Le formule di prostaferesi trasformano una somma o una differenza di seni o di coseni in un prodotto. Sono particolarmente utili per semplificare espressioni, calcolare valori esatti e risolvere equazioni mediante la legge di annullamento del prodotto.
Le ricaveremo dalle formule di addizione e sottrazione, mettendo in evidenza il ruolo della semisomma e della semidifferenza degli angoli. Tutte le identità presentate valgono per angoli reali qualsiasi. Gli angoli sono espressi in radianti e \(k\) indica un numero intero.
Indice
- Semisomma e semidifferenza degli angoli
- La somma di due seni
- La differenza di due seni
- La somma e la differenza di due coseni
- Come scegliere e applicare una formula
- Esempi svolti
- Errori comuni
- Riepilogo
Semisomma e semidifferenza degli angoli
Dati due angoli \(\alpha\) e \(\beta\), poniamo:
\[ u=\frac{\alpha+\beta}{2}, \qquad v=\frac{\alpha-\beta}{2}. \]
Il primo valore è la semisomma degli angoli; il secondo è la loro semidifferenza, calcolata nell’ordine \(\alpha-\beta\).
Sommando e sottraendo queste uguaglianze, otteniamo:
\[ u+v=\alpha, \qquad u-v=\beta. \]
Possiamo quindi riscrivere le funzioni degli angoli iniziali come funzioni di \(u+v\) e \(u-v\), applicando poi le formule di addizione e sottrazione.
Le formule di prostaferesi effettuano la trasformazione inversa rispetto alle formule di Werner: le prime passano da somme o differenze a prodotti, le seconde da prodotti a somme o differenze.
La somma di due seni
Utilizzando \(\alpha=u+v\) e \(\beta=u-v\):
\[ \sin\alpha+\sin\beta = \sin(u+v)+\sin(u-v). \]
Sviluppiamo i due seni:
\[ \begin{aligned} \sin\alpha+\sin\beta ={}& \sin u\cos v+\cos u\sin v\\ &+\sin u\cos v-\cos u\sin v. \end{aligned} \]
I termini contenenti \(\cos u\sin v\) si eliminano, mentre gli altri si sommano:
\[ \sin\alpha+\sin\beta=2\sin u\cos v. \]
Tornando agli angoli iniziali:
\[ \sin\alpha+\sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}. \]
La somma di due seni è quindi il doppio del prodotto tra il seno della semisomma e il coseno della semidifferenza.
Scambiando \(\alpha\) e \(\beta\), la semisomma non cambia e la semidifferenza cambia segno. Il risultato resta invariato perché il coseno è pari.
La differenza di due seni
Partiamo da:
\[ \sin\alpha-\sin\beta = \sin(u+v)-\sin(u-v). \]
Applicando le formule e distribuendo il segno meno:
\[ \begin{aligned} \sin\alpha-\sin\beta ={}& \sin u\cos v+\cos u\sin v\\ &-\sin u\cos v+\cos u\sin v. \end{aligned} \]
Questa volta si eliminano i termini contenenti \(\sin u\cos v\):
\[ \sin\alpha-\sin\beta=2\cos u\sin v. \]
Pertanto:
\[ \sin\alpha-\sin\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2}. \]
La differenza di due seni è il doppio del prodotto tra il coseno della semisomma e il seno della semidifferenza.
In questo caso l’ordine degli angoli nella semidifferenza è essenziale. Scambiando \(\alpha\) e \(\beta\), il seno della semidifferenza cambia segno, come deve accadere per la differenza iniziale.
