In questa raccolta proponiamo 20 esercizi svolti sulle funzioni continue, organizzati secondo un livello di difficoltà progressivo e risolti passo passo, con spiegazioni dettagliate di ogni passaggio.
Gli esercizi permettono di applicare concretamente i principali concetti della teoria: verifica della continuità in un punto e su un intervallo, continuità da destra e da sinistra, studio delle funzioni definite a tratti, determinazione di parametri che garantiscono la continuità, operazioni e composizione di funzioni continue e classificazione delle discontinuità.
Nella parte finale vengono affrontate anche applicazioni dei principali teoremi sulle funzioni continue, tra cui il teorema della permanenza del segno, il teorema di Bolzano, il teorema dei valori intermedi, il teorema di Weierstrass e il teorema sulla continuità della funzione inversa.
L'obiettivo è imparare non soltanto a stabilire se una funzione è continua, ma soprattutto a riconoscere quali proprietà e quali teoremi utilizzare nei diversi problemi, motivando rigorosamente ogni conclusione.
Esercizio 1 — livello ★☆☆☆☆
Verificare che la funzione
\[ f(x)=x^2-3x+4 \]
è continua nel punto \(x_0=2\).
Risultato
La funzione è continua in \(x_0=2\).
Svolgimento
La funzione
\[ f(x)=x^2-3x+4 \]
è una funzione polinomiale. Ogni funzione polinomiale è continua su tutto \(\mathbb{R}\), quindi in particolare è continua nel punto \(x_0=2\).
Possiamo verificare esplicitamente la condizione che lega continuità e limite. Calcoliamo innanzitutto il valore assunto dalla funzione nel punto:
\[ f(2)=2^2-3\cdot2+4=4-6+4=2. \]
Poiché i polinomi sono funzioni continue, il limite per \(x\to2\) coincide con il valore assunto dalla funzione:
\[ \lim_{x\to2}(x^2-3x+4)=2. \]
Abbiamo dunque
\[ \lim_{x\to2}f(x)=2=f(2). \]
La condizione
\[ \lim_{x\to2}f(x)=f(2) \]
è soddisfatta. Pertanto \(f\) è continua in \(x_0=2\).
Esercizio 2 — livello ★☆☆☆☆
Stabilire in quali punti è continua la funzione
\[ f(x)=\frac{x+1}{x-3}. \]
Risultato
La funzione è continua nel proprio dominio
\[ \mathbb{R}\setminus\{3\}. \]
Svolgimento
La funzione è il quoziente dei due polinomi
\[ P(x)=x+1 \]
e
\[ Q(x)=x-3. \]
I polinomi sono funzioni continue su tutto \(\mathbb{R}\). Il quoziente di due funzioni continue è una funzione continua in ogni punto in cui il denominatore non si annulla.
Determiniamo quindi quando il denominatore è uguale a zero:
\[ x-3=0. \]
Da cui
\[ x=3. \]
La funzione non è definita in \(x=3\). Il suo dominio è pertanto
\[ \mathbb{R}\setminus\{3\}. \]
In ogni punto \(x_0\neq3\), il denominatore assume un valore diverso da zero e quindi il quoziente è una funzione continua.
Concludiamo che
\[ f(x)=\frac{x+1}{x-3} \]
è continua in ogni punto del proprio dominio, cioè in
\[ (-\infty,3)\cup(3,+\infty). \]
Esercizio 3 — livello ★☆☆☆☆
Verificare che la funzione
\[ f(x)=\sqrt{x} \]
è continua nell'estremo \(x_0=0\) del proprio dominio.
Risultato
La funzione è continua da destra in \(x_0=0\) e quindi è continua in \(0\) rispetto al proprio dominio.
Svolgimento
La funzione
\[ f(x)=\sqrt{x} \]
ha dominio
\[ [0,+\infty). \]
Il punto \(0\) è l'estremo sinistro del dominio. Non possiamo quindi avvicinarci a \(0\) attraverso punti del dominio posti alla sua sinistra.
Per verificare la continuità in questo estremo dobbiamo considerare il limite da destra.
Il valore della funzione nel punto è
\[ f(0)=\sqrt{0}=0. \]
Inoltre,
\[ \lim_{x\to0^+}\sqrt{x}=0. \]
Pertanto
\[ \lim_{x\to0^+}f(x)=f(0). \]
La funzione è dunque continua da destra in \(0\). Poiché la continuità deve essere considerata rispetto ai punti appartenenti al dominio, possiamo affermare che \(f(x)=\sqrt{x}\) è continua anche nell'estremo \(x=0\) del proprio dominio.
