Le funzioni pari e le funzioni dispari sono funzioni caratterizzate da precise proprietà di simmetria. Una funzione pari assume lo stesso valore in due punti opposti \(x\) e \(-x\), mentre una funzione dispari assume valori opposti.
Dal punto di vista geometrico, il grafico di una funzione pari è simmetrico rispetto all'asse delle ordinate, mentre il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto all'origine. Queste simmetrie permettono di semplificare lo studio del grafico e sono particolarmente utili anche nel calcolo degli integrali su intervalli simmetrici.
Prima di definire formalmente le funzioni pari e dispari, è però necessario chiarire una condizione fondamentale: il dominio della funzione deve essere simmetrico rispetto all'origine. Infatti, per confrontare \(f(x)\) con \(f(-x)\), entrambi i valori devono essere definiti.
Indice
- Dominio simmetrico rispetto all'origine
- Funzioni pari
- Significato geometrico delle funzioni pari
- Funzioni dispari
- Significato geometrico delle funzioni dispari
- Funzioni né pari né dispari
- Funzioni sia pari sia dispari
- Somma di funzioni pari e dispari
- Prodotto di funzioni pari e dispari
- Integrali di funzioni pari e dispari su intervalli simmetrici
- Decomposizione in parte pari e parte dispari
- Unicità della decomposizione
Dominio simmetrico rispetto all'origine
Per parlare correttamente di funzione pari o di funzione dispari, il dominio deve avere una proprietà preliminare: deve essere simmetrico rispetto all'origine.
Un insieme \(X\subseteq\mathbb R\) si dice simmetrico rispetto all'origine se, per ogni elemento \(x\in X\), anche il suo opposto \(-x\) appartiene a \(X\). In simboli:
\[ x\in X \implies -x\in X. \]
Questa condizione significa che il dominio contiene sempre le coppie di punti opposti \(x\) e \(-x\).
Ad esempio, gli insiemi
\[ \mathbb R, \qquad [-a,a], \qquad (-a,a), \qquad \mathbb R\setminus\{0\} \]
sono simmetrici rispetto all'origine.
Invece, gli insiemi
\[ [0,+\infty), \qquad (0,+\infty), \qquad [1,3] \]
non sono simmetrici rispetto all'origine. Ad esempio, \(1\in[0,+\infty)\), ma \(-1\notin[0,+\infty)\).
La simmetria del dominio è essenziale perché, per stabilire se una funzione è pari o dispari, dobbiamo confrontare i valori \(f(x)\) e \(f(-x)\). Se \(x\) appartiene al dominio ma \(-x\) non appartiene al dominio, allora \(f(-x)\) non è definito e il confronto non ha senso.
Di conseguenza, una funzione può essere pari o dispari solo se il suo dominio è simmetrico rispetto all'origine.
Funzioni pari
Sia \(f:X\to\mathbb R\) una funzione definita su un dominio \(X\subseteq\mathbb R\) simmetrico rispetto all'origine. La funzione \(f\) si dice pari se, per ogni \(x\in X\), vale
\[ f(-x)=f(x). \]
In altre parole, una funzione è pari se assume lo stesso valore in due punti opposti del dominio. La condizione deve valere per ogni elemento del dominio.
La definizione contiene quindi due aspetti distinti:
- il dominio deve essere simmetrico rispetto all'origine;
- la funzione deve assumere lo stesso valore in \(x\) e in \(-x\).
Se una di queste due condizioni non è soddisfatta, la funzione non è pari.
Consideriamo la funzione
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2. \]
Il dominio è \(\mathbb R\), quindi è simmetrico rispetto all'origine. Inoltre, per ogni \(x\in\mathbb R\), si ha
\[ f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x). \]
Dunque la funzione \(f(x)=x^2\) è pari.
Anche la funzione coseno è pari. Infatti, per ogni \(x\in\mathbb R\), vale l'identità trigonometrica
\[ \cos(-x)=\cos x. \]
Quindi la funzione
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=\cos x \]
è una funzione pari.
