In questa raccolta proponiamo 20 esercizi svolti sulle funzioni crescenti, funzioni decrescenti, funzioni monotone e funzioni strettamente monotone. Ogni esercizio è risolto passo passo, con particolare attenzione al confronto tra i valori della funzione in due punti \(x_1\) e \(x_2\) del dominio.
Per stabilire se una funzione è crescente o decrescente su un insieme \(X\), non basta osservare alcuni punti del grafico: bisogna verificare una proprietà valida per ogni coppia di punti \(x_1,x_2\in X\) con \(x_1<x_2\).
Ricordiamo che una funzione \(f:X\to\mathbb R\) è crescente su \(X\) se
\[ x_1<x_2 \implies f(x_1)\le f(x_2), \]
mentre è decrescente su \(X\) se
\[ x_1<x_2 \implies f(x_1)\ge f(x_2). \]
Se le disuguaglianze sono strette, si parla invece di funzione strettamente crescente o strettamente decrescente. Gli esercizi seguenti mostrano come applicare queste definizioni, come riconoscere funzioni monotone su intervalli e come distinguere la monotonia semplice dalla monotonia stretta.
Esercizio 1 — livello ★☆☆☆☆
Stabilire se la funzione
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=2x+1 \]
è crescente, decrescente, strettamente crescente o strettamente decrescente su \(\mathbb R\).
Risultato
La funzione è strettamente crescente su \(\mathbb R\). Di conseguenza, è anche crescente su \(\mathbb R\).
Svolgimento
Per studiare la monotonia mediante la definizione, prendiamo due punti qualunque \(x_1,x_2\in\mathbb R\) tali che
\[ x_1<x_2. \]
Dobbiamo confrontare \(f(x_1)\) e \(f(x_2)\). Poiché
\[ f(x)=2x+1, \]
abbiamo
\[ f(x_1)=2x_1+1 \]
e
\[ f(x_2)=2x_2+1. \]
Dalla disuguaglianza \(x_1<x_2\), moltiplicando entrambi i membri per \(2\), che è un numero positivo, otteniamo
\[ 2x_1<2x_2. \]
Aggiungendo \(1\) a entrambi i membri, si ricava
\[ 2x_1+1<2x_2+1. \]
Cioè
\[ f(x_1)<f(x_2). \]
Abbiamo quindi dimostrato che, per ogni \(x_1,x_2\in\mathbb R\),
\[ x_1<x_2 \implies f(x_1)<f(x_2). \]
Per definizione, la funzione è strettamente crescente su \(\mathbb R\).
Poiché ogni funzione strettamente crescente è anche crescente, concludiamo che \(f\) è anche crescente su \(\mathbb R\).
Esercizio 2 — livello ★☆☆☆☆
Stabilire se la funzione
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=-3x+4 \]
è crescente, decrescente, strettamente crescente o strettamente decrescente su \(\mathbb R\).
Risultato
La funzione è strettamente decrescente su \(\mathbb R\). Di conseguenza, è anche decrescente su \(\mathbb R\).
Svolgimento
Prendiamo due punti qualunque \(x_1,x_2\in\mathbb R\) tali che
\[ x_1<x_2. \]
Dobbiamo confrontare i valori \(f(x_1)\) e \(f(x_2)\). Poiché
\[ f(x)=-3x+4, \]
si ha
\[ f(x_1)=-3x_1+4 \]
e
\[ f(x_2)=-3x_2+4. \]
Dalla disuguaglianza
\[ x_1<x_2 \]
moltiplicando entrambi i membri per \(-3\), che è un numero negativo, il verso della disuguaglianza si inverte:
\[ -3x_1>-3x_2. \]
Aggiungendo \(4\) a entrambi i membri, otteniamo
\[ -3x_1+4>-3x_2+4. \]
Cioè
\[ f(x_1)>f(x_2). \]
Abbiamo quindi dimostrato che, per ogni \(x_1,x_2\in\mathbb R\),
\[ x_1<x_2 \implies f(x_1)>f(x_2). \]
Per definizione, \(f\) è strettamente decrescente su \(\mathbb R\).
Poiché ogni funzione strettamente decrescente è anche decrescente, la funzione è anche decrescente su \(\mathbb R\).
Esercizio 3 — livello ★☆☆☆☆
Stabilire se la funzione costante
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=5 \]
è crescente, decrescente, strettamente crescente o strettamente decrescente su \(\mathbb R\).
Risultato
La funzione è crescente e decrescente su \(\mathbb R\), ma non è né strettamente crescente né strettamente decrescente.
Svolgimento
Consideriamo due punti qualunque \(x_1,x_2\in\mathbb R\) tali che
\[ x_1<x_2. \]
Poiché la funzione è costante, il suo valore è sempre uguale a \(5\). Quindi
\[ f(x_1)=5 \]
e
\[ f(x_2)=5. \]
In particolare,
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Da questa uguaglianza segue sia
\[ f(x_1)\le f(x_2) \]
sia
\[ f(x_1)\ge f(x_2). \]
Pertanto, per ogni \(x_1,x_2\in\mathbb R\) con \(x_1<x_2\), valgono entrambe le condizioni:
\[ f(x_1)\le f(x_2) \]
e
\[ f(x_1)\ge f(x_2). \]
Per definizione, la funzione è quindi sia crescente sia decrescente su \(\mathbb R\).
Tuttavia, non è strettamente crescente. Infatti, per essere strettamente crescente dovrebbe valere
\[ f(x_1)<f(x_2) \]
per ogni \(x_1<x_2\), ma in questo caso i due valori sono sempre uguali.
Allo stesso modo, non è strettamente decrescente, perché non vale
\[ f(x_1)>f(x_2) \]
per ogni \(x_1<x_2\).