Esercizio 4 — livello ★★☆☆☆
Determinare il valore del parametro \(k\in\mathbb{R}\) affinché la funzione
\[ f(x)= \begin{cases} x^2+1, & x<1,\\ k, & x=1,\\ 2x, & x>1 \end{cases} \]
risulti continua in \(x_0=1\).
Risultato
La funzione è continua in \(x_0=1\) se e solo se
\[ k=2. \]
Svolgimento
Perché la funzione sia continua in \(x_0=1\), devono coincidere il limite da sinistra, il limite da destra e il valore \(f(1)\).
Studiamo innanzitutto il limite da sinistra. Per \(x<1\), la funzione è definita da
\[ f(x)=x^2+1. \]
Essendo un polinomio, questa espressione è continua. Quindi
\[ \lim_{x\to1^-}f(x) = \lim_{x\to1^-}(x^2+1) = 1^2+1 = 2. \]
Per \(x>1\), invece,
\[ f(x)=2x. \]
Anche questa è una funzione polinomiale e pertanto
\[ \lim_{x\to1^+}f(x) = \lim_{x\to1^+}2x = 2. \]
I due limiti coincidono:
\[ \lim_{x\to1^-}f(x) = \lim_{x\to1^+}f(x) = 2. \]
Esiste quindi il limite
\[ \lim_{x\to1}f(x)=2. \]
Nel punto \(x=1\), però, la funzione assume il valore
\[ f(1)=k. \]
La continuità richiede
\[ \lim_{x\to1}f(x)=f(1). \]
Pertanto deve essere
\[ 2=k. \]
Concludiamo che l'unico valore che rende continua la funzione in \(x=1\) è
\[ k=2. \]
Esercizio 5 — livello ★★☆☆☆
Determinare il valore del parametro \(a\in\mathbb{R}\) affinché la funzione
\[ f(x)= \begin{cases} ax+1, & x\leq2,\\ x^2-a, & x>2 \end{cases} \]
risulti continua in \(x_0=2\).
Risultato
La funzione è continua in \(x_0=2\) per
\[ a=1. \]
Svolgimento
La funzione cambia espressione nel punto \(x=2\). Dobbiamo quindi confrontare il comportamento da sinistra e da destra.
Per \(x\leq2\),
\[ f(x)=ax+1. \]
Il valore della funzione nel punto \(2\) è quindi
\[ f(2)=2a+1. \]
Dalla stessa espressione otteniamo il limite da sinistra:
\[ \lim_{x\to2^-}f(x)=2a+1. \]
Per \(x>2\), invece,
\[ f(x)=x^2-a, \]
e quindi
\[ \lim_{x\to2^+}f(x)=4-a. \]
Perché esista il limite per \(x\to2\), i due limiti destro e sinistro devono coincidere:
\[ 2a+1=4-a. \]
Risolviamo l'equazione:
\[ 2a+a=4-1, \]
cioè
\[ 3a=3. \]
Pertanto
\[ a=1. \]
Verifichiamo. Per \(a=1\),
\[ f(2)=2\cdot1+1=3, \]
mentre
\[ \lim_{x\to2^+}f(x)=4-1=3. \]
Quindi
\[ \lim_{x\to2^-}f(x) = \lim_{x\to2^+}f(x) = f(2) = 3. \]
La funzione è pertanto continua in \(x=2\) per \(a=1\).
Esercizio 6 — livello ★★☆☆☆
Studiare la continuità in \(x_0=2\) della funzione
\[ f(x)= \begin{cases} \displaystyle\frac{x^2-4}{x-2}, & x\neq2,\\ 5, & x=2. \end{cases} \]
Classificare l'eventuale discontinuità e indicare come eliminarla.
Risultato
In \(x=2\) la funzione presenta una discontinuità eliminabile. La discontinuità viene eliminata ridefinendo
\[ f(2)=4. \]
Svolgimento
Per studiare la continuità in \(x=2\), dobbiamo confrontare il limite della funzione con il valore assunto nel punto.
Per \(x\neq2\), possiamo fattorizzare il numeratore:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2). \]
Pertanto, per \(x\neq2\),
\[ f(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2. \]
Questa semplificazione è valida nel calcolo del limite perché stiamo considerando valori di \(x\) vicini a \(2\), ma diversi da \(2\).
Di conseguenza,
\[ \lim_{x\to2}f(x) = \lim_{x\to2}(x+2) = 4. \]
Il limite esiste ed è finito. Tuttavia la funzione è stata definita nel punto \(x=2\) mediante
\[ f(2)=5. \]
Abbiamo quindi
\[ \lim_{x\to2}f(x)=4\neq5=f(2). \]
La funzione non è continua in \(x=2\).
Poiché il limite esiste ed è finito, ma non coincide con il valore assunto dalla funzione nel punto, si tratta di una discontinuità eliminabile.
