Esercizio 1 — livello ★☆☆☆☆
Stabilire se la funzione
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=3x-5 \]
è invertibile e, in caso affermativo, determinare la sua inversa.
Risultato. La funzione è invertibile e
\[ f^{-1}(x)=\frac{x+5}{3}. \]
Svolgimento. La funzione è affine con coefficiente angolare diverso da zero. Verifichiamo comunque in modo esplicito che sia biiettiva.
Per l'iniettività, supponiamo che
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Allora
\[ 3x_1-5=3x_2-5. \]
Sommando \(5\) a entrambi i membri e dividendo per \(3\), otteniamo
\[ x_1=x_2. \]
Quindi \(f\) è iniettiva.
Per la suriettività, prendiamo un qualunque \(y\in\mathbb R\). Dobbiamo trovare \(x\in\mathbb R\) tale che
\[ 3x-5=y. \]
Risolvendo rispetto a \(x\), si ottiene
\[ 3x=y+5, \]
quindi
\[ x=\frac{y+5}{3}. \]
Poiché \(\frac{y+5}{3}\in\mathbb R\) per ogni \(y\in\mathbb R\), la funzione è suriettiva.
Dunque \(f\) è biiettiva e ammette inversa. Dalla relazione
\[ y=3x-5 \]
abbiamo ricavato
\[ x=\frac{y+5}{3}. \]
Pertanto
\[ f^{-1}(y)=\frac{y+5}{3}. \]
Rinominando la variabile indipendente, otteniamo
\[ f^{-1}(x)=\frac{x+5}{3}. \]
Verifichiamo mediante composizione:
\[ f^{-1}(f(x))=f^{-1}(3x-5)=\frac{3x-5+5}{3}=x \]
e
\[ f(f^{-1}(x))=f\left(\frac{x+5}{3}\right)=3\cdot\frac{x+5}{3}-5=x. \]
Le due identità confermano che la funzione trovata è davvero l'inversa di \(f\).
Esercizio 2. — livello ★☆☆☆☆
Stabilire se la funzione
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2+1 \]
è invertibile.
Risultato. La funzione non è invertibile.
Svolgimento. Una funzione \(f:\mathbb R\to\mathbb R\) è invertibile se e solo se è biiettiva. Dobbiamo quindi controllare se è iniettiva e suriettiva.
La funzione non è iniettiva. Infatti
\[ f(1)=1^2+1=2 \]
e
\[ f(-1)=(-1)^2+1=2. \]
Poiché \(1\ne -1\), abbiamo trovato due elementi distinti del dominio con la stessa immagine:
\[ f(1)=f(-1). \]
Questo basta per concludere che \(f\) non è iniettiva.
Inoltre \(f\) non è nemmeno suriettiva su \(\mathbb R\). Infatti, per ogni \(x\in\mathbb R\), si ha
\[ x^2\ge 0, \]
quindi
\[ x^2+1\ge 1. \]
Di conseguenza la funzione non assume valori minori di \(1\). Per esempio non esiste alcun \(x\in\mathbb R\) tale che
\[ x^2+1=0. \]
La funzione non è biiettiva. Pertanto non ammette funzione inversa da \(\mathbb R\) a \(\mathbb R\).
Esercizio 3. — livello ★☆☆☆☆
Determinare l'inversa della funzione
\[ f:[0,+\infty)\to[1,+\infty),\qquad f(x)=x^2+1. \]
Risultato.La funzione è invertibile e
\[ f^{-1}(x)=\sqrt{x-1}, \qquad x\in[1,+\infty). \]
Svolgimento. Rispetto all'esercizio precedente, la formula è la stessa, ma sono cambiati dominio e codominio. Questo può modificare l'invertibilità della funzione.
Per ogni \(x\in[0,+\infty)\), la funzione \(x\mapsto x^2\) è crescente. Quindi, se \(x_1,x_2\in[0,+\infty)\) e
\[ f(x_1)=f(x_2), \]
allora
\[ x_1^2+1=x_2^2+1, \]
da cui
\[ x_1^2=x_2^2. \]
Poiché \(x_1,x_2\ge 0\), dall'uguaglianza dei quadrati segue
\[ x_1=x_2. \]
Dunque \(f\) è iniettiva.