Concludiamo che la funzione costante è crescente e decrescente, ma non è né strettamente crescente né strettamente decrescente.
Esercizio 4 — livello ★★☆☆☆
Stabilire se la funzione
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2 \]
è crescente, decrescente o non monotona su \(\mathbb R\).
Risultato
La funzione non è monotona su \(\mathbb R\): non è né crescente né decrescente su tutto il suo dominio.
Svolgimento
Per stabilire se \(f(x)=x^2\) è crescente su \(\mathbb R\), dovremmo verificare che, per ogni \(x_1,x_2\in\mathbb R\),
\[ x_1<x_2 \implies f(x_1)\le f(x_2). \]
Basta però trovare una sola coppia di punti che contraddice questa condizione per dimostrare che la funzione non è crescente.
Scegliamo
\[ x_1=-1,\qquad x_2=0. \]
Si ha chiaramente
\[ -1<0, \]
cioè \(x_1<x_2\). Tuttavia,
\[ f(-1)=(-1)^2=1 \]
mentre
\[ f(0)=0^2=0. \]
Quindi
\[ f(-1)>f(0). \]
Abbiamo trovato due punti \(x_1<x_2\) tali che \(f(x_1)>f(x_2)\). Questo contraddice la definizione di funzione crescente. Dunque \(f\) non è crescente su \(\mathbb R\).
Verifichiamo ora se la funzione è decrescente su \(\mathbb R\). Per essere decrescente dovrebbe valere, per ogni \(x_1,x_2\in\mathbb R\),
\[ x_1<x_2 \implies f(x_1)\ge f(x_2). \]
Anche in questo caso basta trovare una coppia che contraddice la condizione.
Scegliamo
\[ x_1=0,\qquad x_2=1. \]
Si ha
\[ 0<1, \]
ma
\[ f(0)=0 \]
e
\[ f(1)=1. \]
Quindi
\[ f(0)<f(1). \]
Abbiamo trovato due punti \(x_1<x_2\) tali che \(f(x_1)<f(x_2)\). Questo contraddice la definizione di funzione decrescente. Dunque \(f\) non è decrescente su \(\mathbb R\).
Poiché la funzione non è né crescente né decrescente su \(\mathbb R\), concludiamo che \(f(x)=x^2\) è non monotona su \(\mathbb R\).
Esercizio 5 — livello ★★☆☆☆
Stabilire se la funzione
\[ f:[0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2 \]
è crescente, decrescente, strettamente crescente o strettamente decrescente su \([0,+\infty)\).
Risultato
La funzione è strettamente crescente su \([0,+\infty)\). Di conseguenza, è anche crescente su \([0,+\infty)\).
Svolgimento
Per studiare la monotonia su \([0,+\infty)\), prendiamo due punti qualunque
\[ x_1,x_2\in[0,+\infty) \]
tali che
\[ x_1<x_2. \]
Poiché \(x_1\) e \(x_2\) appartengono a \([0,+\infty)\), sono entrambi non negativi. In particolare,
\[ 0\le x_1<x_2. \]
Vogliamo confrontare \(f(x_1)\) e \(f(x_2)\). Poiché
\[ f(x)=x^2, \]
abbiamo
\[ f(x_1)=x_1^2 \]
e
\[ f(x_2)=x_2^2. \]
Dalla disuguaglianza
\[ 0\le x_1<x_2 \]
segue che
\[ x_1^2<x_2^2. \]
Infatti possiamo scrivere
\[ x_2^2-x_1^2=(x_2-x_1)(x_2+x_1). \]
Poiché \(x_2>x_1\), si ha
\[ x_2-x_1>0. \]
Inoltre, essendo \(x_1\ge 0\) e \(x_2>x_1\), si ha anche
\[ x_2+x_1>0. \]
Quindi
\[ (x_2-x_1)(x_2+x_1)>0, \]
cioè
\[ x_2^2-x_1^2>0. \]
Da ciò segue
\[ x_1^2<x_2^2. \]
Pertanto
\[ f(x_1)<f(x_2). \]
Abbiamo dimostrato che, per ogni \(x_1,x_2\in[0,+\infty)\),
\[ x_1<x_2 \implies f(x_1)<f(x_2). \]
Per definizione, \(f\) è strettamente crescente su \([0,+\infty)\).
Di conseguenza, \(f\) è anche crescente su \([0,+\infty)\).
Esercizio 6 — livello ★★☆☆☆
Stabilire se la funzione
\[ f:(-\infty,0]\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2 \]
è crescente, decrescente, strettamente crescente o strettamente decrescente su \((-\infty,0]\).
Risultato
La funzione è strettamente decrescente su \((-\infty,0]\). Di conseguenza, è anche decrescente su \((-\infty,0]\).
Svolgimento
Prendiamo due punti qualunque
\[ x_1,x_2\in(-\infty,0] \]
tali che
\[ x_1<x_2. \]
Poiché entrambi i punti appartengono a \((-\infty,0]\), abbiamo
\[ x_1<x_2\le 0. \]
Dobbiamo confrontare
\[ f(x_1)=x_1^2 \]
e
\[ f(x_2)=x_2^2. \]
Consideriamo la differenza
\[ x_1^2-x_2^2. \]
Scomponiamo come differenza di quadrati:
\[ x_1^2-x_2^2=(x_1-x_2)(x_1+x_2). \]
Poiché \(x_1<x_2\), si ha
\[ x_1-x_2<0. \]
Inoltre, essendo \(x_1<x_2\le 0\), entrambi i numeri sono non positivi e almeno \(x_1\) è strettamente negativo. Quindi
\[ x_1+x_2<0. \]
Il prodotto di due numeri negativi è positivo, quindi
\[ (x_1-x_2)(x_1+x_2)>0. \]
Pertanto
\[ x_1^2-x_2^2>0. \]
Da questa disuguaglianza segue
\[ x_1^2>x_2^2. \]
Cioè
\[ f(x_1)>f(x_2). \]
Abbiamo quindi dimostrato che, per ogni \(x_1,x_2\in(-\infty,0]\),
\[ x_1<x_2 \implies f(x_1)>f(x_2). \]
Per definizione, \(f\) è strettamente decrescente su \((-\infty,0]\).
