Quando due funzioni tendono entrambe a \(+\infty\), sapere che sono infinite non basta per descriverne il comportamento. Esse possono infatti crescere con velocità molto diverse: un logaritmo cresce più lentamente di una potenza, una potenza più lentamente di un'esponenziale e un'esponenziale più lentamente di funzioni come \(x^x\).
La gerarchia degli infiniti permette di ordinare le funzioni in base alla loro velocità di crescita. Il confronto viene effettuato studiando il limite del loro rapporto: in questo modo si può stabilire se una funzione è trascurabile rispetto a un'altra, se le due hanno lo stesso ordine di infinito oppure se una cresce più rapidamente dell'altra.
In questa pagina svilupperemo in modo rigoroso ma accessibile i principali criteri di confronto tra infiniti e costruiremo le scale asintotiche fondamentali. Il termine “gerarchia” non si riferisce alle diverse cardinalità degli insiemi infiniti, ma esclusivamente agli ordini di crescita delle funzioni.
Indice
- Come si confrontano due infiniti
- Infiniti di ordine superiore, inferiore e dello stesso ordine
- Infiniti equivalenti
- La gerarchia fondamentale degli infiniti
- Applicazioni ed esempi di confronto
Come si confrontano due infiniti
Dire che due funzioni tendono entrambe all'infinito non significa che esse crescano con la stessa rapidità. Per confrontarne il comportamento è necessario considerarle nello stesso processo di limite e stabilire come varia l'una rispetto all'altra.
Siano \(f\) e \(g\) due funzioni tali che
\[ |f(x)|\to+\infty \qquad\text{e}\qquad |g(x)|\to+\infty \]
per \(x\to x_0\), dove \(x_0\) può essere un punto reale oppure \(+\infty\) o \(-\infty\). Per confrontare i loro ordini di crescita si studia, quando esiste, il limite del rapporto tra i loro moduli:
\[ L=\lim_{x\to x_0}\frac{|f(x)|}{|g(x)|}. \]
Il rapporto misura la grandezza di \(f(x)\) rispetto a quella di \(g(x)\). Se tende a \(0\), la grandezza di \(f(x)\) diventa trascurabile rispetto a quella di \(g(x)\); se tende a un numero reale positivo, le due funzioni hanno grandezze confrontabili; se tende a \(+\infty\), è \(f(x)\) a prevalere su \(g(x)\).
Quando le due funzioni hanno definitivamente lo stesso segno nel processo di limite considerato, i valori assoluti possono essere omessi e si può studiare direttamente
\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}. \]
Per esempio, per \(x\to+\infty\),
\[ \frac{x^2}{x^3}=\frac{1}{x}\to 0. \]
Sebbene \(x^2\) e \(x^3\) tendano entrambe a \(+\infty\), la funzione \(x^2\) cresce dunque più lentamente di \(x^3\).
Il limite del rapporto non esiste necessariamente. In tal caso questo criterio, da solo, non permette di assegnare immediatamente alle due funzioni una delle relazioni che verranno definite nella sezione successiva.
Infiniti di ordine superiore, inferiore e dello stesso ordine
Siano \(f\) e \(g\) due funzioni infinite per \(x\to x_0\). Il limite del rapporto tra i loro moduli permette di precisare quale delle due prevale nel processo considerato.
Se
\[ \lim_{x\to x_0}\frac{|f(x)|}{|g(x)|}=0, \]
allora \(f\) è un infinito di ordine inferiore rispetto a \(g\), mentre \(g\) è un infinito di ordine superiore rispetto a \(f\). Si scrive
\[ f(x)=o\bigl(g(x)\bigr) \qquad\text{per }x\to x_0. \]
Questa relazione significa che, pur essendo entrambe infinite, la grandezza di \(f(x)\) diventa trascurabile rispetto a quella di \(g(x)\).
