Formule Parametriche della Goniometria

Il parametro tangente dell’angolo metà

Introduciamo:

\[ t=\tan\frac{\alpha}{2}. \]

Il parametro è definito quando \(\displaystyle\cos\frac{\alpha}{2}\ne0\), ossia:

\[ \alpha\ne\pi+2k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]

La sostituzione esclude quindi gli angoli associati al punto \((-1,0)\) della circonferenza goniometrica.

Quali valori può assumere il parametro?

Se restringiamo \(\alpha\) all’intervallo \((-\pi,\pi)\), allora:

\[ -\frac{\pi}{2}<\frac{\alpha}{2}<\frac{\pi}{2}. \]

In questo intervallo la tangente è strettamente crescente e assume tutti i valori reali. La corrispondenza tra \(\alpha\in(-\pi,\pi)\) e \(t\in\mathbb R\) è dunque biunivoca.

Per un valore reale assegnato di \(t\), tutti gli angoli corrispondenti sono:

\[ \alpha=2\arctan t+2k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]

Infatti, \(\displaystyle\tan\frac{\alpha}{2}=t\) equivale a \(\displaystyle\frac{\alpha}{2}=\arctan t+k\pi\).

Le formule parametriche di seno e coseno

Poniamo \(\displaystyle u=\frac{\alpha}{2}\), così che \(t=\tan u\) e \(\alpha=2u\). Poiché il parametro è definito, \(\cos u\ne0\).

La formula del seno

Dalla duplicazione:

\[ \sin\alpha=2\sin u\cos u. \]

Utilizzando \(\sin u=t\cos u\):

\[ \sin\alpha=2t\cos^2u. \]

Inoltre:

\[ 1+t^2 = 1+\tan^2u = \frac1{\cos^2u}, \]

quindi:

\[ \cos^2u=\frac1{1+t^2}. \]

Sostituendo:

\[ \sin\alpha=\frac{2t}{1+t^2}. \]

La formula del coseno

Dalla duplicazione del coseno:

\[ \cos\alpha = \cos^2u-\sin^2u. \]

Poiché \(\sin^2u=t^2\cos^2u\):

\[ \cos\alpha = (1-t^2)\cos^2u = \frac{1-t^2}{1+t^2}. \]

Le due formule fondamentali sono dunque:

\[ \sin\alpha=\frac{2t}{1+t^2}, \qquad \cos\alpha=\frac{1-t^2}{1+t^2}, \qquad t=\tan\frac{\alpha}{2}. \]

Per ogni \(t\in\mathbb R\), il denominatore \(1+t^2\) è strettamente positivo. Le due espressioni razionali sono quindi definite per ogni parametro reale.

Questo non elimina l’esclusione iniziale: \(\alpha=\pi+2k\pi\) non corrisponde ad alcun valore reale di \(t\).

Le formule di tangente e cotangente

Tangente

Quando \(\cos\alpha\ne0\):

\[ \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\frac{2t}{1+t^2}} {\frac{1-t^2}{1+t^2}} = \frac{2t}{1-t^2}. \]

La condizione \(\cos\alpha\ne0\) equivale, negli angoli rappresentati dal parametro, a:

\[ t\ne\pm1. \]

Pertanto:

\[ \tan\alpha=\frac{2t}{1-t^2}, \qquad t\in\mathbb R\setminus\{-1,1\}. \]

La formula presuppone anche che il parametro esista. Per esempio, \(\tan\pi=0\), ma l’angolo \(\pi\) non è rappresentato dalla sostituzione \(\displaystyle t=\tan\frac{\alpha}{2}\).

Cotangente

Quando \(\sin\alpha\ne0\):

\[ \cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\frac{1-t^2}{1+t^2}} {\frac{2t}{1+t^2}} = \frac{1-t^2}{2t}. \]

Poiché \(1+t^2>0\), il seno si annulla esattamente per \(t=0\). Dunque:

\[ \cot\alpha=\frac{1-t^2}{2t}, \qquad t\ne0. \]

I valori \(t=\pm1\) sono ammessi nella formula della cotangente e restituiscono il valore zero.