Di conseguenza, \(f\) è anche decrescente su \((-\infty,0]\).
Esercizio 7 — livello ★★☆☆☆
Stabilire se la funzione
\[ f:\mathbb R\setminus\{0\}\to\mathbb R,\qquad f(x)=\frac{1}{x} \]
è decrescente su tutto il suo dominio.
Risultato
La funzione non è decrescente su tutto il dominio \(\mathbb R\setminus\{0\}\).
Svolgimento
Il dominio della funzione è
\[ \mathbb R\setminus\{0\}=(-\infty,0)\cup(0,+\infty). \]
Per essere decrescente su tutto il dominio, la funzione dovrebbe soddisfare la condizione seguente: per ogni \(x_1,x_2\in\mathbb R\setminus\{0\}\),
\[ x_1<x_2 \implies f(x_1)\ge f(x_2). \]
Per dimostrare che la funzione non è decrescente su tutto il dominio, basta trovare una coppia di punti del dominio che contraddice questa condizione.
Scegliamo
\[ x_1=-1,\qquad x_2=1. \]
Entrambi appartengono al dominio, poiché sono diversi da \(0\), e si ha
\[ -1<1. \]
Calcoliamo i valori della funzione:
\[ f(-1)=\frac{1}{-1}=-1 \]
e
\[ f(1)=\frac{1}{1}=1. \]
Quindi
\[ f(-1)<f(1). \]
Ma una funzione decrescente dovrebbe soddisfare
\[ f(-1)\ge f(1), \]
perché \(-1<1\).
La coppia \(x_1=-1\), \(x_2=1\) contraddice quindi la definizione di funzione decrescente.
Pertanto la funzione
\[ f(x)=\frac{1}{x} \]
non è decrescente su tutto il suo dominio \(\mathbb R\setminus\{0\}\).
Questo non contraddice il fatto che \(f\) sia strettamente decrescente separatamente su \((-\infty,0)\) e su \((0,+\infty)\). La monotonia deve sempre essere riferita all'insieme su cui viene studiata.
Esercizio 8 — livello ★★☆☆☆
Stabilire se la funzione
\[ f:(0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad f(x)=\frac{1}{x} \]
è crescente, decrescente, strettamente crescente o strettamente decrescente su \((0,+\infty)\).
Risultato
La funzione è strettamente decrescente su \((0,+\infty)\). Di conseguenza, è anche decrescente su \((0,+\infty)\).
Svolgimento
Prendiamo due punti qualunque
\[ x_1,x_2\in(0,+\infty) \]
tali che
\[ x_1<x_2. \]
Poiché \(x_1\) e \(x_2\) appartengono a \((0,+\infty)\), sono entrambi positivi:
\[ 0<x_1<x_2. \]
Vogliamo confrontare
\[ f(x_1)=\frac{1}{x_1} \]
e
\[ f(x_2)=\frac{1}{x_2}. \]
Poiché
\[ 0<x_1<x_2, \]
dividendo \(1\) per un numero positivo più grande si ottiene un valore più piccolo. In modo algebrico, confrontiamo le due frazioni:
\[ \frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2} = \frac{x_2-x_1}{x_1x_2}. \]
Il numeratore è positivo, perché
\[ x_2-x_1>0. \]
Anche il denominatore è positivo, perché \(x_1>0\) e \(x_2>0\). Dunque
\[ x_1x_2>0. \]
Ne segue che
\[ \frac{x_2-x_1}{x_1x_2}>0. \]
Quindi
\[ \frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}>0, \]
cioè
\[ \frac{1}{x_1}>\frac{1}{x_2}. \]
Pertanto
\[ f(x_1)>f(x_2). \]
Abbiamo dimostrato che, per ogni \(x_1,x_2\in(0,+\infty)\),
\[ x_1<x_2 \implies f(x_1)>f(x_2). \]
Per definizione, \(f\) è strettamente decrescente su \((0,+\infty)\).
Di conseguenza, \(f\) è anche decrescente su \((0,+\infty)\).
Esercizio 9 — livello ★★☆☆☆
Stabilire se la funzione
\[ f:(-\infty,0)\to\mathbb R,\qquad f(x)=\frac{1}{x} \]
è crescente, decrescente, strettamente crescente o strettamente decrescente su \((-\infty,0)\).
Risultato
La funzione è strettamente decrescente su \((-\infty,0)\). Di conseguenza, è anche decrescente su \((-\infty,0)\).
Svolgimento
Prendiamo due punti qualunque
\[ x_1,x_2\in(-\infty,0) \]
tali che
\[ x_1<x_2. \]
Poiché \(x_1\) e \(x_2\) appartengono a \((-\infty,0)\), sono entrambi negativi. Dunque
\[ x_1<x_2<0. \]
Vogliamo confrontare
\[ f(x_1)=\frac{1}{x_1} \]
e
\[ f(x_2)=\frac{1}{x_2}. \]
Consideriamo la differenza:
\[ \frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2} = \frac{x_2-x_1}{x_1x_2}. \]
Poiché \(x_1<x_2\), si ha
\[ x_2-x_1>0. \]
Inoltre \(x_1\) e \(x_2\) sono entrambi negativi, quindi il loro prodotto è positivo:
\[ x_1x_2>0. \]
Pertanto
\[ \frac{x_2-x_1}{x_1x_2}>0. \]
Quindi
\[ \frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}>0, \]
cioè
\[ \frac{1}{x_1}>\frac{1}{x_2}. \]
Abbiamo dunque ottenuto
\[ f(x_1)>f(x_2). \]
Questo vale per ogni coppia \(x_1,x_2\in(-\infty,0)\) con \(x_1<x_2\). Per definizione, la funzione è strettamente decrescente su \((-\infty,0)\).
