Funzioni goniometriche: traslazioni, ampiezza e periodo

La forma generale e il significato dei parametri

Consideriamo le funzioni

\[ y=A\sin(bx+c)+d, \qquad y=A\cos(bx+c)+d, \]

con \(A,b,c,d\in\mathbb R\). Supponiamo inizialmente \(A\ne0\) e \(b\ne0\), in modo che le funzioni non siano costanti.

Per leggere direttamente la traslazione orizzontale, raccogliamo \(b\) nell’argomento:

\[ bx+c=b(x-h), \qquad h=-\frac cb. \]

Le due funzioni diventano:

\[ y=A\sin\bigl(b(x-h)\bigr)+d \] \[ y=A\cos\bigl(b(x-h)\bigr)+d. \]

In questa forma:

• \(|A|\) è l’ampiezza;
• \(|b|\) determina la scala orizzontale e il periodo;
• \(h\) indica la traslazione orizzontale;
• \(d\) indica la traslazione verticale e individua la retta centrale \(y=d\).

I segni di \(A\) e di \(b\) intervengono anche nell’orientamento del grafico. Per comprenderne gli effetti, esaminiamo prima le trasformazioni separatamente.

Traslazioni verticali e orizzontali

Traslazione verticale

Il grafico di \(y=f(x)+d\) si ottiene spostando ogni punto del grafico di \(f\) della stessa quantità verticale:

\[ (x,f(x)) \longmapsto (x,f(x)+d). \]

Se \(d>0\), lo spostamento è verso l’alto; se \(d<0\), è verso il basso.

Per esempio, il grafico di \(y=\sin x+2\) si ottiene traslando quello del seno di \(2\) unità verso l’alto. Poiché \(-1\le\sin x\le1\), risulta:

\[ 1\le\sin x+2\le3. \]

La retta centrale passa da \(y=0\) a \(y=2\), mentre ampiezza e periodo restano invariati.

Traslazione orizzontale

Il grafico di \(y=f(x-h)\) si ottiene traslando quello di \(f\) di \(h\) unità in direzione orizzontale:

\[ (x,f(x)) \longmapsto (x+h,f(x)). \]

Infatti, nella nuova funzione, all’ascissa \(x+h\) corrisponde il valore \(f((x+h)-h)=f(x)\).

• Se \(h>0\), il grafico si sposta verso destra.
• Se \(h<0\), il grafico si sposta verso sinistra.

Per esempio:

\[ y=\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right) \]

è il seno traslato di \(\displaystyle\frac{\pi}{3}\) verso destra, mentre

\[ y=\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right) = \sin\left(x-\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right) \]

è il seno traslato della stessa quantità verso sinistra.

Immagine

La traslazione nella forma \(bx+c\)

Quando nell’argomento compare anche il coefficiente \(b\), la traslazione non è in generale \(-c\). Occorre prima raccogliere:

\[ bx+c=b\left(x+\frac cb\right). \]

Quindi lo spostamento orizzontale è:

\[ h=-\frac cb. \]

Per esempio:

\[ \sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right) = \sin\left(2\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\right). \]

Il grafico è quello di \(y=\sin(2x)\) traslato di \(\displaystyle\frac{\pi}{6}\) verso destra.

Ampiezza e riflessione rispetto all’asse delle ascisse

Il coefficiente \(A\)

Moltiplicare una funzione per \(A\) significa moltiplicare per \(A\) tutte le ordinate dei suoi punti:

\[ (x,f(x)) \longmapsto (x,Af(x)). \]

Se \(|A|>1\), il grafico si dilata verticalmente; se \(0<|A|<1\), si contrae verticalmente. Se \(A<0\), si aggiunge una riflessione rispetto all’asse delle ascisse.

Per esempio, \(y=3\sin x\) raggiunge i valori \(3\) e \(-3\), mentre \(\displaystyle y=\frac12\sin x\) raggiunge \(\displaystyle\frac12\) e \(\displaystyle-\frac12\).

Definizione di ampiezza

Per le funzioni \(y=A\sin(bx+c)+d\) e \(y=A\cos(bx+c)+d\), con \(A\ne0\) e \(b\ne0\), l’ampiezza è la distanza verticale tra la retta centrale e ciascuno dei due livelli estremi:

\[ \text{Ampiezza}=|A|. \]

Infatti, al variare di \(x\), seno e coseno assumono tutti i valori di \([-1,1]\). Moltiplicando per \(A\) e aggiungendo \(d\), si ottiene:

\[ d-|A|\le y\le d+|A|. \]

Dunque:

\[ \min y=d-|A|,\qquad \max y=d+|A|. \]

L’ampiezza è anche metà della differenza tra massimo e minimo:

\[ |A| = \frac{\max y-\min y}{2}. \]

La distanza complessiva tra il livello minimo e quello massimo è invece \(2|A|\).

Immagine

Il segno negativo e la retta centrale

I grafici di \(y=A\sin(bx+c)+d\) e \(y=-A\sin(bx+c)+d\) sono riflessi rispetto alla retta \(y=d\). Alla stessa ascissa, le loro ordinate hanno infatti somma \(2d\).

