Gli esercizi proposti in questa sezione riguardano gli insiemi aperti e gli insiemi chiusi della retta reale. Verranno applicate le definizioni fondamentali e le principali proprietà studiate nella teoria.
Gli esercizi sono ordinati per difficoltà crescente. Nei primi casi applicheremo direttamente le definizioni; successivamente analizzeremo insiemi più articolati, successioni di punti, famiglie infinite di insiemi e insiemi definiti mediante equazioni o disequazioni.
Esercizio 1 — livello ★☆☆☆☆
Stabilire se l'insieme
\[ A=(2,5) \]
è aperto in \(\mathbb R\).
Risultato
L'insieme \(A=(2,5)\) è aperto in \(\mathbb R\).
Svolgimento
Per dimostrare che \(A\) è aperto, dobbiamo verificare che ogni punto di \(A\) possieda un intorno completamente contenuto in \(A\).
Sia \(x_0\in(2,5)\). Allora
\[ 2<x_0<5. \]
Le quantità
\[ x_0-2 \qquad\text{e}\qquad 5-x_0 \]
sono entrambe positive. Possiamo quindi scegliere
\[ r=\frac12\min\{x_0-2,\;5-x_0\}. \]
Con questa scelta si ha \(r>0\) e l'intorno \((x_0-r,x_0+r)\) rimane interamente compreso tra \(2\) e \(5\). Infatti il raggio scelto è minore della distanza di \(x_0\) da ciascuno dei due estremi.
Dunque
\[ (x_0-r,x_0+r)\subseteq(2,5). \]
Poiché \(x_0\) era arbitrario, ogni punto di \(A\) possiede un intorno contenuto in \(A\). Pertanto \(A\) è aperto.
Esercizio 2 — livello ★☆☆☆☆
Stabilire se l'insieme
\[ A=[2,5] \]
è aperto in \(\mathbb R\).
Risultato
L'insieme \(A=[2,5]\) non è aperto in \(\mathbb R\).
Svolgimento
Per essere aperto, ogni punto di \(A\) dovrebbe possedere un intorno completamente contenuto in \(A\). Consideriamo il punto \(2\), che appartiene ad \(A\).
Se \(r>0\), l'intorno di centro \(2\) e raggio \(r\) è
\[ (2-r,2+r). \]
Tale intorno contiene punti minori di \(2\). Ad esempio
\[ 2-\frac r2\in(2-r,2+r), \]
ma
\[ 2-\frac r2\notin[2,5]. \]
Quindi nessun intorno di \(2\) è contenuto in \([2,5]\). Di conseguenza \(A\) non è aperto.
Esercizio 3 — livello ★☆☆☆☆
Stabilire se l'insieme
\[ A=[-1,3] \]
è chiuso in \(\mathbb R\).
Risultato
L'insieme \(A=[-1,3]\) è chiuso in \(\mathbb R\).
Svolgimento
Un insieme \(A\subseteq\mathbb R\) è chiuso se e solo se il suo complementare \(\mathbb R\setminus A\) è aperto.
Calcoliamo il complementare:
\[ \mathbb R\setminus[-1,3]=(-\infty,-1)\cup(3,+\infty). \]
Le semirette \((-\infty,-1)\) e \((3,+\infty)\) sono aperte in \(\mathbb R\). Inoltre l'unione di insiemi aperti è aperta. Quindi
\[ \mathbb R\setminus[-1,3] \]
è aperto.
Poiché il complementare di \(A\) è aperto, \(A\) è chiuso.
Esercizio 4 — livello ★☆☆☆☆
Stabilire se l'insieme
\[ A=(0,1] \]
è aperto, chiuso, entrambi oppure nessuno dei due.
Risultato
L'insieme \(A=(0,1]\) non è né aperto né chiuso.
Svolgimento
L'insieme \(A\) non è aperto. Infatti \(1\in A\), ma nessun intorno di \(1\) è contenuto in \(A\).