Per eliminarla è sufficiente ridefinire il valore della funzione ponendo
\[ f(2)=4. \]
Con questa nuova definizione avremmo infatti
\[ \lim_{x\to2}f(x)=f(2)=4, \]
e la funzione risulterebbe continua anche in \(x=2\).
Esercizio 7 — livello ★★☆☆☆
Studiare e classificare la discontinuità della funzione
\[ f(x)= \begin{cases} x+1, & x<0,\\ x^2+2, & x\geq0 \end{cases} \]
nel punto \(x_0=0\).
Risultato
In \(x=0\) la funzione presenta una discontinuità di prima specie, o a salto, di ampiezza \(1\).
Svolgimento
Poiché la funzione cambia espressione in \(x=0\), calcoliamo separatamente i due limiti destro e sinistro.
Per \(x<0\),
\[ f(x)=x+1. \]
Pertanto
\[ \lim_{x\to0^-}f(x) = \lim_{x\to0^-}(x+1) = 1. \]
Per \(x\geq0\),
\[ f(x)=x^2+2, \]
e quindi
\[ \lim_{x\to0^+}f(x) = \lim_{x\to0^+}(x^2+2) = 2. \]
I due limiti destro e sinistro esistono entrambi e sono finiti, ma sono differenti:
\[ 1\neq2. \]
Di conseguenza non esiste il limite
\[ \lim_{x\to0}f(x). \]
Quando entrambi i limiti destro e sinistro sono finiti ma differenti, si ha una discontinuità di prima specie, detta anche discontinuità a salto.
L'ampiezza del salto è il valore assoluto della differenza tra i due limiti:
\[ |2-1|=1. \]
Pertanto \(x=0\) è un punto di discontinuità di prima specie con salto di ampiezza \(1\).
Esercizio 8 — livello ★★☆☆☆
Studiare e classificare la discontinuità della funzione
\[ f(x)=\frac{x+1}{x-2} \]
nel punto \(x_0=2\).
Risultato
In \(x=2\) la funzione presenta una discontinuità di seconda specie. Inoltre \(x=2\) è un asintoto verticale.
Svolgimento
La funzione non è definita in \(x=2\), perché il denominatore si annulla:
\[ 2-2=0. \]
Studiamo i limiti da sinistra e da destra.
Quando \(x\to2\), il numeratore
\[ x+1 \]
tende al valore positivo \(3\).
Consideriamo ora il denominatore. Se \(x\to2^-\), allora
\[ x-2<0 \]
e il suo valore si avvicina a \(0\) mantenendosi negativo. Il rapporto tra una quantità positiva prossima a \(3\) e una quantità negativa che tende a \(0\) diminuisce senza limite. Pertanto
\[ \lim_{x\to2^-}\frac{x+1}{x-2}=-\infty. \]
Se invece \(x\to2^+\), allora
\[ x-2>0 \]
e il denominatore tende a \(0\) attraverso valori positivi. Ne segue
\[ \lim_{x\to2^+}\frac{x+1}{x-2}=+\infty. \]
Almeno uno dei limiti destro o sinistro non esiste finito; in questo caso, in realtà, entrambi sono infiniti.
Per definizione, \(x=2\) è quindi un punto di discontinuità di seconda specie.
Inoltre, poiché la funzione diverge in valore assoluto quando \(x\) si avvicina a \(2\), la retta
\[ x=2 \]
è un asintoto verticale del grafico.
Esercizio 9 — livello ★★★☆☆
Stabilire dove è continua la funzione
\[ f(x)=\sqrt{x^2+3}. \]
Giustificare la risposta utilizzando la composizione di funzioni continue.
Risultato
La funzione è continua su tutto \(\mathbb{R}\).
Svolgimento
Consideriamo la funzione interna
\[ g(x)=x^2+3 \]
e la funzione esterna
\[ h(t)=\sqrt{t}. \]
La funzione \(g\) è un polinomio, quindi è continua su tutto \(\mathbb{R}\).
Inoltre, per ogni \(x\in\mathbb{R}\),
\[ x^2\geq0. \]
Di conseguenza,
\[ x^2+3\geq3>0. \]
Pertanto i valori assunti da \(g\) appartengono sempre al dominio della funzione radice quadrata.
La funzione
\[ h(t)=\sqrt{t} \]
è continua nel proprio dominio \([0,+\infty)\), e in particolare è continua in ogni valore \(g(x)=x^2+3\).
Per il teorema sulla composizione di funzioni continue, la funzione composta
\[ (h\circ g)(x)=h(g(x))=\sqrt{x^2+3} \]
è continua per ogni \(x\in\mathbb{R}\).
Concludiamo quindi che
\[ f(x)=\sqrt{x^2+3} \]
è continua su tutto \(\mathbb{R}\).
