Gli insiemi compatti sono una delle nozioni centrali dell'analisi matematica. Essi descrivono insiemi che, pur potendo contenere infiniti punti, conservano alcune proprietà tipiche degli insiemi finiti.
L'importanza della compattezza sta nel fatto che, sugli insiemi compatti, molte proprietà fondamentali diventano garantite: ogni successione di punti dell'insieme ammette una sottosuccessione convergente a un punto dell'insieme, le funzioni continue assumono massimo e minimo, e i ricoprimenti aperti possono essere ridotti a un numero finito di aperti.
In questa trattazione introdurremo la definizione di insieme compatto mediante i ricoprimenti aperti, ne chiariremo il significato intuitivo e analizzeremo i primi esempi fondamentali. Il legame tra compattezza, chiusura e limitatezza sarà poi precisato nel teorema di Heine-Borel.
Indice
- Idea intuitiva di insieme compatto
- Definizione di ricoprimento aperto
- Definizione di insieme compatto
- Significato della definizione
- Primi esempi di insiemi compatti
- Primi esempi di insiemi non compatti
- Compattezza e successioni
- Compattezza e funzioni continue
- Perché chiuso e limitato non è la definizione di compatto
- Riepilogo finale
Idea intuitiva di insieme compatto
L'idea intuitiva di compattezza è quella di un insieme che non presenta né fughe all'infinito né punti mancanti nei punti in cui l'insieme tende ad accumularsi.
Per esempio, l'intervallo
\[ [0,1] \]
è un insieme che appare, intuitivamente, ben controllato: è limitato, perché tutti i suoi punti stanno tra \(0\) e \(1\), ed è chiuso, perché contiene anche i suoi estremi.
Al contrario, l'intervallo
\[ (0,1) \]
non contiene gli estremi \(0\) e \(1\). Anche se i suoi punti restano tutti compresi tra \(0\) e \(1\), l'insieme presenta due punti di accumulazione mancanti. Infatti è possibile avvicinarsi indefinitamente a \(0\) o a \(1\) rimanendo dentro \((0,1)\), ma né \(0\) né \(1\) appartengono all'insieme.
Anche l'intervallo
\[ [0,+\infty) \]
non è compatto. In questo caso il problema non è la mancanza di estremi, ma la possibilità di allontanarsi indefinitamente verso \(+\infty\).
La compattezza formalizza precisamente questa idea di insieme privo di dispersioni: un insieme compatto è un insieme che, dal punto di vista dell'analisi, può essere controllato con un numero finito di dati.
Definizione di ricoprimento aperto
Prima di definire gli insiemi compatti, dobbiamo introdurre il concetto di ricoprimento aperto.
In questa trattazione, quando parleremo di aperti di \(\mathbb R\), intenderemo sempre gli aperti nel senso ordinario: per esempio gli intervalli aperti \((a,b)\) e le unioni di intervalli aperti.
Sia \(A\subseteq \mathbb R\). Una famiglia di insiemi aperti
\[ \{U_i\}_{i\in I} \]
si dice ricoprimento aperto di \(A\) se ogni punto di \(A\) appartiene ad almeno uno degli aperti della famiglia.
In simboli, la famiglia \(\{U_i\}_{i\in I}\) è un ricoprimento aperto di \(A\) se
\[ A\subseteq \bigcup_{i\in I} U_i. \]
L'insieme \(I\) è detto insieme degli indici e può essere finito oppure infinito.
Dire che \(\{U_i\}_{i\in I}\) ricopre \(A\) significa quindi dire che nessun punto di \(A\) rimane fuori dall'unione degli aperti \(U_i\).
Esempio di ricoprimento aperto
Consideriamo l'insieme
\[ A=[0,1]. \]
La famiglia di intervalli aperti
\[ U_n=\left(-\frac{1}{n},1+\frac{1}{n}\right), \qquad n\in\mathbb N,\ n\geq 1, \]
è un ricoprimento aperto di \(A\). Infatti, per ogni \(n\geq 1\), si ha
\[ [0,1]\subseteq \left(-\frac{1}{n},1+\frac{1}{n}\right). \]
In particolare,
\[ [0,1]\subseteq \bigcup_{n=1}^{+\infty} \left(-\frac{1}{n},1+\frac{1}{n}\right). \]
Quindi ogni punto dell'intervallo \([0,1]\) appartiene ad almeno uno degli aperti della famiglia.
