) si ha
\[ a_n\leq a_k. \]
Quindi, per ogni \(n\geq k\),
\[ L\leq a_n\leq a_k<L+\varepsilon. \]
Da questa catena di disuguaglianze segue che
\[ 0\leq a_n-L<\varepsilon. \]
Pertanto
\[ |a_n-L|<\varepsilon \]
per ogni \(n\geq k\). Per definizione di limite,
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=L. \]
Quindi una successione decrescente e inferiormente limitata converge al suo estremo inferiore.
Successione decrescente non inferiormente limitata
Supponiamo ora che \((a_n)\) sia decrescente e non inferiormente limitata. Vogliamo dimostrare che
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=-\infty. \]
Poiché la successione non è inferiormente limitata, per ogni \(M>0\) esiste un indice \(\nu\in\mathbb{N}\) tale che
\[ a_\nu<-M. \]
Poiché \((a_n)\) è decrescente, per ogni \(n\geq \nu\) si ha
\[ a_n\leq a_\nu<-M. \]
Dunque, per ogni \(M>0\), esiste \(\nu\in\mathbb{N}\) tale che, per ogni \(n\geq\nu\),
\[ a_n<-M. \]
Per definizione di divergenza a \(-\infty\),
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=-\infty. \]
Quindi una successione decrescente non inferiormente limitata diverge a \(-\infty\).
Successioni monotone e limitate
Dal teorema precedente segue un criterio molto usato.
Se una successione è crescente e superiormente limitata, allora converge e il suo limite è il suo estremo superiore:
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=\sup\{a_n:n\in\mathbb{N}\}. \]
Se una successione è decrescente e inferiormente limitata, allora converge e il suo limite è il suo estremo inferiore:
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=\inf\{a_n:n\in\mathbb{N}\}. \]
In particolare, ogni successione reale monotona e limitata è convergente.
Questo criterio è spesso chiamato teorema di convergenza monotona per successioni. È utile perché permette di stabilire l'esistenza di un limite senza conoscere immediatamente il suo valore esplicito.
Esempi
Esempio 1. Consideriamo la successione
\[ a_n=1-\frac{1}{n}. \]
La successione è crescente, perché
\[ a_{n+1}=1-\frac{1}{n+1} \]
e, poiché
\[ \frac{1}{n+1}<\frac{1}{n}, \]
si ha
\[ 1-\frac{1}{n+1}>1-\frac{1}{n}. \]
Quindi
\[ a_{n+1}>a_n. \]
Inoltre, per ogni \(n\in\mathbb{N}\),
\[ a_n<1. \]
La successione è quindi crescente e superiormente limitata. Per il teorema del limite di una successione monotona, essa converge al suo estremo superiore.
In questo caso
\[ \sup\{a_n:n\in\mathbb{N}\}=1. \]
\[ 1-\frac{1}{n}<1 \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\). Inoltre, per ogni \(\varepsilon>0\), esiste \(n\in\mathbb{N}\) tale che
\[ 1-\varepsilon<1-\frac{1}{n}. \]
Questa disuguaglianza equivale a
\[ \frac{1}{n}<\varepsilon, \]
che è verificata per \(n\) sufficientemente grande. Quindi \(1\) è il minimo dei maggioranti.
Pertanto
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)=1. \]
Esempio 2. Consideriamo la successione
\[ b_n=\frac{1}{n}. \]
La successione è decrescente, perché
\[ \frac{1}{n+1}<\frac{1}{n} \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\). Inoltre è inferiormente limitata, perché
\[ b_n>0 \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\).
Dunque \((b_n)\) è decrescente e inferiormente limitata. Per il teorema del limite di una successione monotona, essa converge al suo estremo inferiore.
In questo caso
\[ \inf\{b_n:n\in\mathbb{N}\}=0. \]
Infatti, \(0\) è un minorante della successione, perché
\[ \frac{1}{n}>0 \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\). Inoltre, per ogni \(\varepsilon>0\), esiste \(n\in\mathbb{N}\) tale che
\[ \frac{1}{n}<\varepsilon. \]
Quindi i termini della successione diventano arbitrariamente vicini a \(0\) da destra. Di conseguenza \(0\) è il massimo dei minoranti.
Pertanto
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0. \]
Esempio 3. Consideriamo la successione
\[ c_n=n. \]
La successione è crescente, ma non è superiormente limitata. Infatti, per ogni \(M>0\), esiste \(n\in\mathbb{N}\) tale che
\[ n>M. \]
Quindi, per il teorema del limite di una successione monotona,
\[ \lim_{n\to+\infty}n=+\infty. \]
Esempio 4. Consideriamo la successione
\[ d_n=-n. \]
La successione è decrescente e non è inferiormente limitata. Infatti, per ogni \(M>0\), esiste \(n\in\mathbb{N}\) tale che
\[ -n<-M. \]
Quindi, per il teorema del limite di una successione monotona,
\[ \lim_{n\to+\infty}(-n)=-\infty. \]
Questi esempi mostrano che la monotonia garantisce sempre l'esistenza del limite, ma non garantisce che il limite sia finito. Per ottenere la convergenza a un numero reale, occorre anche la limitatezza opportuna: superiormente per le successioni crescenti, inferiormente per le successioni decrescenti.
Il teorema dipende in modo essenziale dalla completezza dei numeri reali. Infatti, in \(\mathbb{Q}\) una successione monotona e limitata può non convergere a un numero razionale. Per esempio, la successione delle approssimazioni decimali finite di \(\sqrt{2}\),
\[ 1,\ 1.4,\ 1.41,\ 1.414,\ 1.4142,\ \ldots \]
è crescente e limitata in \(\mathbb{Q}\), ma non converge in \(\mathbb{Q}\), perché il suo limite in \(\mathbb{R}\) è \(\sqrt{2}\), che non è razionale.