Il concetto di funzione inversa nasce da una domanda naturale: data una funzione che associa a ogni elemento del dominio un elemento del codominio, è possibile percorrere questa corrispondenza nel verso opposto?
In altri termini, se una funzione \(f:A\to B\) associa a un elemento \(x\in A\) il valore \(y=f(x)\in B\), ci si può chiedere se, conoscendo \(y\), sia possibile risalire in modo univoco all'elemento \(x\) da cui proviene.
Questa possibilità non è sempre garantita. Una funzione può infatti assumere lo stesso valore in punti diversi del dominio, oppure può non raggiungere tutti gli elementi del codominio. Per questo motivo la funzione inversa non dipende soltanto dalla formula che definisce la funzione, ma anche dal dominio, dal codominio e dalle proprietà di iniettività e suriettività.
Lo scopo è chiarire quando una funzione ammette inversa, come si definisce rigorosamente la funzione inversa e quale ruolo hanno le nozioni di inversa destra e inversa sinistra. Queste ultime permettono di comprendere con maggiore precisione cosa accade quando una funzione non è biiettiva, ma conserva soltanto una delle due proprietà fondamentali: l'iniettività oppure la suriettività.
Indice
- Che cosa significa invertire una funzione
- Definizione di funzione inversa
- Quando esiste la funzione inversa
- Unicità dell'inversa e ruolo di dominio e codominio
- Come trovare la funzione inversa
- Esempi di funzioni invertibili e non invertibili
- Inversa sinistra di una funzione
- Inversa destra di una funzione
- Relazione tra inversa, inversa sinistra e inversa destra
- Riepilogo finale
Che cosa significa invertire una funzione
Sia
\[ f:A\to B \]
una funzione. Per definizione, a ogni elemento \(x\in A\) la funzione associa uno e un solo elemento \(f(x)\in B\).
Invertire una funzione significa chiedersi se sia possibile percorrere questa associazione nel verso opposto: non più partire da \(x\) per ottenere \(f(x)\), ma partire da un valore \(y\in B\) e risalire all'elemento \(x\in A\) che lo ha generato.
In simboli, se
\[ y=f(x), \]
ci si domanda se sia possibile determinare \(x\) a partire da \(y\).
Questa operazione, però, non è sempre possibile. Il primo ostacolo si presenta quando due elementi distinti del dominio hanno la stessa immagine. Se esistono \(x_1,x_2\in A\), con \(x_1\ne x_2\), tali che
\[ f(x_1)=f(x_2), \]
allora, partendo dal valore \(f(x_1)=f(x_2)\), non è possibile stabilire in modo univoco se l'elemento di partenza fosse \(x_1\) oppure \(x_2\). In questo caso l'inversione non può dare origine a una funzione, perché una funzione deve associare a ogni elemento del proprio dominio uno e un solo valore.
Un secondo ostacolo si presenta quando alcuni elementi del codominio non sono valori assunti dalla funzione. Se esiste un elemento \(y\in B\) che non appartiene all'immagine di \(f\), allora non esiste alcun \(x\in A\) tale che
\[ f(x)=y. \]
In questo caso, partendo da \(y\), non si può risalire ad alcun elemento del dominio.
Perciò l'inversione di una funzione richiede due condizioni fondamentali: ogni elemento del codominio deve essere effettivamente raggiunto dalla funzione, e deve essere raggiunto da un solo elemento del dominio. La prima richiesta corrisponde alla suriettività, la seconda all'iniettività.
Quando entrambe le condizioni sono soddisfatte, la funzione stabilisce una corrispondenza uno a uno tra gli elementi di \(A\) e gli elementi di \(B\). Solo in questa situazione è possibile definire una vera funzione inversa, che a ogni elemento di \(B\) associa l'unico elemento di \(A\) da cui proviene.
Definizione di funzione inversa
Sia
\[ f:A\to B \]
una funzione. Una funzione
\[ f^{-1}:B\to A \]
si dice inversa di \(f\) se, per ogni \(x\in A\) e per ogni \(y\in B\), vale la seguente equivalenza:
\[ y=f(x) \quad \Longleftrightarrow \quad x=f^{-1}(y). \]
In altre parole, la funzione inversa associa a ogni elemento \(y\in B\) l'unico elemento \(x\in A\) la cui immagine mediante \(f\) è proprio \(y\).