Sottoricoprimento
Se \(\{U_i\}_{i\in I}\) è un ricoprimento aperto di \(A\), un sottoricoprimento è una sottofamiglia di aperti che continua a ricoprire \(A\).
Più precisamente, se \(J\subseteq I\), la famiglia
\[ \{U_j\}_{j\in J} \]
è un sottoricoprimento di \(A\) se
\[ A\subseteq \bigcup_{j\in J} U_j. \]
Un sottoricoprimento si dice finito se contiene soltanto un numero finito di aperti.
Definizione di insieme compatto
Possiamo ora dare la definizione fondamentale.
Un insieme \(K\subseteq \mathbb R\) si dice compatto se da ogni ricoprimento aperto di \(K\) è possibile estrarre un sottoricoprimento finito.
In altre parole, \(K\) è compatto se, ogni volta che una famiglia di aperti ricopre \(K\), allora esistono un numero finito di aperti della famiglia che bastano ancora a ricoprire tutto \(K\).
In simboli, \(K\subseteq \mathbb R\) è compatto se, per ogni famiglia di aperti \(\{U_i\}_{i\in I}\) tale che
\[ K\subseteq \bigcup_{i\in I} U_i, \]
esistono indici \(i_1,i_2,\ldots,i_m\in I\), con \(m\in\mathbb N\), tali che
\[ K\subseteq U_{i_1}\cup U_{i_2}\cup \cdots \cup U_{i_m}. \]
Questa è la definizione di compattezza mediante ricoprimenti aperti.
Osservazione importante
La definizione non dice che \(K\) può essere ricoperto da un numero finito di aperti scelti a piacere. Dice qualcosa di più sottile: qualunque sia il ricoprimento aperto assegnato, anche se formato da infiniti aperti, è sempre possibile selezionarne un numero finito che ricopra ancora tutto \(K\).
Dunque la compattezza è una proprietà globale dell'insieme \(K\), perché riguarda tutti i possibili ricoprimenti aperti di \(K\).
Significato della definizione
A prima vista, la definizione di compattezza può sembrare astratta. Il suo significato profondo è però molto concreto: un insieme compatto è un insieme che non richiede mai infinite informazioni essenziali per essere controllato mediante aperti.
Supponiamo di voler ricoprire un insieme \(K\) con una famiglia di aperti. Se \(K\) è compatto, allora anche quando il ricoprimento contiene infiniti aperti, soltanto un numero finito di essi è realmente necessario per coprire tutto \(K\).
Questo comportamento è simile a quello degli insiemi finiti. Infatti, se
\[ A=\{x_1,x_2,\ldots,x_m\}, \]
allora ogni ricoprimento aperto di \(A\) ammette sempre un sottoricoprimento finito. Basta scegliere, per ciascun punto \(x_j\), un aperto del ricoprimento che lo contiene.
La compattezza estende questa proprietà agli insiemi infiniti. Un compatto può contenere infiniti punti, ma continua ad avere un comportamento finito rispetto ai ricoprimenti aperti.
Perché la definizione usa gli aperti?
Gli aperti sono gli insiemi che descrivono gli intorni dei punti. Per questo motivo i ricoprimenti aperti permettono di studiare un insieme attraverso informazioni locali.
Dire che un insieme è compatto significa allora dire che, ogni volta che esso viene controllato localmente mediante aperti, questo controllo può essere ridotto a un controllo finito.
Questa idea è alla base di molti teoremi fondamentali dell'analisi. Per esempio, il fatto che una funzione continua su un insieme compatto assuma massimo e minimo dipende proprio dalla possibilità di passare da informazioni locali a un numero finito di informazioni globali.
Primi esempi di insiemi compatti
Vediamo alcuni esempi fondamentali. In questa fase useremo soprattutto l'intuizione geometrica della compattezza; la caratterizzazione completa degli insiemi compatti di \(\mathbb R\) sarà precisata nel teorema di Heine-Borel.
Intervalli chiusi e limitati
Gli intervalli del tipo
\[ [a,b], \qquad a,b\in\mathbb R,\ a\leq b, \]
sono i primi esempi fondamentali di insiemi compatti in \(\mathbb R\).
Essi sono limitati, perché tutti i loro punti sono compresi tra \(a\) e \(b\), e sono chiusi, perché contengono anche gli estremi \(a\) e \(b\).