Interpretazione sulla circonferenza goniometrica

Consideriamo la circonferenza di equazione \(x^2+y^2=1\) e il punto \(B=(-1,0)\). Per ogni \(t\in\mathbb R\), tracciamo la retta:

\[ y=t(x+1). \]

La retta passa per \(B\) e ha coefficiente angolare \(t\). Sostituendo la sua equazione in quella della circonferenza:

\[ x^2+t^2(x+1)^2=1. \]

Portiamo tutto al primo membro e raccogliamo:

\[ (x+1)\bigl(x-1+t^2(x+1)\bigr)=0. \]

La soluzione \(x=-1\) individua il punto \(B\). L’altra soddisfa:

\[ (1+t^2)x=1-t^2, \]

quindi:

\[ x=\frac{1-t^2}{1+t^2}. \]

Sostituendo nell’equazione della retta:

\[ y=t\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}+1\right) = \frac{2t}{1+t^2}. \]

Il secondo punto di intersezione è pertanto:

\[ P= \left( \frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2} \right). \]

Le coordinate coincidono con \((\cos\alpha,\sin\alpha)\) quando \(\displaystyle t=\tan\frac{\alpha}{2}\).

Viceversa, per un punto \(P=(\cos\alpha,\sin\alpha)\ne B\), la retta \(BP\) ha coefficiente angolare:

\[ \frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha} = \tan\frac{\alpha}{2}. \]

Ogni punto della circonferenza diverso da \(B\) corrisponde quindi a un unico parametro reale. Il punto \(B\) non viene raggiunto da alcun valore reale finito di \(t\).

Immagine

Come risolvere un’equazione con la sostituzione parametrica

La sostituzione \(\displaystyle t=\tan\frac{x}{2}\) trasforma seno e coseno in funzioni razionali:

\[ \sin x=\frac{2t}{1+t^2}, \qquad \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}. \]

Per applicarla correttamente:

1. Determiniamo il dominio dell’equazione iniziale.
2. Controlliamo separatamente gli angoli \(x=\pi+2k\pi\), esclusi dalla sostituzione, quando appartengono al dominio iniziale.
3. Per gli altri angoli, sostituiamo le funzioni goniometriche con le espressioni razionali in \(t\).
4. Traduciamo le condizioni di esistenza in restrizioni sul parametro e risolviamo l’equazione algebrica.
5. Per ogni soluzione reale ammessa \(t_0\), torniamo all’angolo mediante \(x=2\arctan t_0+2k\pi\).
6. Aggiungiamo le eventuali soluzioni trovate nel controllo separato e, se richiesto, selezioniamo quelle appartenenti all’intervallo assegnato.

Poiché \(1+t^2>0\) per ogni parametro reale, possiamo moltiplicare un’equazione per questo fattore senza alterarne le soluzioni. Altri denominatori, invece, possono annullarsi: le relative esclusioni devono essere mantenute.

Esempi svolti

Esempio 1. Dal parametro alle funzioni goniometriche

Supponiamo:

\[ t=\tan\frac{\alpha}{2}=\frac12. \]

Applicando le formule:

\[ \sin\alpha = \frac{2\cdot\frac12}{1+\frac14} = \frac45, \] \[ \cos\alpha = \frac{1-\frac14}{1+\frac14} = \frac35. \]

Poiché \(t\ne\pm1\) e \(t\ne0\), anche tangente e cotangente sono definite:

\[ \tan\alpha = \frac{2\cdot\frac12}{1-\frac14} = \frac43, \qquad \cot\alpha=\frac34. \]

Gli angoli corrispondenti sono:

\[ \alpha=2\arctan\frac12+2k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]

Esempio 2. Un’equazione lineare in seno e coseno

Risolviamo:

\[ \sin x+\cos x=1. \]

L’equazione è definita per ogni numero reale. Negli angoli esclusi dalla sostituzione:

\[ x=\pi+2k\pi \quad\Longrightarrow\quad \sin x+\cos x=-1. \]

Questi angoli non sono soluzioni.

