Intuitivamente, una funzione continua è una funzione il cui comportamento non subisce variazioni improvvise: valori della variabile indipendente sufficientemente vicini producono valori della funzione altrettanto vicini.
Questa idea intuitiva viene resa rigorosa attraverso la definizione di continuità. Fissata una precisione arbitraria sui valori della funzione, deve essere possibile determinare quanto \(x\) debba avvicinarsi a un punto \(x_0\) affinché tale precisione sia garantita.
Quando \(x_0\) è un punto di accumulazione del dominio, questa proprietà equivale alla relazione fondamentale
\[ \lim_{x\to x_0} f(x)=f(x_0). \]
La continuità costituisce uno dei concetti centrali dell'Analisi Matematica. In questa pagina ne studieremo la definizione rigorosa, la continuità sugli intervalli e agli estremi dell'intervallo, le operazioni che la preservano, le principali funzioni continue e i diversi tipi di discontinuità. Vedremo inoltre alcuni risultati fondamentali, tra cui il teorema della permanenza del segno, il teorema di Bolzano, il teorema dei valori intermedi, il teorema di Weierstrass e il teorema sulla continuità della funzione inversa.
Indice
- Continuità di una funzione in un punto
- Continuità da destra e da sinistra
- Continuità su un intervallo
- Operazioni con funzioni continue
- Continuità delle funzioni elementari
- Punti di discontinuità
- Teorema della permanenza del segno per funzioni continue
- Teorema di Bolzano e teorema dei valori intermedi
- Teorema di Weierstrass
- Continuità della funzione inversa
Continuità di una funzione in un punto
Sia \[ f:A\to\mathbb{R} \] una funzione e sia \(x_0\in A\).
Definizione. La funzione \(f\) si dice continua in \(x_0\) se, per ogni \(\varepsilon>0\), esiste \(\delta>0\) tale che, per ogni \(x\in A\),
\[ |x-x_0|<\delta \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon. \]
Il significato della definizione è preciso. Il numero \(\varepsilon\) stabilisce quanto vogliamo che \(f(x)\) sia vicino a \(f(x_0)\); una volta scelto un qualunque \(\varepsilon>0\), dobbiamo riuscire a determinare un numero \(\delta>0\) tale che ogni \(x\) del dominio sufficientemente vicino a \(x_0\) produca un valore \(f(x)\) distante da \(f(x_0)\) meno di \(\varepsilon\).
In altre parole, possiamo rendere la distanza
\[ |f(x)-f(x_0)| \]
piccola quanto desideriamo scegliendo \(x\) sufficientemente vicino a \(x_0\).
Continuità e limite
Se \(x_0\) è un punto di accumulazione del dominio \(A\), la continuità di \(f\) in \(x_0\) è equivalente alla condizione
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0). \]
Questa uguaglianza esprime il legame fondamentale tra limite e continuità. Il limite descrive il comportamento dei valori \(f(x)\) quando \(x\) si avvicina a \(x_0\); la continuità richiede che tale comportamento sia coerente con il valore che la funzione assume effettivamente nel punto.
Pertanto, quando \(x_0\) è un punto di accumulazione del dominio, per verificare la continuità mediante i limiti devono essere soddisfatte tre condizioni:
- \(f(x_0)\) deve essere definito;
- deve esistere il limite \[ \lim_{x\to x_0}f(x); \]
- il limite deve coincidere con il valore assunto dalla funzione: \[ \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0). \]
Se anche una sola di queste condizioni non è soddisfatta, \(f\) non è continua in \(x_0\).
Esempio. Consideriamo la funzione
\[ f(x)=x^2. \]
Nel punto \(x_0=2\) si ha
\[ f(2)=4. \]
Inoltre,
\[ \lim_{x\to2}x^2=4. \]
Quindi
\[ \lim_{x\to2}f(x)=f(2), \]
e pertanto \(f(x)=x^2\) è continua in \(x_0=2\).