Esercizio 10 — livello ★★★☆☆
Determinare il dominio e gli intervalli di continuità della funzione
\[ f(x)=\ln(x^2-1). \]
Risultato
Il dominio è
\[ (-\infty,-1)\cup(1,+\infty), \]
e la funzione è continua in tutto il proprio dominio.
Svolgimento
Il logaritmo naturale
\[ \ln(t) \]
è definito soltanto quando il suo argomento è strettamente positivo.
Dobbiamo quindi imporre
\[ x^2-1>0. \]
Fattorizziamo:
\[ x^2-1=(x-1)(x+1). \]
Il prodotto è positivo quando i due fattori hanno lo stesso segno. Si ottiene quindi
\[ x<-1 \]
oppure
\[ x>1. \]
Il dominio è dunque
\[ D=(-\infty,-1)\cup(1,+\infty). \]
Consideriamo ora la continuità. La funzione interna
\[ g(x)=x^2-1 \]
è un polinomio e quindi è continua su tutto \(\mathbb{R}\).
La funzione esterna
\[ h(t)=\ln(t) \]
è continua per \(t>0\).
In tutti i punti del dominio di \(f\), l'argomento \(x^2-1\) è positivo. Possiamo quindi applicare il teorema sulla composizione di funzioni continue.
Ne segue che
\[ f(x)=\ln(x^2-1) \]
è continua in ciascuno dei due intervalli
\[ (-\infty,-1) \]
e
\[ (1,+\infty). \]
Esercizio 11 — livello ★★★☆☆
Verificare che la funzione
\[ f(x)=\sqrt{4-x^2} \]
sia continua nell'intervallo chiuso \([-2,2]\), prestando particolare attenzione agli estremi.
Risultato
La funzione è continua in tutto l'intervallo chiuso \([-2,2]\).
Svolgimento
Determiniamo innanzitutto il dominio. Affinché la radice quadrata sia definita deve essere
\[ 4-x^2\geq0. \]
Questa condizione equivale a
\[ x^2\leq4, \]
cioè
\[ -2\leq x\leq2. \]
Il dominio è quindi proprio
\[ [-2,2]. \]
La funzione
\[ g(x)=4-x^2 \]
è polinomiale e quindi continua. Nell'intervallo considerato soddisfa
\[ g(x)\geq0. \]
Poiché la funzione radice quadrata è continua nel proprio dominio, la composizione
\[ f(x)=\sqrt{4-x^2} \]
è continua in ogni punto interno
\[ x_0\in(-2,2). \]
Restano da controllare gli estremi dell'intervallo.
Nell'estremo sinistro \(x=-2\) è necessario considerare il limite da destra. Si ha
\[ f(-2)=\sqrt{4-(-2)^2}=0 \]
e
\[ \lim_{x\to-2^+}\sqrt{4-x^2}=0=f(-2). \]
Quindi \(f\) è continua da destra in \(-2\).
Nell'estremo destro \(x=2\) si considera invece il limite da sinistra:
\[ f(2)=\sqrt{4-2^2}=0 \]
e
\[ \lim_{x\to2^-}\sqrt{4-x^2}=0=f(2). \]
La funzione è quindi continua da sinistra in \(2\).
Essendo continua in ogni punto interno e possedendo la corretta continuità laterale nei due estremi, \(f\) è continua nell'intero intervallo chiuso \([-2,2]\).
Esercizio 12 — livello ★★★☆☆
Utilizzando il teorema della permanenza del segno, mostrare che la funzione
\[ f(x)=x^2-3x+3 \]
è positiva in un opportuno intorno di \(x_0=1\).
Risultato
Esiste \(\delta>0\) tale che
\[ |x-1|<\delta \quad\Longrightarrow\quad f(x)>0. \]
Svolgimento
Il teorema della permanenza del segno afferma che, se una funzione è continua in un punto e assume in quel punto un valore strettamente positivo, allora mantiene segno positivo in un opportuno intorno del punto.
Verifichiamo quindi le due ipotesi richieste.
La funzione
\[ f(x)=x^2-3x+3 \]
è un polinomio. Di conseguenza è continua su tutto \(\mathbb{R}\), e in particolare è continua in \(x_0=1\).
Calcoliamo ora il valore assunto nel punto:
\[ f(1)=1^2-3\cdot1+3=1. \]
Dunque
\[ f(1)=1>0. \]
Sono quindi soddisfatte entrambe le ipotesi del teorema della permanenza del segno: \(f\) è continua in \(1\) e \(f(1)\) è strettamente positivo.
