Infiniti e Infinitesimi: Definizioni, Confronto ed Equivalenza

Significato di infinito e infinitesimo

I concetti di infinito e infinitesimo descrivono il comportamento di una funzione rispetto a un determinato processo di limite, per esempio quando \(x\to x_0\) oppure quando \(x\to \pm\infty\).

Dire che una funzione è infinita significa che i suoi valori tendono a \(+\infty\) oppure a \(-\infty\). Il simbolo \(\infty\), quindi, non rappresenta un numero reale, ma esprime un comportamento illimitato.

Dire invece che una funzione è infinitesima significa che i suoi valori tendono a zero. Anche in questo caso non si descrive il valore assunto dalla funzione in un singolo punto, ma il suo comportamento lungo il processo di limite considerato.

Una stessa funzione può essere infinita rispetto a un processo di limite e infinitesima rispetto a un altro. Per questo motivo, ogni affermazione deve sempre specificare il limite a cui si riferisce.

Funzioni infinite

Sia \(f\) una funzione definita in un intorno di \(x_0\), eventualmente escluso il punto \(x_0\). Si dice che \(f\) è infinita per \(x\to x_0\) se

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty \]

oppure

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=-\infty. \]

Nel primo caso, i valori di \(f(x)\) diventano maggiori di qualunque numero reale prefissato; nel secondo, diventano minori di qualunque numero reale prefissato.

Per esempio, la funzione

\[ f(x)=\frac{1}{x^2} \]

è infinita per \(x\to 0\), poiché

\[ \lim_{x\to 0}\frac{1}{x^2}=+\infty. \]

Analogamente, una funzione può essere infinita quando \(x\to+\infty\) oppure quando \(x\to-\infty\). Per esempio,

\[ \lim_{x\to+\infty}x^2=+\infty. \]

L’espressione “funzione infinita” ha quindi significato solo in relazione a uno specifico processo di limite.

Funzioni infinitesime

Sia \(f\) una funzione definita in un intorno di \(x_0\), eventualmente escluso il punto \(x_0\). Si dice che \(f\) è infinitesima per \(x\to x_0\) se

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=0. \]

Ciò significa che i valori di \(f(x)\) possono essere resi arbitrariamente piccoli in valore assoluto, purché \(x\) sia sufficientemente vicino a \(x_0\).

Per esempio, la funzione

\[ f(x)=x^2 \]

è infinitesima per \(x\to 0\), poiché

\[ \lim_{x\to 0}x^2=0. \]

Una funzione può essere infinitesima anche quando \(x\to+\infty\) oppure quando \(x\to-\infty\). Per esempio,

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0, \]

quindi la funzione \(\displaystyle\frac{1}{x}\) è infinitesima per \(x\to+\infty\).

Anche in questo caso, l’espressione “funzione infinitesima” deve sempre essere riferita a uno specifico processo di limite.

Confronto tra infiniti

Siano \(f\) e \(g\) due funzioni infinite rispetto allo stesso processo di limite. Per confrontare la rapidità con cui crescono in valore assoluto, si considera il limite del loro rapporto:

\[ \lim\frac{f(x)}{g(x)}. \]

Se

\[ \lim\frac{f(x)}{g(x)}=0, \]

allora \(f\) è un infinito di ordine inferiore rispetto a \(g\): il valore assoluto di \(g(x)\) cresce più rapidamente di quello di \(f(x)\).

Se invece

\[ \lim\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right|=+\infty, \]

allora \(f\) è un infinito di ordine superiore rispetto a \(g\).

Infine, se

\[ \lim\frac{f(x)}{g(x)}=L, \qquad 0<|L|<+\infty, \]

le due funzioni sono infinite dello stesso ordine.

Per esempio, per \(x\to+\infty\),

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{x}{x^2} = \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x} =0. \]

Pertanto \(x\) è un infinito di ordine inferiore rispetto a \(x^2\).

Se non si verifica nessuno dei tre casi precedenti, le due funzioni non sono confrontabili mediante questa classificazione.

Confronto tra infinitesimi

Siano \(f\) e \(g\) due funzioni infinitesime rispetto allo stesso processo di limite, con \(g(x)\neq 0\) definitivamente. Anche in questo caso, il confronto si effettua studiando il limite del rapporto

\[ \lim\frac{f(x)}{g(x)}. \]

Se

\[ \lim\frac{f(x)}{g(x)}=0, \]

allora \(f\) è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a \(g\): la funzione \(f\) tende a zero più rapidamente di \(g\).

Se invece

\[ \lim\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right|=+\infty, \]

allora \(f\) è un infinitesimo di ordine inferiore rispetto a \(g\).