Interpretazione geometrica. La continuità in \(x_0\) esprime il fatto che il punto \((x_0,f(x_0))\) è coerente con il comportamento dei valori \(f(x)\) quando \(x\) si avvicina a \(x_0\). In particolare, il valore assunto dalla funzione nel punto coincide con il valore verso cui tendono i valori della funzione nelle sue vicinanze.
I diversi modi in cui questa proprietà può venir meno saranno classificati nella sezione dedicata ai punti di discontinuità.
Continuità da destra e da sinistra
In alcuni casi è necessario studiare separatamente il comportamento della funzione quando \(x\) si avvicina a un punto soltanto da destra oppure soltanto da sinistra. Si introducono così i concetti di continuità da destra e continuità da sinistra.
Sia
\[ f:A\to\mathbb{R} \]
e sia \(x_0\in A\).
Se \(x_0\) è un punto di accumulazione di \(A\) da destra, \(f\) si dice continua da destra in \(x_0\) se
\[ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0). \]
Analogamente, se \(x_0\) è un punto di accumulazione di \(A\) da sinistra, \(f\) si dice continua da sinistra in \(x_0\) se
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=f(x_0). \]
Quando \(x_0\) è punto di accumulazione del dominio sia da sinistra sia da destra, \(f\) è continua in \(x_0\) se e solo se è continua sia da sinistra sia da destra nello stesso punto.
Equivalentemente,
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x) = \lim_{x\to x_0^+}f(x) = f(x_0). \]
Esempio con una funzione definita a tratti
Consideriamo
\[ f(x)= \begin{cases} x+1, & x<1,\\ 2, & x=1,\\ 3-x, & x>1. \end{cases} \]
Nel punto \(x_0=1\),
\[ f(1)=2. \]
Da sinistra si ha
\[ \lim_{x\to1^-}f(x) = \lim_{x\to1^-}(x+1) = 2, \]
mentre da destra
\[ \lim_{x\to1^+}f(x) = \lim_{x\to1^+}(3-x) = 2. \]
Pertanto
\[ \lim_{x\to1^-}f(x) = \lim_{x\to1^+}f(x) = f(1) = 2, \]
e quindi \(f\) è continua in \(x_0=1\).
Continuità agli estremi di un intervallo
Se una funzione è definita su \([a,b]\), nel punto \(a\) si considera la continuità da destra:
\[ \lim_{x\to a^+}f(x)=f(a), \]
mentre nel punto \(b\) si considera la continuità da sinistra:
\[ \lim_{x\to b^-}f(x)=f(b). \]
Continuità su un intervallo
Dopo aver definito la continuità in un singolo punto, possiamo estendere naturalmente il concetto a un intero intervallo.
Intervallo aperto
Una funzione \(f\) si dice continua in un intervallo aperto \(I\) se è continua in ogni punto \(x_0\in I\).
Per esempio, \(f\) è continua in \((a,b)\) se, per ogni \(x_0\in(a,b)\),
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0). \]
Intervallo chiuso
Nel caso di un intervallo chiuso \([a,b]\), agli estremi l'avvicinamento deve essere considerato restando all'interno dell'intervallo.
Una funzione
\[ f:[a,b]\to\mathbb{R} \]
si dice continua in \([a,b]\) se:
- è continua in ogni punto \(x_0\in(a,b)\);
- è continua da destra in \(a\), cioè \[ \lim_{x\to a^+}f(x)=f(a); \]
- è continua da sinistra in \(b\), cioè \[ \lim_{x\to b^-}f(x)=f(b). \]
Intervalli semiaperti
In modo analogo, se il dominio è un intervallo semiaperto, nell'estremo appartenente al dominio si richiede la corrispondente continuità.
Una funzione
\[ f:[a,b)\to\mathbb{R} \]
è continua in \([a,b)\) se è continua in ogni punto di \((a,b)\) ed è continua da destra in \(a\).
Analogamente,
\[ f:(a,b]\to\mathbb{R} \]
è continua in \((a,b]\) se è continua in ogni punto di \((a,b)\) ed è continua da sinistra in \(b\).