Per ogni \(r>0\), l'intorno
\[ (1-r,1+r) \]
contiene punti maggiori di \(1\), che non appartengono a \((0,1]\). Dunque \(A\) non è aperto.
Studiamo ora se \(A\) è chiuso. Il complementare è
\[ \mathbb R\setminus(0,1]=(-\infty,0]\cup(1,+\infty). \]
Questo complementare non è aperto, perché il punto \(0\) vi appartiene, ma ogni intorno di \(0\) contiene punti positivi appartenenti a \((0,1]\).
Quindi il complementare di \(A\) non è aperto e, di conseguenza, \(A\) non è chiuso.
Pertanto \(A=(0,1]\) non è né aperto né chiuso.
Esercizio 5 — livello ★☆☆☆☆
Dimostrare che l'insieme
\[ A=(-\infty,4) \]
è aperto in \(\mathbb R\).
Risultato
L'insieme \(A=(-\infty,4)\) è aperto in \(\mathbb R\).
Svolgimento
Sia \(x_0\in(-\infty,4)\). Allora
\[ x_0<4. \]
La quantità \(4-x_0\) è positiva. Scegliamo
\[ r=\frac{4-x_0}{2}. \]
Allora \(r>0\). Inoltre
\[ x_0+r=x_0+\frac{4-x_0}{2}=\frac{x_0+4}{2}<4. \]
Quindi tutti i punti dell'intorno \((x_0-r,x_0+r)\) sono minori di \(4\). Pertanto
\[ (x_0-r,x_0+r)\subseteq(-\infty,4). \]
Poiché \(x_0\) era arbitrario, ogni punto di \(A\) possiede un intorno contenuto in \(A\). Dunque \(A\) è aperto.
Esercizio 6 — livello ★★☆☆☆
Stabilire se l'insieme
\[ A=[3,+\infty) \]
è aperto, chiuso, entrambi oppure nessuno dei due.
Risultato
L'insieme \(A=[3,+\infty)\) è chiuso ma non aperto.
Svolgimento
Calcoliamo il complementare di \(A\):
\[ \mathbb R\setminus[3,+\infty)=(-\infty,3). \]
La semiretta \((-\infty,3)\) è aperta. Di conseguenza il complementare di \(A\) è aperto e quindi \(A\) è chiuso.
Verifichiamo ora che \(A\) non è aperto. Il punto \(3\) appartiene ad \(A\), ma ogni intorno di \(3\) contiene punti minori di \(3\).
Infatti, per ogni \(r>0\),
\[ 3-\frac r2\in(3-r,3+r), \]
mentre
\[ 3-\frac r2\notin[3,+\infty). \]
Nessun intorno di \(3\) è quindi contenuto in \(A\). Pertanto \(A\) non è aperto.
Esercizio 7 — livello ★★☆☆☆
Stabilire se l'insieme
\[ A=\{1,2,5\} \]
è aperto, chiuso, entrambi oppure nessuno dei due.
Risultato
L'insieme \(A=\{1,2,5\}\) è chiuso ma non aperto.
Svolgimento
Calcoliamo il complementare:
\[ \mathbb R\setminus A = (-\infty,1)\cup(1,2)\cup(2,5)\cup(5,+\infty). \]
Tutti gli intervalli che compaiono nell'unione sono aperti. Poiché l'unione di insiemi aperti è aperta, anche \(\mathbb R\setminus A\) è aperto.
Di conseguenza \(A\) è chiuso.
L'insieme non è aperto. Consideriamo il punto \(1\in A\). Qualunque intorno di \(1\) contiene infiniti numeri reali diversi da \(1\), \(2\) e \(5\).
Ad esempio, se \(0<r<1\),
\[ 1+\frac r2\in(1-r,1+r), \]
ma
\[ 1+\frac r2\notin A. \]
Pertanto nessun intorno di \(1\) è contenuto in \(A\). Dunque \(A\) non è aperto.