Per la suriettività, prendiamo \(y\in[1,+\infty)\). Dobbiamo trovare \(x\in[0,+\infty)\) tale che
\[ x^2+1=y. \]
Risolvendo:
\[ x^2=y-1. \]
Poiché \(y\ge 1\), si ha \(y-1\ge 0\). Possiamo quindi porre
\[ x=\sqrt{y-1}. \]
Questo valore appartiene a \([0,+\infty)\) e soddisfa
\[ f(x)=f(\sqrt{y-1})=(\sqrt{y-1})^2+1=y. \]
La funzione è quindi suriettiva.
Essendo iniettiva e suriettiva, \(f\) è biiettiva. Dalla relazione
\[ y=x^2+1 \]
ricaviamo
\[ x=\sqrt{y-1}, \]
perché \(x\ge 0\). Quindi
\[ f^{-1}(y)=\sqrt{y-1}. \]
Rinominando la variabile:
\[ f^{-1}(x)=\sqrt{x-1}. \]
Esercizio 4 — livello ★★☆☆☆
Stabilire se la funzione
\[ f:\mathbb R\to(0,+\infty),\qquad f(x)=e^{2x} \]
è invertibile e determinarne l'inversa.
Risultato. La funzione è invertibile e
\[ f^{-1}(x)=\frac{1}{2}\ln x, \qquad x>0. \]
Svolgimento. Per ogni \(x\in\mathbb R\), si ha \(e^{2x}>0\), quindi la funzione assume valori nel codominio \((0,+\infty)\).
La funzione è iniettiva. Infatti, se
\[ f(x_1)=f(x_2), \]
allora
\[ e^{2x_1}=e^{2x_2}. \]
Poiché la funzione esponenziale è iniettiva, segue
\[ 2x_1=2x_2, \]
quindi
\[ x_1=x_2. \]
La funzione è anche suriettiva su \((0,+\infty)\). Sia infatti \(y\in(0,+\infty)\). Cerchiamo \(x\in\mathbb R\) tale che
\[ e^{2x}=y. \]
Applicando il logaritmo naturale:
\[ 2x=\ln y, \]
e dunque
\[ x=\frac{1}{2}\ln y. \]
Questo numero è reale per ogni \(y>0\), quindi \(f\) è suriettiva.
La funzione è biiettiva e ammette inversa. Dalla relazione
\[ y=e^{2x} \]
ricaviamo
\[ x=\frac{1}{2}\ln y. \]
Quindi
\[ f^{-1}(x)=\frac{1}{2}\ln x. \]
Esercizio 5 — livello ★★☆☆☆
Stabilire se la funzione
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=e^{2x} \]
è invertibile.
Risultato. La funzione non è invertibile da \(\mathbb R\) a \(\mathbb R\).
Svolgimento.
La funzione \(f(x)=e^{2x}\) è iniettiva, perché l'esponenziale è strettamente crescente e la funzione \(x\mapsto 2x\) è strettamente crescente.
Tuttavia non è suriettiva su \(\mathbb R\). Infatti
\[ e^{2x}>0 \]
per ogni \(x\in\mathbb R\). Quindi la funzione non assume valori reali minori o uguali a zero.
Per esempio, non esiste alcun \(x\in\mathbb R\) tale che
\[ e^{2x}=-1. \]
Dunque l'immagine della funzione è
\[ f(\mathbb R)=(0,+\infty), \]
che è un sottoinsieme proprio di \(\mathbb R\).
Poiché la funzione non è suriettiva sul codominio assegnato, non è biiettiva. Pertanto non ammette inversa
\[ f^{-1}:\mathbb R\to\mathbb R. \]
La stessa formula diventerebbe invertibile se il codominio fosse \((0,+\infty)\), ma con codominio \(\mathbb R\) la funzione non è invertibile.
