Questa raccolta propone 20 esercizi svolti sui limiti destro e sinistro, disposti secondo una difficoltà progressiva. I primi esercizi riguardano il calcolo dei limiti destro e sinistro più immediati; successivamente vengono affrontate le definizioni formali, le funzioni definite a tratti, i limiti destro e sinistro infiniti, il ruolo del dominio e la continuità da destra e da sinistra.
In ogni svolgimento viene indicato esplicitamente da quale lato ci si avvicina al punto, quale espressione della funzione deve essere utilizzata e perché il limite ottenuto conduce, oppure non conduce, all'esistenza del limite senza restrizioni laterali.
Esercizio 1 — livello ★☆☆☆☆
Calcolare il seguente limite destro:
\[ \lim_{x\to 2^+}(3x-1). \]
Risultato
\[ \lim_{x\to 2^+}(3x-1)=5. \]
Svolgimento
La scrittura \(x\to 2^+\) indica che \(x\) si avvicina a \(2\) assumendo soltanto valori maggiori di \(2\).
La funzione
\[ f(x)=3x-1 \]
è una funzione affine e non presenta alcuna irregolarità nel punto \(x=2\). Possiamo quindi calcolare il limite sostituendo direttamente \(x=2\):
\[ 3\cdot 2-1=6-1=5. \]
Pertanto
\[ \lim_{x\to 2^+}(3x-1)=5. \]
Il fatto che l'avvicinamento avvenga da destra non modifica il risultato, perché la stessa espressione \(3x-1\) è definita e si comporta regolarmente sia a destra sia a sinistra di \(2\).
Esercizio 2 — livello ★☆☆☆☆
Calcolare il seguente limite sinistro:
\[ \lim_{x\to -1^-}(x^2+2x). \]
Risultato
\[ \lim_{x\to -1^-}(x^2+2x)=-1. \]
Svolgimento
La notazione \(x\to -1^-\) significa che \(x\) si avvicina a \(-1\) attraverso valori minori di \(-1\).
La funzione
\[ f(x)=x^2+2x \]
è un polinomio e può essere valutata direttamente nel punto \(x=-1\). Otteniamo:
\[ (-1)^2+2(-1)=1-2=-1. \]
Di conseguenza,
\[ \lim_{x\to -1^-}(x^2+2x)=-1. \]
Anche in questo caso il lato di avvicinamento non cambia il valore del limite, poiché il polinomio è definito mediante la stessa espressione in un intero intorno di \(-1\).
Esercizio 3 — livello ★★☆☆☆
Dimostrare mediante la definizione \(\varepsilon\)-\(\delta\) che
\[ \lim_{x\to 2^+}(3x-1)=5. \]
Risultato
La definizione è verificata scegliendo
\[ \delta=\frac{\varepsilon}{3}. \]
Svolgimento
Dobbiamo dimostrare che, per ogni \(\varepsilon>0\), esiste un \(\delta>0\) tale che
\[ 2<x<2+\delta \implies |(3x-1)-5|<\varepsilon. \]
Partiamo dall'espressione che deve essere resa minore di \(\varepsilon\):
\[ |(3x-1)-5|. \]
Semplificando all'interno del valore assoluto, otteniamo
\[ |3x-6|=|3(x-2)|=3|x-2|. \]
Vogliamo quindi che
\[ 3|x-2|<\varepsilon. \]
È sufficiente imporre
\[ |x-2|<\frac{\varepsilon}{3}. \]
Scegliamo pertanto
\[ \delta=\frac{\varepsilon}{3}. \]
Se \(2<x<2+\delta\), allora
\[ 0<x-2<\delta, \]
e quindi
\[ |x-2|<\delta. \]
Ne segue che
\[ |(3x-1)-5| =3|x-2| <3\delta =3\cdot\frac{\varepsilon}{3} =\varepsilon. \]
La definizione di limite destro è dunque soddisfatta e possiamo concludere che
\[ \lim_{x\to 2^+}(3x-1)=5. \]
Esercizio 4 — livello ★★☆☆☆
Dimostrare mediante la definizione \(\varepsilon\)-\(\delta\) che
\[ \lim_{x\to 1^-}x^2=1. \]
Risultato
La definizione è verificata scegliendo
\[ \delta=\min\left\{1,\frac{\varepsilon}{2}\right\}. \]
Svolgimento
Dobbiamo dimostrare che, per ogni \(\varepsilon>0\), esiste un \(\delta>0\) tale che
\[ 1-\delta<x<1 \implies |x^2-1|<\varepsilon. \]
Scomponiamo la differenza di quadrati:
\[ |x^2-1|=|(x-1)(x+1)|=|x-1||x+1|. \]
Il fattore \(|x-1|\) può essere controllato direttamente mediante \(\delta\). Dobbiamo invece trovare una semplice maggiorazione per \(|x+1|\).