Di conseguenza, \(f\) è anche decrescente su \((-\infty,0)\).
Esercizio 10 — livello ★★★☆☆
Stabilire se la funzione
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^3 \]
è crescente, decrescente, strettamente crescente o strettamente decrescente su \(\mathbb R\).
Risultato
La funzione è strettamente crescente su \(\mathbb R\). Di conseguenza, è anche crescente su \(\mathbb R\).
Svolgimento
Usiamo direttamente la definizione. Prendiamo due punti qualunque \(x_1,x_2\in\mathbb R\) tali che
\[ x_1<x_2. \]
Dobbiamo dimostrare che
\[ f(x_1)<f(x_2), \]
cioè
\[ x_1^3<x_2^3. \]
Consideriamo la differenza
\[ x_2^3-x_1^3. \]
Scomponiamo la differenza di cubi:
\[ x_2^3-x_1^3=(x_2-x_1)(x_2^2+x_1x_2+x_1^2). \]
Poiché \(x_1<x_2\), si ha
\[ x_2-x_1>0. \]
Resta da osservare che
\[ x_2^2+x_1x_2+x_1^2>0. \]
Infatti possiamo scrivere
\[ x_2^2+x_1x_2+x_1^2 = \left(x_2+\frac{x_1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}x_1^2. \]
Questa quantità è sempre non negativa e, nel nostro caso, non può essere nulla contemporaneamente con \(x_1<x_2\). Dunque è positiva.
Quindi il prodotto
\[ (x_2-x_1)(x_2^2+x_1x_2+x_1^2) \]
è positivo. Pertanto
\[ x_2^3-x_1^3>0. \]
Da ciò segue
\[ x_1^3<x_2^3. \]
Cioè
\[ f(x_1)<f(x_2). \]
Abbiamo dimostrato che, per ogni \(x_1,x_2\in\mathbb R\),
\[ x_1<x_2 \implies f(x_1)<f(x_2). \]
Per definizione, \(f(x)=x^3\) è strettamente crescente su \(\mathbb R\).
Questo esempio è importante perché mostra che la stretta crescenza può essere dimostrata direttamente dalla definizione, confrontando i valori assunti dalla funzione in due punti qualunque del dominio.
Esercizio 11 — livello ★★★☆☆
Stabilire se la funzione
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2-4x+1 \]
è crescente, decrescente o non monotona su \(\mathbb R\).
Risultato
La funzione non è monotona su \(\mathbb R\). È strettamente decrescente su \((-\infty,2]\) e strettamente crescente su \([2,+\infty)\).
Svolgimento
Riscriviamo la funzione completando il quadrato:
\[ f(x)=x^2-4x+1=(x-2)^2-3. \]
Questa forma mostra che il valore della funzione dipende dal quadrato della distanza di \(x\) dal numero \(2\).
Studiamo prima la funzione sull'intervallo \([2,+\infty)\). Prendiamo due punti qualunque
\[ x_1,x_2\in[2,+\infty) \]
tali che
\[ x_1<x_2. \]
Poiché \(x_1\ge 2\) e \(x_2\ge 2\), si ha
\[ 0\le x_1-2<x_2-2. \]
Elevando al quadrato, dato che i due membri sono non negativi, otteniamo
\[ (x_1-2)^2<(x_2-2)^2. \]
Sottraendo \(3\) a entrambi i membri:
\[ (x_1-2)^2-3<(x_2-2)^2-3. \]
Cioè
\[ f(x_1)<f(x_2). \]
Dunque \(f\) è strettamente crescente su \([2,+\infty)\).
Studiamo ora la funzione sull'intervallo \((-\infty,2]\). Prendiamo due punti qualunque
\[ x_1,x_2\in(-\infty,2] \]
tali che
\[ x_1<x_2. \]
Allora
\[ x_1-2<x_2-2\le 0. \]
Moltiplicando per \(-1\), il verso della disuguaglianza si inverte:
\[ 2-x_1>2-x_2\ge 0. \]
Poiché entrambi i membri sono non negativi, elevando al quadrato si ottiene
\[ (2-x_1)^2>(2-x_2)^2. \]
Ma
\[ (2-x)^2=(x-2)^2. \]
Quindi
\[ (x_1-2)^2>(x_2-2)^2. \]
Sottraendo \(3\) a entrambi i membri:
\[ (x_1-2)^2-3>(x_2-2)^2-3. \]
Cioè
\[ f(x_1)>f(x_2). \]
Dunque \(f\) è strettamente decrescente su \((-\infty,2]\).
Infine, la funzione non è monotona su tutto \(\mathbb R\), perché prima decresce e poi cresce. Possiamo verificarlo anche con due controesempi.
Infatti
\[ f(1)=1-4+1=-2 \]
mentre
\[ f(2)=4-8+1=-3. \]
Poiché \(1<2\) ma \(f(1)>f(2)\), la funzione non è crescente su \(\mathbb R\).
Inoltre
\[ f(2)=-3 \]
e
\[ f(3)=9-12+1=-2. \]
Poiché \(2<3\) ma \(f(2)<f(3)\), la funzione non è decrescente su \(\mathbb R\).
Concludiamo che \(f\) non è monotona su \(\mathbb R\), ma è strettamente decrescente su \((-\infty,2]\) e strettamente crescente su \([2,+\infty)\).
