Le funzioni crescenti e le funzioni decrescenti sono funzioni che descrivono un andamento ordinato dei valori assunti al variare della variabile indipendente. Intuitivamente, una funzione crescente tende ad aumentare quando \(x\) aumenta, mentre una funzione decrescente tende a diminuire.
Per definire correttamente questi concetti, però, è necessario precisare su quale insieme si sta studiando la funzione. Infatti, una stessa funzione può essere crescente su un intervallo, decrescente su un altro e non essere monotona sull'intero dominio.
Le nozioni di crescenza e decrescenza sono fondamentali nello studio del grafico di una funzione, nella ricerca degli intervalli di monotonia e nell'analisi dei massimi e minimi. In Analisi Matematica, inoltre, queste proprietà possono essere studiate anche tramite il segno della derivata.
Indice
- Idea intuitiva di funzione crescente e decrescente
- Funzione crescente
- Funzione strettamente crescente
- Funzione decrescente
- Funzione strettamente decrescente
- Funzioni monotone
- Esempi di funzioni crescenti e decrescenti
- Funzioni crescenti o decrescenti su intervalli
- Funzioni non monotone
- Crescenza, decrescenza e iniettività
- Criterio della derivata per la monotonia
- Osservazioni finali
Idea intuitiva di funzione crescente e decrescente
L'idea intuitiva di funzione crescente è semplice: quando la variabile \(x\) aumenta, anche il valore della funzione tende ad aumentare.
In modo analogo, una funzione decrescente è una funzione i cui valori tendono a diminuire quando \(x\) aumenta.
Tuttavia, questa descrizione intuitiva deve essere resa precisa. In matematica non basta dire che una funzione “sale” o “scende”: bisogna confrontare i valori assunti dalla funzione in due punti qualunque dell'insieme considerato.
Supponiamo che \(x_1\) e \(x_2\) siano due punti del dominio, con
\[ x_1<x_2. \]
Se al crescere di \(x\) il valore della funzione non diminuisce, allora deve valere
\[ f(x_1)\le f(x_2). \]
Questa è l'idea alla base delle funzioni crescenti.
Se invece al crescere di \(x\) il valore della funzione non aumenta, allora deve valere
\[ f(x_1)\ge f(x_2). \]
Questa è l'idea alla base delle funzioni decrescenti.
È importante osservare che il confronto deve essere fatto per ogni coppia di punti \(x_1,x_2\) dell'insieme considerato, con \(x_1<x_2\). La monotonia è quindi una proprietà globale sull'insieme su cui viene studiata, non una proprietà che si verifica guardando solo alcuni punti del grafico.
Funzione crescente
Sia \(f:X\to\mathbb R\) una funzione definita su un insieme \(X\subseteq\mathbb R\). La funzione \(f\) si dice crescente su \(X\) se, per ogni \(x_1,x_2\in X\), vale la seguente implicazione:
\[ x_1<x_2 \implies f(x_1)\le f(x_2). \]
Questa definizione significa che, scegliendo due punti qualunque del dominio, il punto più grande non può avere un valore della funzione più piccolo.
In altre parole, quando \(x\) aumenta, i valori della funzione possono aumentare oppure rimanere uguali, ma non possono diminuire.
È importante osservare che una funzione crescente non deve necessariamente aumentare in modo stretto. Può infatti rimanere costante su alcuni tratti del dominio.
Per esempio, una funzione costante
\[ f(x)=c \]
è crescente su qualunque sottoinsieme del suo dominio. Infatti, per ogni \(x_1,x_2\), si ha
\[ f(x_1)=c \qquad \text{e} \qquad f(x_2)=c, \]
quindi
\[ f(x_1)\le f(x_2). \]
La funzione costante è dunque crescente, anche se non aumenta mai in senso stretto.
Funzione strettamente crescente
Sia \(f:X\to\mathbb R\) una funzione definita su un insieme \(X\subseteq\mathbb R\). La funzione \(f\) si dice strettamente crescente su \(X\) se, per ogni \(x_1,x_2\in X\), vale la seguente implicazione:
\[ x_1<x_2 \implies f(x_1)<f(x_2). \]
In questo caso, se il valore della variabile aumenta, allora anche il valore della funzione deve aumentare in modo stretto.
La differenza rispetto alla crescenza semplice è quindi nel tipo di disuguaglianza richiesta:
- una funzione crescente soddisfa \(f(x_1)\le f(x_2)\);
- una funzione strettamente crescente soddisfa \(f(x_1)<f(x_2)\).