Esercizio 8 — livello ★★☆☆☆
Stabilire se gli insiemi
\[ \varnothing \qquad\text{e}\qquad \mathbb R \]
sono aperti, chiusi, entrambi oppure nessuno dei due.
Risultato
Gli insiemi \(\varnothing\) e \(\mathbb R\) sono contemporaneamente aperti e chiusi.
Svolgimento
L'insieme \(\mathbb R\) è aperto perché, fissato un qualsiasi punto \(x_0\in\mathbb R\), ogni intorno
\[ (x_0-r,x_0+r) \]
con \(r>0\) è contenuto in \(\mathbb R\).
L'insieme vuoto \(\varnothing\) è anch'esso aperto. Infatti la definizione di insieme aperto richiede una proprietà per tutti i punti dell'insieme; poiché \(\varnothing\) non contiene alcun punto, tale condizione è automaticamente soddisfatta.
Inoltre
\[ \mathbb R\setminus\mathbb R=\varnothing. \]
Poiché \(\varnothing\) è aperto, \(\mathbb R\) è chiuso.
Analogamente
\[ \mathbb R\setminus\varnothing=\mathbb R, \]
e poiché \(\mathbb R\) è aperto, \(\varnothing\) è chiuso.
Pertanto \(\varnothing\) e \(\mathbb R\) sono contemporaneamente aperti e chiusi.
Esercizio 9 — livello ★★☆☆☆
Stabilire se l'insieme
\[ A=(-2,1)\cup(3,6) \]
è aperto in \(\mathbb R\).
Risultato
L'insieme \(A=(-2,1)\cup(3,6)\) è aperto.
Svolgimento
Gli intervalli
\[ (-2,1) \qquad\text{e}\qquad (3,6) \]
sono entrambi aperti.
Poiché l'unione di insiemi aperti è ancora un insieme aperto, segue immediatamente che
\[ (-2,1)\cup(3,6) \]
è aperto.
Possiamo anche verificarlo direttamente. Se \(x_0\in A\), allora \(x_0\) appartiene a uno dei due intervalli.
Essendo tale intervallo aperto, esiste un intorno di \(x_0\) completamente contenuto in esso e quindi contenuto in \(A\).
Pertanto ogni punto di \(A\) possiede un intorno contenuto in \(A\), e dunque \(A\) è aperto.
Esercizio 10 — livello ★★☆☆☆
Stabilire se l'insieme
\[ A=(-1,4)\cap(2,7) \]
è aperto in \(\mathbb R\).
Risultato
L'insieme è aperto e coincide con l'intervallo
\[ (2,4). \]
Svolgimento
Un numero reale appartiene all'intersezione se e solo se appartiene contemporaneamente ai due intervalli.
Deve quindi verificare le condizioni
\[ -1<x<4 \]
e
\[ 2<x<7. \]
Combinando le due condizioni otteniamo
\[ 2<x<4. \]
Pertanto
\[ (-1,4)\cap(2,7)=(2,4). \]
L'intervallo \((2,4)\) è aperto. Quindi l'insieme assegnato è aperto.
Esercizio 11 — livello ★★☆☆☆
Stabilire se l'insieme
\[ A=\mathbb R\setminus(1,4) \]
è aperto, chiuso, entrambi oppure nessuno dei due.
Risultato
L'insieme \(A=\mathbb R\setminus(1,4)\) è chiuso ma non aperto.
Svolgimento
Scriviamo esplicitamente l'insieme:
\[ A=\mathbb R\setminus(1,4)=(-\infty,1]\cup[4,+\infty). \]
Poiché \(A\) è il complementare dell'insieme aperto \((1,4)\), segue che \(A\) è chiuso.
L'insieme non è aperto. Infatti \(1\in A\), ma ogni intorno di \(1\) contiene punti maggiori di \(1\) e minori di \(4\), cioè punti che non appartengono ad \(A\).
Dunque nessun intorno di \(1\) è contenuto in \(A\). Pertanto \(A\) non è aperto.