Imponiamo anzitutto \(\delta\le 1\). Dalla condizione
\[ 1-\delta<x<1 \]
segue allora
\[ 0<x<1. \]
Pertanto
\[ 1<x+1<2, \]
e in particolare
\[ |x+1|<2. \]
Di conseguenza,
\[ |x^2-1|=|x-1||x+1|<2|x-1|. \]
Per rendere quest'ultima quantità minore di \(\varepsilon\), è sufficiente richiedere
\[ |x-1|<\frac{\varepsilon}{2}. \]
Possiamo quindi scegliere
\[ \delta=\min\left\{1,\frac{\varepsilon}{2}\right\}. \]
Se \(1-\delta<x<1\), allora \(|x-1|<\delta\), perciò
\[ |x^2-1| <2|x-1| <2\delta \le\varepsilon. \]
È quindi verificata la definizione di limite sinistro:
\[ \lim_{x\to 1^-}x^2=1. \]
Esercizio 5 — livello ★★☆☆☆
Determinare il limite destro della funzione
\[ f(x)=\sqrt{x} \]
nel punto \(x_0=0\). Stabilire inoltre se il limite sinistro abbia senso.
Risultato
\[ \lim_{x\to 0^+}\sqrt{x}=0. \]
Il limite sinistro in \(0\) non ha senso nel dominio reale della funzione.
Svolgimento
La funzione
\[ f(x)=\sqrt{x} \]
è definita, nell'insieme dei numeri reali, soltanto quando
\[ x\ge 0. \]
Il suo dominio è quindi
\[ D=[0,+\infty). \]
Esistono punti del dominio arbitrariamente vicini a \(0\) e maggiori di \(0\). Il limite destro ha dunque senso.
Quando \(x\) si avvicina a \(0\) da destra, anche \(\sqrt{x}\) si avvicina a \(0\). Pertanto
\[ \lim_{x\to 0^+}\sqrt{x}=0. \]
Non esistono invece punti del dominio minori di \(0\) e arbitrariamente vicini a \(0\). Per questa ragione il limite sinistro
\[ \lim_{x\to 0^-}\sqrt{x} \]
non ha senso come limite reale della funzione assegnata.
Esercizio 6 — livello ★★☆☆☆
Determinare il limite sinistro della funzione
\[ f(x)=\sqrt{4-x} \]
nel punto \(x_0=4\). Stabilire inoltre se il limite destro abbia senso.
Risultato
\[ \lim_{x\to 4^-}\sqrt{4-x}=0. \]
Il limite destro in \(4\) non ha senso nel dominio reale della funzione.
Svolgimento
Affinché la radice quadrata sia definita, il suo argomento deve essere non negativo:
\[ 4-x\ge 0. \]
Risolvendo questa disequazione, otteniamo
\[ x\le 4. \]
Il dominio della funzione è quindi
\[ D=(-\infty,4]. \]
Esistono punti del dominio arbitrariamente vicini a \(4\) e minori di \(4\). Possiamo dunque calcolare il limite sinistro.