Esercizio 12 — livello ★★★☆☆
Stabilire se la funzione
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=-x^2+6x-5 \]
è crescente, decrescente o non monotona su \(\mathbb R\).
Risultato
La funzione non è monotona su \(\mathbb R\). È strettamente crescente su \((-\infty,3]\) e strettamente decrescente su \([3,+\infty)\).
Svolgimento
Riscriviamo la funzione completando il quadrato:
\[ f(x)=-x^2+6x-5=-(x-3)^2+4. \]
Questa forma mostra che la funzione raggiunge il valore massimo quando \(x=3\), perché il termine \((x-3)^2\) è sempre non negativo.
Studiamo prima la funzione su \((-\infty,3]\). Prendiamo due punti qualunque
\[ x_1,x_2\in(-\infty,3] \]
tali che
\[ x_1<x_2. \]
Allora
\[ x_1-3<x_2-3\le 0. \]
Moltiplicando per \(-1\), otteniamo
\[ 3-x_1>3-x_2\ge 0. \]
Poiché i due membri sono non negativi, elevando al quadrato si ha
\[ (3-x_1)^2>(3-x_2)^2. \]
Poiché
\[ (3-x)^2=(x-3)^2, \]
otteniamo
\[ (x_1-3)^2>(x_2-3)^2. \]
Moltiplicando per \(-1\), il verso della disuguaglianza si inverte:
\[ -(x_1-3)^2<-(x_2-3)^2. \]
Aggiungendo \(4\) a entrambi i membri:
\[ -(x_1-3)^2+4<-(x_2-3)^2+4. \]
Cioè
\[ f(x_1)<f(x_2). \]
Dunque \(f\) è strettamente crescente su \((-\infty,3]\).
Studiamo ora la funzione su \([3,+\infty)\). Prendiamo due punti qualunque
\[ x_1,x_2\in[3,+\infty) \]
tali che
\[ x_1<x_2. \]
Allora
\[ 0\le x_1-3<x_2-3. \]
Elevando al quadrato:
\[ (x_1-3)^2<(x_2-3)^2. \]
Moltiplicando per \(-1\), otteniamo
\[ -(x_1-3)^2>-(x_2-3)^2. \]
Aggiungendo \(4\):
\[ -(x_1-3)^2+4>-(x_2-3)^2+4. \]
Cioè
\[ f(x_1)>f(x_2). \]
Dunque \(f\) è strettamente decrescente su \([3,+\infty)\).
La funzione non è monotona su tutto \(\mathbb R\), perché cresce fino a \(x=3\) e poi decresce.
Infatti, scegliendo \(x_1=2\) e \(x_2=3\), si ha \(2<3\), ma
\[ f(2)=-4+12-5=3 \]
e
\[ f(3)=-9+18-5=4. \]
Quindi \(f(2)<f(3)\), e questo esclude che la funzione sia decrescente su \(\mathbb R\).
Inoltre, scegliendo \(x_1=3\) e \(x_2=4\), si ha \(3<4\), ma
\[ f(3)=4 \]
e
\[ f(4)=-16+24-5=3. \]
Quindi \(f(3)>f(4)\), e questo esclude che la funzione sia crescente su \(\mathbb R\).
Concludiamo che \(f\) non è monotona su \(\mathbb R\), ma è strettamente crescente su \((-\infty,3]\) e strettamente decrescente su \([3,+\infty)\).
Esercizio 13 — livello ★★★☆☆
Stabilire se la funzione
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=|x| \]
è crescente, decrescente o non monotona su \(\mathbb R\). Determinare poi gli intervalli su cui è monotona.
Risultato
La funzione non è monotona su \(\mathbb R\). È strettamente decrescente su \((-\infty,0]\) e strettamente crescente su \([0,+\infty)\).
Svolgimento
La funzione valore assoluto è definita da
\[ |x|= \begin{cases} -x & \text{se } x<0,\\ x & \text{se } x\ge 0. \end{cases} \]
Studiamo prima la funzione su \([0,+\infty)\). Se \(x\ge 0\), allora
\[ |x|=x. \]
Prendiamo quindi due punti qualunque
\[ x_1,x_2\in[0,+\infty) \]
tali che
\[ x_1<x_2. \]
Poiché su \([0,+\infty)\) si ha \(f(x)=x\), otteniamo
\[ f(x_1)=x_1 \]
e
\[ f(x_2)=x_2. \]
Dalla disuguaglianza \(x_1<x_2\) segue direttamente
\[ f(x_1)<f(x_2). \]
Dunque \(f\) è strettamente crescente su \([0,+\infty)\).
Studiamo ora la funzione su \((-\infty,0]\). Se \(x\le 0\), allora
\[ |x|=-x. \]
Prendiamo due punti qualunque
\[ x_1,x_2\in(-\infty,0] \]
tali che
\[ x_1<x_2. \]
Poiché su \((-\infty,0]\) si ha \(f(x)=-x\), otteniamo
\[ f(x_1)=-x_1 \]
e
\[ f(x_2)=-x_2. \]
Dalla disuguaglianza
\[ x_1<x_2 \]
moltiplicando per \(-1\), il verso della disuguaglianza si inverte:
\[ -x_1>-x_2. \]
Quindi
\[ f(x_1)>f(x_2). \]
Dunque \(f\) è strettamente decrescente su \((-\infty,0]\).
La funzione non è monotona su tutto \(\mathbb R\). Infatti, scegliendo
\[ x_1=-1,\qquad x_2=0, \]
si ha \(x_1<x_2\), ma
\[ f(-1)=1>0=f(0). \]
Questo esclude che \(f\) sia crescente su \(\mathbb R\).
Inoltre, scegliendo
\[ x_1=0,\qquad x_2=1, \]
si ha \(x_1<x_2\), ma
\[ f(0)=0<1=f(1). \]
Questo esclude che \(f\) sia decrescente su \(\mathbb R\).