Continuità sul dominio
Più in generale, una funzione
\[ f:A\to\mathbb{R} \]
si dice continua su \(A\) se è continua in ogni punto del proprio dominio, considerando la continuità rispetto ai punti appartenenti ad \(A\).
Per esempio,
\[ f(x)=x^2 \]
è continua su tutto \(\mathbb{R}\), poiché per ogni \(x_0\in\mathbb{R}\)
\[ \lim_{x\to x_0}x^2=x_0^2=f(x_0). \]
La funzione
\[ f(x)=\frac{1}{x} \]
è invece continua nel proprio dominio
\[ \mathbb{R}\setminus\{0\}. \]
Il fatto che non sia definita in \(x=0\) non impedisce quindi di affermare che essa è continua nel proprio dominio. La continuità è una proprietà che viene verificata nei punti in cui la funzione è definita.
La continuità su un intervallo avrà un ruolo fondamentale nei risultati successivi: l'esistenza di zeri, l'assunzione dei valori intermedi e l'esistenza di massimi e minimi assoluti dipendono infatti dalla continuità su opportuni intervalli.
Operazioni con funzioni continue
La continuità si conserva attraverso le principali operazioni algebriche. Questo permette di costruire nuove funzioni continue a partire da funzioni di cui è già nota la continuità.
Siano \(f\) e \(g\) continue in un punto \(x_0\). Allora sono continue in \(x_0\) anche
\[ f+g, \qquad f-g, \qquad f\cdot g. \]
Per ogni costante \(c\in\mathbb{R}\), è inoltre continua in \(x_0\) la funzione
\[ cf. \]
Se
\[ g(x_0)\neq0, \]
è continua in \(x_0\) anche la funzione quoziente
\[ \frac{f}{g}. \]
Perché queste proprietà sono vere
Poiché \(f\) e \(g\) sono continue in \(x_0\),
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0), \qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=g(x_0). \]
Per la somma, dalle proprietà dei limiti segue
\[ \begin{aligned} \lim_{x\to x_0}[f(x)+g(x)] &= \lim_{x\to x_0}f(x) + \lim_{x\to x_0}g(x)\\ &= f(x_0)+g(x_0)\\ &= (f+g)(x_0). \end{aligned} \]
Quindi \(f+g\) è continua in \(x_0\). In modo analogo si dimostrano i risultati relativi alla differenza, al prodotto e al prodotto per una costante.
Per il quoziente, se \(g(x_0)\neq0\),
\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(x_0)}{g(x_0)} = \left(\frac{f}{g}\right)(x_0), \]
e dunque \(\displaystyle\frac{f}{g}\) è continua in \(x_0\).
Le stesse proprietà valgono su un intervallo. Se \(f\) e \(g\) sono continue in un intervallo \(I\), allora \(f+g\), \(f-g\), \(f\cdot g\) e \(cf\) sono continue in \(I\). Il quoziente \(\displaystyle\frac{f}{g}\) è continuo in ogni punto di \(I\) nel quale \(g\) non si annulla.
Composizione di funzioni continue
Un'altra proprietà fondamentale riguarda la composizione.
Sia \(g\) continua in \(x_0\) e sia \(f\) continua in \(g(x_0)\). Allora la funzione composta
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)) \]
è continua in \(x_0\).
Infatti,
\[ \lim_{x\to x_0}g(x)=g(x_0). \]
Poiché \(f\) è continua in \(g(x_0)\),
\[ \lim_{x\to x_0}f(g(x)) = f\left(\lim_{x\to x_0}g(x)\right) = f(g(x_0)). \]
Pertanto
\[ \lim_{x\to x_0}(f\circ g)(x) = (f\circ g)(x_0), \]
e quindi \(f\circ g\) è continua in \(x_0\).
Esempio
Consideriamo
\[ g(x)=x^2+1 \quad \text{e} \quad f(t)=\sqrt{t}. \]
Le due funzioni sono continue nei rispettivi domini. Inoltre \(x^2+1>0\) per ogni \(x\in\mathbb{R}\), quindi la composizione
\[ (f\circ g)(x)=\sqrt{x^2+1} \]
è continua su tutto \(\mathbb{R}\).