Esercizio 6 — livello ★★☆☆☆
Determinare l'inversa della funzione
\[ f:\mathbb R\setminus\{2\}\to\mathbb R\setminus\{1\}, \qquad f(x)=\frac{x+1}{x-2}. \]
Risultato. La funzione è invertibile e
\[ f^{-1}(x)=\frac{2x+1}{x-1}, \qquad x\ne 1. \]
Svolgimento
Partiamo dall'equazione
\[ y=\frac{x+1}{x-2}. \]
Poiché \(x\ne 2\), il denominatore è diverso da zero. Moltiplichiamo entrambi i membri per \(x-2\):
\[ y(x-2)=x+1. \]
Sviluppiamo:
\[ xy-2y=x+1. \]
Portiamo i termini contenenti \(x\) da una parte:
\[ xy-x=2y+1. \]
Raccogliamo \(x\):
\[ x(y-1)=2y+1. \]
Poiché il codominio è \(\mathbb R\setminus\{1\}\), abbiamo \(y\ne 1\). Possiamo quindi dividere per \(y-1\):
\[ x=\frac{2y+1}{y-1}. \]
Pertanto
\[ f^{-1}(y)=\frac{2y+1}{y-1}. \]
Rinominando la variabile indipendente:
\[ f^{-1}(x)=\frac{2x+1}{x-1}. \]
Verifichiamo che l'espressione trovata abbia valori in \(\mathbb R\setminus\{2\}\). Se per assurdo
\[ \frac{2y+1}{y-1}=2, \]
allora
\[ 2y+1=2y-2, \]
cioè \(1=-2\), impossibile. Quindi \(f^{-1}(y)\ne 2\).
La funzione inversa è dunque ben definita da \(\mathbb R\setminus\{1\}\) a \(\mathbb R\setminus\{2\}\).
Esercizio 7 — livello ★★☆☆☆
Stabilire se la funzione
\[ f:[1,+\infty)\to[0,+\infty),\qquad f(x)=(x-1)^2 \]
è invertibile e determinarne l'inversa.
Risultato
La funzione è invertibile e
\[ f^{-1}(x)=1+\sqrt{x}. \]
Svolgimento
Il dominio è \([1,+\infty)\). Per ogni \(x\ge 1\), si ha \(x-1\ge 0\). La funzione \(x\mapsto (x-1)^2\) è quindi crescente sul dominio assegnato.
Verifichiamo l'iniettività. Siano \(x_1,x_2\in[1,+\infty)\) e supponiamo che
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Allora
\[ (x_1-1)^2=(x_2-1)^2. \]
Poiché \(x_1-1\ge 0\) e \(x_2-1\ge 0\), dall'uguaglianza dei quadrati segue
\[ x_1-1=x_2-1. \]
Quindi
\[ x_1=x_2. \]
La funzione è iniettiva.
Per la suriettività, sia \(y\in[0,+\infty)\). Dobbiamo trovare \(x\in[1,+\infty)\) tale che
\[ (x-1)^2=y. \]
Poiché \(y\ge 0\), possiamo porre
\[ x-1=\sqrt y, \]
quindi
\[ x=1+\sqrt y. \]
Questo valore appartiene a \([1,+\infty)\) e soddisfa
\[ f(1+\sqrt y)=((1+\sqrt y)-1)^2=(\sqrt y)^2=y. \]
Dunque la funzione è suriettiva.
Essendo biiettiva, ammette inversa. Dalla relazione
\[ y=(x-1)^2 \]
con \(x\ge 1\), otteniamo
\[ x=1+\sqrt y. \]
Perciò
\[ f^{-1}(x)=1+\sqrt{x}. \]
Esercizio 8 — livello ★★☆☆☆
Stabilire se la funzione
\[ f:\mathbb R\to[0,+\infty),\qquad f(x)=x^2 \]
è invertibile.
Risultato
La funzione non è invertibile.
Svolgimento
Il codominio è \([0,+\infty)\). La funzione è suriettiva su questo codominio, perché per ogni \(y\in[0,+\infty)\) esiste \(x=\sqrt y\in\mathbb R\) tale che
\[ f(x)=(\sqrt y)^2=y. \]
Tuttavia la funzione non è iniettiva. Infatti
\[ f(2)=4 \]
e
\[ f(-2)=4. \]
Poiché \(2\ne -2\), due elementi distinti del dominio hanno la stessa immagine.
Una funzione invertibile deve essere sia iniettiva sia suriettiva. In questo caso la suriettività è soddisfatta, ma l'iniettività no.
Quindi
\[ f:\mathbb R\to[0,+\infty),\qquad f(x)=x^2 \]
non ammette funzione inversa.