Possiamo pertanto concludere che esiste almeno un numero \(\delta>0\) tale che, per ogni \(x\in\mathbb{R}\),
\[ |x-1|<\delta \quad\Longrightarrow\quad f(x)>0. \]
Non è necessario determinare esplicitamente il valore di \(\delta\): il teorema garantisce l'esistenza di un intorno di \(1\) nel quale la funzione conserva il segno positivo assunto nel punto.
Esercizio 13 — livello ★★★☆☆
Dimostrare, mediante il teorema di Bolzano, che l'equazione
\[ x^3-2x-2=0 \]
possiede almeno una soluzione nell'intervallo \((1,2)\).
Risultato
Esiste almeno un punto
\[ c\in(1,2) \]
tale che
\[ c^3-2c-2=0. \]
Svolgimento
Consideriamo la funzione
\[ f(x)=x^3-2x-2. \]
Per applicare il teorema di Bolzano dobbiamo verificare due condizioni:
la funzione deve essere continua nell'intervallo chiuso \([1,2]\) e i valori assunti agli estremi devono avere segno opposto.
La funzione \(f\) è un polinomio, quindi è continua su tutto \(\mathbb{R}\). In particolare è continua in \([1,2]\).
Calcoliamo ora il valore all'estremo sinistro:
\[ f(1)=1^3-2\cdot1-2=1-2-2=-3. \]
Quindi
\[ f(1)<0. \]
All'estremo destro otteniamo
\[ f(2)=2^3-2\cdot2-2=8-4-2=2, \]
perciò
\[ f(2)>0. \]
I valori \(f(1)\) e \(f(2)\) hanno segno opposto. Equivalentemente,
\[ f(1)f(2)=(-3)\cdot2=-6<0. \]
Tutte le ipotesi del teorema di Bolzano sono soddisfatte.
Esiste quindi almeno un punto
\[ c\in(1,2) \]
tale che
\[ f(c)=0. \]
Ciò significa precisamente che l'equazione
\[ x^3-2x-2=0 \]
possiede almeno una soluzione compresa tra \(1\) e \(2\).
Il teorema di Bolzano garantisce l'esistenza di almeno una soluzione, ma da solo non permette di concludere che essa sia unica.
Esercizio 14 — livello ★★★☆☆
Utilizzare il teorema di Bolzano per dimostrare che l'equazione
\[ 2^x=3 \]
possiede almeno una soluzione nell'intervallo \((1,2)\).
Risultato
Esiste almeno un punto
\[ c\in(1,2) \]
tale che
\[ 2^c=3. \]
Svolgimento
Per ricondurre il problema al teorema di Bolzano, portiamo tutti i termini da una stessa parte e consideriamo la funzione
\[ f(x)=2^x-3. \]
L'equazione
\[ 2^x=3 \]
è equivalente a
\[ f(x)=0. \]
La funzione esponenziale \(2^x\) è continua su tutto \(\mathbb{R}\). Anche la funzione costante \(3\) è continua, e la differenza di funzioni continue è continua.
Pertanto
\[ f(x)=2^x-3 \]
è continua in tutto \(\mathbb{R}\), e quindi anche nell'intervallo chiuso \([1,2]\).
Calcoliamo i valori agli estremi:
\[ f(1)=2^1-3=-1, \]
mentre
\[ f(2)=2^2-3=1. \]
Abbiamo dunque
\[ f(1)<0 \qquad\text{e}\qquad f(2)>0. \]
Equivalentemente,
\[ f(1)f(2)=-1<0. \]
Per il teorema di Bolzano esiste almeno un punto
\[ c\in(1,2) \]
tale che
\[ f(c)=0. \]
Poiché \(f(c)=2^c-3\), otteniamo
\[ 2^c-3=0, \]
cioè
\[ 2^c=3. \]
L'equazione possiede dunque almeno una soluzione nell'intervallo \((1,2)\).
Esercizio 15 — livello ★★★☆☆
Utilizzando il teorema dei valori intermedi, dimostrare che esiste almeno un punto
\[ c\in(1,2) \]
tale che
\[ c^3=5. \]
Risultato
Esiste almeno un punto \(c\in(1,2)\) tale che \(c^3=5\).
Svolgimento
Consideriamo la funzione
\[ f(x)=x^3 \]
nell'intervallo chiuso \([1,2]\).
La funzione è polinomiale e quindi è continua su tutto \(\mathbb{R}\). In particolare, è continua nell'intervallo \([1,2]\).
Calcoliamo i valori assunti agli estremi:
\[ f(1)=1^3=1 \]
e
\[ f(2)=2^3=8. \]
Il valore che vogliamo ottenere è
\[ k=5. \]
Osserviamo che
\[ 1<5<8, \]
cioè
\[ f(1)<5<f(2). \]
Il numero \(5\) è quindi un valore compreso tra i valori assunti dalla funzione agli estremi dell'intervallo.