La funzione inversa, quando esiste, inverte il verso della corrispondenza definita da \(f\). Se la funzione originaria manda \(x\) in \(y\), allora la funzione inversa manda \(y\) in \(x\):
\[ f(x)=y \quad \Longrightarrow \quad f^{-1}(y)=x. \]
Questa notazione deve essere interpretata con attenzione. Il simbolo \(f^{-1}\) non indica il reciproco della funzione \(f\). In generale,
\[ f^{-1}(x)\ne \frac{1}{f(x)}. \]
Il simbolo \(f^{-1}\) indica invece la funzione che compie l'operazione inversa rispetto a \(f\), cioè la funzione che riporta ogni valore del codominio all'elemento del dominio da cui proviene.
La proprietà caratteristica della funzione inversa può essere espressa anche mediante la composizione di funzioni. Se \(f:A\to B\) ammette inversa \(f^{-1}:B\to A\), allora valgono le identità
\[ f^{-1}\circ f=\operatorname{id}_A \]
e
\[ f\circ f^{-1}=\operatorname{id}_B. \]
La prima identità significa che, partendo da un elemento di \(A\), applicando prima \(f\) e poi \(f^{-1}\), si torna all'elemento iniziale:
\[ f^{-1}(f(x))=x \qquad \text{per ogni } x\in A. \]
La seconda identità significa che, partendo da un elemento di \(B\), applicando prima \(f^{-1}\) e poi \(f\), si torna all'elemento iniziale:
\[ f(f^{-1}(y))=y \qquad \text{per ogni } y\in B. \]
Queste due uguaglianze riassumono in modo rigoroso il significato di funzione inversa: applicare una funzione e poi la sua inversa, oppure applicare prima l'inversa e poi la funzione, non modifica l'elemento di partenza.
Quando esiste la funzione inversa
Non ogni funzione ammette funzione inversa. Affinché una funzione
\[ f:A\to B \]
ammetta inversa
\[ f^{-1}:B\to A, \]
è necessario che ogni elemento di \(B\) abbia uno e un solo elemento di \(A\) che lo genera.
Più precisamente, per ogni \(y\in B\), deve esistere un unico \(x\in A\) tale che
\[ f(x)=y. \]
Questa condizione contiene due richieste distinte.
La prima è una richiesta di esistenza: per ogni \(y\in B\), deve esistere almeno un elemento \(x\in A\) tale che \(f(x)=y\). In questo modo ogni elemento del codominio è effettivamente raggiunto dalla funzione. Questa è esattamente la suriettività.
La seconda è una richiesta di unicità: per ogni \(y\in B\), deve esistere al massimo un elemento \(x\in A\) tale che \(f(x)=y\). In questo modo non possono esserci due elementi distinti del dominio con la stessa immagine. Questa è esattamente l'iniettività.
Di conseguenza, una funzione ammette funzione inversa se e solo se è sia iniettiva sia suriettiva, cioè se e solo se è biiettiva.
In simboli:
\[ f:A\to B \text{ ammette inversa } f^{-1}:B\to A \quad \Longleftrightarrow \quad f \text{ è biiettiva}. \]
La necessità di questa condizione può essere compresa direttamente. Se \(f\) non è iniettiva, esistono due elementi distinti \(x_1,x_2\in A\) tali che
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
In tal caso, partendo dal valore comune \(f(x_1)=f(x_2)\), l'eventuale inversa dovrebbe associare allo stesso elemento di \(B\) sia \(x_1\) sia \(x_2\). Questo è impossibile, perché una funzione deve associare a ogni elemento del proprio dominio un solo valore.
Se invece \(f\) non è suriettiva, esiste almeno un elemento \(y\in B\) che non è immagine di alcun elemento di \(A\). Per tale \(y\), non esiste alcun \(x\in A\) tale che
\[ f(x)=y. \]
In questo caso l'inversa non potrebbe essere definita su tutto \(B\), perché a quell'elemento \(y\) non corrisponderebbe alcun elemento di \(A\).