Ogni funzione strettamente crescente è crescente. Infatti, se
\[ f(x_1)<f(x_2), \]
allora vale anche
\[ f(x_1)\le f(x_2). \]
Il viceversa, invece, non è vero: una funzione crescente può non essere strettamente crescente. Le funzioni costanti ne sono l'esempio più semplice.
Ad esempio, la funzione
\[ f(x)=x \]
è strettamente crescente su \(\mathbb R\), perché se \(x_1<x_2\), allora
\[ f(x_1)=x_1<x_2=f(x_2). \]
Funzione decrescente
Sia \(f:X\to\mathbb R\) una funzione definita su un insieme \(X\subseteq\mathbb R\). La funzione \(f\) si dice decrescente su \(X\) se, per ogni \(x_1,x_2\in X\), vale la seguente implicazione:
\[ x_1<x_2 \implies f(x_1)\ge f(x_2). \]
Questa definizione significa che, scegliendo due punti qualunque del dominio, il punto più grande non può avere un valore della funzione più grande.
In altre parole, quando \(x\) aumenta, i valori della funzione possono diminuire oppure rimanere uguali, ma non possono aumentare.
Anche in questo caso, la decrescenza non deve necessariamente essere stretta. Una funzione decrescente può infatti rimanere costante su alcuni tratti del dominio.
Per esempio, una funzione costante
\[ f(x)=c \]
è anche decrescente su qualunque sottoinsieme del suo dominio. Infatti, per ogni \(x_1,x_2\), si ha
\[ f(x_1)=c \qquad \text{e} \qquad f(x_2)=c, \]
quindi
\[ f(x_1)\ge f(x_2). \]
La funzione costante è dunque sia crescente sia decrescente.
Questo non è una contraddizione: accade perché stiamo usando le definizioni non strette di crescenza e decrescenza. La funzione costante è il caso limite in cui i valori non aumentano e non diminuiscono, ma rimangono sempre uguali.
Funzione strettamente decrescente
Sia \(f:X\to\mathbb R\) una funzione definita su un insieme \(X\subseteq\mathbb R\). La funzione \(f\) si dice strettamente decrescente su \(X\) se, per ogni \(x_1,x_2\in X\), vale la seguente implicazione:
\[ x_1<x_2 \implies f(x_1)>f(x_2). \]
In questo caso, se il valore della variabile aumenta, allora il valore della funzione deve diminuire in modo stretto.
La differenza rispetto alla decrescenza semplice è quindi nel tipo di disuguaglianza richiesta:
- una funzione decrescente soddisfa \(f(x_1)\ge f(x_2)\);
- una funzione strettamente decrescente soddisfa \(f(x_1)>f(x_2)\).
Ogni funzione strettamente decrescente è decrescente. Infatti, se
\[ f(x_1)>f(x_2), \]
allora vale anche
\[ f(x_1)\ge f(x_2). \]
Il viceversa, invece, non è vero: una funzione decrescente può non essere strettamente decrescente. Anche in questo caso, le funzioni costanti sono un esempio immediato.
Ad esempio, la funzione
\[ f(x)=-x \]
è strettamente decrescente su \(\mathbb R\), perché se \(x_1<x_2\), allora
\[ -x_1>-x_2, \]
cioè
\[ f(x_1)>f(x_2). \]
Funzioni monotone
Le funzioni crescenti e le funzioni decrescenti appartengono alla classe più generale delle funzioni monotone.
Una funzione si dice monotona su un insieme \(X\) se su \(X\) è crescente oppure decrescente.
Più precisamente, una funzione \(f:X\to\mathbb R\) è monotona su \(X\) se soddisfa una delle due condizioni seguenti:
- per ogni \(x_1,x_2\in X\), se \(x_1<x_2\), allora \(f(x_1)\le f(x_2)\);
- per ogni \(x_1,x_2\in X\), se \(x_1<x_2\), allora \(f(x_1)\ge f(x_2)\).
Nel primo caso la funzione è crescente; nel secondo caso è decrescente.
Se invece una funzione è strettamente crescente oppure strettamente decrescente, si dice che è strettamente monotona.
Quindi una funzione \(f:X\to\mathbb R\) è strettamente monotona su \(X\) se soddisfa una delle due condizioni seguenti:
- per ogni \(x_1,x_2\in X\), se \(x_1<x_2\), allora \(f(x_1)<f(x_2)\);
- per ogni \(x_1,x_2\in X\), se \(x_1<x_2\), allora \(f(x_1)>f(x_2)\).