Quando \(x\to 4^-\), la quantità \(4-x\) è positiva e tende a \(0\). Di conseguenza,
\[ \sqrt{4-x}\to 0. \]
Pertanto
\[ \lim_{x\to 4^-}\sqrt{4-x}=0. \]
Non esistono invece punti del dominio maggiori di \(4\). Il limite destro in \(4\) non ha quindi senso rispetto al dominio della funzione.
Esercizio 7 — livello ★★☆☆☆
Calcolare i due limiti laterali e stabilire se esiste il limite senza restrizioni laterali:
\[ \lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}. \]
Risultato
\[ \lim_{x\to 1^-}\frac{x^2-1}{x-1} = \lim_{x\to 1^+}\frac{x^2-1}{x-1} =2. \]
Pertanto
\[ \lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}=2. \]
Svolgimento
Sostituendo direttamente \(x=1\), si ottiene
\[ \frac{1^2-1}{1-1}=\frac{0}{0}, \]
che è una forma indeterminata. Dobbiamo quindi trasformare l'espressione.
Il numeratore è una differenza di quadrati:
\[ x^2-1=(x-1)(x+1). \]
Per ogni \(x\neq 1\), possiamo semplificare il fattore \(x-1\):
\[ \frac{x^2-1}{x-1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1. \]
Nel calcolo di un limite per \(x\to 1\), si considerano valori di \(x\) vicini a \(1\), ma distinti da \(1\). La semplificazione è quindi valida sia a sinistra sia a destra del punto.
Per il limite sinistro:
\[ \lim_{x\to 1^-}\frac{x^2-1}{x-1} = \lim_{x\to 1^-}(x+1) =2. \]
Per il limite destro:
\[ \lim_{x\to 1^+}\frac{x^2-1}{x-1} = \lim_{x\to 1^+}(x+1) =2. \]
I due limiti laterali esistono e coincidono. Di conseguenza,
\[ \lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}=2. \]
Esercizio 8 — livello ★★☆☆☆
Considerare la funzione
\[ f(x)= \begin{cases} x+2, & x<1,\\ 5, & x=1,\\ 3x, & x>1. \end{cases} \]
Calcolare i limiti laterali in \(x_0=1\), stabilire se esiste il limite per \(x\to 1\) e verificare se la funzione è continua in \(1\).
Risultato
\[ \lim_{x\to 1^-}f(x)=3, \qquad \lim_{x\to 1^+}f(x)=3. \]
Pertanto
\[ \lim_{x\to 1}f(x)=3. \]
La funzione non è continua in \(1\), perché \(f(1)=5\neq 3\).
Svolgimento
La funzione è definita mediante espressioni diverse a sinistra di \(1\), nel punto \(1\) e a destra di \(1\).
Per calcolare il limite sinistro dobbiamo utilizzare il tratto valido per \(x<1\):
\[ f(x)=x+2. \]
Pertanto
\[ \lim_{x\to 1^-}f(x) = \lim_{x\to 1^-}(x+2) = 1+2 = 3. \]
Per calcolare il limite destro dobbiamo invece utilizzare il tratto valido per \(x>1\):
\[ f(x)=3x. \]
Otteniamo quindi
\[ \lim_{x\to 1^+}f(x) = \lim_{x\to 1^+}3x = 3. \]
I due limiti laterali esistono e sono uguali. Esiste dunque il limite senza restrizioni laterali:
\[ \lim_{x\to 1}f(x)=3. \]
Per verificare la continuità dobbiamo confrontare il limite con il valore della funzione nel punto. Dalla definizione a tratti risulta
\[ f(1)=5. \]
Poiché
\[ \lim_{x\to 1}f(x)=3\neq 5=f(1), \]
la funzione non è continua in \(1\).
Questo esempio mostra che il limite può esistere anche quando il valore assegnato alla funzione nel punto è diverso dal limite.
Esercizio 9 — livello ★★☆☆☆
Considerare la funzione
\[ f(x)= \begin{cases} 2x+1, & x<0,\\ x^2+2, & x\ge 0. \end{cases} \]
Calcolare i limiti laterali in \(0\), stabilire se esiste il limite per \(x\to 0\) e determinare se la funzione è continua da destra o da sinistra.