Esercizio 12 — livello ★★★☆☆
Stabilire se l'insieme
\[ A=(0,2)\setminus\{1\} \]
è aperto, chiuso, entrambi oppure nessuno dei due.
Risultato
L'insieme \(A=(0,2)\setminus\{1\}\) è aperto ma non chiuso.
Svolgimento
Scriviamo l'insieme come unione di intervalli:
\[ A=(0,1)\cup(1,2). \]
Gli intervalli \((0,1)\) e \((1,2)\) sono aperti. Poiché l'unione di insiemi aperti è aperta, \(A\) è aperto.
Mostriamo ora che \(A\) non è chiuso. Il punto \(1\) è un punto di accumulazione di \(A\), perché ogni intorno puntato di \(1\) contiene punti di \(A\).
Tuttavia
\[ 1\notin A. \]
Quindi \(A\) non contiene tutti i propri punti di accumulazione. Pertanto \(A\) non è chiuso.
Esercizio 13 — livello ★★★☆☆
Stabilire se l'insieme
\[ \mathbb Q \]
è aperto o chiuso in \(\mathbb R\).
Risultato
L'insieme \(\mathbb Q\) non è né aperto né chiuso in \(\mathbb R\).
Svolgimento
L'insieme \(\mathbb Q\) non è aperto. Infatti ogni intorno di un numero razionale contiene numeri irrazionali.
Quindi, se \(q\in\mathbb Q\), non esiste alcun \(r>0\) tale che
\[ (q-r,q+r)\subseteq\mathbb Q. \]
Pertanto \(\mathbb Q\) non è aperto.
L'insieme \(\mathbb Q\) non è chiuso. Infatti ogni numero reale è punto di accumulazione di \(\mathbb Q\), perché ogni intorno di ogni numero reale contiene numeri razionali.
In particolare, \(\sqrt2\) è un punto di accumulazione di \(\mathbb Q\), ma
\[ \sqrt2\notin\mathbb Q. \]
Dunque \(\mathbb Q\) non contiene tutti i propri punti di accumulazione. Quindi \(\mathbb Q\) non è chiuso.
Esercizio 14 — livello ★★★☆☆
Stabilire se l'insieme
\[ \mathbb R\setminus\mathbb Q \]
è aperto o chiuso in \(\mathbb R\).
Risultato
L'insieme \(\mathbb R\setminus\mathbb Q\) non è né aperto né chiuso in \(\mathbb R\).
Svolgimento
L'insieme degli irrazionali non è aperto. Infatti ogni intorno di un numero irrazionale contiene numeri razionali.
Quindi nessun intorno di un punto irrazionale è completamente contenuto in \(\mathbb R\setminus\mathbb Q\). Pertanto \(\mathbb R\setminus\mathbb Q\) non è aperto.
L'insieme degli irrazionali non è chiuso. Infatti ogni numero razionale è punto di accumulazione di \(\mathbb R\setminus\mathbb Q\), perché ogni intorno di un numero razionale contiene numeri irrazionali.
In particolare, \(0\) è un punto di accumulazione di \(\mathbb R\setminus\mathbb Q\), ma
\[ 0\notin\mathbb R\setminus\mathbb Q. \]
Quindi l'insieme non contiene tutti i propri punti di accumulazione. Pertanto non è chiuso.
Esercizio 15 — livello ★★★☆☆
Stabilire se l'insieme
\[ A=\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\} \]
è aperto o chiuso in \(\mathbb R\).
Risultato
L'insieme \(A\) non è né aperto né chiuso.
Svolgimento
L'insieme è
\[ A=\left\{1,\frac12,\frac13,\frac14,\ldots\right\}. \]
Esso non è aperto. Infatti nessun intorno di un punto di \(A\) è contenuto in \(A\), perché ogni intorno contiene infiniti numeri reali che non appartengono ad \(A\).