La riflessione è rispetto all’asse delle ascisse soltanto quando \(d=0\). Lo stesso ragionamento vale per il coseno.

Come cambia il periodo

Periodo di seno e coseno trasformati

Consideriamo \(y=A\sin(bx+c)+d\), con \(A\ne0\) e \(b\ne0\). Per completare un’oscillazione, l’argomento deve variare di un giro, cioè di \(2\pi\) in valore assoluto.

Se \(x\) aumenta di \(\displaystyle T=\frac{2\pi}{|b|}\), l’argomento varia di:

\[ bT=2\pi\frac b{|b|}, \]

ossia di \(2\pi\) oppure di \(-2\pi\). In entrambi i casi il seno torna allo stesso valore. La stessa proprietà vale per il coseno.

Questo è anche il più piccolo periodo positivo. Infatti, se \(T>0\) è un periodo, ponendo \(t=bx+c\) si ottiene \(\sin(t+bT)=\sin t\) per ogni \(t\in\mathbb R\). Applicando l’uguaglianza in \(t=0\) e \(\displaystyle t=\frac{\pi}{2}\), risulta:

\[ \sin(bT)=0, \qquad \cos(bT)=1. \]

Pertanto \(bT=2k\pi\). Il più piccolo valore positivo possibile di \(T\) è \(\displaystyle\frac{2\pi}{|b|}\). Per il coseno si arriva alle stesse condizioni usando gli stessi due valori di \(t\).

\[ T=\frac{2\pi}{|b|}. \]

Dilatazione e contrazione orizzontale

• Se \(|b|>1\), il periodo diminuisce e il grafico si contrae orizzontalmente.
• Se \(0<|b|<1\), il periodo aumenta e il grafico si dilata orizzontalmente.

Per esempio:

\[ y=\sin(2x) \quad\Longrightarrow\quad T=\pi; \] \[ y=\sin\left(\frac x2\right) \quad\Longrightarrow\quad T=4\pi. \]

I parametri \(A\), \(c\) e \(d\) non modificano il periodo fondamentale, purché \(A\ne0\).

Il segno di \(b\)

Nella forma \(y=A\sin(b(x-h))+d\), cambiare \(b\) in \(-b\) riflette il grafico rispetto alla retta verticale \(x=h\). Per il seno, la disparità permette anche di trasferire il segno negativo al coefficiente esterno:

\[ A\sin\bigl(-b(x-h)\bigr)+d = -A\sin\bigl(b(x-h)\bigr)+d. \]

Per il coseno, che è pari, il segno di \(b\) non cambia il valore della funzione quando \(h\) rimane fissato:

\[ \cos\bigl(-b(x-h)\bigr) = \cos\bigl(b(x-h)\bigr). \]

I casi costanti

Se \(A=0\), la funzione è \(y=d\). Se \(b=0\), l’argomento è costante e si ottiene ancora una funzione costante.

Una funzione costante ha ogni numero positivo come periodo e quindi non possiede un periodo fondamentale. La formula \(\displaystyle T=\frac{2\pi}{|b|}\) si applica alle sinusoidi non costanti.

Come costruire il grafico di una sinusoide

Per costruire il grafico di \(y=A\sin(b(x-h))+d\) o \(y=A\cos(b(x-h))+d\), conviene procedere così:

1. Individuare la retta centrale \(y=d\).
2. Calcolare l’ampiezza \(|A|\) e i livelli \(d-|A|\), \(d+|A|\).
3. Calcolare il periodo \(\displaystyle T=\frac{2\pi}{|b|}\).
4. Individuare la traslazione orizzontale \(h\).
5. Segnare cinque punti corrispondenti a un periodo.
6. Collegarli con una curva regolare e ripetere il profilo per periodicità.

Supponiamo \(b>0\). Nell’intervallo \([h,h+T]\), l’argomento assume i valori \(0,\displaystyle\frac{\pi}{2},\pi,\displaystyle\frac{3\pi}{2},2\pi\) alle ascisse riportate nella tabella.

La tabella vale anche per \(A<0\): in questo caso \(d+A\) è il livello minimo e \(d-A\) è il livello massimo.

Trasformazioni di tangente e cotangente

Consideriamo ora:

\[ y=A\tan(bx+c)+d, \qquad y=A\cot(bx+c)+d, \]

con \(A\ne0\) e \(b\ne0\).

Le trasformazioni verticali e orizzontali si leggono come per seno e coseno, ma tangente e cotangente non hanno ampiezza: i loro valori non sono limitati tra un minimo e un massimo. Il numero \(|A|\) è un fattore di scala verticale.

Poiché il periodo fondamentale delle funzioni di partenza è \(\pi\), quello delle funzioni trasformate è:

\[ T=\frac{\pi}{|b|}. \]

Infatti, facendo variare \(x\) di questa quantità, l’argomento varia di \(\pi\) oppure di \(-\pi\). La minimalità segue dal fatto che ogni periodo positivo della funzione trasformata deve corrispondere a un multiplo intero del periodo \(\pi\) della funzione di partenza.