Risultato
\[ \lim_{x\to 0^-}f(x)=1, \qquad \lim_{x\to 0^+}f(x)=2. \]
Il limite per \(x\to 0\) non esiste. La funzione è continua da destra, ma non da sinistra.
Svolgimento
Per il limite sinistro dobbiamo usare il tratto valido quando \(x<0\):
\[ f(x)=2x+1. \]
Pertanto
\[ \lim_{x\to 0^-}f(x) = \lim_{x\to 0^-}(2x+1) = 1. \]
Per il limite destro dobbiamo usare il tratto valido quando \(x\ge 0\). Nel calcolo del limite destro si considerano valori \(x>0\), quindi l'espressione da utilizzare è
\[ f(x)=x^2+2. \]
Ne segue che
\[ \lim_{x\to 0^+}f(x) = \lim_{x\to 0^+}(x^2+2) = 2. \]
I due limiti laterali sono diversi:
\[ 1\neq 2. \]
Di conseguenza, il limite per \(x\to 0\) non esiste.
Calcoliamo ora il valore della funzione nel punto. Poiché il secondo tratto comprende \(x=0\),
\[ f(0)=0^2+2=2. \]
Il limite destro coincide con il valore della funzione:
\[ \lim_{x\to 0^+}f(x)=2=f(0). \]
La funzione è quindi continua da destra in \(0\).
Il limite sinistro vale invece \(1\), perciò
\[ \lim_{x\to 0^-}f(x)\neq f(0). \]
La funzione non è continua da sinistra.
Esercizio 10 — livello ★★★☆☆
Calcolare i limiti laterali della funzione
\[ f(x)=\frac{x}{|x|} \]
nel punto \(x_0=0\) e stabilire se esiste il limite per \(x\to 0\).
Risultato
\[ \lim_{x\to 0^-}\frac{x}{|x|}=-1, \qquad \lim_{x\to 0^+}\frac{x}{|x|}=1. \]
Il limite per \(x\to 0\) non esiste.
Svolgimento
Il comportamento del valore assoluto dipende dal segno di \(x\).
Quando \(x<0\), vale
\[ |x|=-x. \]
Pertanto, per \(x<0\),
\[ \frac{x}{|x|} = \frac{x}{-x} = -1. \]
Di conseguenza,
\[ \lim_{x\to 0^-}\frac{x}{|x|}=-1. \]
Quando invece \(x>0\), vale
\[ |x|=x. \]
Pertanto
\[ \frac{x}{|x|} = \frac{x}{x} = 1. \]
Ne segue che
\[ \lim_{x\to 0^+}\frac{x}{|x|}=1. \]
Poiché
\[ -1\neq 1, \]
i due limiti laterali non coincidono. Il limite per \(x\to 0\) non esiste.
Esercizio 11 — livello ★★★☆☆
Calcolare i limiti laterali della funzione
\[ f(x)=\frac{1}{x-3} \]
nel punto \(x_0=3\).
Risultato
\[ \lim_{x\to 3^-}\frac{1}{x-3}=-\infty, \qquad \lim_{x\to 3^+}\frac{1}{x-3}=+\infty. \]
Il limite per \(x\to 3\) non esiste come limite unico.
Svolgimento
Quando \(x\to 3\), il denominatore \(x-3\) tende a \(0\). Per determinare il comportamento del quoziente è indispensabile studiare il segno del denominatore da ciascun lato.
Se \(x\to 3^-\), allora \(x<3\). Di conseguenza,
\[ x-3<0. \]
Il denominatore è negativo e il suo valore assoluto diventa sempre più piccolo. Il reciproco assume quindi valori negativi con valore assoluto sempre più grande:
\[ \lim_{x\to 3^-}\frac{1}{x-3}=-\infty. \]
Se invece \(x\to 3^+\), allora \(x>3\), perciò
\[ x-3>0. \]
Il denominatore è positivo e tende a \(0\). Il reciproco assume quindi valori positivi arbitrariamente grandi:
\[ \lim_{x\to 3^+}\frac{1}{x-3}=+\infty. \]
I due limiti laterali descrivono comportamenti opposti. Pertanto non esiste un unico limite per \(x\to 3\).