Il fatto che ogni intervallo chiuso e limitato sia compatto è un risultato profondo dell'analisi reale. In questa trattazione lo useremo come esempio fondamentale; la caratterizzazione generale degli insiemi compatti di \(\mathbb R\) sarà invece precisata dal teorema di Heine-Borel.
Insiemi finiti
Ogni insieme finito di numeri reali è compatto.
Infatti, sia
\[ A=\{x_1,x_2,\ldots,x_m\}. \]
Consideriamo un qualunque ricoprimento aperto di \(A\):
\[ A\subseteq \bigcup_{i\in I} U_i. \]
Poiché il ricoprimento copre \(A\), per ogni punto \(x_j\in A\) esiste almeno un indice \(i_j\in I\) tale che
\[ x_j\in U_{i_j}. \]
Quindi gli aperti
\[ U_{i_1},U_{i_2},\ldots,U_{i_m} \]
ricoprono tutti i punti di \(A\). Pertanto
\[ A\subseteq U_{i_1}\cup U_{i_2}\cup\cdots\cup U_{i_m}. \]
Abbiamo quindi estratto un sottoricoprimento finito. Per definizione, \(A\) è compatto.
L'insieme formato da una successione convergente e dal suo limite
Un altro esempio importante è dato dall'insieme
\[ K=\left\{0\right\}\cup\left\{\frac{1}{n}:n\in\mathbb N,\ n\geq 1\right\}. \]
Questo insieme è infinito, ma è compatto.
Intuitivamente, i punti
\[ 1,\frac12,\frac13,\frac14,\ldots \]
si accumulano soltanto in \(0\), e il punto \(0\) appartiene all'insieme. Non ci sono quindi punti di accumulazione mancanti.
Inoltre l'insieme è limitato, perché tutti i suoi elementi appartengono all'intervallo \([0,1]\).
Vediamo direttamente perché questo insieme è compatto usando la definizione con i ricoprimenti aperti.
Sia \(\{U_i\}_{i\in I}\) un ricoprimento aperto di \(K\). Poiché \(0\in K\), esiste un aperto \(U_{i_0}\) del ricoprimento tale che
\[ 0\in U_{i_0}. \]
Poiché \(U_{i_0}\) è aperto, esiste \(r>0\) tale che
\[ (-r,r)\subseteq U_{i_0}. \]
Siccome
\[ \frac1n\to 0, \]
esiste \(N\in\mathbb N\) tale che, per ogni \(n\geq N\),
\[ \frac1n\in (-r,r)\subseteq U_{i_0}. \]
Dunque l'aperto \(U_{i_0}\) ricopre \(0\) e tutti i punti \(\displaystyle \frac1n\) da un certo indice in poi.
Rimangono soltanto un numero finito di punti:
\[ 1,\frac12,\ldots,\frac{1}{N-1}. \]
Per ciascuno di questi punti scegliamo un aperto del ricoprimento che lo contiene. In questo modo otteniamo un numero finito di aperti che, insieme a \(U_{i_0}\), ricoprono tutto \(K\).
Quindi ogni ricoprimento aperto di \(K\) ammette un sottoricoprimento finito. Pertanto \(K\) è compatto.
Primi esempi di insiemi non compatti
Per comprendere davvero la compattezza è importante osservare anche gli esempi di insiemi che non sono compatti. In generale, un insieme può non essere compatto perché è troppo grande, oppure perché ha punti di accumulazione che non appartengono all'insieme.
L'intervallo aperto \((0,1)\)
L'intervallo
\[ (0,1) \]
non è compatto.
Il motivo intuitivo è che l'insieme si avvicina agli estremi \(0\) e \(1\), ma non li contiene. In particolare, \(0\) e \(1\) sono punti di accumulazione dell'insieme, ma non appartengono a \((0,1)\).
Vediamo come questo difetto si manifesta nella definizione tramite ricoprimenti aperti.