Studiamo ora se \(A\) è chiuso. Osserviamo che
\[ \frac1n\to0. \]
Quindi \(0\) è un punto di accumulazione di \(A\). Infatti, per ogni \(r>0\), esiste \(n\in\mathbb N\) tale che
\[ 0<\frac1n<r, \]
e dunque
\[ \frac1n\in(-r,r)\setminus\{0\}. \]
Tuttavia
\[ 0\notin A. \]
Quindi \(A\) non contiene tutti i propri punti di accumulazione. Pertanto \(A\) non è chiuso.
Esercizio 16 — livello ★★★☆☆
Stabilire se l'insieme
\[ A=\{0\}\cup\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\} \]
è aperto o chiuso in \(\mathbb R\).
Risultato
L'insieme \(A\) è chiuso ma non è aperto.
Svolgimento
L'insieme può essere scritto nella forma
\[ A=\left\{0,1,\frac12,\frac13,\frac14,\ldots\right\}. \]
Esso non è aperto. Infatti nessun intorno di \(0\) è contenuto in \(A\), perché ogni intorno di \(0\) contiene infiniti numeri reali che non appartengono ad \(A\).
Studiamo ora se \(A\) è chiuso. La successione
\[ \frac1n \]
converge a \(0\). Dunque \(0\) è un punto di accumulazione di \(A\).
Inoltre \(0\in A\).
I punti della forma \(\displaystyle \frac1n\) sono invece punti isolati dell'insieme. Infatti, fissato \(n\), il punto \(\displaystyle \frac1n\) può essere separato dagli altri elementi di \(A\) mediante un intorno sufficientemente piccolo.
I punti della forma \(\displaystyle \frac1n\) sono isolati e qualunque numero reale diverso da \(0\) e dagli elementi della successione possiede un intorno che non contiene punti di \(A\). Quindi l'unico punto di accumulazione di \(A\) è \(0\), e tale punto appartiene ad \(A\). Pertanto \(A\) contiene tutti i propri punti di accumulazione.
Di conseguenza \(A\) è chiuso.
Esercizio 17 — livello ★★★★☆
Sia
\[ A_n=\left(-\frac1n,\frac1n\right), \qquad n\in\mathbb N,\ n\ge1. \]
Studiare l'insieme
\[ A=\bigcap_{n=1}^{+\infty}A_n \]
e stabilire se è aperto.
Risultato
Si ha
\[ A=\{0\}. \]
L'insieme \(A\) non è aperto.
Svolgimento
Ogni insieme
\[ A_n=\left(-\frac1n,\frac1n\right) \]
è aperto in \(\mathbb R\). Tuttavia dobbiamo studiare la loro intersezione:
\[ A=\bigcap_{n=1}^{+\infty}\left(-\frac1n,\frac1n\right). \]
Osserviamo innanzitutto che \(0\in A_n\) per ogni \(n\in\mathbb N\). Quindi
\[ 0\in A. \]
Mostriamo ora che nessun altro punto appartiene ad \(A\). Sia \(x\neq0\). Allora \(|x|>0\). Per la proprietà archimedea, esiste \(n\in\mathbb N\) tale che
\[ \frac1n<|x|. \]
Da ciò segue che
\[ x\notin\left(-\frac1n,\frac1n\right). \]
Quindi \(x\notin A\).
Abbiamo dimostrato che l'unico punto appartenente a tutti gli intervalli \(A_n\) è \(0\). Pertanto
\[ A=\{0\}. \]
L'insieme \(\{0\}\) non è aperto, perché nessun intorno di \(0\) è contenuto in \(\{0\}\). Infatti ogni intorno di \(0\) contiene punti reali diversi da \(0\).
Quindi \(A\) non è aperto.
Esercizio 18 — livello ★★★★☆
Sia
\[ A_n=\left[\frac1n,1\right], \qquad n\in\mathbb N,\ n\ge1. \]
Studiare l'insieme
\[ A=\bigcup_{n=1}^{+\infty}A_n \]
e stabilire se è chiuso.
Risultato
Si ha
\[ A=(0,1]. \]
L'insieme \(A\) non è chiuso.