Per \(x\ne\pi+2k\pi\), poniamo \(\displaystyle t=\tan\frac{x}{2}\):

\[ \frac{2t}{1+t^2} + \frac{1-t^2}{1+t^2} = 1. \]

Moltiplicando per \(1+t^2\):

\[ 2t+1-t^2=1+t^2. \]

Quindi:

\[ 2t-2t^2=0, \qquad 2t(1-t)=0. \]

Le soluzioni in \(t\) sono \(0\) e \(1\). Tornando a \(x\):

\[ t=0 \quad\Longrightarrow\quad x=2k\pi, \] \[ t=1 \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{\pi}{2}+2k\pi. \]

Pertanto:

\[ x=2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{\pi}{2}+2k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]

Esempio 3. Recuperare le soluzioni escluse dalla sostituzione

Risolviamo:

\[ \sin x=1+\cos x. \]

Anche questa equazione è definita per ogni numero reale. Per \(x=\pi+2k\pi\), entrambi i membri valgono zero: tutti questi angoli sono soluzioni.

Per gli altri angoli:

\[ \frac{2t}{1+t^2} = 1+\frac{1-t^2}{1+t^2} = \frac2{1+t^2}. \]

Da cui:

\[ 2t=2, \qquad t=1. \]

Questa soluzione corrisponde a:

\[ x=\frac{\pi}{2}+2k\pi. \]

Unendo le due famiglie:

\[ x=\pi+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{\pi}{2}+2k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]

La famiglia \(x=\pi+2k\pi\) non sarebbe emersa dall’equazione in \(t\), perché nessuno di questi angoli è rappresentato da un parametro reale.

Esempio 4. Un’equazione fratta

Risolviamo:

\[ \frac{\sin x}{1-\cos x}=2. \]

Il dominio iniziale richiede:

\[ 1-\cos x\ne0 \quad\Longleftrightarrow\quad x\ne2k\pi. \]

Controlliamo gli angoli esclusi dalla sostituzione: per \(x=\pi+2k\pi\), il primo membro vale zero, quindi non si ottengono soluzioni.

Negli altri angoli:

\[ 1-\cos x = 1-\frac{1-t^2}{1+t^2} = \frac{2t^2}{1+t^2}. \]

La condizione del dominio diventa \(t\ne0\). Pertanto:

\[ \frac{\sin x}{1-\cos x} = \frac{\frac{2t}{1+t^2}} {\frac{2t^2}{1+t^2}} = \frac1t. \]

L’equazione equivale a:

\[ \frac1t=2, \qquad t=\frac12. \]

Il valore trovato è ammesso. Le soluzioni sono:

\[ x=2\arctan\frac12+2k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]

Errori comuni

Usare \(t=\tan\alpha\) al posto della tangente dell’angolo metà

Le formule:

\[ \sin\alpha=\frac{2t}{1+t^2}, \qquad \cos\alpha=\frac{1-t^2}{1+t^2} \]

richiedono \(\displaystyle t=\tan\frac{\alpha}{2}\). Non valgono, in generale, ponendo \(t=\tan\alpha\).

Dimenticare gli angoli esclusi dal parametro

Gli angoli \(\alpha=\pi+2k\pi\) non corrispondono ad alcun parametro reale. Nelle equazioni vanno controllati separatamente, purché appartengano al dominio iniziale.

Tornare all’angolo senza raddoppiare

Da \(\displaystyle\tan\frac{x}{2}=t_0\) segue:

\[ \frac{x}{2}=\arctan t_0+k\pi. \]

Bisogna quindi moltiplicare l’intera uguaglianza per \(2\):

\[ x=2\arctan t_0+2k\pi. \]

Confondere il parametro con un valore infinito

Non esiste un numero reale \(t=\infty\). Il punto \((-1,0)\) può essere avvicinato facendo crescere \(|t|\), ma non è ottenuto sostituendo un valore reale nelle formule parametriche.

Eliminare le condizioni dopo una semplificazione

Se un’espressione iniziale richiede, per esempio, \(t\ne0\), questa esclusione resta valida anche dopo una cancellazione. Le trasformazioni algebriche non rendono definiti i valori esclusi dal dominio di partenza.

Riepilogo

Ponendo:

\[ t=\tan\frac{\alpha}{2}, \qquad \alpha\ne\pi+2k\pi, \]

si ottengono:

Per tornare dal parametro agli angoli:

\[ \alpha=2\arctan t+2k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]

Nelle equazioni, il metodo richiede due controlli distinti: mantenere tutte le condizioni del dominio iniziale e verificare separatamente gli angoli esclusi dalla sostituzione. Solo dopo questi controlli possiamo ricostruire l’insieme completo delle soluzioni.