Per il teorema dei valori intermedi, esiste almeno un punto
\[ c\in(1,2) \]
tale che
\[ f(c)=5. \]
Poiché \(f(c)=c^3\), otteniamo
\[ c^3=5. \]
Il teorema garantisce quindi l'esistenza del punto richiesto senza che sia necessario determinarne esplicitamente il valore.
Esercizio 16 — livello ★★★★☆
Considerare la funzione
\[ f(x)=(x-2)^2+1 \]
nell'intervallo \([0,5]\). Verificare le ipotesi del teorema di Weierstrass e determinare il minimo e il massimo assoluti della funzione nell'intervallo.
Risultato
Il minimo assoluto è
\[ 1, \]
assunto in \(x=2\), mentre il massimo assoluto è
\[ 10, \]
assunto in \(x=5\).
Svolgimento
La funzione
\[ f(x)=(x-2)^2+1 \]
è un polinomio e quindi è continua su tutto \(\mathbb{R}\). In particolare, è continua nell'intervallo chiuso e limitato
\[ [0,5]. \]
Sono pertanto soddisfatte le ipotesi del teorema di Weierstrass. Possiamo già concludere che \(f\) assume nell'intervallo sia un minimo assoluto sia un massimo assoluto.
Determiniamo ora quali siano questi valori.
Per ogni \(x\in[0,5]\),
\[ (x-2)^2\geq0. \]
Di conseguenza,
\[ f(x)=(x-2)^2+1\geq1. \]
L'uguaglianza si verifica quando
\[ (x-2)^2=0, \]
cioè per
\[ x=2. \]
Poiché \(2\in[0,5]\), il valore minimo assoluto è
\[ f(2)=1. \]
Per determinare il massimo osserviamo che, per \(x\in[0,5]\), la distanza di \(x\) dal punto \(2\) non può superare \(3\). Infatti,
\[ |x-2|\leq3. \]
Il valore \(3\) viene raggiunto nell'estremo \(x=5\).
Elevando al quadrato,
\[ (x-2)^2\leq9. \]
Pertanto
\[ f(x)=(x-2)^2+1\leq10. \]
Per \(x=5\),
\[ f(5)=(5-2)^2+1=9+1=10. \]
Quindi il massimo assoluto è \(10\), assunto in \(x=5\).
In conclusione,
\[ \min_{x\in[0,5]}f(x)=1 \]
e
\[ \max_{x\in[0,5]}f(x)=10. \]
Esercizio 17 — livello ★★★★☆
Considerare la funzione
\[ f(x)=|x-1| \]
nell'intervallo \([-2,3]\). Utilizzare il teorema di Weierstrass e determinare il minimo e il massimo assoluti.
Risultato
Il minimo assoluto è \(0\), assunto in \(x=1\). Il massimo assoluto è \(3\), assunto in \(x=-2\).
Svolgimento
La funzione valore assoluto è continua su tutto \(\mathbb{R}\). Anche la funzione
\[ x-1 \]
è continua su tutto \(\mathbb{R}\). Pertanto
\[ f(x)=|x-1| \]
è continua nell'intervallo chiuso e limitato
\[ [-2,3]. \]
Per il teorema di Weierstrass, \(f\) assume certamente un minimo e un massimo assoluti nell'intervallo.
Il valore assoluto è sempre non negativo:
\[ |x-1|\geq0. \]
Esso è uguale a zero precisamente quando
\[ x-1=0, \]
cioè quando
\[ x=1. \]
Siccome \(1\in[-2,3]\), il minimo assoluto è
\[ f(1)=|1-1|=0. \]
Per il massimo dobbiamo invece individuare nell'intervallo il punto più distante da \(1\), perché \(f(x)=|x-1|\) rappresenta precisamente la distanza di \(x\) da \(1\).
Nell'estremo sinistro,
\[ f(-2)=|-2-1|=|-3|=3. \]
Nell'estremo destro,
\[ f(3)=|3-1|=2. \]
Nell'intervallo \([-2,3]\), nessun punto dista da \(1\) più di quanto ne disti il punto \(-2\). Pertanto
\[ |x-1|\leq3 \]
per ogni \(x\in[-2,3]\).
Il massimo assoluto è quindi
\[ f(-2)=3. \]
Esercizio 18 — livello ★★★★☆
Considerare la funzione
\[ f(x)=x^3+1. \]
Determinare la funzione inversa e stabilire se essa è continua.
Risultato
La funzione inversa è
\[ f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x-1}, \]
ed è continua su tutto \(\mathbb{R}\).
Svolgimento
La funzione
\[ f(x)=x^3+1 \]
è un polinomio, quindi è continua su tutto \(\mathbb{R}\).