In sintesi:
\[ \text{monotona}=\text{crescente oppure decrescente}, \]
mentre
\[ \text{strettamente monotona}=\text{strettamente crescente oppure strettamente decrescente}. \]
È importante ricordare che la monotonia è sempre riferita a un insieme o a un intervallo. Non ha senso dire semplicemente che una funzione è crescente o decrescente senza specificare, almeno implicitamente, dove si sta studiando tale proprietà.
Esempi di funzioni crescenti e decrescenti
Consideriamo alcuni esempi fondamentali.
La funzione
\[ f(x)=x \]
è strettamente crescente su \(\mathbb R\). Infatti, se \(x_1<x_2\), allora
\[ f(x_1)=x_1<x_2=f(x_2). \]
La funzione
\[ f(x)=-x \]
è invece strettamente decrescente su \(\mathbb R\). Infatti, se \(x_1<x_2\), allora
\[ -x_1>-x_2, \]
cioè
\[ f(x_1)>f(x_2). \]
La funzione quadratica
\[ f(x)=x^2 \]
non è crescente né decrescente su tutto \(\mathbb R\). Infatti, se ci spostiamo da valori negativi verso \(0\), la funzione diminuisce; se invece ci spostiamo da \(0\) verso valori positivi, la funzione aumenta.
Tuttavia, la stessa funzione è decrescente sull'intervallo \((-\infty,0]\) e crescente sull'intervallo \([0,+\infty)\).
Questo esempio mostra che una funzione può non essere monotona su tutto il dominio, ma può esserlo su intervalli opportuni.
Anche la funzione
\[ f(x)=\frac{1}{x} \]
richiede attenzione. Essa è strettamente decrescente su \((-\infty,0)\) ed è strettamente decrescente anche su \((0,+\infty)\), ma non è decrescente su tutto il suo dominio \(\mathbb R\setminus\{0\}\).
Infatti, se prendiamo \(x_1=-1\) e \(x_2=1\), allora \(x_1<x_2\), ma
\[ f(-1)=-1 \qquad \text{e} \qquad f(1)=1. \]
Quindi
\[ f(-1)<f(1), \]
mentre una funzione decrescente dovrebbe soddisfare \(f(x_1)\ge f(x_2)\) per ogni coppia \(x_1<x_2\) del dominio.
Funzioni crescenti o decrescenti su intervalli
Nello studio delle funzioni, la monotonia viene spesso analizzata su intervalli del dominio.
Una funzione può infatti cambiare andamento: può essere crescente su un intervallo, decrescente su un altro e non essere monotona sull'intero dominio.
Per esempio, la funzione
\[ f(x)=x^2 \]
è decrescente su \((-\infty,0]\) e crescente su \([0,+\infty)\).
Questo significa che, se consideriamo soltanto due punti \(x_1,x_2\in(-\infty,0]\) con \(x_1<x_2\), allora vale
\[ f(x_1)\ge f(x_2). \]
Se invece consideriamo due punti \(x_1,x_2\in[0,+\infty)\) con \(x_1<x_2\), allora vale
\[ f(x_1)\le f(x_2). \]
Gli intervalli su cui una funzione è crescente o decrescente si chiamano spesso intervalli di monotonia.
Determinare gli intervalli di monotonia significa quindi individuare le parti del dominio in cui la funzione mantiene un andamento ordinato: crescente, decrescente, strettamente crescente o strettamente decrescente.
Questa distinzione è essenziale: dire che una funzione è crescente su un intervallo non significa che sia crescente su tutto il dominio. La proprietà deve sempre essere riferita all'insieme su cui viene verificata.
Funzioni non monotone
Una funzione si dice non monotona su un insieme \(X\) quando non è né crescente né decrescente su \(X\).
In altre parole, una funzione \(f:X\to\mathbb R\) non è monotona su \(X\) se non soddisfa nessuna delle due condizioni:
- per ogni \(x_1,x_2\in X\), se \(x_1<x_2\), allora \(f(x_1)\le f(x_2)\);
- per ogni \(x_1,x_2\in X\), se \(x_1<x_2\), allora \(f(x_1)\ge f(x_2)\).