Viceversa, se \(f\) è biiettiva, allora per ogni \(y\in B\) esiste uno e un solo \(x\in A\) tale che \(f(x)=y\). È quindi possibile definire
\[ f^{-1}(y)=x. \]
Questa definizione è ben posta: l'esistenza di \(x\) è garantita dalla suriettività, mentre l'unicità di \(x\) è garantita dall'iniettività.
Pertanto la biiettività non è soltanto una condizione sufficiente per l'esistenza della funzione inversa: è anche una condizione necessaria.
Unicità dell'inversa e ruolo di dominio e codominio
Una funzione invertibile stabilisce una corrispondenza uno a uno tra gli elementi del dominio e gli elementi del codominio.
Se
\[ f:A\to B \]
è biiettiva, allora ogni elemento \(y\in B\) è immagine di uno e un solo elemento \(x\in A\). Di conseguenza, l'inversa
\[ f^{-1}:B\to A \]
è la funzione che associa a ciascun \(y\in B\) quell'unico elemento \(x\in A\) tale che
\[ f(x)=y. \]
In simboli:
\[ f^{-1}(y)=x \quad \Longleftrightarrow \quad f(x)=y. \]
La funzione inversa non è quindi un oggetto aggiunto artificialmente alla funzione iniziale: è determinata in modo unico dalla funzione \(f\), quando \(f\) è biiettiva.
Infatti, se esistessero due inverse \(g:B\to A\) e \(h:B\to A\) della stessa funzione \(f\), allora per ogni \(y\in B\) si avrebbe
\[ f(g(y))=y \qquad \text{e} \qquad f(h(y))=y. \]
Poiché \(f\) è iniettiva, dall'uguaglianza
\[ f(g(y))=f(h(y)) \]
segue necessariamente
\[ g(y)=h(y). \]
Questo vale per ogni \(y\in B\), quindi \(g=h\). L'inversa di una funzione, quando esiste, è dunque unica.
Inoltre, se \(f:A\to B\) è biiettiva e ammette inversa \(f^{-1}:B\to A\), allora anche \(f^{-1}\) è biiettiva. La sua inversa è proprio la funzione di partenza:
\[ (f^{-1})^{-1}=f. \]
Questa uguaglianza esprime il fatto che invertire la corrispondenza una seconda volta riporta alla funzione originaria.
L'invertibilità dipende sempre dalla funzione considerata insieme al suo dominio e al suo codominio. La stessa formula può definire una funzione invertibile oppure non invertibile, a seconda degli insiemi tra cui viene considerata: è quindi necessario specificare sempre dominio, codominio e legge di associazione.
Per esempio, la funzione
\[ f:\mathbb R\to \mathbb R,\qquad f(x)=x^2 \]
non è invertibile, perché non è iniettiva: infatti \(f(-1)=f(1)=1\).
Se invece si considera la funzione
\[ f:[0,+\infty)\to [0,+\infty),\qquad f(x)=x^2, \]
allora \(f\) è biiettiva e quindi ammette inversa. In questo caso
\[ f^{-1}(x)=\sqrt{x}. \]
Questo esempio mostra che non basta guardare la formula: per stabilire se una funzione è invertibile bisogna considerare dominio, codominio e proprietà della funzione.
Come trovare la funzione inversa
Quando una funzione è invertibile, la sua inversa può spesso essere trovata partendo dall'equazione che definisce la funzione.
Supponiamo di avere una funzione
\[ f:A\to B \]
definita da una certa espressione \(y=f(x)\). Per determinare l'inversa, si deve risolvere l'equazione
\[ y=f(x) \]
rispetto alla variabile \(x\).
Se la funzione è invertibile, per ogni \(y\in B\) esiste uno e un solo \(x\in A\) tale che \(f(x)=y\). Perciò la risoluzione dell'equazione rispetto a \(x\) produce un'espressione del tipo
\[ x=f^{-1}(y). \]
A questo punto, se si desidera scrivere l'inversa usando la variabile \(x\) come variabile indipendente, si può rinominare la variabile \(y\) con \(x\). Questo passaggio è soltanto un cambio di nome della variabile, non una modifica del significato matematico.
In pratica, il procedimento è il seguente:
- si scrive \(y=f(x)\);
- si risolve l'equazione rispetto a \(x\);
- si ottiene \(x=f^{-1}(y)\);
- si rinomina la variabile indipendente, scrivendo \(f^{-1}(x)\) al posto di \(f^{-1}(y)\).