Se invece
\[ \lim_{x\to x_0}\frac{|f(x)|}{|g(x)|}=L, \qquad 0<L<+\infty, \]
allora \(f\) e \(g\) sono infiniti dello stesso ordine. Il rapporto tra i loro moduli non tende né a \(0\) né a \(+\infty\): le due funzioni hanno quindi grandezze asintoticamente confrontabili.
Infine, se
\[ \lim_{x\to x_0}\frac{|f(x)|}{|g(x)|}=+\infty, \]
allora \(f\) è un infinito di ordine superiore rispetto a \(g\). Questa situazione equivale a
\[ \lim_{x\to x_0}\frac{|g(x)|}{|f(x)|}=0. \]
Per esempio, per \(x\to+\infty\),
\[ \frac{3x^2}{5x^2}=\frac{3}{5}. \]
Poiché il rapporto tende a un numero positivo e finito, \(3x^2\) e \(5x^2\) sono infiniti dello stesso ordine. Non sono però equivalenti, poiché il limite del loro rapporto non è uguale a \(1\): questa distinzione sarà precisata nella sezione successiva.
Infiniti equivalenti
Siano \(f\) e \(g\) due funzioni infinite per \(x\to x_0\). Esse si dicono infiniti equivalenti se
\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=1. \]
In tal caso si scrive
\[ f(x)\sim g(x) \qquad\text{per }x\to x_0. \]
L'equivalenza significa che il rapporto tra le due funzioni si avvicina a \(1\): ciascuna delle due rappresenta quindi, al primo ordine, il comportamento asintotico dell'altra.
Due infiniti equivalenti sono necessariamente dello stesso ordine, ma il viceversa non è sempre vero. Per esempio, \(3x^2\) e \(5x^2\) sono dello stesso ordine per \(x\to+\infty\), ma non sono equivalenti, poiché
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2}{5x^2}=\frac{3}{5}\neq 1. \]
Se, più in generale,
\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=L, \qquad L\in\mathbb{R}\setminus\{0\}, \]
allora \(f\) e \(g\) sono dello stesso ordine e si ha
\[ f(x)\sim Lg(x). \]
Per esempio, per \(x\to+\infty\),
\[ \frac{x^2+3x}{x^2}=1+\frac{3}{x}\to 1. \]
Pertanto
\[ x^2+3x\sim x^2. \]
L'equivalenza asintotica non è un'uguaglianza: essa descrive soltanto il comportamento relativo delle funzioni nel processo di limite considerato. Per questo motivo, la sostituzione di una funzione con un suo equivalente deve essere effettuata con cautela, soprattutto nelle somme e nelle differenze in cui possono verificarsi cancellazioni.
La gerarchia fondamentale degli infiniti
Per \(x\to+\infty\), le principali funzioni infinite possono essere ordinate secondo la loro velocità di crescita. Le famiglie fondamentali sono quelle logaritmiche, le potenze e le funzioni esponenziali.
All'interno della famiglia delle potenze, se \(0<\alpha<\beta\), allora
\[ x^\alpha=o\bigl(x^\beta\bigr). \]
Una potenza con esponente maggiore è quindi un infinito di ordine superiore rispetto a una potenza con esponente minore.
Analogamente, tra due funzioni esponenziali di base maggiore di \(1\), se \(1<a<b\), si ha
\[ a^x=o\bigl(b^x\bigr). \]
Per i logaritmi, invece, il cambiamento di base introduce soltanto un fattore costante. Se \(a>1\), allora
\[ \log_a(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(a)}. \]
Di conseguenza, tutti i logaritmi con base maggiore di \(1\) sono infiniti dello stesso ordine. Per studiare la gerarchia è quindi sufficiente utilizzare una base fissata; nel seguito utilizzeremo il logaritmo naturale, denotato con \(\ln(x)\).