Per dimostrare che una funzione non è crescente, basta trovare due punti \(x_1,x_2\in X\) tali che
\[ x_1<x_2 \]
ma
\[ f(x_1)>f(x_2). \]
Infatti, questa coppia di punti contraddice la definizione di funzione crescente.
Per dimostrare che una funzione non è decrescente, basta invece trovare due punti \(x_1,x_2\in X\) tali che
\[ x_1<x_2 \]
ma
\[ f(x_1)<f(x_2). \]
Questa coppia di punti contraddice la definizione di funzione decrescente.
Consideriamo, ad esempio, la funzione
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2. \]
Questa funzione non è crescente su \(\mathbb R\). Infatti, scegliendo
\[ x_1=-1, \qquad x_2=0, \]
si ha \(x_1<x_2\), ma
\[ f(x_1)=f(-1)=1 \qquad \text{e} \qquad f(x_2)=f(0)=0. \]
Quindi
\[ f(x_1)>f(x_2), \]
e questo esclude che \(f\) sia crescente su \(\mathbb R\).
La stessa funzione non è neppure decrescente su \(\mathbb R\). Infatti, scegliendo
\[ x_1=0, \qquad x_2=1, \]
si ha ancora \(x_1<x_2\), ma
\[ f(x_1)=f(0)=0 \qquad \text{e} \qquad f(x_2)=f(1)=1. \]
Quindi
\[ f(x_1)<f(x_2), \]
e questo esclude che \(f\) sia decrescente su \(\mathbb R\).
Pertanto la funzione \(f(x)=x^2\) non è monotona su tutto \(\mathbb R\), anche se è decrescente su \((-\infty,0]\) e crescente su \([0,+\infty)\).
Questo esempio mostra ancora una volta che la monotonia dipende dall'insieme su cui viene studiata: una funzione può non essere monotona sul suo intero dominio, ma essere monotona su opportuni sottointervalli.
Crescenza, decrescenza e iniettività
Le funzioni strettamente monotone hanno una proprietà molto importante: sono sempre iniettive.
Ricordiamo che una funzione \(f:X\to\mathbb R\) si dice iniettiva se elementi distinti del dominio hanno immagini distinte. In simboli:
\[ x_1\ne x_2 \implies f(x_1)\ne f(x_2). \]
Dimostriamo che ogni funzione strettamente crescente è iniettiva.
Sia \(f:X\to\mathbb R\) una funzione strettamente crescente. Prendiamo due punti distinti \(x_1,x_2\in X\). Poiché sono distinti, si ha necessariamente una delle due possibilità:
\[ x_1<x_2 \qquad \text{oppure} \qquad x_2<x_1. \]
Se \(x_1<x_2\), poiché \(f\) è strettamente crescente, otteniamo
\[ f(x_1)<f(x_2). \]
In particolare,
\[ f(x_1)\ne f(x_2). \]
Se invece \(x_2<x_1\), allora, sempre per la stretta crescenza,
\[ f(x_2)<f(x_1), \]
e quindi ancora
\[ f(x_1)\ne f(x_2). \]
In entrambi i casi, da \(x_1\ne x_2\) segue \(f(x_1)\ne f(x_2)\). Dunque \(f\) è iniettiva.
Lo stesso ragionamento vale per le funzioni strettamente decrescenti. Se \(f\) è strettamente decrescente e \(x_1<x_2\), allora
\[ f(x_1)>f(x_2), \]
quindi i valori \(f(x_1)\) e \(f(x_2)\) sono distinti.
Pertanto ogni funzione strettamente decrescente è iniettiva.
Possiamo quindi concludere che ogni funzione strettamente monotona è iniettiva.
Il viceversa, però, non è vero: una funzione iniettiva non è necessariamente monotona. L'iniettività richiede soltanto che valori distinti del dominio abbiano immagini distinte; la monotonia richiede invece che tali valori siano disposti secondo un ordine coerente.
Per esempio, è possibile costruire funzioni iniettive che non sono crescenti né decrescenti sull'intero dominio. Dunque la stretta monotonia è una condizione sufficiente per l'iniettività, ma non è una condizione necessaria.
Criterio della derivata per la monotonia
Quando una funzione è derivabile, la monotonia può essere studiata tramite il segno della derivata.
L'idea geometrica è la seguente: la derivata \(f'(x)\) rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione nel punto di ascissa \(x\). Se la derivata è positiva, il grafico tende a salire; se la derivata è negativa, il grafico tende a scendere.