Consideriamo, per esempio, la funzione
\[ f:\mathbb R\to \mathbb R,\qquad f(x)=2x+3. \]
La funzione è biiettiva, quindi ammette inversa. Scriviamo
\[ y=2x+3. \]
Risolviamo rispetto a \(x\):
\[ y-3=2x, \]
quindi
\[ x=\frac{y-3}{2}. \]
Pertanto
\[ f^{-1}(y)=\frac{y-3}{2}. \]
Rinominando la variabile indipendente, otteniamo
\[ f^{-1}(x)=\frac{x-3}{2}. \]
È sempre opportuno verificare il risultato mediante la composizione. Infatti:
\[ f^{-1}(f(x))=f^{-1}(2x+3)=\frac{2x+3-3}{2}=x \]
per ogni \(x\in\mathbb R\), e
\[ f(f^{-1}(x))=f\left(\frac{x-3}{2}\right)=2\cdot\frac{x-3}{2}+3=x \]
per ogni \(x\in\mathbb R\).
Le due identità confermano che la funzione trovata è effettivamente l'inversa di \(f\).
Il procedimento algebrico ha senso come metodo per trovare l'inversa solo dopo aver controllato che la funzione sia invertibile, oppure dopo aver precisato opportunamente dominio e codominio. Risolvere formalmente un'equazione non garantisce, da solo, l'esistenza di una funzione inversa.
Per esempio, dalla relazione
\[ y=x^2 \]
si ottiene formalmente
\[ x=\pm\sqrt{y}. \]
Questa espressione non definisce una funzione inversa da \(\mathbb R\) a \(\mathbb R\), perché a uno stesso valore positivo di \(y\) corrispondono due possibili valori di \(x\). Il problema non è soltanto algebrico: la funzione \(f:\mathbb R\to\mathbb R\), \(f(x)=x^2\), non è iniettiva e quindi non è invertibile.
Se invece si restringe il dominio a \([0,+\infty)\) e si considera
\[ f:[0,+\infty)\to[0,+\infty),\qquad f(x)=x^2, \]
allora per ogni \(y\in[0,+\infty)\) esiste un unico \(x\in[0,+\infty)\) tale che \(x^2=y\), cioè
\[ x=\sqrt{y}. \]
In questo caso l'inversa è
\[ f^{-1}(x)=\sqrt{x}. \]
Il calcolo dell'inversa deve quindi essere sempre accompagnato dal controllo del dominio, del codominio e della biiettività della funzione.
Esempi di funzioni invertibili e non invertibili
Per comprendere meglio il significato di funzione inversa, è utile confrontare alcuni esempi in cui l'invertibilità dipende in modo essenziale dal dominio e dal codominio scelti.
Una funzione invertibile
Consideriamo la funzione
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x+4. \]
La funzione è iniettiva, perché se \(f(x_1)=f(x_2)\), allora
\[ x_1+4=x_2+4, \]
e quindi
\[ x_1=x_2. \]
Inoltre è suriettiva, perché per ogni \(y\in\mathbb R\) esiste \(x\in\mathbb R\) tale che
\[ x+4=y. \]
Infatti basta scegliere
\[ x=y-4. \]
La funzione è quindi biiettiva e ammette inversa. Dalla relazione
\[ y=x+4 \]
ricaviamo
\[ x=y-4. \]
Pertanto
\[ f^{-1}(x)=x-4. \]
Una funzione non invertibile perché non iniettiva
Consideriamo ora la funzione
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2. \]
Questa funzione non è iniettiva. Infatti due elementi distinti del dominio possono avere la stessa immagine:
\[ f(-2)=4 \qquad \text{e} \qquad f(2)=4. \]
Se si tentasse di costruire un'inversa, il valore \(4\) dovrebbe essere mandato sia in \(-2\) sia in \(2\). Questo è impossibile, perché una funzione deve associare a ogni elemento del proprio dominio un solo valore.
Di conseguenza, la funzione
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2 \]
non ammette funzione inversa.