Questi risultati consentono di riconoscere la continuità di moltissime funzioni senza applicare ogni volta direttamente la definizione con \(\varepsilon\) e \(\delta\).
Continuità delle funzioni elementari
Le principali funzioni elementari sono continue in ogni punto del proprio dominio. Insieme alle proprietà delle operazioni e della composizione, questo risultato permette di stabilire rapidamente la continuità di un'ampia classe di funzioni.
Funzioni polinomiali e razionali
Ogni funzione polinomiale
\[ P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0 \]
è continua su tutto \(\mathbb{R}\).
Una funzione razionale
\[ f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)} \]
è continua in tutti i punti nei quali il denominatore non si annulla, cioè nel proprio dominio
\[ \{x\in\mathbb{R}:Q(x)\neq0\}. \]
Potenze e radicali
Le usuali funzioni potenza e le funzioni radicali, considerate nei rispettivi domini reali, sono continue.
Per esempio,
\[ f(x)=\sqrt{x} \]
è continua in
\[ [0,+\infty), \]
mentre
\[ f(x)=\sqrt[3]{x} \]
è continua su tutto \(\mathbb{R}\).
Funzioni esponenziali e logaritmiche
La funzione esponenziale
\[ f(x)=a^x, \qquad a>0, \quad a\neq1, \]
è continua per ogni \(x\in\mathbb{R}\).
La funzione logaritmica
\[ f(x)=\log_a(x), \qquad a>0, \quad a\neq1, \]
è continua nel proprio dominio
\[ (0,+\infty). \]
In particolare, il logaritmo naturale
\[ f(x)=\ln(x) \]
è continuo per ogni \(x>0\).
Funzioni trigonometriche
Le funzioni
\[ \sin(x), \qquad \cos(x) \]
sono continue su tutto \(\mathbb{R}\).
La funzione tangente
\[ \tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)} \]
è continua nei punti in cui \(\cos(x)\neq0\), cioè per
\[ x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi, \qquad k\in\mathbb{Z}. \]
Analogamente, le altre funzioni trigonometriche definite mediante quozienti sono continue in ogni punto del proprio dominio.
Valore assoluto
Anche la funzione
\[ f(x)=|x| \]
è continua su tutto \(\mathbb{R}\).
Un esempio più articolato
Consideriamo
\[ f(x)=\frac{\sqrt{x^2+1}}{x^2+4}. \]
Il polinomio \(x^2+1\) è continuo e soddisfa
\[ x^2+1>0 \]
per ogni \(x\in\mathbb{R}\). Di conseguenza,
\[ \sqrt{x^2+1} \]
è continua su \(\mathbb{R}\).
Inoltre,
\[ x^2+4>0 \]
per ogni \(x\in\mathbb{R}\), quindi il denominatore non si annulla mai.
Pertanto
\[ f(x)=\frac{\sqrt{x^2+1}}{x^2+4} \]
è continua su tutto \(\mathbb{R}\).
In generale, nello studio della continuità di una funzione elementare è spesso sufficiente determinarne correttamente il dominio e riconoscere le operazioni e le composizioni attraverso cui la funzione è costruita.
Punti di discontinuità
Quando una funzione non è continua in un punto del proprio dominio, si parla di discontinuità. Nello studio dei limiti la stessa terminologia viene comunemente utilizzata anche per punti di accumulazione del dominio nei quali la funzione non è definita, come accade per esempio nelle discontinuità eliminabili.
Supponiamo che \(x_0\) sia un punto di accumulazione del dominio sia da sinistra sia da destra. Per descrivere il comportamento della funzione in corrispondenza di \(x_0\) si considerano i limiti da destra e da sinistra
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x) \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to x_0^+}f(x). \]
Il loro comportamento permette di distinguere diversi tipi di discontinuità.