Esistono però inverse destre, perché la funzione è suriettiva. Ad esempio
\[ h:[0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad h(y)=\sqrt y \]
soddisfa
\[ f(h(y))=f(\sqrt y)=y \]
per ogni \(y\in[0,+\infty)\). Dunque \(h\) è un'inversa destra, ma non una funzione inversa ordinaria.
Esercizio 9 — livello ★★☆☆☆
Determinare se la funzione
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^3 \]
è invertibile e trovare l'inversa.
Risultato
La funzione è invertibile e
\[ f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}. \]
Svolgimento
La funzione \(f(x)=x^3\) è strettamente crescente su \(\mathbb R\). Di conseguenza è iniettiva. Dimostriamolo direttamente.
Supponiamo che
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Allora
\[ x_1^3=x_2^3. \]
La funzione \(t\mapsto t^3\) è iniettiva su \(\mathbb R\), quindi
\[ x_1=x_2. \]
Dunque \(f\) è iniettiva.
Per la suriettività, sia \(y\in\mathbb R\). Cerchiamo \(x\in\mathbb R\) tale che
\[ x^3=y. \]
Scegliamo
\[ x=\sqrt[3]{y}. \]
Allora
\[ f(x)=\left(\sqrt[3]{y}\right)^3=y. \]
Quindi \(f\) è suriettiva.
Essendo biiettiva, \(f\) ammette inversa. Dalla relazione
\[ y=x^3 \]
otteniamo
\[ x=\sqrt[3]{y}. \]
Pertanto
\[ f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}. \]
Esercizio 10 — livello ★★☆☆☆
Determinare l'inversa della funzione
\[ f:(0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad f(x)=\ln x+2. \]
Risultato
La funzione è invertibile e
\[ f^{-1}(x)=e^{x-2}. \]
Svolgimento
La funzione logaritmo naturale è definita per \(x>0\), quindi la funzione è ben definita sul dominio \((0,+\infty)\).
Poiché \(\ln x\) è strettamente crescente su \((0,+\infty)\), anche \(\ln x+2\) è strettamente crescente. Quindi \(f\) è iniettiva.
Per mostrare la suriettività, prendiamo \(y\in\mathbb R\). Dobbiamo trovare \(x>0\) tale che
\[ \ln x+2=y. \]
Sottraendo \(2\):
\[ \ln x=y-2. \]
Applicando l'esponenziale:
\[ x=e^{y-2}. \]
Poiché \(e^{y-2}>0\) per ogni \(y\in\mathbb R\), il valore trovato appartiene al dominio.
Inoltre
\[ f(e^{y-2})=\ln(e^{y-2})+2=y-2+2=y. \]
Quindi \(f\) è suriettiva.
La funzione è biiettiva. Dalla relazione
\[ y=\ln x+2 \]
abbiamo ottenuto
\[ x=e^{y-2}. \]
Pertanto
\[ f^{-1}(x)=e^{x-2}. \]
Esercizio 11 — livello ★★☆☆☆
La funzione
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=|x| \]
è invertibile? Motivare rigorosamente la risposta.
Risultato
La funzione non è invertibile.
Svolgimento
Una funzione \(f:\mathbb R\to\mathbb R\) è invertibile se e solo se è biiettiva.
La funzione valore assoluto non è iniettiva. Infatti
\[ f(1)=|1|=1 \]
e
\[ f(-1)=|-1|=1. \]
Poiché \(1\ne -1\), abbiamo trovato due elementi distinti del dominio con la stessa immagine.
Dunque \(f\) non è iniettiva.
Inoltre \(f\) non è suriettiva su \(\mathbb R\), perché
\[ |x|\ge 0 \]
per ogni \(x\in\mathbb R\). Quindi nessun numero reale negativo appartiene all'immagine della funzione.
Per esempio, non esiste alcun \(x\in\mathbb R\) tale che
\[ |x|=-1. \]
La funzione non è quindi biiettiva. Pertanto non ammette funzione inversa.
Esercizio 12 — livello ★★☆☆☆
Determinare l'inversa della funzione
\[ f:[0,+\infty)\to[0,+\infty),\qquad f(x)=|x|. \]
Risultato
La funzione è invertibile e
\[ f^{-1}(x)=x. \]
Svolgimento
Sul dominio \([0,+\infty)\), per ogni \(x\ge 0\) si ha
\[ |x|=x. \]
Quindi la funzione data coincide con la funzione identità su \([0,+\infty)\):
\[ f(x)=x. \]
Verifichiamo la biiettività.