Esercizio 12 — livello ★★★☆☆
Calcolare i limiti laterali della funzione
\[ f(x)=-\frac{2}{x+1} \]
nel punto \(x_0=-1\).
Risultato
\[ \lim_{x\to -1^-}\left(-\frac{2}{x+1}\right)=+\infty, \qquad \lim_{x\to -1^+}\left(-\frac{2}{x+1}\right)=-\infty. \]
Svolgimento
Il numeratore è costantemente uguale a \(-2\). Il segno della funzione dipende quindi dal segno del denominatore \(x+1\).
Quando \(x\to -1^-\), si ha \(x<-1\), dunque
\[ x+1<0. \]
Il numeratore e il denominatore sono entrambi negativi, perciò il quoziente è positivo. Inoltre il denominatore tende a \(0\) attraverso valori negativi, quindi il valore del quoziente cresce senza limite:
\[ \lim_{x\to -1^-}\left(-\frac{2}{x+1}\right)=+\infty. \]
Quando invece \(x\to -1^+\), si ha \(x>-1\), quindi
\[ x+1>0. \]
Il numeratore è negativo e il denominatore è positivo. Il quoziente è dunque negativo. Poiché il denominatore tende a \(0\), il valore assoluto del quoziente cresce senza limite:
\[ \lim_{x\to -1^+}\left(-\frac{2}{x+1}\right)=-\infty. \]
Anche in questo caso i due comportamenti laterali sono incompatibili e il limite senza restrizioni laterali non esiste come limite unico.
Esercizio 13 — livello ★★★☆☆
Calcolare i limiti laterali e il limite senza restrizioni laterali:
\[ \lim_{x\to 2}\frac{1}{(x-2)^2}. \]
Risultato
\[ \lim_{x\to 2^-}\frac{1}{(x-2)^2} = \lim_{x\to 2^+}\frac{1}{(x-2)^2} =+\infty. \]
Pertanto
\[ \lim_{x\to 2}\frac{1}{(x-2)^2}=+\infty. \]
Svolgimento
Quando \(x\to 2\), la differenza \(x-2\) tende a \(0\).
Tuttavia il denominatore è il quadrato di questa differenza:
\[ (x-2)^2. \]
Per ogni \(x\neq 2\), il quadrato è strettamente positivo:
\[ (x-2)^2>0. \]
Se \(x\to 2^-\), la quantità \(x-2\) è negativa, ma il suo quadrato è positivo e tende a \(0\). Di conseguenza,
\[ \lim_{x\to 2^-}\frac{1}{(x-2)^2}=+\infty. \]
Se \(x\to 2^+\), la quantità \(x-2\) è positiva e il suo quadrato tende ancora a \(0\) attraverso valori positivi. Pertanto,
\[ \lim_{x\to 2^+}\frac{1}{(x-2)^2}=+\infty. \]
I due limiti laterali coincidono e sono entrambi uguali a \(+\infty\). Possiamo quindi scrivere
\[ \lim_{x\to 2}\frac{1}{(x-2)^2}=+\infty. \]
Esercizio 14 — livello ★★★★☆
Dimostrare mediante la definizione \(M\)-\(\delta\) che
\[ \lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x}=+\infty. \]
Risultato
La definizione è verificata scegliendo
\[ \delta=\frac{1}{M}. \]
Svolgimento
Per dimostrare che
\[ \lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x}=+\infty, \]
dobbiamo verificare che, per ogni \(M>0\), esista un \(\delta>0\) tale che
\[ 0<x<\delta \implies \frac{1}{x}>M. \]
Partiamo dalla disuguaglianza che vogliamo ottenere:
\[ \frac{1}{x}>M. \]
Poiché stiamo considerando \(x>0\) e \(M>0\), possiamo moltiplicare entrambi i membri per \(x\) senza cambiare il verso della disuguaglianza:
\[ 1>Mx. \]
Dividendo per \(M>0\), otteniamo
\[ x<\frac{1}{M}. \]
È quindi naturale scegliere
\[ \delta=\frac{1}{M}. \]
Se
\[ 0<x<\delta=\frac{1}{M}, \]
allora, passando ai reciproci di quantità positive, il verso della disuguaglianza si inverte:
\[ \frac{1}{x}>M. \]
La definizione di limite destro infinito è dunque verificata. Pertanto
\[ \lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x}=+\infty. \]
Esercizio 15 — livello ★★★☆☆
Data la funzione
\[ f(x)=\sqrt{2-x}, \]
stabilire quali limiti laterali abbiano senso nel punto \(x_0=2\) e calcolare quelli esistenti.