Un altro esempio è la funzione coseno iperbolico. Ricordando che
\[ \cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}, \]
otteniamo
\[ \cosh(-x)=\frac{e^{-x}+e^x}{2}=\frac{e^x+e^{-x}}{2}=\cosh x. \]
Pertanto \(f(x)=\cosh x\) è pari.
Consideriamo infine la funzione
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=e^{-x^2}. \]
Per ogni \(x\in\mathbb R\), risulta
\[ f(-x)=e^{-(-x)^2}=e^{-x^2}=f(x). \]
Anche \(f(x)=e^{-x^2}\) è quindi una funzione pari.
Significato geometrico delle funzioni pari
Il grafico di una funzione pari è simmetrico rispetto all'asse delle ordinate.
Infatti, se \(f\) è pari, allora per ogni \(x\) del dominio vale
\[ f(-x)=f(x). \]
Questo significa che i punti del grafico corrispondenti a \(x\) e a \(-x\) hanno la stessa ordinata:
\[ (x,f(x)) \qquad \text{e} \qquad (-x,f(-x))=(-x,f(x)). \]
I due punti sono simmetrici rispetto all'asse \(y\). Di conseguenza, l'intero grafico della funzione è simmetrico rispetto all'asse delle ordinate.
Questa proprietà è utile nello studio del grafico: se una funzione è pari, è sufficiente studiarla per \(x\ge 0\). La parte del grafico corrispondente a \(x<0\) si ottiene poi per simmetria rispetto all'asse delle ordinate.
Funzioni dispari
Sia \(f:X\to\mathbb R\) una funzione definita su un dominio \(X\subseteq\mathbb R\) simmetrico rispetto all'origine. La funzione \(f\) si dice dispari se, per ogni \(x\in X\), vale
\[ f(-x)=-f(x). \]
In altre parole, una funzione è dispari se assume valori opposti in due punti opposti del dominio. Anche in questo caso la condizione deve valere per ogni elemento del dominio.
La definizione richiede quindi due aspetti distinti:
- il dominio deve essere simmetrico rispetto all'origine;
- la funzione deve assumere valori opposti in \(x\) e in \(-x\).
Se una di queste due condizioni non è soddisfatta, la funzione non è dispari.
Consideriamo la funzione seno:
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=\sin x. \]
Il dominio è \(\mathbb R\), quindi è simmetrico rispetto all'origine. Inoltre, per ogni \(x\in\mathbb R\), vale l'identità trigonometrica
\[ \sin(-x)=-\sin x. \]
Dunque la funzione \(f(x)=\sin x\) è dispari.
Un altro esempio fondamentale è la funzione cubica:
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^3. \]
Per ogni \(x\in\mathbb R\), si ha
\[ f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x). \]
Quindi la funzione \(f(x)=x^3\) è dispari.
Sono dispari anche molte altre funzioni elementari, ad esempio
\[ f(x)=x,\qquad f(x)=x^5,\qquad f(x)=\tan x \]
sui rispettivi domini. In ogni caso, la verifica consiste sempre nel calcolare \(f(-x)\) e controllare se risulta uguale a \(-f(x)\).
Significato geometrico delle funzioni dispari
Il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto all'origine.
Infatti, se \(f\) è dispari, allora per ogni \(x\) del dominio vale
\[ f(-x)=-f(x). \]
Quindi, se il punto
\[ (x,f(x)) \]
appartiene al grafico della funzione, allora appartiene al grafico anche il punto
\[ (-x,f(-x))=(-x,-f(x)). \]
I punti \((x,f(x))\) e \((-x,-f(x))\) sono simmetrici rispetto all'origine. Di conseguenza, l'intero grafico della funzione è simmetrico rispetto all'origine.
In modo equivalente, ruotando il grafico di una funzione dispari di \(180^\circ\) attorno all'origine, si ottiene nuovamente lo stesso grafico.
Questa proprietà è utile nello studio del grafico: se una funzione è dispari, è sufficiente studiarla per \(x\ge 0\). La parte del grafico corrispondente a \(x<0\) si ottiene poi mediante simmetria rispetto all'origine.