Se \(f(x_1)=f(x_2)\), allora
\[ x_1=x_2, \]
quindi \(f\) è iniettiva.
Inoltre, per ogni \(y\in[0,+\infty)\), scegliendo \(x=y\) si ha \(x\in[0,+\infty)\) e
\[ f(x)=f(y)=y. \]
Dunque \(f\) è suriettiva.
La funzione è biiettiva e ammette inversa. Poiché \(f\) è l'identità su \([0,+\infty)\), anche la sua inversa è l'identità:
\[ f^{-1}(x)=x. \]
Esercizio 13 — livello ★★★☆☆
Stabilire se la funzione
\[ f:\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\to[-1,1], \qquad f(x)=\sin x \]
è invertibile e determinarne l'inversa.
Risultato
La funzione è invertibile e
\[ f^{-1}(x)=\arcsin x. \]
Svolgimento
Sul dominio
\[ \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right], \]
la funzione seno è strettamente crescente. Di conseguenza è iniettiva.
Inoltre, quando \(x\) varia nell'intervallo
\[ \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right], \]
i valori di \(\sin x\) riempiono esattamente l'intervallo \([-1,1]\). Infatti
\[ \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1 \]
e
\[ \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1. \]
Poiché il seno è continuo e strettamente crescente su questo intervallo, ogni valore \(y\in[-1,1]\) viene assunto una e una sola volta.
Dunque \(f\) è biiettiva e ammette inversa.
L'inversa è la funzione arcoseno:
\[ f^{-1}:[-1,1]\to\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right], \qquad f^{-1}(x)=\arcsin x. \]
Infatti, per ogni
\[ x\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right], \]
si ha
\[ \arcsin(\sin x)=x, \]
mentre, per ogni \(y\in[-1,1]\), si ha
\[ \sin(\arcsin y)=y. \]
Esercizio 14 — livello ★★★☆☆
Stabilire se la funzione
\[ f:\mathbb R\to[-1,1], \qquad f(x)=\sin x \]
è invertibile.
Risultato
La funzione non è invertibile.
Svolgimento
La funzione è suriettiva su \([-1,1]\), perché il seno assume tutti i valori compresi tra \(-1\) e \(1\).
Tuttavia non è iniettiva su \(\mathbb R\). Infatti
\[ \sin 0=0 \]
e
\[ \sin \pi=0. \]
Poiché \(0\ne \pi\), due elementi distinti del dominio hanno la stessa immagine.
Questo impedisce l'esistenza di una funzione inversa. Infatti, se esistesse un'inversa
\[ f^{-1}:[-1,1]\to\mathbb R, \]
allora il valore \(0\in[-1,1]\) dovrebbe essere mandato sia in \(0\) sia in \(\pi\), perché entrambi hanno immagine \(0\) mediante \(f\). Ciò è impossibile per una funzione.
Dunque \(f\) non è biiettiva e non ammette inversa.
Esercizio 15 — livello ★★★☆☆
Sia
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^3+1. \]
Stabilire se \(f\) è invertibile e determinarne l'inversa.
Risultato
La funzione è invertibile e
\[ f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x-1}. \]
Svolgimento
La funzione \(x\mapsto x^3\) è strettamente crescente su \(\mathbb R\). Aggiungere \(1\) ai valori della funzione non modifica l'iniettività. Quindi \(f(x)=x^3+1\) è iniettiva.
Mostriamo anche la suriettività. Sia \(y\in\mathbb R\). Cerchiamo \(x\in\mathbb R\) tale che
\[ x^3+1=y. \]
Sottraendo \(1\), otteniamo
\[ x^3=y-1. \]
Prendendo la radice cubica:
\[ x=\sqrt[3]{y-1}. \]
Questo valore è reale per ogni \(y\in\mathbb R\). Inoltre
\[ f(\sqrt[3]{y-1})=(\sqrt[3]{y-1})^3+1=y-1+1=y. \]
Quindi \(f\) è suriettiva.