Risultato
\[ \lim_{x\to 2^-}\sqrt{2-x}=0. \]
Il limite destro in \(2\) non ha senso nel dominio reale della funzione.
Svolgimento
Per determinare il dominio imponiamo che l'argomento della radice sia non negativo:
\[ 2-x\ge 0. \]
Risolvendo, otteniamo
\[ x\le 2. \]
Il dominio è dunque
\[ D=(-\infty,2]. \]
Esistono punti del dominio arbitrariamente vicini a \(2\) e minori di \(2\). Il limite sinistro ha quindi senso.
Quando \(x\to 2^-\), la differenza \(2-x\) è positiva e tende a \(0\). Pertanto
\[ \lim_{x\to 2^-}\sqrt{2-x}=0. \]
Non esistono invece punti del dominio maggiori di \(2\). In particolare, non è possibile trovare valori \(x\in D\) tali che
\[ 2<x<2+\delta. \]
Il limite destro in \(2\) non ha quindi senso rispetto al dominio della funzione.
Esercizio 16 — livello ★★★☆☆
Sia
\[ f:[0,4]\to\mathbb{R},\qquad f(x)=x^2. \]
Verificare che \(f\) sia continua da destra in \(0\) e continua da sinistra in \(4\).
Risultato
\[ \lim_{x\to 0^+}f(x)=f(0)=0, \qquad \lim_{x\to 4^-}f(x)=f(4)=16. \]
Svolgimento
Il dominio della funzione è l'intervallo chiuso \([0,4]\).
Nel punto \(0\) esistono punti del dominio arbitrariamente vicini soltanto da destra. La condizione naturale di continuità rispetto al dominio è quindi la continuità da destra.
Calcoliamo:
\[ \lim_{x\to 0^+}f(x) = \lim_{x\to 0^+}x^2 = 0. \]
Il valore della funzione nel punto è
\[ f(0)=0^2=0. \]
Poiché
\[ \lim_{x\to 0^+}f(x)=f(0), \]
la funzione è continua da destra in \(0\).
Nel punto \(4\) esistono invece punti del dominio arbitrariamente vicini soltanto da sinistra. Calcoliamo:
\[ \lim_{x\to 4^-}f(x) = \lim_{x\to 4^-}x^2 = 16. \]
Inoltre
\[ f(4)=4^2=16. \]
Pertanto
\[ \lim_{x\to 4^-}f(x)=f(4), \]
e la funzione è continua da sinistra in \(4\).
Esercizio 17 — livello ★★★☆☆
Considerare la funzione
\[ f(x)= \begin{cases} 1, & x<0,\\ 2, & x=0,\\ x+2, & x>0. \end{cases} \]
Stabilire se la funzione è continua da destra o da sinistra nel punto \(x_0=0\).
Risultato
La funzione è continua da destra in \(0\), ma non è continua da sinistra.
Svolgimento
Il valore della funzione nel punto è assegnato direttamente:
\[ f(0)=2. \]
Per calcolare il limite sinistro dobbiamo utilizzare il tratto valido per \(x<0\):
\[ f(x)=1. \]
Pertanto
\[ \lim_{x\to 0^-}f(x)=1. \]
Poiché
\[ 1\neq 2=f(0), \]
la funzione non è continua da sinistra in \(0\).