Il confronto tra famiglie diverse conduce alle relazioni fondamentali
\[ \bigl(\ln(x)\bigr)^p=o\bigl(x^q\bigr) \qquad\text{e}\qquad x^q=o\bigl(a^x\bigr), \]
valide per ogni \(p>0\), \(q>0\) e \(a>1\). Qualunque potenza positiva del logaritmo naturale cresce dunque più lentamente di qualunque potenza positiva di \(x\), mentre qualunque potenza positiva di \(x\) cresce più lentamente di ogni esponenziale con base maggiore di \(1\).
La gerarchia può essere estesa includendo il logaritmo iterato e la funzione \(x^x\):
\[ \ln\bigl(\ln(x)\bigr)=o\bigl(\bigl(\ln(x)\bigr)^p\bigr), \qquad \bigl(\ln(x)\bigr)^p=o\bigl(x^q\bigr), \qquad x^q=o\bigl(a^x\bigr), \qquad a^x=o\bigl(x^x\bigr). \]
Questa successione non confronta i valori delle funzioni per ogni \(x\), ma descrive esclusivamente il loro comportamento asintotico per \(x\to+\infty\). Una funzione collocata più a destra prevale quindi, definitivamente, su tutte quelle che la precedono.
Applicazioni ed esempi di confronto
Una volta stabilita la gerarchia fondamentale, molti confronti possono essere risolti riconoscendo le famiglie a cui appartengono le funzioni, senza dover calcolare ogni volta il limite mediante procedimenti più lunghi.
Consideriamo, per esempio,
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\bigl(\ln(x)\bigr)^4}{x^{1/3}}. \]
Ogni potenza positiva del logaritmo naturale cresce più lentamente di qualunque potenza positiva di \(x\). Pertanto
\[ \bigl(\ln(x)\bigr)^4=o\bigl(x^{1/3}\bigr) \]
e quindi
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\bigl(\ln(x)\bigr)^4}{x^{1/3}}=0. \]
Analogamente, nel limite
\[ \lim_{x\to+\infty}x^5e^{-x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^5}{e^x}, \]
l'esponenziale prevale sulla potenza. Poiché
\[ x^5=o\bigl(e^x\bigr), \]
si ottiene
\[ \lim_{x\to+\infty}x^5e^{-x}=0. \]
La gerarchia permette anche di confrontare funzioni appartenenti alla stessa famiglia. Per esempio,
\[ \frac{2^x}{5^x}=\left(\frac{2}{5}\right)^x\to 0, \]
perciò
\[ 2^x=o\bigl(5^x\bigr) \qquad\text{per }x\to+\infty. \]
Un'altra applicazione importante consiste nell'individuare il termine dominante di una somma. Consideriamo
\[ f(x)=3e^x+7x^4-\bigl(\ln(x)\bigr)^2. \]
Dividendo per \(3e^x\), si ha
\[ \frac{f(x)}{3e^x}=1+\frac{7x^4}{3e^x}-\frac{\bigl(\ln(x)\bigr)^2}{3e^x}. \]
Poiché sia \(x^4\) sia \(\bigl(\ln(x)\bigr)^2\) sono di ordine inferiore rispetto a \(e^x\), gli ultimi due termini tendono a \(0\). Ne segue che
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{3e^x}=1, \]
e dunque
\[ 3e^x+7x^4-\bigl(\ln(x)\bigr)^2\sim 3e^x. \]
L'equivalenza asintotica si conserva nei prodotti e nei quozienti: se \(f\sim g\) e \(h\sim k\) nel medesimo processo di limite, allora \(fh\sim gk\) e, purché \(h\) e \(k\) siano definitivamente non nulle, \(\displaystyle\frac{f}{h}\sim\frac{g}{k}\). Nelle somme e nelle differenze, invece, una funzione non può essere sostituita indiscriminatamente con una sua equivalente. Per esempio,
\[ x^2+x\sim x^2, \]
ma nella differenza
\[ (x^2+x)-x^2=x, \]
i termini dominanti si cancellano. Sostituire \(x^2+x\) con il suo equivalente \(x^2\) farebbe quindi perdere proprio il termine che determina il risultato.