Svolgimento
Ogni insieme
\[ A_n=\left[\frac1n,1\right] \]
è chiuso in \(\mathbb R\). Studiamo però la loro unione:
\[ A=\bigcup_{n=1}^{+\infty}\left[\frac1n,1\right]. \]
Dimostriamo che
\[ A=(0,1]. \]
Se \(x\in A\), allora esiste \(n\in\mathbb N\) tale che
\[ x\in\left[\frac1n,1\right]. \]
Quindi
\[ \frac1n\le x\le1. \]
In particolare \(x>0\). Dunque
\[ x\in(0,1]. \]
Abbiamo quindi provato che \(A\subseteq(0,1]\).
Viceversa, sia \(x\in(0,1]\). Poiché \(x>0\), per la proprietà archimedea esiste \(n\in\mathbb N\) tale che
\[ \frac1n\le x. \]
Essendo anche \(x\le1\), otteniamo
\[ x\in\left[\frac1n,1\right]. \]
Quindi \(x\in A\). Pertanto
\[ (0,1]\subseteq A. \]
Dalle due inclusioni segue che
\[ A=(0,1]. \]
L'insieme \((0,1]\) non è chiuso, perché \(0\) è un punto di accumulazione di \(A\), ma
\[ 0\notin A. \]
Dunque \(A\) non contiene tutti i propri punti di accumulazione. Pertanto \(A\) non è chiuso.
Esercizio 19 — livello ★★★★☆
Stabilire se l'insieme
\[ A=\{x\in\mathbb R:x^2<4\} \]
è aperto, chiuso, entrambi oppure nessuno dei due.
Risultato
L'insieme \(A\) è aperto ma non è chiuso.
Svolgimento
Risolviamo la disequazione che definisce \(A\):
\[ x^2<4. \]
Poiché \(4=2^2\), la disequazione equivale a
\[ -2<x<2. \]
Quindi
\[ A=(-2,2). \]
L'intervallo \((-2,2)\) è aperto in \(\mathbb R\). Pertanto \(A\) è aperto.
L'insieme non è chiuso. Infatti i punti \(-2\) e \(2\) sono punti di accumulazione di \(A\), ma non appartengono ad \(A\).
Precisamente,
\[ -2\notin A \qquad\text{e}\qquad 2\notin A. \]
Dunque \(A\) non contiene tutti i propri punti di accumulazione. Pertanto \(A\) non è chiuso.
Esercizio 20 — livello ★★★★★
Stabilire se l'insieme
\[ A=\{x\in\mathbb R:0<|x-2|\le3\} \]
è aperto, chiuso, entrambi oppure nessuno dei due.
Risultato
L'insieme \(A\) non è né aperto né chiuso.
Svolgimento
La condizione
\[ 0<|x-2|\le3 \]
significa che la distanza di \(x\) da \(2\) è positiva e non supera \(3\).
Studiamo prima la condizione
\[ |x-2|\le3. \]
Essa equivale a
\[ -3\le x-2\le3. \]
Sommando \(2\) ai tre membri otteniamo
\[ -1\le x\le5. \]
La condizione
\[ 0<|x-2| \]
equivale invece a \(x\neq2\). Pertanto
\[ A=[-1,5]\setminus\{2\}. \]
Possiamo quindi scrivere
\[ A=[-1,2)\cup(2,5]. \]
L'insieme non è aperto, perché \(-1\in A\), ma nessun intorno di \(-1\) è contenuto in \(A\). Infatti ogni intorno di \(-1\) contiene punti minori di \(-1\), che non appartengono ad \(A\).
L'insieme non è chiuso, perché \(2\) è un punto di accumulazione di \(A\), ma
\[ 2\notin A. \]
Infatti ogni intorno puntato di \(2\) contiene punti appartenenti ad \(A\), sia a sinistra sia a destra di \(2\).
Quindi \(A\) non contiene tutti i propri punti di accumulazione. Pertanto \(A\) non è né aperto né chiuso.