Pertanto \(f(x)=|x|\) non è monotona su \(\mathbb R\), ma è strettamente decrescente su \((-\infty,0]\) e strettamente crescente su \([0,+\infty)\).
Esercizio 14 — livello ★★★☆☆
Stabilire se la funzione
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=-|x| \]
è crescente, decrescente o non monotona su \(\mathbb R\). Determinare poi gli intervalli su cui è monotona.
Risultato
La funzione non è monotona su \(\mathbb R\). È strettamente crescente su \((-\infty,0]\) e strettamente decrescente su \([0,+\infty)\).
Svolgimento
La funzione è
\[ f(x)=-|x|. \]
Poiché
\[ |x|= \begin{cases} -x & \text{se } x<0,\\ x & \text{se } x\ge 0, \end{cases} \]
otteniamo
\[ -|x|= \begin{cases} x & \text{se } x<0,\\ -x & \text{se } x\ge 0. \end{cases} \]
Studiamo prima la funzione su \((-\infty,0]\). In questo intervallo la funzione si comporta come
\[ f(x)=x. \]
Se \(x_1,x_2\in(-\infty,0]\) e
\[ x_1<x_2, \]
allora
\[ f(x_1)=x_1 \]
e
\[ f(x_2)=x_2. \]
Quindi dalla disuguaglianza \(x_1<x_2\) segue
\[ f(x_1)<f(x_2). \]
Dunque \(f\) è strettamente crescente su \((-\infty,0]\).
Studiamo ora la funzione su \([0,+\infty)\). In questo intervallo la funzione si comporta come
\[ f(x)=-x. \]
Se \(x_1,x_2\in[0,+\infty)\) e
\[ x_1<x_2, \]
allora, moltiplicando per \(-1\), otteniamo
\[ -x_1>-x_2. \]
Cioè
\[ f(x_1)>f(x_2). \]
Dunque \(f\) è strettamente decrescente su \([0,+\infty)\).
La funzione non è monotona su tutto \(\mathbb R\). Infatti cresce fino a \(x=0\) e poi decresce.
Per vedere che non è crescente su tutto \(\mathbb R\), scegliamo
\[ x_1=0,\qquad x_2=1. \]
Si ha \(0<1\), ma
\[ f(0)=0>-1=f(1). \]
Questo contraddice la crescenza.
Per vedere che non è decrescente su tutto \(\mathbb R\), scegliamo
\[ x_1=-1,\qquad x_2=0. \]
Si ha \(-1<0\), ma
\[ f(-1)=-1<0=f(0). \]
Questo contraddice la decrescenza.
Pertanto \(f(x)=-|x|\) non è monotona su \(\mathbb R\), ma è strettamente crescente su \((-\infty,0]\) e strettamente decrescente su \([0,+\infty)\).
Esercizio 15 — livello ★★★★☆
Stabilire se la funzione
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)= \begin{cases} x & \text{se } x<0,\\ 0 & \text{se } x\ge 0 \end{cases} \]
è crescente, decrescente, strettamente crescente o strettamente decrescente su \(\mathbb R\).
Risultato
La funzione è crescente su \(\mathbb R\), ma non è strettamente crescente.
Svolgimento
La funzione è definita a tratti:
\[ f(x)= \begin{cases} x & \text{se } x<0,\\ 0 & \text{se } x\ge 0. \end{cases} \]
Dobbiamo verificare che, per ogni \(x_1,x_2\in\mathbb R\) con
\[ x_1<x_2, \]
valga
\[ f(x_1)\le f(x_2). \]
Consideriamo i possibili casi.
Primo caso: \(x_1<x_2<0\). In questo caso entrambi i punti sono negativi, quindi
\[ f(x_1)=x_1,\qquad f(x_2)=x_2. \]
Poiché \(x_1<x_2\), segue
\[ f(x_1)<f(x_2), \]
e quindi, in particolare,
\[ f(x_1)\le f(x_2). \]
Secondo caso: \(x_1<0\le x_2\). In questo caso
\[ f(x_1)=x_1 \]
e
\[ f(x_2)=0. \]
Poiché \(x_1<0\), si ha
\[ f(x_1)=x_1<0=f(x_2). \]
Dunque anche in questo caso \(f(x_1)\le f(x_2)\).
Terzo caso: \(0\le x_1<x_2\). In questo caso entrambi i punti sono non negativi, quindi
\[ f(x_1)=0,\qquad f(x_2)=0. \]
Di conseguenza
\[ f(x_1)=f(x_2), \]
e quindi
\[ f(x_1)\le f(x_2). \]
In tutti i casi possibili abbiamo ottenuto
\[ x_1<x_2 \implies f(x_1)\le f(x_2). \]
Per definizione, la funzione è crescente su \(\mathbb R\).
La funzione non è però strettamente crescente. Infatti, scegliendo
\[ x_1=1,\qquad x_2=2, \]
si ha \(x_1<x_2\), ma
\[ f(1)=0=f(2). \]
Quindi non vale \(f(x_1)<f(x_2)\) per ogni coppia \(x_1<x_2\). Pertanto la funzione è crescente, ma non strettamente crescente.
Esercizio 16 — livello ★★★★☆
Stabilire se la funzione
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)= \begin{cases} 1 & \text{se } x<0,\\ -x & \text{se } x\ge 0 \end{cases} \]
è crescente, decrescente, strettamente crescente o strettamente decrescente su \(\mathbb R\).
Risultato
La funzione è decrescente su \(\mathbb R\), ma non è strettamente decrescente.