Consideriamo la famiglia di aperti
\[ U_n=\left(\frac1n,1-\frac1n\right), \qquad n\in\mathbb N,\ n\geq 3. \]
La famiglia \(\{U_n\}_{n\geq 3}\) è un ricoprimento aperto di \((0,1)\). Infatti, se \(x\in(0,1)\), allora
\[ x>0 \qquad \text{e} \qquad 1-x>0. \]
Possiamo quindi scegliere \(n\) sufficientemente grande in modo che
\[ \frac1n<x \qquad \text{e} \qquad \frac1n<1-x. \]
Da queste disuguaglianze segue che
\[ \frac1n<x<1-\frac1n, \]
cioè
\[ x\in U_n. \]
Dunque
\[ (0,1)\subseteq \bigcup_{n=3}^{+\infty} \left(\frac1n,1-\frac1n\right). \]
Tuttavia questo ricoprimento non ammette alcun sottoricoprimento finito.
Infatti, scegliendo un numero finito di aperti della famiglia, esiste un indice massimo \(N\) tra quelli scelti. Poiché gli intervalli \(U_n\) crescono al crescere di \(n\), l'unione finita degli aperti scelti è contenuta in
\[ \left(\frac{1}{N},1-\frac{1}{N}\right). \]
Ma il punto
\[ \frac{1}{2N} \]
appartiene a \((0,1)\) e non appartiene a \(\left(\displaystyle \frac{1}{N},1-\displaystyle \frac{1}{N}\right)\). Quindi l'unione finita degli aperti scelti non ricopre tutto \((0,1)\).
Abbiamo quindi trovato un ricoprimento aperto di \((0,1)\) che non ammette alcun sottoricoprimento finito. Per definizione, \((0,1)\) non è compatto.
La semiretta \([0,+\infty)\)
Anche la semiretta
\[ [0,+\infty) \]
non è compatta.
In questo caso il problema non è la mancanza di un estremo sinistro, perché \(0\) appartiene all'insieme. Il problema è la mancanza di limitatezza: i punti dell'insieme possono allontanarsi indefinitamente verso \(+\infty\).
Consideriamo la famiglia di aperti
\[ U_n=(-1,n), \qquad n\in\mathbb N,\ n\geq 1. \]
Essa è un ricoprimento aperto di \([0,+\infty)\). Infatti, se \(x\in[0,+\infty)\), basta scegliere un intero \(n>x\), e allora
\[ x\in (-1,n)=U_n. \]
Quindi
\[ [0,+\infty)\subseteq \bigcup_{n=1}^{+\infty} (-1,n). \]
Tuttavia non esiste alcun sottoricoprimento finito. Se scegliamo soltanto un numero finito di questi aperti, esiste un indice massimo \(N\), e l'unione finita è contenuta in
\[ (-1,N). \]
Ma il punto \(N+1\) appartiene a \([0,+\infty)\) e non appartiene a \((-1,N)\).
Dunque la famiglia \(\{(-1,n)\}_{n\geq 1}\) è un ricoprimento aperto di \([0,+\infty)\) privo di sottoricoprimenti finiti. Perciò \([0,+\infty)\) non è compatto.
L'insieme \(\left\{\displaystyle \frac1n:n\in\mathbb N,\ n\geq 1\right\}\)
Consideriamo ora l'insieme
\[ A=\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\geq 1\right\}. \]
Questo insieme non è compatto.
Infatti, i suoi punti si accumulano in \(0\), ma \(0\notin A\). L'insieme ha quindi un punto di accumulazione mancante.
Possiamo vedere il problema anche attraverso le successioni: la successione
\[ x_n=\frac1n \]
è interamente contenuta in \(A\), ma converge a \(0\), che non appartiene ad \(A\).
Questo mostra perché, per ottenere un insieme compatto, non basta considerare i punti \(\displaystyle \frac1n\): bisogna aggiungere anche il loro limite \(0\).
Infatti l'insieme
\[ \left\{0\right\}\cup \left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\geq 1\right\} \]
è compatto, come abbiamo visto nella sezione precedente.
Compattezza e successioni
La compattezza è strettamente collegata al comportamento delle successioni. In \(\mathbb R\), un insieme compatto può essere riconosciuto anche attraverso una proprietà sequenziale: ogni successione di suoi punti ammette una sottosuccessione convergente il cui limite appartiene ancora all'insieme.
Questa proprietà esprime in forma sequenziale l'idea che, dentro un compatto, non è possibile né fuggire all'infinito né convergere verso un punto di accumulazione mancante.
Caratterizzazione sequenziale della compattezza
Un insieme \(K\subseteq\mathbb R\) è compatto se e solo se ogni successione \((x_n)\) di punti di \(K\) ammette una sottosuccessione \((x_{n_k})\) convergente a un punto \(x\in K\).