Discontinuità eliminabile
Si ha una discontinuità eliminabile in \(x_0\) quando esiste finito il limite
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L, \]
ma la funzione non è definita in \(x_0\), oppure è definita e
\[ f(x_0)\neq L. \]
La discontinuità può essere eliminata definendo, o ridefinendo,
\[ f(x_0)=L. \]
Esempio. Consideriamo
\[ f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}, \qquad x\neq1. \]
Per \(x\neq1\),
\[ f(x) = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1. \]
Pertanto
\[ \lim_{x\to1}f(x)=2. \]
La funzione non è definita in \(x=1\), ma ponendo
\[ f(1)=2 \]
si ottiene una funzione continua anche in quel punto.
Discontinuità di prima specie o a salto
Si ha una discontinuità di prima specie, detta anche discontinuità a salto, quando esistono finiti entrambi i limiti destro e sinistro ma assumono valori differenti:
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=L_1, \qquad \lim_{x\to x_0^+}f(x)=L_2, \qquad L_1\neq L_2. \]
In questo caso il limite per \(x\to x_0\) non esiste. La quantità
\[ |L_2-L_1| \]
viene chiamata ampiezza del salto.
Esempio. Consideriamo
\[ f(x)= \begin{cases} 0, & x<0,\\ 1, & x\geq0. \end{cases} \]
Si ha
\[ \lim_{x\to0^-}f(x)=0, \qquad \lim_{x\to0^+}f(x)=1. \]
I due limiti destro e sinistro sono finiti ma non coincidono. Quindi \(x=0\) è un punto di discontinuità di prima specie.
Discontinuità di seconda specie
Si ha una discontinuità di seconda specie quando almeno uno dei due limiti destro o sinistro non esiste finito.
Ciò può avvenire perché almeno uno dei limiti è infinito oppure perché almeno uno di essi non esiste neppure come limite infinito.
Primo esempio. Consideriamo
\[ f(x)=\frac{1}{x}. \]
Per \(x\to0\),
\[ \lim_{x\to0^-}\frac{1}{x}=-\infty, \qquad \lim_{x\to0^+}\frac{1}{x}=+\infty. \]
Poiché i due limiti destro e sinistro sono infiniti, \(x=0\) è un punto di discontinuità di seconda specie. Inoltre,
\[ x=0 \]
è un asintoto verticale del grafico.
Secondo esempio. Consideriamo
\[ f(x)=\sin\left(\frac{1}{x}\right), \qquad x\neq0. \]
Quando \(x\to0\), l'argomento \(\displaystyle\frac{1}{x}\) cresce in valore assoluto senza limite e la funzione continua a oscillare tra \(-1\) e \(1\).
Di conseguenza, né il limite sinistro né il limite destro esistono, neppure come limiti infiniti. Anche \(x=0\) è quindi un punto di discontinuità di seconda specie.
Le diverse tipologie di discontinuità mostrano che la continuità può venir meno in modi profondamente differenti. Lo studio dei limiti destro e sinistro permette di descrivere con precisione il comportamento locale della funzione nei punti problematici.
Teorema della permanenza del segno per funzioni continue
Una conseguenza fondamentale della continuità è il teorema della permanenza del segno: se una funzione continua assume in un punto un valore strettamente positivo o strettamente negativo, allora conserva lo stesso segno in un opportuno intorno di quel punto.
Sia
\[ f:A\to\mathbb{R} \]
continua in \(x_0\in A\).
Se
\[ f(x_0)>0, \]
allora esiste \(\delta>0\) tale che, per ogni \(x\in A\),
\[ |x-x_0|<\delta \quad\Longrightarrow\quad f(x)>0. \]
Analogamente, se
\[ f(x_0)<0, \]
esiste \(\delta>0\) tale che
\[ |x-x_0|<\delta \quad\Longrightarrow\quad f(x)<0. \]
Dimostrazione. Supponiamo
\[ f(x_0)>0. \]
Scegliamo
\[ \varepsilon=\frac{f(x_0)}{2}>0. \]
Poiché \(f\) è continua in \(x_0\), esiste \(\delta>0\) tale che
\[ |x-x_0|<\delta \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-f(x_0)| < \frac{f(x_0)}{2}. \]
Dalla proprietà del valore assoluto segue
\[ -\frac{f(x_0)}{2} < f(x)-f(x_0) < \frac{f(x_0)}{2}. \]
Considerando la disuguaglianza di sinistra,
\[ f(x) > f(x_0)-\frac{f(x_0)}{2} = \frac{f(x_0)}{2} > 0. \]
Pertanto \(f\) mantiene segno positivo in un opportuno intorno di \(x_0\). Il caso \(f(x_0)<0\) si dimostra in modo analogo.