Svolgimento
La funzione è definita a tratti:
\[ f(x)= \begin{cases} 1 & \text{se } x<0,\\ -x & \text{se } x\ge 0. \end{cases} \]
Per dimostrare che \(f\) è decrescente su \(\mathbb R\), dobbiamo verificare che, per ogni \(x_1,x_2\in\mathbb R\),
\[ x_1<x_2 \implies f(x_1)\ge f(x_2). \]
Consideriamo tutti i casi possibili.
Primo caso: \(x_1<x_2<0\).
In questo caso entrambi i punti sono negativi. Quindi, per definizione della funzione,
\[ f(x_1)=1 \qquad \text{e} \qquad f(x_2)=1. \]
Pertanto
\[ f(x_1)=f(x_2), \]
e quindi, in particolare,
\[ f(x_1)\ge f(x_2). \]
Secondo caso: \(x_1<0\le x_2\).
In questo caso \(x_1\) è negativo, mentre \(x_2\) è non negativo. Quindi
\[ f(x_1)=1 \]
e
\[ f(x_2)=-x_2. \]
Poiché \(x_2\ge 0\), si ha
\[ -x_2\le 0. \]
Dunque
\[ f(x_2)\le 0. \]
Ma
\[ f(x_1)=1, \]
quindi certamente
\[ f(x_1)\ge f(x_2). \]
Terzo caso: \(0\le x_1<x_2\).
In questo caso entrambi i punti sono non negativi. Quindi la funzione è data da
\[ f(x)=-x. \]
Pertanto
\[ f(x_1)=-x_1 \qquad \text{e} \qquad f(x_2)=-x_2. \]
Dalla disuguaglianza
\[ x_1<x_2 \]
moltiplicando per \(-1\), il verso della disuguaglianza si inverte:
\[ -x_1>-x_2. \]
Cioè
\[ f(x_1)>f(x_2). \]
In particolare, anche in questo caso vale
\[ f(x_1)\ge f(x_2). \]
In tutti i casi possibili abbiamo dimostrato che, se \(x_1<x_2\), allora
\[ f(x_1)\ge f(x_2). \]
Per definizione, \(f\) è quindi decrescente su \(\mathbb R\).
La funzione non è però strettamente decrescente. Infatti, scegliendo
\[ x_1=-2,\qquad x_2=-1, \]
si ha
\[ -2<-1, \]
ma, poiché entrambi i punti sono negativi,
\[ f(-2)=1 \qquad \text{e} \qquad f(-1)=1. \]
Quindi
\[ f(-2)=f(-1). \]
Per essere strettamente decrescente dovrebbe invece valere
\[ f(-2)>f(-1). \]
Questa condizione non è soddisfatta. Pertanto la funzione è decrescente su \(\mathbb R\), ma non è strettamente decrescente.
Esercizio 17 — livello ★★★★☆
Stabilire se la funzione
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)= \begin{cases} x & \text{se } x\le 0,\\ x+1 & \text{se } x>0 \end{cases} \]
è crescente, decrescente, strettamente crescente o strettamente decrescente su \(\mathbb R\).
Risultato
La funzione è strettamente crescente su \(\mathbb R\). Di conseguenza, è anche crescente su \(\mathbb R\).
Svolgimento
La funzione è definita a tratti:
\[ f(x)= \begin{cases} x & \text{se } x\le 0,\\ x+1 & \text{se } x>0. \end{cases} \]
Per dimostrare che \(f\) è strettamente crescente su \(\mathbb R\), dobbiamo verificare che, per ogni \(x_1,x_2\in\mathbb R\),
\[ x_1<x_2 \implies f(x_1)<f(x_2). \]
Consideriamo tutti i casi possibili.
Primo caso: \(x_1<x_2\le 0\).
In questo caso entrambi i punti appartengono al primo tratto della funzione. Quindi
\[ f(x_1)=x_1 \]
e
\[ f(x_2)=x_2. \]
Poiché \(x_1<x_2\), otteniamo direttamente
\[ f(x_1)<f(x_2). \]
Secondo caso: \(0<x_1<x_2\).
In questo caso entrambi i punti appartengono al secondo tratto della funzione. Quindi
\[ f(x_1)=x_1+1 \]
e
\[ f(x_2)=x_2+1. \]
Dalla disuguaglianza \(x_1<x_2\), aggiungendo \(1\) a entrambi i membri, segue
\[ x_1+1<x_2+1. \]
Cioè
\[ f(x_1)<f(x_2). \]
Terzo caso: \(x_1\le 0<x_2\).
In questo caso \(x_1\) appartiene al primo tratto, mentre \(x_2\) appartiene al secondo. Quindi
\[ f(x_1)=x_1 \]
e
\[ f(x_2)=x_2+1. \]
Poiché \(x_1\le 0\) e \(x_2>0\), si ha
\[ x_1\le 0<x_2<x_2+1. \]
In particolare,
\[ x_1<x_2+1. \]
Cioè
\[ f(x_1)<f(x_2). \]
In tutti i casi possibili abbiamo dimostrato che
\[ x_1<x_2 \implies f(x_1)<f(x_2). \]
Per definizione, la funzione è strettamente crescente su \(\mathbb R\).
Di conseguenza, è anche crescente su \(\mathbb R\).
Esercizio 18 — livello ★★★★☆
Stabilire se la funzione
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)= \begin{cases} x & \text{se } x<0,\\ x-1 & \text{se } x\ge 0 \end{cases} \]
è crescente, decrescente o non monotona su \(\mathbb R\).
Risultato
La funzione è non monotona su \(\mathbb R\): non è né crescente né decrescente.
Svolgimento
La funzione è definita a tratti:
\[ f(x)= \begin{cases} x & \text{se } x<0,\\ x-1 & \text{se } x\ge 0. \end{cases} \]
Osserviamo che la funzione cresce su ciascuno dei due tratti considerati separatamente. Infatti, per \(x<0\) si ha \(f(x)=x\), mentre per \(x\ge 0\) si ha \(f(x)=x-1\).