In simboli:
\[ K \text{ è compatto} \quad \Longleftrightarrow \quad \forall (x_n)\subseteq K,\ \exists (x_{n_k}) \text{ tale che } x_{n_k}\to x\in K. \]
Questo risultato permette di interpretare la compattezza in modo molto concreto: qualunque successione si scelga all'interno di \(K\), è sempre possibile estrarre una sottosuccessione che converge senza uscire dall'insieme.
Successioni che fuggono all'infinito
Consideriamo la semiretta
\[ [0,+\infty). \]
La successione
\[ x_n=n \]
è interamente contenuta in \([0,+\infty)\), ma non ammette alcuna sottosuccessione convergente in \(\mathbb R\), perché ogni sua sottosuccessione tende a \(+\infty\).
Questo mostra, dal punto di vista sequenziale, perché \([0,+\infty)\) non è compatto.
Successioni che convergono verso un punto mancante
Consideriamo l'intervallo aperto
\[ (0,1). \]
La successione
\[ x_n=\frac1n \]
è contenuta in \((0,1)\) per ogni \(n\geq 2\), ma converge a \(0\), che non appartiene a \((0,1)\).
Ogni sottosuccessione di \(\left(\displaystyle \frac1n\right)\) converge ancora a \(0\). Dunque non esiste alcuna sottosuccessione convergente a un punto di \((0,1)\).
Questo mostra che \((0,1)\) non è compatto perché possiede un punto di accumulazione mancante.
Successioni in un insieme compatto
Consideriamo invece l'insieme
\[ K=\left\{0\right\}\cup\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\geq 1\right\}. \]
Ogni successione di punti di \(K\) ammette una sottosuccessione convergente a un punto di \(K\).
Infatti, data una successione \((x_n)\subseteq K\), possono verificarsi due casi.
Se almeno uno dei punti di \(K\) compare infinite volte nella successione, allora si può estrarre una sottosuccessione costante. Ogni sottosuccessione costante converge al valore costante, che appartiene a \(K\).
Se invece nessun punto di \(K\) compare infinite volte, allora la successione deve assumere infiniti valori distinti dell'insieme. Poiché gli unici punti distinti di \(K\), oltre a \(0\), sono della forma \(\displaystyle \frac1n\), possiamo estrarre una sottosuccessione del tipo
\[ \frac{1}{n_k}, \qquad n_k\to+\infty. \]
Pertanto
\[ \frac{1}{n_k}\to 0. \]
Poiché \(0\in K\), anche in questo caso il limite della sottosuccessione appartiene a \(K\).
Questo esempio mostra il ruolo essenziale del punto \(0\): aggiungere il limite della successione \(\displaystyle \frac1n\) trasforma un insieme non compatto in un insieme compatto.
Compattezza e funzioni continue
Uno dei motivi principali per cui gli insiemi compatti sono così importanti è il loro comportamento rispetto alle funzioni continue.
Su un insieme compatto, una funzione continua non può oscillare in modo incontrollato, non può crescere indefinitamente e non può avvicinarsi a un estremo senza raggiungerlo.
Immagine continua di un compatto
Se \(K\subseteq\mathbb R\) è compatto e \(f:K\to\mathbb R\) è continua, allora l'immagine
\[ f(K)=\{f(x):x\in K\} \]
è un insieme compatto di \(\mathbb R\).
Questo significa che la compattezza viene conservata dalle funzioni continue.
L'idea è la seguente: se una funzione è continua, allora il controllo locale dei valori di \(f\) può essere ricondotto al controllo locale dei punti del dominio. Poiché il dominio compatto permette di ridurre ogni controllo aperto a un numero finito di informazioni, anche l'immagine mantiene una proprietà di compattezza.
Esistenza di massimo e minimo
Una conseguenza fondamentale è il teorema di Weierstrass.
Se \(K\subseteq\mathbb R\) è compatto e \(f:K\to\mathbb R\) è continua, allora \(f\) assume massimo e minimo assoluti su \(K\).
Cioè esistono \(x_m,x_M\in K\) tali che
\[ f(x_m)\leq f(x)\leq f(x_M) \qquad \text{per ogni } x\in K. \]
In questo caso \(f(x_m)\) è il minimo assoluto di \(f\) su \(K\), mentre \(f(x_M)\) è il massimo assoluto di \(f\) su \(K\).