Perché l'ipotesi \(f(x_0)\neq0\) è essenziale
Se
\[ f(x_0)=0, \]
la continuità, da sola, non permette di determinare il segno della funzione nelle vicinanze di \(x_0\).
Per esempio,
\[ f(x)=x \]
è continua in \(x_0=0\), ma assume valori negativi a sinistra di \(0\) e positivi a destra.
Il teorema della permanenza del segno sarà fondamentale nel teorema di Bolzano, nel quale la continuità permetterà di dedurre l'esistenza di almeno uno zero quando una funzione assume valori di segno opposto agli estremi di un intervallo.
Teorema di Bolzano e teorema dei valori intermedi
La continuità su un intervallo produce una conseguenza globale fondamentale: una funzione continua non può passare da un valore a un altro senza assumere anche tutti i valori intermedi.
Teorema di Bolzano
Sia
\[ f:[a,b]\to\mathbb{R} \]
continua in \([a,b]\).
Se
\[ f(a)f(b)<0, \]
cioè se \(f(a)\) e \(f(b)\) hanno segno opposto, allora esiste almeno un punto
\[ c\in(a,b) \]
tale che
\[ f(c)=0. \]
Il teorema garantisce quindi l'esistenza di almeno uno zero della funzione all'interno dell'intervallo, ma non afferma che tale zero sia unico.
Geometricamente, se il grafico di una funzione continua si trova da un lato dell'asse \(x\) in corrispondenza di un estremo dell'intervallo e dall'altro lato in corrispondenza dell'altro estremo, deve necessariamente intersecare l'asse \(x\) almeno una volta.
Esempio. Consideriamo
\[ f(x)=x^3+x-1 \]
nell'intervallo \([0,1]\).
Essendo un polinomio, \(f\) è continua su tutto \(\mathbb{R}\), quindi anche su \([0,1]\). Inoltre,
\[ f(0)=-1, \qquad f(1)=1. \]
Pertanto
\[ f(0)f(1)=-1<0. \]
Per il teorema di Bolzano esiste almeno un punto
\[ c\in(0,1) \]
tale che
\[ f(c)=0. \]
Il teorema permette quindi di dimostrare l'esistenza di una soluzione senza determinarne necessariamente il valore esatto.
Teorema dei valori intermedi
Il teorema di Bolzano è un caso particolare di un risultato più generale: il teorema dei valori intermedi.
Sia
\[ f:[a,b]\to\mathbb{R} \]
continua in \([a,b]\).
Per ogni numero reale \(k\) compreso tra \(f(a)\) e \(f(b)\), esiste almeno un punto \(c\in[a,b]\) tale che
\[ f(c)=k. \]
In particolare, se
\[ f(a)<k<f(b) \]
oppure
\[ f(b)<k<f(a), \]
allora esiste almeno un punto
\[ c\in(a,b) \]
tale che
\[ f(c)=k. \]
Questo significa che l'immagine di un intervallo mediante una funzione continua non presenta lacune: tra due valori assunti dalla funzione vengono assunti anche tutti i valori intermedi.
Per esempio, se
\[ f(a)=2, \qquad f(b)=7, \]
allora, per ogni \(k\) tale che
\[ 2<k<7, \]
esiste almeno un \(c\in(a,b)\) con
\[ f(c)=k. \]
Il teorema non garantisce l'unicità: uno stesso valore intermedio può essere assunto in più punti dell'intervallo.
Bolzano come caso particolare
Se \(f(a)\) e \(f(b)\) hanno segno opposto, allora \(0\) è compreso tra \(f(a)\) e \(f(b)\).