Funzioni né pari né dispari
Una funzione può non essere né pari né dispari. Questo può accadere per due motivi diversi.
Il primo motivo riguarda il dominio: se il dominio non è simmetrico rispetto all'origine, la funzione non può essere classificata come pari o dispari secondo le definizioni date. Infatti, potrebbe accadere che \(x\) appartenga al dominio ma \(-x\) non vi appartenga, e quindi il valore \(f(-x)\) non sia definito.
Ad esempio, la funzione
\[ f:[0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2 \]
non viene considerata pari come funzione definita su \([0,+\infty)\), perché il dominio non è simmetrico rispetto all'origine.
Il secondo motivo riguarda invece la legge della funzione. Anche quando il dominio è simmetrico rispetto all'origine, può accadere che non valga né
\[ f(-x)=f(x) \]
né
\[ f(-x)=-f(x). \]
In questo caso la funzione non è né pari né dispari.
Consideriamo, ad esempio, la funzione
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=e^x. \]
Il dominio è \(\mathbb R\), quindi è simmetrico rispetto all'origine. Tuttavia, per ogni \(x\in\mathbb R\), si ha
\[ f(-x)=e^{-x}. \]
In generale \(e^{-x}\ne e^x\), quindi la funzione non è pari. Inoltre, in generale \(e^{-x}\ne -e^x\), quindi la funzione non è dispari.
Pertanto \(f(x)=e^x\) non è né pari né dispari.
Anche la funzione
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x+1 \]
non è né pari né dispari. Infatti
\[ f(-x)=-x+1. \]
In generale \(-x+1\ne x+1\), quindi la funzione non è pari; inoltre \(-x+1\ne -(x+1)\), quindi la funzione non è dispari.
Funzioni sia pari sia dispari
Una funzione può essere contemporaneamente pari e dispari. Questo accade solo in un caso particolare: quando la funzione è identicamente nulla sul proprio dominio.
Sia \(f:X\to\mathbb R\) una funzione definita su un dominio \(X\subseteq\mathbb R\) simmetrico rispetto all'origine. Se \(f\) è sia pari sia dispari, allora per ogni \(x\in X\) valgono contemporaneamente le due relazioni
\[ f(-x)=f(x) \]
e
\[ f(-x)=-f(x). \]
Confrontando le due uguaglianze, otteniamo
\[ f(x)=-f(x). \]
Quindi
\[ 2f(x)=0, \]
e pertanto
\[ f(x)=0. \]
Poiché questo vale per ogni \(x\in X\), la funzione è identicamente nulla:
\[ f\equiv 0. \]
Viceversa, la funzione nulla è sia pari sia dispari. Infatti, se \(f(x)=0\) per ogni \(x\in X\), allora
\[ f(-x)=0=f(x) \]
e anche
\[ f(-x)=0=-0=-f(x). \]
Dunque, su un dominio simmetrico rispetto all'origine, le uniche funzioni reali sia pari sia dispari sono le funzioni identicamente nulle.
Somma di funzioni pari e dispari
Le proprietà di parità e disparità si comportano in modo semplice rispetto alla somma di funzioni.
Siano \(f\) e \(g\) due funzioni reali definite rispettivamente su domini simmetrici \(D_f\) e \(D_g\). La somma \(f+g\) è definita sul dominio comune
\[ D=D_f\cap D_g. \]
Poiché \(D_f\) e \(D_g\) sono simmetrici rispetto all'origine, anche \(D\) è simmetrico rispetto all'origine.
Se \(f\) e \(g\) sono entrambe pari, allora per ogni \(x\in D\) si ha
\[ (f+g)(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=(f+g)(x). \]
Quindi la somma di due funzioni pari è ancora una funzione pari.
Se invece \(f\) e \(g\) sono entrambe dispari, allora per ogni \(x\in D\) si ha
\[ (f+g)(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-(f(x)+g(x)). \]
Poiché
\[ -(f(x)+g(x))=-(f+g)(x), \]
otteniamo
\[ (f+g)(-x)=-(f+g)(x). \]
Quindi la somma di due funzioni dispari è ancora una funzione dispari.