Tuttavia questo non basta per concludere che la funzione sia crescente su tutto \(\mathbb R\). Bisogna controllare anche ciò che accade quando si passa da valori negativi a valori non negativi.
Per dimostrare che \(f\) non è crescente su \(\mathbb R\), troviamo due punti \(x_1,x_2\in\mathbb R\) tali che
\[ x_1<x_2 \]
ma
\[ f(x_1)>f(x_2). \]
Scegliamo
\[ x_1=-\frac12,\qquad x_2=0. \]
Si ha
\[ -\frac12<0. \]
Calcoliamo i valori della funzione:
\[ f\left(-\frac12\right)=-\frac12, \]
perché \(-\frac12<0\), mentre
\[ f(0)=0-1=-1, \]
perché \(0\ge 0\).
Quindi
\[ f\left(-\frac12\right)=-\frac12>-1=f(0). \]
Abbiamo trovato due punti \(x_1<x_2\) tali che \(f(x_1)>f(x_2)\). Questo contraddice la definizione di funzione crescente. Dunque \(f\) non è crescente su \(\mathbb R\).
Per dimostrare che \(f\) non è decrescente su \(\mathbb R\), troviamo due punti \(x_1,x_2\in\mathbb R\) tali che
\[ x_1<x_2 \]
ma
\[ f(x_1)<f(x_2). \]
Scegliamo
\[ x_1=1,\qquad x_2=2. \]
Si ha
\[ 1<2. \]
Poiché entrambi i punti sono non negativi, otteniamo
\[ f(1)=1-1=0 \]
e
\[ f(2)=2-1=1. \]
Quindi
\[ f(1)<f(2). \]
Questa coppia contraddice la definizione di funzione decrescente. Dunque \(f\) non è decrescente su \(\mathbb R\).
Poiché la funzione non è né crescente né decrescente su \(\mathbb R\), concludiamo che è non monotona su \(\mathbb R\).
Esercizio 19 — livello ★★★★☆
Dimostrare che ogni funzione strettamente crescente è iniettiva.
Risultato
Ogni funzione strettamente crescente è iniettiva.
Svolgimento
Sia
\[ f:X\to\mathbb R \]
una funzione strettamente crescente su un insieme \(X\subseteq\mathbb R\).
Vogliamo dimostrare che \(f\) è iniettiva. Per definizione, dobbiamo provare che elementi distinti del dominio hanno immagini distinte.
Prendiamo quindi due punti qualunque
\[ x_1,x_2\in X \]
tali che
\[ x_1\ne x_2. \]
Poiché \(x_1\) e \(x_2\) sono due numeri reali distinti, si verifica necessariamente una delle due possibilità:
\[ x_1<x_2 \]
oppure
\[ x_2<x_1. \]
Se \(x_1<x_2\), poiché \(f\) è strettamente crescente, otteniamo
\[ f(x_1)<f(x_2). \]
In particolare,
\[ f(x_1)\ne f(x_2). \]
Se invece \(x_2<x_1\), allora, sempre perché \(f\) è strettamente crescente, otteniamo
\[ f(x_2)<f(x_1). \]
Anche in questo caso segue
\[ f(x_1)\ne f(x_2). \]
In entrambi i casi, da \(x_1\ne x_2\) segue
\[ f(x_1)\ne f(x_2). \]
Per definizione, \(f\) è iniettiva.
Concludiamo quindi che ogni funzione strettamente crescente è iniettiva.
Esercizio 20 — livello ★★★★★
Stabilire se la seguente affermazione è vera o falsa:
\[ \text{Se una funzione è iniettiva, allora è monotona.} \]
In caso sia falsa, fornire un controesempio.
Risultato
L'affermazione è falsa. Esistono funzioni iniettive che non sono monotone.
Svolgimento
L'affermazione da esaminare è:
\[ \text{se una funzione è iniettiva, allora è monotona.} \]
Questa affermazione è falsa. Per dimostrarlo, è sufficiente costruire una funzione iniettiva che non sia né crescente né decrescente.
Consideriamo la funzione
\[ f:\{1,2,3\}\to\mathbb R \]
definita da
\[ f(1)=1,\qquad f(2)=3,\qquad f(3)=2. \]
Prima verifichiamo che \(f\) è iniettiva. I valori assunti dalla funzione sono
\[ 1,\qquad 3,\qquad 2. \]
Questi tre valori sono tutti distinti. Quindi elementi distinti del dominio hanno immagini distinte. Per definizione, \(f\) è iniettiva.
Verifichiamo ora che \(f\) non è crescente.
Se \(f\) fosse crescente, per ogni coppia \(x_1,x_2\in\{1,2,3\}\) con \(x_1<x_2\) dovrebbe valere
\[ f(x_1)\le f(x_2). \]
Scegliamo
\[ x_1=2,\qquad x_2=3. \]
Si ha
\[ 2<3, \]
ma
\[ f(2)=3>2=f(3). \]
Questa coppia contraddice la definizione di funzione crescente. Dunque \(f\) non è crescente.
Verifichiamo ora che \(f\) non è decrescente.
Se \(f\) fosse decrescente, per ogni coppia \(x_1,x_2\in\{1,2,3\}\) con \(x_1<x_2\) dovrebbe valere
\[ f(x_1)\ge f(x_2). \]
Scegliamo
\[ x_1=1,\qquad x_2=2. \]
Si ha
\[ 1<2, \]
ma
\[ f(1)=1<3=f(2). \]
Questa coppia contraddice la definizione di funzione decrescente. Dunque \(f\) non è decrescente.
La funzione è quindi iniettiva, ma non è monotona.
Questo controesempio mostra che l'iniettività non implica la monotonia. La stretta monotonia implica l'iniettività, ma il viceversa non è vero.