Infine, se

\[ \lim\frac{f(x)}{g(x)}=L, \qquad 0<|L|<+\infty, \]

le due funzioni sono infinitesime dello stesso ordine.

Per esempio, per \(x\to 0\),

\[ \lim_{x\to 0}\frac{x^2}{x} = \lim_{x\to 0}x =0. \]

Pertanto \(x^2\) è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a \(x\).

Se non si verifica nessuno dei tre casi precedenti, le due funzioni non sono confrontabili mediante questa classificazione.

Ordine di infinito e ordine di infinitesimo

Il confronto mediante il rapporto permette di precisare ulteriormente la rapidità con cui una funzione tende a zero oppure a \(+\infty\) o a \(-\infty\).

Siano \(f\) e \(g\) due infinitesimi rispetto allo stesso processo di limite, con \(g(x)>0\) definitivamente. Si dice che \(f\) è un infinitesimo di ordine \(\alpha>0\) rispetto a \(g\) se

\[ \lim\frac{f(x)}{[g(x)]^\alpha}=L, \qquad 0<|L|<+\infty. \]

Per esempio, per \(x\to 0^+\), la funzione \(x^3\) è un infinitesimo di ordine \(3\) rispetto a \(x\), poiché

\[ \lim_{x\to 0^+}\frac{x^3}{x^3}=1. \]

Analogamente, siano \(f\) e \(g\) due infiniti rispetto allo stesso processo di limite, con \(g(x)>0\) definitivamente. Si dice che \(f\) è un infinito di ordine \(\alpha>0\) rispetto a \(g\) se

\[ \lim\frac{f(x)}{[g(x)]^\alpha}=L, \qquad 0<|L|<+\infty. \]

Per esempio, per \(x\to+\infty\), la funzione \(x^4\) è un infinito di ordine \(4\) rispetto a \(x\), perché

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{x^4}{x^4}=1. \]

L’ordine non è quindi una proprietà assoluta della funzione, ma dipende dalla funzione scelta come termine di confronto.

Infiniti e infinitesimi equivalenti

Siano \(f\) e \(g\) due funzioni infinite oppure infinitesime rispetto allo stesso processo di limite, con \(g(x)\neq 0\) definitivamente. Le due funzioni si dicono asintoticamente equivalenti se

\[ \lim\frac{f(x)}{g(x)}=1. \]

In tal caso si scrive

\[ f(x)\sim g(x). \]

L’equivalenza asintotica esprime il fatto che, nel processo di limite considerato, il rapporto tra le due funzioni tende a \(1\): esse presentano quindi lo stesso comportamento principale.

Per esempio, per \(x\to 0\),

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1, \]

perciò

\[ \sin x\sim x. \]

Analogamente, per \(x\to+\infty\),

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{x^2+x}{x^2} = \lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right) =1, \]

quindi

\[ x^2+x\sim x^2. \]

Due infiniti o infinitesimi equivalenti sono dello stesso ordine. Il viceversa, però, non è necessariamente vero: se il rapporto tende a una costante finita e non nulla diversa da \(1\), le funzioni hanno lo stesso ordine ma non sono equivalenti.

Uso degli equivalenti nel calcolo dei limiti

Le equivalenze asintotiche permettono di sostituire una funzione con un’altra più semplice che abbia lo stesso comportamento principale nel processo di limite considerato.

Se

\[ f(x)\sim g(x), \]

allora \(f(x)\) può essere sostituita con \(g(x)\) quando compare come fattore in un prodotto o in un quoziente, purché tutte le espressioni coinvolte risultino ben definite lungo il processo di limite considerato.

Per esempio, poiché

\[ \sin x\sim x \qquad\text{per }x\to 0, \]

si ha

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1. \]

Analogamente, usando

\[ 1-\cos x\sim\frac{x^2}{2} \qquad\text{per }x\to 0, \]

otteniamo

\[ \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}. \]

La sostituzione mediante equivalenti non può invece essere applicata automaticamente nelle somme e nelle differenze, perché può verificarsi una cancellazione dei termini principali.

Per esempio, per \(x\to+\infty\),

\[ x+1\sim x, \]

ma sostituire \(x+1\) con \(x\) nella differenza

\[ (x+1)-x \]

condurrebbe erroneamente a \(0\), mentre l’espressione è identicamente uguale a \(1\).

Gli equivalenti devono quindi essere usati tenendo conto della struttura dell’espressione: sono particolarmente efficaci nei prodotti e nei quozienti, mentre nelle somme e nelle differenze occorre prima individuare l’eventuale termine dominante o trasformare opportunamente l’espressione.