La compattezza del dominio è essenziale. Senza compattezza, una funzione continua può non avere massimo, minimo, oppure entrambi.
Perché la compattezza è necessaria?
Consideriamo la funzione
\[ f(x)=x \]
definita sull'intervallo aperto \((0,1)\).
La funzione è continua, ma non assume né minimo né massimo su \((0,1)\). Infatti i valori di \(f\) si avvicinano arbitrariamente a \(0\) e a \(1\), ma né \(0\) né \(1\) sono valori assunti dalla funzione sul dominio.
Più precisamente,
\[ f((0,1))=(0,1). \]
L'immagine non contiene né il proprio estremo inferiore \(0\) né il proprio estremo superiore \(1\).
Consideriamo invece la stessa funzione sull'intervallo compatto \([0,1]\). In questo caso
\[ f([0,1])=[0,1], \]
e la funzione assume minimo in \(0\) e massimo in \(1\).
Questo esempio mostra che la compattezza impedisce agli estremi di rimanere soltanto valori-limite non raggiunti.
Perché chiuso e limitato non è la definizione di compatto
In \(\mathbb R\) gli insiemi compatti sono profondamente legati agli insiemi chiusi e limitati. Tuttavia è importante non confondere una caratterizzazione con la definizione.
La definizione di insieme compatto è quella basata sui ricoprimenti aperti:
\[ K \text{ è compatto} \quad \Longleftrightarrow \quad \text{ogni ricoprimento aperto di } K \text{ ammette un sottoricoprimento finito.} \]
Il fatto che, nella retta reale, gli insiemi compatti coincidano con gli insiemi chiusi e limitati è un risultato fondamentale, non una definizione.
Questo risultato sarà studiato nel teorema di Heine-Borel, che fornisce una delle caratterizzazioni più importanti della compattezza in \(\mathbb R\).
Perché questa distinzione è importante?
La distinzione è importante perché la compattezza nasce come proprietà dei ricoprimenti aperti, quindi riguarda il modo in cui un insieme può essere ricoperto mediante aperti.
La limitatezza, invece, dipende dalla distanza e dall'ordine della retta reale. In altri contesti matematici, la relazione tra compattezza, chiusura e limitatezza può cambiare.
Per questo motivo è più corretto dire che in \(\mathbb R\) la compattezza può essere caratterizzata mediante chiusura e limitatezza, ma la sua definizione generale resta quella tramite ricoprimenti aperti.
In sintesi, la compattezza viene definita mediante i ricoprimenti aperti, mentre il legame con chiusura e limitatezza è una caratterizzazione specifica della retta reale:
\[ \text{compattezza tramite ricoprimenti aperti} \qquad \text{definizione generale}; \]
\[ \text{compatto in } \mathbb R \quad \Longleftrightarrow \quad \text{chiuso e limitato} \qquad \text{caratterizzazione in } \mathbb R. \]
Questa distinzione è essenziale: la definizione introduce il concetto, mentre il teorema di Heine-Borel fornisce un criterio pratico per riconoscerlo nella retta reale.
Riepilogo finale
Un insieme compatto è un insieme che, rispetto ai ricoprimenti aperti, si comporta come un insieme finito: ogni ricoprimento aperto ammette un sottoricoprimento finito.
Formalmente, un insieme \(K\subseteq\mathbb R\) è compatto se, per ogni famiglia di aperti \(\{U_i\}_{i\in I}\) tale che
\[ K\subseteq \bigcup_{i\in I} U_i, \]
esistono \(i_1,\ldots,i_m\in I\) tali che
\[ K\subseteq U_{i_1}\cup\cdots\cup U_{i_m}. \]
Gli insiemi compatti escludono due fenomeni tipici degli insiemi non compatti: la fuga all'infinito e la convergenza verso punti di accumulazione mancanti.
Dal punto di vista delle successioni, un insieme compatto di \(\mathbb R\) è un insieme in cui ogni successione ammette una sottosuccessione convergente a un punto dell'insieme.
Dal punto di vista delle funzioni continue, la compattezza garantisce proprietà fondamentali: l'immagine continua di un compatto è compatta e ogni funzione continua reale definita su un compatto assume massimo e minimo assoluti.
Il legame preciso tra compattezza, chiusura e limitatezza nella retta reale sarà espresso dal teorema di Heine-Borel.