Asintoti della tangente trasformata

La tangente non è definita quando il suo argomento è \(\displaystyle\frac{\pi}{2}+k\pi\). Dunque:

\[ bx+c=\frac{\pi}{2}+k\pi. \]

Le rette asintotiche verticali sono:

\[ x=\frac{\frac{\pi}{2}-c+k\pi}{b}, \qquad k\in\mathbb Z. \]

Asintoti della cotangente trasformata

La cotangente non è definita quando il suo argomento è \(k\pi\). Pertanto:

\[ bx+c=k\pi, \]

e gli asintoti verticali sono:

\[ x=\frac{-c+k\pi}{b}, \qquad k\in\mathbb Z. \]

I parametri \(A\ne0\) e \(d\) non cambiano le ascisse degli asintoti verticali.

Esempi svolti ed errori comuni

Esempio 1. Ampiezza, periodo e traslazioni

Studiamo:

\[ y=2\sin\left(2x-\frac{\pi}{2}\right)+1. \]

Raccogliamo \(2\) nell’argomento:

\[ y=2\sin\left(2\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\right)+1. \]

Leggiamo quindi:

• ampiezza \(2\);
• periodo \(\displaystyle T=\frac{2\pi}{2}=\pi\);
• traslazione orizzontale di \(\displaystyle\frac{\pi}{4}\) verso destra;
• traslazione verticale di \(1\) verso l’alto;
• retta centrale \(y=1\);
• minimo \(-1\) e massimo \(3\).

Cinque punti di un periodo sono:

\[ \left(\frac{\pi}{4},1\right),\quad \left(\frac{\pi}{2},3\right),\quad \left(\frac{3\pi}{4},1\right),\quad (\pi,-1),\quad \left(\frac{5\pi}{4},1\right). \]

Immagine

Esempio 2. Un coefficiente esterno negativo

Consideriamo:

\[ y=-3\cos\left(\frac x2\right)-2. \]

L’ampiezza è \(3\), il periodo è \(\displaystyle T=\frac{2\pi}{1/2}=4\pi\) e la retta centrale è \(y=-2\). L’immagine è:

\[ [-2-3,-2+3]=[-5,1]. \]

Il segno negativo riflette il grafico di \(\displaystyle y=3\cos\left(\frac x2\right)-2\) rispetto alla retta \(y=-2\). In particolare:

\[ y(0)=-5, \qquad y(2\pi)=1. \]

Quindi in \(x=0\) si raggiunge un minimo e in \(x=2\pi\) un massimo.

Esempio 3. Tangente trasformata

Studiamo:

\[ y=\tan(2x)-1. \]

Il periodo è \(\displaystyle T=\frac{\pi}{2}\). Il grafico di \(y=\tan(2x)\) è traslato di \(1\) verso il basso e passa per \((0,-1)\).

Gli asintoti verticali si ottengono da:

\[ 2x=\frac{\pi}{2}+k\pi, \]

quindi:

\[ x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb Z. \]

Il ramo compreso tra \(\displaystyle x=-\frac{\pi}{4}\) e \(\displaystyle x=\frac{\pi}{4}\) è strettamente crescente e assume tutti i valori reali.

Errori comuni

• Confondere ampiezza e altezza complessiva. L’ampiezza è \(|A|\); la differenza tra massimo e minimo è \(2|A|\).
• Leggere la traslazione prima di raccogliere \(b\). Nella forma \(bx+c\), lo spostamento è \(\displaystyle-\frac cb\).
• Invertire il verso della traslazione. \(f(x-h)\), con \(h>0\), sposta il grafico verso destra.
• Confondere i periodi. Per seno e coseno il periodo è \(\displaystyle\frac{2\pi}{|b|}\); per tangente e cotangente è \(\displaystyle\frac{\pi}{|b|}\).
• Attribuire un’ampiezza alla tangente o alla cotangente. Queste funzioni sono illimitate: \(|A|\) indica soltanto una scala verticale.
• Confondere retta centrale e insieme degli zeri. Le intersezioni con \(y=d\) non sono zeri della funzione, salvo che \(d=0\).

Riepilogo

Per le sinusoidi non costanti \(y=A\sin(bx+c)+d\) e \(y=A\cos(bx+c)+d\), con \(A\ne0\) e \(b\ne0\):

Per tangente e cotangente trasformate, con \(A\ne0\) e \(b\ne0\), il periodo fondamentale è \(\displaystyle\frac{\pi}{|b|}\), l’immagine è \(\mathbb R\) e non esiste un’ampiezza. Il dominio si ottiene escludendo le ascisse degli asintoti verticali.

Per costruire un grafico, riscriviamo prima l’argomento nella forma \(b(x-h)\). Individuiamo poi scala verticale, periodo e traslazioni; segniamo i punti di riferimento e, quando presenti, gli asintoti.