Applicando il teorema dei valori intermedi con
\[ k=0, \]
si ottiene immediatamente un punto \(c\in(a,b)\) tale che
\[ f(c)=0. \]
Il teorema di Bolzano può quindi essere interpretato come l'applicazione del teorema dei valori intermedi al particolare valore \(k=0\).
L'ipotesi di continuità è essenziale. Una funzione discontinua può assumere valori di segno opposto agli estremi di un intervallo senza assumere il valore \(0\) al suo interno. È proprio la continuità a impedire che l'immagine della funzione presenti una lacuna tra i valori considerati.
Teorema di Weierstrass
Un'altra conseguenza fondamentale della continuità riguarda l'esistenza di massimi e minimi assoluti.
Sia
\[ f:[a,b]\to\mathbb{R} \]
una funzione continua nell'intervallo chiuso e limitato \([a,b]\).
Il teorema di Weierstrass afferma che \(f\) assume in \([a,b]\) sia un valore minimo sia un valore massimo.
In altre parole, esistono punti
\[ x_m,x_M\in[a,b] \]
tali che
\[ f(x_m)\leq f(x)\leq f(x_M) \]
per ogni \(x\in[a,b]\).
Il valore
\[ f(x_m) \]
è il minimo assoluto di \(f\) in \([a,b]\), mentre
\[ f(x_M) \]
è il massimo assoluto.
È importante distinguere i punti nei quali gli estremi vengono assunti dai valori estremi stessi: \(x_m\) e \(x_M\) appartengono al dominio, mentre \(f(x_m)\) e \(f(x_M)\) sono rispettivamente il minimo e il massimo della funzione.
Limitatezza e raggiungimento degli estremi
Il teorema garantisce in particolare che una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato è limitata.
Ponendo
\[ m=\inf f([a,b]), \qquad M=\sup f([a,b]), \]
si ha
\[ m\leq f(x)\leq M \]
per ogni \(x\in[a,b]\).
Weierstrass afferma inoltre qualcosa di più: questi due estremi vengono effettivamente assunti. Esistono infatti \(x_m,x_M\in[a,b]\) tali che
\[ m=f(x_m), \qquad M=f(x_M). \]
Esempio. Consideriamo
\[ f(x)=x^2-2x+3 \]
nell'intervallo \([0,3]\).
Essendo un polinomio, \(f\) è continua su tutto \(\mathbb{R}\), e quindi anche su \([0,3]\). Il teorema di Weierstrass assicura dunque l'esistenza sia di un minimo assoluto sia di un massimo assoluto.
Scriviamo
\[ f(x)=(x-1)^2+2. \]
Poiché
\[ (x-1)^2\geq0, \]
il valore minimo è ottenuto per \(x=1\):
\[ f(1)=2. \]
Inoltre, per \(x\in[0,3]\),
\[ |x-1|\leq2, \]
quindi
\[ (x-1)^2\leq4. \]
Pertanto
\[ f(x)=(x-1)^2+2\leq6, \]
con uguaglianza per \(x=3\). Il massimo assoluto è quindi
\[ f(3)=6. \]
Perché le ipotesi sono importanti
Le ipotesi del teorema sono essenziali. La sola continuità non è sufficiente a garantire l'esistenza di un massimo e di un minimo assoluti se l'intervallo non è chiuso e limitato.
Per esempio,
\[ f(x)=x \]
è continua nell'intervallo aperto \((0,1)\), ma non assume né il proprio estremo inferiore \(0\) né il proprio estremo superiore \(1\). Di conseguenza, non possiede in \((0,1)\) né un minimo assoluto né un massimo assoluto.
Analogamente,
\[ f(x)=x \]
è continua su tutto \(\mathbb{R}\), ma non è limitata e quindi non possiede né massimo né minimo assoluti.
Interpretazione mediante la compattezza
In \(\mathbb{R}\), ogni insieme chiuso e limitato è compatto. L'intervallo \([a,b]\) è quindi compatto.
Poiché l'immagine continua di un insieme compatto è ancora compatta,
\[ f([a,b]) \]
è un sottoinsieme compatto di \(\mathbb{R}\).