Una funzione non invertibile perché non suriettiva
Consideriamo la funzione
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=e^x. \]
Questa funzione è iniettiva, ma non è suriettiva su \(\mathbb R\). Infatti i suoi valori sono sempre positivi:
\[ e^x>0 \qquad \text{per ogni } x\in\mathbb R. \]
Perciò nessun numero reale minore o uguale a zero appartiene all'immagine della funzione. Ad esempio, non esiste alcun \(x\in\mathbb R\) tale che
\[ e^x=-1. \]
Di conseguenza, la funzione non può avere inversa da \(\mathbb R\) a \(\mathbb R\), perché l'eventuale inversa dovrebbe essere definita su tutto il codominio \(\mathbb R\), compresi i valori non raggiunti da \(f\).
Se però si cambia il codominio e si considera
\[ f:\mathbb R\to(0,+\infty),\qquad f(x)=e^x, \]
allora la funzione diventa biiettiva. In questo caso ammette inversa
\[ f^{-1}:(0,+\infty)\to\mathbb R, \]
data da
\[ f^{-1}(x)=\ln x. \]
La stessa formula può dare funzioni diverse
Gli esempi precedenti mostrano un punto essenziale: l'invertibilità non è una proprietà della sola formula, ma della funzione nel suo complesso.
La formula \(x^2\), considerata come funzione da \(\mathbb R\) in \(\mathbb R\), non definisce una funzione invertibile. La stessa formula, considerata come funzione da \([0,+\infty)\) in \([0,+\infty)\), definisce invece una funzione invertibile.
Allo stesso modo, la formula \(e^x\), considerata come funzione da \(\mathbb R\) in \(\mathbb R\), non è suriettiva; considerata invece come funzione da \(\mathbb R\) in \((0,+\infty)\), diventa biiettiva.
Per stabilire se una funzione ammette inversa, quindi, bisogna sempre specificare tre elementi: la legge di associazione, il dominio e il codominio.
Inversa sinistra di una funzione
La funzione inversa esiste, nel senso ordinario, soltanto quando la funzione è biiettiva. Tuttavia, se una funzione non è biiettiva, può comunque accadere che una parte del comportamento dell'inversa sia ancora presente.
Questo porta alle nozioni di inversa sinistra e inversa destra.
Sia
\[ f:A\to B \]
una funzione. Una funzione
\[ g:B\to A \]
si dice inversa sinistra di \(f\) se
\[ g\circ f=\operatorname{id}_A. \]
In forma esplicita, questo significa che
\[ g(f(x))=x \qquad \text{per ogni } x\in A. \]
Dunque, applicando prima \(f\) e poi \(g\), si torna sempre all'elemento iniziale del dominio \(A\).
Il nome “inversa sinistra” deriva dalla posizione di \(g\) nella composizione
\[ g\circ f. \]
Infatti, nella scrittura \(g\circ f\), la funzione \(g\) compare a sinistra di \(f\). Per questo motivo \(g\) viene chiamata inversa sinistra di \(f\).
L'esistenza di un'inversa sinistra è strettamente legata all'iniettività. Se \(f\) ammette un'inversa sinistra, allora \(f\) è iniettiva.
Infatti, supponiamo che esistano \(x_1,x_2\in A\) tali che
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Applicando \(g\) a entrambi i membri, otteniamo
\[ g(f(x_1))=g(f(x_2)). \]
Poiché \(g\circ f=\operatorname{id}_A\), segue che
\[ x_1=x_2. \]
Quindi \(f\) è iniettiva.
Viceversa, se \(f\) è iniettiva, allora ogni elemento dell'immagine di \(f\) proviene da un unico elemento di \(A\). Perciò, sugli elementi di \(B\) che appartengono all'immagine di \(f\), si può definire una funzione che riporta ciascun valore al suo unico punto di partenza.
Resta però un dettaglio importante: se \(f\) non è suriettiva, alcuni elementi di \(B\) non appartengono all'immagine di \(f\). Su questi elementi, l'inversa sinistra non è determinata dalla funzione \(f\), perché essi non provengono da alcun elemento di \(A\).
Per questo motivo, quando \(f\) è iniettiva ma non suriettiva, un'inversa sinistra può essere definita in modo naturale sull'immagine di \(f\), mentre sui punti di \(B\setminus f(A)\) la sua definizione può essere scelta arbitrariamente, purché assuma valori in \(A\).