Più precisamente, sia \(f:I\to\mathbb R\) una funzione derivabile su un intervallo \(I\). Se
\[ f'(x)\ge 0 \]
per ogni \(x\in I\), allora \(f\) è crescente su \(I\).
Se invece
\[ f'(x)\le 0 \]
per ogni \(x\in I\), allora \(f\) è decrescente su \(I\).
Il risultato si giustifica tramite il teorema di Lagrange del valor medio. Infatti, presi due punti \(x_1,x_2\in I\) con
\[ x_1<x_2, \]
esiste un punto \(c\in(x_1,x_2)\) tale che
\[ \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=f'(c). \]
Se \(f'(x)\ge 0\) per ogni \(x\in I\), allora in particolare \(f'(c)\ge 0\). Poiché \(x_2-x_1>0\), otteniamo
\[ f(x_2)-f(x_1)\ge 0. \]
Quindi
\[ f(x_1)\le f(x_2). \]
Dunque \(f\) è crescente su \(I\).
In modo analogo, se \(f'(x)\le 0\) per ogni \(x\in I\), allora dal teorema di Lagrange si ottiene
\[ f(x_2)-f(x_1)\le 0, \]
cioè
\[ f(x_1)\ge f(x_2). \]
Dunque \(f\) è decrescente su \(I\).
Esistono anche criteri per la monotonia stretta. Se \(f'(x)>0\) per ogni \(x\in I\), allora \(f\) è strettamente crescente su \(I\). Se \(f'(x)<0\) per ogni \(x\in I\), allora \(f\) è strettamente decrescente su \(I\).
Tuttavia, bisogna fare attenzione al significato di questi criteri. Le condizioni \(f'(x)>0\) e \(f'(x)<0\) in ogni punto sono condizioni sufficienti per la monotonia stretta, ma non sono condizioni necessarie.
Una funzione può infatti essere strettamente crescente anche se la derivata si annulla in alcuni punti, purché questo non produca tratti su cui la funzione rimane costante.
Ad esempio, la funzione
\[ f(x)=x^3 \]
è strettamente crescente su \(\mathbb R\), ma la sua derivata
\[ f'(x)=3x^2 \]
si annulla per \(x=0\).
Questo esempio mostra che la positività della derivata in ogni punto è una condizione forte: garantisce la stretta crescenza, ma non è l'unico modo in cui una funzione può essere strettamente crescente.
Osservazioni finali
Le funzioni crescenti e decrescenti permettono di descrivere in modo rigoroso l'andamento di una funzione su un insieme o su un intervallo.
La distinzione fondamentale è tra monotonia semplice e monotonia stretta. Una funzione crescente può mantenere lo stesso valore in punti diversi, mentre una funzione strettamente crescente deve aumentare davvero quando la variabile aumenta. In modo analogo, una funzione decrescente può rimanere costante su alcuni tratti, mentre una funzione strettamente decrescente deve diminuire in modo stretto.
Le definizioni si basano sempre sul confronto tra due punti \(x_1,x_2\) dell'insieme considerato. Se \(x_1<x_2\), allora:
- \(f\) è crescente se \(f(x_1)\le f(x_2)\);
- \(f\) è strettamente crescente se \(f(x_1)<f(x_2)\);
- \(f\) è decrescente se \(f(x_1)\ge f(x_2)\);
- \(f\) è strettamente decrescente se \(f(x_1)>f(x_2)\).
È essenziale specificare l'insieme su cui si studia la monotonia. Una funzione può essere crescente su un intervallo, decrescente su un altro e non monotona sull'intero dominio. Per questo motivo si parla spesso di intervalli di monotonia.
Le funzioni strettamente monotone sono sempre iniettive, perché due punti distinti del dominio hanno immagini distinte. Tuttavia, una funzione iniettiva non è necessariamente monotona: l'iniettività riguarda la distinzione dei valori assunti, mentre la monotonia riguarda anche l'ordine con cui tali valori sono disposti.
Se la funzione è derivabile su un intervallo, il segno della derivata fornisce un criterio molto utile per studiarne l'andamento. Una derivata non negativa implica crescenza, una derivata non positiva implica decrescenza. Derivata positiva o negativa in ogni punto forniscono invece condizioni sufficienti per la monotonia stretta.
In conclusione, la monotonia è uno strumento centrale nello studio delle funzioni: consente di comprendere il comportamento del grafico, individuare intervalli significativi del dominio e collegare le proprietà qualitative della funzione al segno della derivata.