Inoltre la funzione cubica \(x^3\) è strettamente crescente su \(\mathbb{R}\). Aggiungere la costante \(1\) non modifica la monotonia, quindi anche \(f\) è strettamente crescente.
Essendo strettamente crescente, \(f\) è iniettiva e ammette una funzione inversa sulla propria immagine.
La funzione \(x^3\) assume tutti i valori reali e l'aggiunta di \(1\) non modifica il fatto che l'immagine sia l'intero insieme dei numeri reali. Pertanto
\[ f(\mathbb{R})=\mathbb{R}. \]
Per trovare l'inversa, poniamo
\[ y=x^3+1. \]
Isoliamo \(x\). Sottraendo \(1\) da entrambi i membri otteniamo
\[ y-1=x^3. \]
Applicando la radice cubica,
\[ x=\sqrt[3]{y-1}. \]
Scambiando il nome della variabile indipendente, la funzione inversa è
\[ f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x-1}. \]
Possiamo ora applicare il teorema di continuità della funzione inversa. La funzione \(f\) è continua e strettamente monotona nell'intervallo
\[ I=\mathbb{R}. \]
Di conseguenza la sua inversa è continua nell'immagine
\[ J=f(\mathbb{R})=\mathbb{R}. \]
Pertanto
\[ f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x-1} \]
è continua su tutto \(\mathbb{R}\).
Esercizio 19 — livello ★★★★☆
Determinare i valori dei parametri \(a,b\in\mathbb{R}\) affinché la funzione
\[ f(x)= \begin{cases} x+1, & x<0,\\ ax+b, & 0\leq x\leq1,\\ 3x-1, & x>1 \end{cases} \]
sia continua su tutto \(\mathbb{R}\).
Risultato
La funzione è continua su tutto \(\mathbb{R}\) per
\[ a=1, \qquad b=1. \]
Svolgimento
Ciascuna delle tre espressioni che definiscono la funzione è polinomiale e quindi continua nel proprio intervallo.
Gli unici punti nei quali può verificarsi un problema di continuità sono quindi i punti in cui cambia la definizione della funzione:
\[ x=0 \qquad\text{e}\qquad x=1. \]
Iniziamo dal punto \(x=0\).
Da sinistra la funzione è
\[ f(x)=x+1, \]
per cui
\[ \lim_{x\to0^-}f(x)=1. \]
Nel punto \(x=0\) si utilizza invece l'espressione centrale:
\[ f(0)=a\cdot0+b=b. \]
Anche il limite da destra è
\[ \lim_{x\to0^+}f(x)=b. \]
Per la continuità in \(0\) deve dunque essere
\[ b=1. \]
Passiamo ora al punto \(x=1\).
Da sinistra e nel punto stesso vale l'espressione
\[ ax+b. \]
Quindi
\[ f(1)=a+b \]
e
\[ \lim_{x\to1^-}f(x)=a+b. \]
Da destra vale invece
\[ f(x)=3x-1. \]
Pertanto
\[ \lim_{x\to1^+}f(x)=3\cdot1-1=2. \]
Per la continuità in \(1\) dobbiamo avere
\[ a+b=2. \]
Abbiamo già trovato
\[ b=1. \]
Sostituendo questa relazione nell'equazione precedente,
\[ a+1=2, \]
da cui
\[ a=1. \]
Pertanto
\[ a=1, \qquad b=1. \]
Con questi valori la funzione è continua nei due punti di raccordo \(0\) e \(1\), mentre negli altri punti la continuità segue direttamente dal fatto che ciascun tratto è polinomiale.
La funzione è dunque continua su tutto \(\mathbb{R}\).
Esercizio 20 — livello ★★★★★
Considerare, nell'intervallo \([-1,2]\), la funzione dipendente dal parametro \(a\):
\[ f(x)= \begin{cases} x^2+1, & -1\leq x\leq0,\\ ax+1, & 0<x\leq1,\\ 2x, & 1<x\leq2. \end{cases} \]
Determinare il valore di \(a\) affinché \(f\) sia continua in \([-1,2]\). Per tale valore del parametro, determinare il minimo e il massimo assoluti della funzione e mostrare, mediante il teorema dei valori intermedi, che esiste almeno un punto \(c\in(1,2)\) tale che \(f(c)=3\).
Risultato
La funzione è continua in \([-1,2]\) per
\[ a=1. \]
Per tale valore,
\[ \min_{x\in[-1,2]}f(x)=1 \]
ed è assunto in \(x=0\), mentre
\[ \max_{x\in[-1,2]}f(x)=4 \]
ed è assunto in \(x=2\).
Inoltre esiste almeno un punto \(c\in(1,2)\) tale che \(f(c)=3\).