Essendo biiettiva, \(f\) ammette inversa. Dalla relazione
\[ y=x^3+1 \]
ricaviamo
\[ x=\sqrt[3]{y-1}. \]
Pertanto
\[ f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x-1}. \]
Esercizio 16 — livello ★★★☆☆
Sia
\[ A=\{1,2,3\},\qquad B=\{a,b,c\}. \]
Consideriamo la funzione \(f:A\to B\) definita da
\[ f(1)=b,\qquad f(2)=c,\qquad f(3)=a. \]
Stabilire se \(f\) è invertibile e, in caso affermativo, determinare \(f^{-1}\).
Risultato
La funzione è invertibile e
\[ f^{-1}(a)=3,\qquad f^{-1}(b)=1,\qquad f^{-1}(c)=2. \]
Svolgimento
Una funzione tra insiemi finiti è invertibile se ogni elemento del codominio è raggiunto da uno e un solo elemento del dominio.
Osserviamo le immagini:
\[ f(1)=b,\qquad f(2)=c,\qquad f(3)=a. \]
Gli elementi \(a,b,c\) del codominio compaiono tutti come valori della funzione. Quindi \(f\) è suriettiva.
Inoltre nessun valore viene ripetuto: \(a\), \(b\) e \(c\) sono immagini di elementi distinti di \(A\). Quindi \(f\) è iniettiva.
La funzione è dunque biiettiva e ammette inversa.
Per costruire l'inversa, invertiamo le associazioni:
\[ f(3)=a \quad \Longrightarrow \quad f^{-1}(a)=3, \]
\[ f(1)=b \quad \Longrightarrow \quad f^{-1}(b)=1, \]
\[ f(2)=c \quad \Longrightarrow \quad f^{-1}(c)=2. \]
Quindi
\[ f^{-1}:B\to A \]
è definita da
\[ f^{-1}(a)=3,\qquad f^{-1}(b)=1,\qquad f^{-1}(c)=2. \]
Esercizio 17 — livello ★★★☆☆
Sia
\[ A=\{1,2,3\},\qquad B=\{a,b,c\}. \]
Consideriamo la funzione \(f:A\to B\) definita da
\[ f(1)=a,\qquad f(2)=a,\qquad f(3)=b. \]
Stabilire se \(f\) è invertibile.
Risultato
La funzione non è invertibile.
Svolgimento
Per essere invertibile, la funzione dovrebbe essere biiettiva.
La funzione non è iniettiva, perché due elementi distinti del dominio hanno la stessa immagine:
\[ f(1)=a \]
e
\[ f(2)=a. \]
Poiché \(1\ne 2\), l'iniettività fallisce.
Inoltre la funzione non è suriettiva, perché l'elemento \(c\in B\) non è immagine di nessun elemento di \(A\). Infatti le sole immagini sono \(a\) e \(b\).
Dunque la funzione non è né iniettiva né suriettiva. In particolare non è biiettiva.
Pertanto non ammette funzione inversa.
Esercizio 18 — livello ★★★★☆
Sia
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=e^x. \]
Costruire un'inversa sinistra di \(f\).
Risultato
Una possibile inversa sinistra è
\[ g(y)= \begin{cases} \ln y, & y>0,\\ 0, & y\le 0. \end{cases} \]
Svolgimento
La funzione \(f(x)=e^x\) è iniettiva, ma non è suriettiva da \(\mathbb R\) a \(\mathbb R\), perché la sua immagine è \((0,+\infty)\).
Un'inversa sinistra di \(f\) è una funzione
\[ g:\mathbb R\to\mathbb R \]
tale che
\[ g\circ f=\operatorname{id}_{\mathbb R}. \]
In forma esplicita, dobbiamo avere
\[ g(f(x))=x \]
per ogni \(x\in\mathbb R\).
Poiché \(f(x)=e^x>0\), per invertire \(f\) sui valori effettivamente raggiunti dobbiamo usare il logaritmo naturale:
\[ \ln(e^x)=x. \]
Tuttavia \(g\) deve essere definita su tutto \(\mathbb R\), non solo su \((0,+\infty)\). Sui valori \(y\le 0\), la funzione \(f\) non impone alcuna scelta, perché tali valori non appartengono all'immagine di \(f\).
Possiamo quindi definire
\[ g(y)= \begin{cases} \ln y, & y>0,\\ 0, & y\le 0. \end{cases} \]
Verifichiamo che sia davvero un'inversa sinistra. Per ogni \(x\in\mathbb R\), si ha \(e^x>0\), quindi
\[ g(f(x))=g(e^x)=\ln(e^x)=x. \]
Dunque
\[ g\circ f=\operatorname{id}_{\mathbb R}. \]
Quindi \(g\) è un'inversa sinistra di \(f\).