Consideriamo, per esempio, la funzione
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=e^x. \]
Questa funzione è iniettiva, ma non è suriettiva su \(\mathbb R\), perché la sua immagine è \((0,+\infty)\).
Sugli elementi positivi, cioè sugli elementi effettivamente raggiunti da \(f\), la funzione che inverte \(f\) è il logaritmo naturale:
\[ \ln(e^x)=x \qquad \text{per ogni } x\in\mathbb R. \]
Quindi la funzione
\[ \ln:(0,+\infty)\to\mathbb R \]
inverte l'esponenziale sulla sua immagine, nel senso che
\[ \ln\circ \exp=\operatorname{id}_{\mathbb R}. \]
Tuttavia \(\ln\) non è, da sola, un'inversa sinistra della funzione \(f:\mathbb R\to\mathbb R\), \(f(x)=e^x\), perché non è definita su tutto il codominio \(\mathbb R\). Per ottenere una vera inversa sinistra \(g:\mathbb R\to\mathbb R\), bisogna estendere il logaritmo anche ai valori reali minori o uguali a zero.
Per esempio, possiamo definire
\[ g(y)= \begin{cases} \ln y, & y>0,\\ 0, & y\le 0. \end{cases} \]
Allora \(g:\mathbb R\to\mathbb R\) è ben definita e, per ogni \(x\in\mathbb R\), si ha
\[ g(e^x)=\ln(e^x)=x. \]
Dunque
\[ g\circ \exp=\operatorname{id}_{\mathbb R}. \]
La scelta del valore di \(g\) sui numeri reali minori o uguali a zero è arbitraria: su quei punti la funzione \(f(x)=e^x\) non impone alcun valore.
L'inversa sinistra, quindi, garantisce che la funzione possa essere invertita dopo averla applicata, ma non richiede necessariamente che tutti gli elementi del codominio siano raggiunti.
In sintesi, l'esistenza di un'inversa sinistra esprime il fatto che \(f\) non identifica elementi distinti del dominio. Per questo motivo l'inversa sinistra è collegata all'iniettività.
Inversa destra di una funzione
Sia
\[ f:A\to B \]
una funzione. Una funzione
\[ h:B\to A \]
si dice inversa destra di \(f\) se
\[ f\circ h=\operatorname{id}_B. \]
In forma esplicita, questo significa che
\[ f(h(y))=y \qquad \text{per ogni } y\in B. \]
Dunque, partendo da un elemento \(y\in B\), la funzione \(h\) sceglie un elemento di \(A\) che viene mandato da \(f\) proprio in \(y\).
Il nome “inversa destra” deriva dalla posizione di \(h\) nella composizione
\[ f\circ h. \]
Infatti, nella scrittura \(f\circ h\), la funzione \(h\) compare a destra di \(f\). Per questo motivo \(h\) viene chiamata inversa destra di \(f\).
L'esistenza di un'inversa destra è strettamente legata alla suriettività. Se \(f\) ammette un'inversa destra, allora \(f\) è suriettiva.
Infatti, per ogni \(y\in B\), dall'identità
\[ f(h(y))=y \]
segue che \(y\) è immagine dell'elemento \(h(y)\in A\). Quindi ogni elemento di \(B\) è raggiunto da \(f\), e di conseguenza \(f\) è suriettiva.
Viceversa, se \(f\) è suriettiva, allora per ogni \(y\in B\) esiste almeno un elemento \(x\in A\) tale che
\[ f(x)=y. \]
Per costruire un'inversa destra, si può scegliere, per ciascun \(y\in B\), uno degli elementi di \(A\) che hanno immagine \(y\). Definendo \(h(y)\) come uno di questi elementi, si ottiene
\[ f(h(y))=y \qquad \text{per ogni } y\in B. \]
Quindi \(h\) è un'inversa destra di \(f\).
In un contesto insiemistico generale, questa costruzione richiede una precisazione. Per definire \(h\), infatti, bisogna scegliere, per ogni \(y\in B\), un elemento della fibra
\[ f^{-1}(\{y\})=\{x\in A : f(x)=y\}. \]
Poiché \(f\) è suriettiva, ciascuna di queste fibre è non vuota. Tuttavia la scelta simultanea di un elemento da ogni fibra, nel caso generale, è garantita dall'assioma di scelta. Nei contesti usuali dell'analisi e dell'algebra elementare, questa difficoltà non emerge quasi mai, perché le scelte sono normalmente esplicite o determinate da una regola naturale.