La somma di una funzione pari e di una funzione dispari, invece, in generale non è né pari né dispari. Ad esempio,
\[ f(x)=x^2+x \]
è somma della funzione pari \(x^2\) e della funzione dispari \(x\), ma non è né pari né dispari.
Prodotto di funzioni pari e dispari
Anche il prodotto di funzioni pari e dispari segue regole precise.
Siano \(f\) e \(g\) due funzioni reali definite su domini simmetrici \(D_f\) e \(D_g\). Il prodotto \(fg\) è definito sul dominio comune
\[ D=D_f\cap D_g. \]
Se \(f\) e \(g\) sono entrambe pari, allora per ogni \(x\in D\) vale
\[ (fg)(-x)=f(-x)g(-x)=f(x)g(x)=(fg)(x). \]
Quindi il prodotto di due funzioni pari è pari.
Se \(f\) e \(g\) sono entrambe dispari, allora
\[ (fg)(-x)=f(-x)g(-x)=(-f(x))(-g(x))=f(x)g(x)=(fg)(x). \]
Quindi il prodotto di due funzioni dispari è pari.
Infine, se \(f\) è pari e \(g\) è dispari, allora
\[ (fg)(-x)=f(-x)g(-x)=f(x)(-g(x))=-f(x)g(x)=-(fg)(x). \]
Quindi il prodotto di una funzione pari e di una funzione dispari è dispari.
Riassumendo:
\[ \text{pari}\cdot\text{pari}=\text{pari}, \qquad \text{dispari}\cdot\text{dispari}=\text{pari}, \qquad \text{pari}\cdot\text{dispari}=\text{dispari}. \]
Integrali di funzioni pari e dispari su intervalli simmetrici
Le funzioni pari e dispari sono particolarmente utili nel calcolo degli integrali definiti su intervalli simmetrici rispetto all'origine.
Sia \(a>0\) e sia \(f\) una funzione integrabile su \([-a,a]\).
Se \(f\) è pari, allora
\[ \int_{-a}^{a} f(x)\,dx=2\int_0^a f(x)\,dx. \]
Infatti, possiamo scrivere
\[ \int_{-a}^{a} f(x)\,dx=\int_{-a}^{0} f(x)\,dx+\int_0^a f(x)\,dx. \]
Nel primo integrale poniamo \(x=-t\). Quando \(x=-a\), allora \(t=a\); quando \(x=0\), allora \(t=0\). Inoltre \(dx=-dt\). Quindi
\[ \int_{-a}^{0} f(x)\,dx = \int_a^0 f(-t)(-dt) = \int_0^a f(-t)\,dt. \]
Poiché \(f\) è pari, \(f(-t)=f(t)\). Pertanto
\[ \int_{-a}^{0} f(x)\,dx=\int_0^a f(t)\,dt. \]
Sommando i due contributi, otteniamo
\[ \int_{-a}^{a} f(x)\,dx = \int_0^a f(x)\,dx+\int_0^a f(x)\,dx = 2\int_0^a f(x)\,dx. \]
Se invece \(f\) è dispari, allora
\[ \int_{-a}^{a} f(x)\,dx=0. \]
Infatti, procedendo come prima,
\[ \int_{-a}^{0} f(x)\,dx=\int_0^a f(-t)\,dt. \]
Poiché \(f\) è dispari, \(f(-t)=-f(t)\). Quindi
\[ \int_{-a}^{0} f(x)\,dx=-\int_0^a f(t)\,dt. \]
Di conseguenza,
\[ \int_{-a}^{a} f(x)\,dx = -\int_0^a f(x)\,dx+\int_0^a f(x)\,dx=0. \]
Geometricamente, nel caso di una funzione dispari le aree orientate nelle due metà dell'intervallo si compensano. Nel caso di una funzione pari, invece, i due contributi sono uguali.