Relazione tra infiniti e infinitesimi

Infiniti e infinitesimi sono legati dall’operazione di reciproco. Se \(f(x)\) è infinita, allora è definitivamente diversa da zero e

\[ \lim\frac{1}{f(x)}=0. \]

Viceversa, se \(f(x)\) è infinitesima e definitivamente diversa da zero, allora

\[ \lim\left|\frac{1}{f(x)}\right|=+\infty. \]

Se \(f(x)>0\) definitivamente, il suo reciproco tende a \(+\infty\); se invece \(f(x)<0\) definitivamente, il reciproco tende a \(-\infty\). Se \(f(x)\) non ha segno definitivo lungo il processo di limite considerato, il reciproco non ammette un limite infinito con segno, sebbene il suo valore assoluto tenda a \(+\infty\).

Per esempio, per \(x\to 0\),

\[ x^2\to 0 \qquad\text{e}\qquad \frac{1}{x^2}\to+\infty. \]

Invece, per \(x\to 0^+\),

\[ x\to 0^+ \qquad\text{e}\qquad \frac{1}{x}\to+\infty, \]

mentre per \(x\to 0^-\),

\[ x\to 0^- \qquad\text{e}\qquad \frac{1}{x}\to-\infty. \]

Principali equivalenze asintotiche

Nel calcolo dei limiti si utilizzano frequentemente alcune equivalenze asintotiche fondamentali. Con gli angoli espressi in radianti, per \(x\to 0\) valgono le seguenti equivalenze:

\[ \sin x\sim x, \qquad \tan x\sim x, \qquad \arcsin x\sim x, \qquad \arctan x\sim x; \]

\[ 1-\cos x\sim\frac{x^2}{2}; \]

\[ e^x-1\sim x, \qquad \ln(1+x)\sim x; \]

\[ (1+x)^\alpha-1\sim\alpha x, \qquad \alpha\in\mathbb{R},\ \alpha\neq 0. \]

Queste equivalenze derivano da limiti notevoli e permettono di sostituire, quando compaiono come fattori in prodotti o quozienti, infinitesimi più complessi con espressioni più semplici.

Per esempio, poiché

\[ e^x-1\sim x \qquad\text{e}\qquad \sin x\sim x \qquad\text{per }x\to 0, \]

si ottiene

\[ \lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{\sin x} = \lim_{x\to 0}\frac{x}{x} =1. \]

Gerarchie fondamentali tra infiniti e infinitesimi

Quando \(x\to+\infty\), le principali famiglie di funzioni presentano velocità di crescita differenti. In particolare, per ogni \(\alpha>0\) e per ogni \(a>1\), si ha

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^\alpha}=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{x^\alpha}{a^x}=0. \]

Ciò significa che ogni potenza positiva di \(x\) cresce più rapidamente del logaritmo, mentre ogni funzione esponenziale di base maggiore di \(1\) cresce più rapidamente di qualsiasi potenza positiva di \(x\).

Per esprimere questa gerarchia in modo rigoroso, fissato il processo di limite considerato e supposto \(g(x)\neq 0\) definitivamente, la scrittura

\[ f(x)=o(g(x)) \]

significa che

\[ \lim\frac{f(x)}{g(x)}=0. \]

Pertanto, per \(x\to+\infty\), si ha

\[ \ln x=o(x^\alpha) \qquad\text{e}\qquad x^\alpha=o(a^x). \]

Per esempio,

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{\sqrt{x}}=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{x^{10}}{2^x}=0. \]

Passando ai reciproci si ottiene la gerarchia corrispondente tra infinitesimi:

\[ \frac{1}{a^x}=o\left(\frac{1}{x^\alpha}\right) \qquad\text{e}\qquad \frac{1}{x^\alpha}=o\left(\frac{1}{\ln x}\right) \qquad\text{per }x\to+\infty. \]

In ciascuna relazione, la funzione posta a sinistra tende a zero più rapidamente ed è quindi un infinitesimo di ordine superiore rispetto a quella posta a destra.

Conclusioni

I concetti di infinito e infinitesimo permettono di descrivere e confrontare i principali comportamenti asintotici delle funzioni. Una funzione infinita tende a \(+\infty\) oppure a \(-\infty\), mentre una funzione infinitesima tende a zero; in entrambi i casi, il comportamento deve sempre essere riferito a uno specifico processo di limite.

Lo studio del rapporto tra due funzioni permette di confrontarne il comportamento: a seconda del limite ottenuto, si può stabilire quale delle due prevalga, se abbiano lo stesso ordine oppure se siano asintoticamente equivalenti. Le equivalenze risultano particolarmente utili nel calcolo dei limiti, purché vengano applicate correttamente e senza sostituzioni arbitrarie nelle somme e nelle differenze.

Infiniti e infinitesimi costituiscono quindi un linguaggio essenziale per riconoscere i termini dominanti di un’espressione e semplificare in modo rigoroso lo studio dei limiti.