Quando \(f\) è suriettiva ma non iniettiva, l'inversa destra non è necessariamente unica. Infatti uno stesso elemento \(y\in B\) può avere più preimmagini in \(A\), e la funzione \(h\) deve sceglierne una.
Consideriamo, per esempio, la funzione
\[ f:\mathbb R\to[0,+\infty),\qquad f(x)=x^2. \]
Questa funzione è suriettiva, ma non è iniettiva. Infatti ogni numero reale non negativo è il quadrato di almeno un numero reale, ma, se \(y>0\), allora
\[ f(\sqrt y)=y \qquad \text{e} \qquad f(-\sqrt y)=y. \]
Per ogni \(y\in[0,+\infty)\), possiamo scegliere come preimmagine il numero non negativo \(\sqrt y\). Otteniamo così la funzione
\[ h:[0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad h(y)=\sqrt y. \]
Allora
\[ f(h(y))=f(\sqrt y)=(\sqrt y)^2=y \qquad \text{per ogni } y\in[0,+\infty). \]
Quindi \(h\) è un'inversa destra di \(f\).
Tuttavia si sarebbe potuta fare anche un'altra scelta, ad esempio
\[ k:[0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad k(y)=-\sqrt y. \]
Anche in questo caso si ha
\[ f(k(y))=f(-\sqrt y)=(-\sqrt y)^2=y \qquad \text{per ogni } y\in[0,+\infty). \]
Dunque anche \(k\) è un'inversa destra di \(f\). Questo mostra che, in assenza di iniettività, l'inversa destra può non essere unica.
L'inversa destra, quindi, garantisce che ogni elemento del codominio possa essere raggiunto scegliendo opportunamente un elemento del dominio. Non garantisce però che tale elemento sia unico.
In sintesi, l'esistenza di un'inversa destra esprime il fatto che \(f\) raggiunge tutto il codominio. Per questo motivo l'inversa destra è collegata alla suriettività.
Relazione tra inversa, inversa sinistra e inversa destra
Le nozioni di inversa sinistra e inversa destra permettono di separare le due proprietà che, insieme, rendono una funzione invertibile.
Sia
\[ f:A\to B \]
una funzione. Una funzione
\[ g:B\to A \]
è inversa sinistra di \(f\) se
\[ g\circ f=\operatorname{id}_A. \]
Questa condizione significa che, dopo aver applicato \(f\), la funzione \(g\) permette di tornare all'elemento iniziale di \(A\). Per questo motivo l'esistenza di un'inversa sinistra è legata all'iniettività di \(f\).
Una funzione
\[ h:B\to A \]
è invece inversa destra di \(f\) se
\[ f\circ h=\operatorname{id}_B. \]
Questa condizione significa che ogni elemento di \(B\) può essere ottenuto applicando \(f\) a un opportuno elemento di \(A\). Per questo motivo l'esistenza di un'inversa destra è legata alla suriettività di \(f\).
Quando una stessa funzione
\[ u:B\to A \]
è contemporaneamente inversa sinistra e inversa destra di \(f\), cioè quando valgono entrambe le identità
\[ u\circ f=\operatorname{id}_A \]
e
\[ f\circ u=\operatorname{id}_B, \]
allora \(u\) è la vera funzione inversa di \(f\). In questo caso si scrive
\[ u=f^{-1}. \]
Quindi la funzione inversa ordinaria può essere vista come una funzione che è, allo stesso tempo, inversa sinistra e inversa destra.
In particolare, se \(f\) ammette una funzione inversa \(f^{-1}:B\to A\), allora
\[ f^{-1}\circ f=\operatorname{id}_A \]
e
\[ f\circ f^{-1}=\operatorname{id}_B. \]
La prima identità esprime l'iniettività: elementi distinti di \(A\) non vengono identificati da \(f\). La seconda identità esprime la suriettività: ogni elemento di \(B\) è raggiunto da \(f\).