Decomposizione in parte pari e parte dispari
Ogni funzione reale definita su un dominio simmetrico rispetto all'origine può essere scritta come somma di una funzione pari e di una funzione dispari.
Sia dunque
\[ f:X\to\mathbb R \]
una funzione definita su un insieme \(X\subseteq\mathbb R\) simmetrico rispetto all'origine.
Definiamo la funzione
\[ f_p:X\to\mathbb R,\qquad f_p(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}. \]
Questa funzione si chiama parte pari di \(f\).
Definiamo inoltre
\[ f_d:X\to\mathbb R,\qquad f_d(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}. \]
Questa funzione si chiama parte dispari di \(f\).
Verifichiamo che \(f_p\) è pari. Per ogni \(x\in X\), usando la definizione di \(f_p\), otteniamo
\[ f_p(-x)=\frac{f(-x)+f(-(-x))}{2} = \frac{f(-x)+f(x)}{2} = f_p(x). \]
Quindi \(f_p\) è pari.
Verifichiamo ora che \(f_d\) è dispari. Per ogni \(x\in X\), si ha
\[ f_d(-x)=\frac{f(-x)-f(-(-x))}{2} = \frac{f(-x)-f(x)}{2} = -\frac{f(x)-f(-x)}{2} = -f_d(x). \]
Quindi \(f_d\) è dispari.
Infine, sommando \(f_p(x)\) e \(f_d(x)\), otteniamo
\[ f_p(x)+f_d(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2} + \frac{f(x)-f(-x)}{2} = f(x). \]
Pertanto
\[ f=f_p+f_d. \]
Ogni funzione reale definita su un dominio simmetrico può quindi essere decomposta nella somma della sua parte pari e della sua parte dispari:
\[ f(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}+\frac{f(x)-f(-x)}{2}. \]
Esempio. Consideriamo la funzione
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=e^x. \]
La parte pari di \(f\) è
\[ f_p(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}=\cosh x. \]
La parte dispari di \(f\) è
\[ f_d(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}=\sinh x. \]
Di conseguenza,
\[ e^x=\cosh x+\sinh x. \]
Unicità della decomposizione
La decomposizione di una funzione nella somma di una funzione pari e di una funzione dispari è unica.
Sia \(f:X\to\mathbb R\) una funzione definita su un dominio \(X\subseteq\mathbb R\) simmetrico rispetto all'origine. Supponiamo che \(f\) si possa scrivere in due modi come somma di una funzione pari e di una funzione dispari:
\[ f=p+d=\tilde p+\tilde d, \]
dove \(p\) e \(\tilde p\) sono funzioni pari, mentre \(d\) e \(\tilde d\) sono funzioni dispari.
Dall'uguaglianza
\[ p+d=\tilde p+\tilde d \]
otteniamo
\[ p-\tilde p=\tilde d-d. \]
Indichiamo con
\[ h=p-\tilde p=\tilde d-d. \]
Poiché \(p\) e \(\tilde p\) sono pari, la differenza \(p-\tilde p\) è pari. Quindi \(h\) è pari.
Poiché \(\tilde d\) e \(d\) sono dispari, la differenza \(\tilde d-d\) è dispari. Quindi \(h\) è dispari.
La funzione \(h\) è dunque sia pari sia dispari. Per ogni \(x\in X\), valgono quindi
\[ h(-x)=h(x) \]
e
\[ h(-x)=-h(x). \]
Confrontando le due uguaglianze, si ottiene
\[ h(x)=-h(x). \]
Quindi
\[ 2h(x)=0, \]
e pertanto
\[ h(x)=0 \]
per ogni \(x\in X\). Dunque \(h\) è la funzione identicamente nulla.
Da
\[ h=p-\tilde p \]
segue che
\[ p=\tilde p. \]
Da
\[ h=\tilde d-d \]
segue che
\[ d=\tilde d. \]
Le due decomposizioni coincidono. Quindi la decomposizione di \(f\) come somma di una funzione pari e di una funzione dispari è unica.