Per il limite destro dobbiamo invece utilizzare il tratto valido per \(x>0\):
\[ f(x)=x+2. \]
Calcoliamo:
\[ \lim_{x\to 0^+}f(x) = \lim_{x\to 0^+}(x+2) = 2. \]
Il limite destro coincide con il valore della funzione:
\[ \lim_{x\to 0^+}f(x)=2=f(0). \]
La funzione è quindi continua da destra in \(0\).
Poiché il limite sinistro e il limite destro sono diversi, la funzione non è continua in \(0\).
Esercizio 18 — livello ★★★★☆
Determinare il valore del parametro reale \(a\) per il quale esiste il limite per \(x\to 2\) della funzione
\[ f_a(x)= \begin{cases} ax+1, & x<2,\\ x^2-a, & x>2. \end{cases} \]
Calcolare anche il valore del limite.
Risultato
Il limite esiste se e solo se
\[ a=1. \]
Per \(a=1\),
\[ \lim_{x\to 2}f_a(x)=3. \]
Svolgimento
Perché esista il limite per \(x\to 2\), il limite sinistro e il limite destro devono esistere e coincidere.
Per \(x<2\), la funzione è definita da
\[ f_a(x)=ax+1. \]
Il limite sinistro è quindi
\[ \lim_{x\to 2^-}f_a(x) = \lim_{x\to 2^-}(ax+1) = 2a+1. \]
Per \(x>2\), la funzione è definita da
\[ f_a(x)=x^2-a. \]
Il limite destro vale
\[ \lim_{x\to 2^+}f_a(x) = \lim_{x\to 2^+}(x^2-a) = 4-a. \]
Affinché i due limiti coincidano, deve essere
\[ 2a+1=4-a. \]
Risolviamo l'equazione:
\[ 2a+a=4-1, \]
quindi
\[ 3a=3 \]
e infine
\[ a=1. \]
Sostituendo \(a=1\) in uno dei due limiti laterali, otteniamo
\[ 2a+1=2\cdot 1+1=3. \]
Anche il limite destro vale
\[ 4-a=4-1=3. \]
Pertanto, per \(a=1\),
\[ \lim_{x\to 2}f_a(x)=3. \]
La funzione non è definita nel punto \(x=2\), ma ciò non impedisce l'esistenza del limite, perché il limite dipende dal comportamento della funzione nei punti vicini a \(2\), non dal valore assunto nel punto.
Esercizio 19 — livello ★★★★☆
Determinare tutti i valori dei parametri reali \(a\) e \(b\) per i quali la funzione
\[ f_{a,b}(x)= \begin{cases} ax+b, & x<1,\\ 5, & x=1,\\ 2x+3, & x>1 \end{cases} \]
è continua nel punto \(x_0=1\).
Risultato
La funzione è continua in \(1\) se e solo se
\[ a+b=5. \]
Equivalentemente,
\[ b=5-a. \]
Svolgimento
Perché la funzione sia continua in \(1\), devono essere soddisfatte entrambe le condizioni
\[ \lim_{x\to 1^-}f_{a,b}(x)=f_{a,b}(1) \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to 1^+}f_{a,b}(x)=f_{a,b}(1). \]
Il valore della funzione nel punto è
\[ f_{a,b}(1)=5. \]
A sinistra di \(1\), la funzione è definita da
\[ f_{a,b}(x)=ax+b. \]
Pertanto
\[ \lim_{x\to 1^-}f_{a,b}(x) = a\cdot 1+b = a+b. \]
Per la continuità da sinistra deve quindi essere
\[ a+b=5. \]
A destra di \(1\), la funzione è definita da
\[ f_{a,b}(x)=2x+3. \]
Il limite destro vale
\[ \lim_{x\to 1^+}f_{a,b}(x) = 2\cdot 1+3 = 5. \]
Il limite destro coincide automaticamente con il valore della funzione nel punto:
\[ \lim_{x\to 1^+}f_{a,b}(x)=5=f_{a,b}(1). \]
L'unica condizione da imporre sui parametri è quindi
\[ a+b=5. \]
Non esiste una sola coppia di parametri, ma infinite coppie. Scelto arbitrariamente \(a\in\mathbb{R}\), deve essere
\[ b=5-a. \]
Esercizio 20 — livello ★★★★★
Considerare la funzione
\[ f(x)= \begin{cases} x+1, & x<0,\\ 2, & x=0,\\ x^2+2, & 0<x<2,\\ 7, & x=2,\\ 5-x, & x>2. \end{cases} \]
Studiare completamente i limiti laterali e la continuità da destra e da sinistra nei punti \(x_0=0\) e \(x_0=2\).