Si può quindi riassumere la situazione nel modo seguente:
- l'inversa sinistra corrisponde al recupero degli elementi del dominio dopo l'applicazione di \(f\);
- l'inversa destra corrisponde alla possibilità di rappresentare ogni elemento del codominio come immagine mediante \(f\);
- la funzione inversa ordinaria esiste quando entrambe le condizioni sono soddisfatte.
In termini di proprietà della funzione:
\[ f \text{ ammette inversa sinistra } \Longrightarrow f \text{ è iniettiva}, \]
mentre
\[ f \text{ ammette inversa destra } \Longrightarrow f \text{ è suriettiva}. \]
Viceversa, se \(f\) è iniettiva, allora è possibile invertire \(f\) sulla sua immagine; se \(f\) è suriettiva, allora, assumendo l'assioma di scelta nel caso generale, è possibile costruire un'inversa destra.
Quando \(f\) è sia iniettiva sia suriettiva, le due condizioni si uniscono: la funzione ammette una sola inversa, che è contemporaneamente inversa sinistra e inversa destra.
In simboli:
\[ f \text{ è biiettiva} \quad \Longleftrightarrow \quad \exists\, f^{-1}:B\to A \]
tale che
\[ f^{-1}\circ f=\operatorname{id}_A \qquad \text{e} \qquad f\circ f^{-1}=\operatorname{id}_B. \]
Questa formulazione mette in evidenza il significato profondo dell'invertibilità: una funzione è invertibile quando non perde informazioni sugli elementi del dominio e, allo stesso tempo, raggiunge tutti gli elementi del codominio.
Riepilogo finale
La funzione inversa permette di percorrere una funzione nel verso opposto. Se una funzione
\[ f:A\to B \]
associa a un elemento \(x\in A\) il valore \(y=f(x)\in B\), la funzione inversa, quando esiste, associa a \(y\) l'elemento \(x\) da cui proviene.
Affinché questo sia possibile su tutto il codominio \(B\), ogni elemento di \(B\) deve essere immagine di uno e un solo elemento di \(A\). La richiesta di esistenza corrisponde alla suriettività; la richiesta di unicità corrisponde all'iniettività.
Perciò una funzione ammette inversa se e solo se è biiettiva:
\[ f:A\to B \text{ ammette inversa } f^{-1}:B\to A \quad \Longleftrightarrow \quad f \text{ è biiettiva}. \]
Quando l'inversa esiste, essa è caratterizzata dalle due identità
\[ f^{-1}\circ f=\operatorname{id}_A \]
e
\[ f\circ f^{-1}=\operatorname{id}_B. \]
La prima identità dice che, partendo da un elemento di \(A\), applicando prima \(f\) e poi \(f^{-1}\), si torna all'elemento iniziale. La seconda dice che, partendo da un elemento di \(B\), applicando prima \(f^{-1}\) e poi \(f\), si torna all'elemento iniziale.
Le inverse sinistra e destra separano queste due condizioni.
Un'inversa sinistra di \(f\) è una funzione \(g:B\to A\) tale che
\[ g\circ f=\operatorname{id}_A. \]
Essa permette di recuperare ogni elemento del dominio dopo l'applicazione di \(f\). Per questo motivo è collegata all'iniettività.
Un'inversa destra di \(f\) è una funzione \(h:B\to A\) tale che
\[ f\circ h=\operatorname{id}_B. \]
Essa permette di ottenere ogni elemento del codominio come immagine mediante \(f\). Per questo motivo è collegata alla suriettività.
Se una stessa funzione è contemporaneamente inversa sinistra e inversa destra di \(f\), allora è la funzione inversa ordinaria di \(f\).
In conclusione:
- l'iniettività impedisce che due elementi distinti del dominio abbiano la stessa immagine;
- la suriettività garantisce che ogni elemento del codominio sia raggiunto;
- la biiettività garantisce entrambe le proprietà e rende possibile la funzione inversa;
- l'inversa sinistra riflette l'iniettività;
- l'inversa destra riflette la suriettività;
- la funzione inversa ordinaria esiste quando le due condizioni si verificano insieme.
La nozione di funzione inversa, quindi, non dipende soltanto da una formula, ma dalla funzione considerata nella sua interezza: dominio, codominio e legge di associazione. Solo specificando tutti questi elementi si può stabilire con precisione se una funzione sia invertibile e quale sia la sua inversa.