Esercizio 19 — livello ★★★★☆
Sia
\[ f:\mathbb R\to[0,+\infty),\qquad f(x)=x^2. \]
Costruire due inverse destre distinte di \(f\).
Risultato
Due inverse destre distinte sono
\[ h_1(y)=\sqrt y \]
e
\[ h_2(y)=-\sqrt y. \]
Svolgimento
Un'inversa destra di \(f\) è una funzione
\[ h:[0,+\infty)\to\mathbb R \]
tale che
\[ f\circ h=\operatorname{id}_{[0,+\infty)}. \]
In forma esplicita, dobbiamo avere
\[ f(h(y))=y \]
per ogni \(y\in[0,+\infty)\).
La funzione \(f(x)=x^2\) è suriettiva da \(\mathbb R\) a \([0,+\infty)\), perché ogni numero reale non negativo è il quadrato di almeno un numero reale.
Per ogni \(y\ge 0\), il numero \(\sqrt y\) è una preimmagine di \(y\), perché
\[ f(\sqrt y)=(\sqrt y)^2=y. \]
Quindi
\[ h_1:[0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad h_1(y)=\sqrt y \]
è un'inversa destra di \(f\).
Anche il numero \(-\sqrt y\) è una preimmagine di \(y\), perché
\[ f(-\sqrt y)=(-\sqrt y)^2=y. \]
Quindi anche
\[ h_2:[0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad h_2(y)=-\sqrt y \]
è un'inversa destra di \(f\).
Le due funzioni sono distinte. Infatti, per esempio,
\[ h_1(1)=1 \]
mentre
\[ h_2(1)=-1. \]
Questo mostra che una funzione suriettiva ma non iniettiva può avere più inverse destre.
Esercizio 20 — livello ★★★★★
Dimostrare che, se una funzione
\[ f:A\to B \]
ammette una funzione
\[ u:B\to A \]
tale che
\[ u\circ f=\operatorname{id}_A \]
e
\[ f\circ u=\operatorname{id}_B, \]
allora \(f\) è biiettiva e \(u=f^{-1}\).
Risultato
La funzione \(f\) è biiettiva e \(u\) è la sua inversa.
Svolgimento
Dobbiamo dimostrare che \(f\) è iniettiva e suriettiva.
Cominciamo dall'iniettività. Siano \(x_1,x_2\in A\) e supponiamo che
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Applichiamo \(u\) a entrambi i membri:
\[ u(f(x_1))=u(f(x_2)). \]
Poiché
\[ u\circ f=\operatorname{id}_A, \]
per ogni \(x\in A\) si ha
\[ u(f(x))=x. \]
Quindi l'uguaglianza precedente diventa
\[ x_1=x_2. \]
Abbiamo dimostrato che, se due elementi del dominio hanno la stessa immagine, allora sono uguali. Dunque \(f\) è iniettiva.
Dimostriamo ora la suriettività. Sia \(y\in B\). Dobbiamo mostrare che esiste \(x\in A\) tale che
\[ f(x)=y. \]
Poiché \(u:B\to A\), l'elemento \(u(y)\) appartiene ad \(A\). Poniamo
\[ x=u(y). \]
Allora, usando l'identità
\[ f\circ u=\operatorname{id}_B, \]
otteniamo
\[ f(x)=f(u(y))=y. \]
Quindi ogni elemento \(y\in B\) è immagine di almeno un elemento di \(A\). Dunque \(f\) è suriettiva.
Abbiamo provato che \(f\) è sia iniettiva sia suriettiva. Pertanto \(f\) è biiettiva.
Poiché \(f\) è biiettiva, ammette un'unica funzione inversa
\[ f^{-1}:B\to A. \]
Inoltre la funzione \(u\) soddisfa esattamente le due identità caratteristiche dell'inversa:
\[ u\circ f=\operatorname{id}_A \]
e
\[ f\circ u=\operatorname{id}_B. \]
Per l'unicità dell'inversa, segue che
\[ u=f^{-1}. \]
Quindi \(u\) è la funzione inversa ordinaria di \(f\).