Risultato
Nel punto \(x_0=0\):
\[ \lim_{x\to 0^-}f(x)=1, \qquad \lim_{x\to 0^+}f(x)=2. \]
Il limite per \(x\to 0\) non esiste. La funzione è continua da destra, ma non da sinistra.
Nel punto \(x_0=2\):
\[ \lim_{x\to 2^-}f(x)=6, \qquad \lim_{x\to 2^+}f(x)=3. \]
Il limite per \(x\to 2\) non esiste. La funzione non è continua né da sinistra né da destra.
Svolgimento
Iniziamo dallo studio del punto \(x_0=0\).
Per \(x<0\), la funzione è definita da
\[ f(x)=x+1. \]
Pertanto il limite sinistro vale
\[ \lim_{x\to 0^-}f(x) = \lim_{x\to 0^-}(x+1) = 1. \]
Per \(0<x<2\), la funzione è invece definita da
\[ f(x)=x^2+2. \]
Questa è l'espressione da utilizzare per il limite destro in \(0\):
\[ \lim_{x\to 0^+}f(x) = \lim_{x\to 0^+}(x^2+2) = 2. \]
I due limiti laterali sono diversi:
\[ 1\neq 2. \]
Di conseguenza, il limite per \(x\to 0\) non esiste.
Il valore della funzione nel punto è
\[ f(0)=2. \]
Confrontando il valore della funzione con i limiti laterali, osserviamo che
\[ \lim_{x\to 0^+}f(x)=2=f(0). \]
La funzione è quindi continua da destra in \(0\).
Al contrario,
\[ \lim_{x\to 0^-}f(x)=1\neq 2=f(0), \]
perciò la funzione non è continua da sinistra in \(0\).
Passiamo ora allo studio del punto \(x_0=2\).
Per i valori \(x<2\) sufficientemente vicini a \(2\), si ha \(0<x<2\), quindi la funzione è definita da
\[ f(x)=x^2+2. \]
Il limite sinistro è pertanto
\[ \lim_{x\to 2^-}f(x) = \lim_{x\to 2^-}(x^2+2) = 4+2 = 6. \]
Per \(x>2\), la funzione è definita da
\[ f(x)=5-x. \]
Il limite destro vale quindi
\[ \lim_{x\to 2^+}f(x) = \lim_{x\to 2^+}(5-x) = 5-2 = 3. \]
Anche in questo punto i due limiti laterali sono diversi:
\[ 6\neq 3. \]
Il limite per \(x\to 2\) non esiste.
Il valore della funzione nel punto è
\[ f(2)=7. \]
Per la continuità da sinistra sarebbe necessario che
\[ \lim_{x\to 2^-}f(x)=f(2). \]
Tuttavia
\[ 6\neq 7. \]
La funzione non è quindi continua da sinistra in \(2\).
Per la continuità da destra sarebbe invece necessario che
\[ \lim_{x\to 2^+}f(x)=f(2). \]
Ma
\[ 3\neq 7. \]
La funzione non è continua neppure da destra in \(2\).
Lo studio completo mostra quindi che la funzione è continua soltanto da destra nel punto \(0\), mentre non è continua da nessuno dei due lati nel punto \(2\).