Svolgimento
Ciascuno dei tre tratti della funzione è polinomiale e quindi continuo all'interno dell'intervallo nel quale viene utilizzato.
Per stabilire la continuità dell'intera funzione dobbiamo quindi controllare i due punti di raccordo:
\[ x=0 \qquad\text{e}\qquad x=1. \]
Consideriamo innanzitutto \(x=0\).
Per \(x\leq0\),
\[ f(x)=x^2+1, \]
per cui
\[ f(0)=0^2+1=1. \]
Inoltre,
\[ \lim_{x\to0^-}f(x)=1. \]
Da destra si utilizza l'espressione
\[ ax+1. \]
Quindi
\[ \lim_{x\to0^+}f(x) = a\cdot0+1 = 1. \]
Pertanto
\[ \lim_{x\to0^-}f(x) = \lim_{x\to0^+}f(x) = f(0) = 1. \]
La funzione è dunque continua in \(x=0\) per qualunque valore del parametro \(a\).
Passiamo al punto \(x=1\).
Per \(0<x\leq1\),
\[ f(x)=ax+1. \]
Pertanto
\[ f(1)=a+1 \]
e
\[ \lim_{x\to1^-}f(x)=a+1. \]
Per \(x>1\),
\[ f(x)=2x, \]
quindi
\[ \lim_{x\to1^+}f(x)=2. \]
Per la continuità in \(x=1\) dobbiamo imporre
\[ a+1=2. \]
Ne segue
\[ a=1. \]
Con questo valore del parametro la funzione diventa
\[ f(x)= \begin{cases} x^2+1, & -1\leq x\leq0,\\ x+1, & 0<x\leq1,\\ 2x, & 1<x\leq2. \end{cases} \]
Abbiamo verificato che i tre tratti sono continui e che i valori si raccordano correttamente in \(0\) e \(1\). Inoltre, negli estremi \(-1\) e \(2\) la funzione possiede la continuità laterale richiesta.
Pertanto \(f\) è continua nell'intervallo chiuso e limitato
\[ [-1,2]. \]
Possiamo quindi applicare il teorema di Weierstrass: la funzione assume certamente un minimo e un massimo assoluti.
Studiamo separatamente i valori assunti nei tre tratti.
Nel primo tratto,
\[ -1\leq x\leq0, \]
si ha
\[ f(x)=x^2+1. \]
In questo intervallo
\[ 0\leq x^2\leq1, \]
quindi
\[ 1\leq f(x)\leq2. \]
Il valore minimo del primo tratto è
\[ f(0)=1, \]
mentre
\[ f(-1)=2. \]
Nel secondo tratto,
\[ 0<x\leq1, \]
abbiamo
\[ f(x)=x+1. \]
Poiché
\[ 0<x\leq1, \]
segue
\[ 1<x+1\leq2. \]
In questo tratto i valori della funzione sono quindi maggiori di \(1\) e non superiori a \(2\).
Nel terzo tratto,
\[ 1<x\leq2, \]
si ha
\[ f(x)=2x. \]
Pertanto
\[ 2<2x\leq4. \]
Il valore \(4\) viene effettivamente assunto per
\[ x=2. \]
Confrontando i tre tratti, il più piccolo valore assunto dall'intera funzione è
\[ 1, \]
assunto in \(x=0\). Quindi
\[ \min_{x\in[-1,2]}f(x)=f(0)=1. \]
Il più grande valore assunto è invece
\[ 4, \]
assunto in \(x=2\). Dunque
\[ \max_{x\in[-1,2]}f(x)=f(2)=4. \]
Resta da dimostrare che esiste almeno un punto \(c\in(1,2)\) tale che
\[ f(c)=3. \]
Consideriamo la funzione nell'intervallo chiuso \([1,2]\). Poiché l'intera funzione è continua in \([-1,2]\), è in particolare continua in \([1,2]\).
Agli estremi si ha
\[ f(1)=2 \]
e
\[ f(2)=4. \]
Il valore \(3\) è strettamente compreso tra \(2\) e \(4\):
\[ f(1)=2<3<4=f(2). \]
Per il teorema dei valori intermedi esiste quindi almeno un punto
\[ c\in(1,2) \]
tale che
\[ f(c)=3. \]
In questo caso è anche possibile individuare direttamente tale punto, perché per \(1<x\leq2\) vale
\[ f(x)=2x. \]
Risolvendo
\[ 2x=3 \]
si ottiene
\[ x=\frac{3}{2}. \]
Infatti
\[ 1<\frac{3}{2}<2 \]
e
\[ f\left(\frac{3}{2}\right) = 2\cdot\frac{3}{2} = 3. \]
Il punto garantito dal teorema dei valori intermedi può quindi essere scelto come
\[ c=\frac{3}{2}. \]