Di conseguenza, \(f([a,b])\) è chiuso e limitato. Essendo limitato possiede estremo inferiore ed estremo superiore; essendo chiuso, contiene entrambi questi valori. Essi vengono pertanto effettivamente assunti dalla funzione e costituiscono rispettivamente il minimo e il massimo assoluti.
Il teorema di Weierstrass è uno dei risultati centrali dell'Analisi Matematica e avrà un ruolo fondamentale nello studio dei problemi di massimo e minimo.
Continuità della funzione inversa
La continuità si conserva, sotto opportune ipotesi, anche nel passaggio alla funzione inversa.
Sia \(I\subseteq\mathbb{R}\) un intervallo e sia
\[ f:I\to\mathbb{R} \]
una funzione continua e strettamente monotona in \(I\).
Poiché \(f\) è strettamente monotona, è iniettiva e ammette quindi una funzione inversa definita sull'immagine
\[ J=f(I). \]
Il teorema di continuità della funzione inversa afferma che
\[ f^{-1}:J\to I \]
è continua in \(J\).
Inoltre, \(J=f(I)\) è a sua volta un intervallo. Questo segue dal teorema dei valori intermedi: essendo \(f\) continua su un intervallo, tra due qualsiasi valori assunti da \(f\) vengono assunti anche tutti i valori intermedi.
La funzione inversa conserva inoltre il tipo di monotonia:
- se \(f\) è strettamente crescente, anche \(f^{-1}\) è strettamente crescente;
- se \(f\) è strettamente decrescente, anche \(f^{-1}\) è strettamente decrescente.
Geometricamente, il grafico della funzione inversa si ottiene riflettendo il grafico di \(f\) rispetto alla retta
\[ y=x. \]
Esempio: funzione cubica
Consideriamo
\[ f(x)=x^3, \qquad x\in\mathbb{R}. \]
La funzione è continua e strettamente crescente su \(\mathbb{R}\). Inoltre,
\[ f(\mathbb{R})=\mathbb{R}. \]
La sua funzione inversa è
\[ f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}. \]
Per il teorema precedente, \(f^{-1}\) è continua su tutto \(\mathbb{R}\).
Esempio: funzione esponenziale
Consideriamo
\[ f(x)=a^x, \qquad a>0, \quad a\neq1. \]
La funzione esponenziale è continua e strettamente monotona su \(\mathbb{R}\), con immagine
\[ (0,+\infty). \]
La sua funzione inversa è il logaritmo
\[ f^{-1}(x)=\log_a(x), \]
che è quindi continuo in
\[ (0,+\infty). \]
La continuità della funzione inversa completa il quadro delle principali proprietà delle funzioni continue: continuità locale e su intervalli, conservazione attraverso le operazioni e la composizione, classificazione delle discontinuità e principali conseguenze globali.
Conclusione
La continuità descrive una delle proprietà fondamentali delle funzioni reali e stabilisce un legame preciso tra il valore assunto da una funzione in un punto e il comportamento dei suoi valori nelle vicinanze di quel punto.
Abbiamo visto che la continuità può essere studiata attraverso i limiti, che si conserva mediante le principali operazioni algebriche e la composizione e che le funzioni elementari sono continue nei rispettivi domini. Abbiamo inoltre classificato i diversi modi in cui una funzione può perdere la continuità attraverso lo studio dei limiti destro e sinistro.
Su un intervallo, la continuità produce conseguenze ancora più profonde. Il teorema di Bolzano garantisce l'esistenza di almeno uno zero quando la funzione assume valori di segno opposto agli estremi; il teorema dei valori intermedi assicura che una funzione continua assuma tutti i valori compresi tra due valori della propria immagine; il teorema di Weierstrass garantisce invece l'esistenza di massimo e minimo assoluti su un intervallo chiuso e limitato.
Questi risultati costituiscono una base essenziale per lo sviluppo successivo dell'Analisi Matematica e preparano naturalmente lo studio della derivabilità, dello studio qualitativo delle funzioni e dei problemi di massimo e minimo.