La somma e la differenza di due coseni
La somma di due coseni
Scriviamo:
\[ \cos\alpha+\cos\beta = \cos(u+v)+\cos(u-v). \]
Dalle formule di addizione e sottrazione:
\[ \begin{aligned} \cos\alpha+\cos\beta ={}& \cos u\cos v-\sin u\sin v\\ &+\cos u\cos v+\sin u\sin v\\ ={}&2\cos u\cos v. \end{aligned} \]
Quindi:
\[ \cos\alpha+\cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}. \]
La differenza di due coseni
Sottraendo invece:
\[ \begin{aligned} \cos\alpha-\cos\beta ={}& \cos u\cos v-\sin u\sin v\\ &-\cos u\cos v-\sin u\sin v\\ ={}&-2\sin u\sin v. \end{aligned} \]
Otteniamo:
\[ \cos\alpha-\cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2}. \]
Il segno meno davanti al prodotto è necessario quando la semidifferenza è scritta nell’ordine \(\alpha-\beta\).
Una forma equivalente, ottenuta invertendo l’ordine nella semidifferenza, è:
\[ \cos\alpha-\cos\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\beta-\alpha}{2}. \]
Come scegliere e applicare una formula
Per applicare le formule di prostaferesi:
- Individuiamo se l’espressione è una somma o una differenza di seni o di coseni.
- Calcoliamo la semisomma e la semidifferenza degli argomenti completi.
- Sostituiamo nella formula corrispondente.
- Semplifichiamo il prodotto, controllando i segni.
Per esempio, nell’espressione \(\sin(5x)+\sin x\), gli argomenti sono \(5x\) e \(x\). Si ha:
\[ \frac{5x+x}{2}=3x, \qquad \frac{5x-x}{2}=2x. \]
Pertanto:
\[ \sin(5x)+\sin x=2\sin(3x)\cos(2x). \]
Le identità non richiedono divisioni per funzioni goniometriche. La trasformazione in prodotto vale quindi anche quando uno o entrambi i fattori ottenuti sono nulli.
Immagine
Esempi svolti
Esempio 1. Trasformare una differenza di seni
Trasformiamo:
\[ \sin(7x)-\sin(3x). \]
Calcoliamo:
\[ \frac{7x+3x}{2}=5x, \qquad \frac{7x-3x}{2}=2x. \]
Quindi:
\[ \sin(7x)-\sin(3x)=2\cos(5x)\sin(2x). \]
Esempio 2. Trasformare una differenza di coseni
Consideriamo:
\[ \cos(4x)-\cos(2x). \]
La semisomma è \(3x\) e la semidifferenza è \(x\). Pertanto:
\[ \cos(4x)-\cos(2x) = -2\sin(3x)\sin x. \]
Esempio 3. Calcolare una somma esatta
Calcoliamo:
\[ \sin\frac{5\pi}{12}+\sin\frac{\pi}{12}. \]
Gli angoli sono rispettivamente \(75^\circ\) e \(15^\circ\). La loro semisomma e semidifferenza sono:
\[ \frac{\frac{5\pi}{12}+\frac{\pi}{12}}{2} = \frac{\pi}{4}, \qquad \frac{\frac{5\pi}{12}-\frac{\pi}{12}}{2} = \frac{\pi}{6}. \]
Quindi:
\[ \begin{aligned} \sin\frac{5\pi}{12}+\sin\frac{\pi}{12} &= 2\sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{6}\\ &= 2\cdot\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}\\ &= \frac{\sqrt6}{2}. \end{aligned} \]
Non è stato necessario calcolare separatamente i due seni.
Esempio 4. Semplificare un rapporto
Semplifichiamo:
\[ \frac{\sin(3x)+\sin x}{\cos(3x)+\cos x}. \]
Trasformando numeratore e denominatore:
\[ \sin(3x)+\sin x=2\sin(2x)\cos x, \] \[ \cos(3x)+\cos x=2\cos(2x)\cos x. \]
Il denominatore iniziale è diverso da zero se e solo se:
\[ \cos(2x)\ne0 \quad\text{e}\quad \cos x\ne0. \]
In questo dominio possiamo semplificare:
\[ \frac{2\sin(2x)\cos x}{2\cos(2x)\cos x} = \tan(2x). \]
Quindi:
\[ \frac{\sin(3x)+\sin x}{\cos(3x)+\cos x} = \tan(2x), \]
con le condizioni:
\[ x\ne\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}, \qquad x\ne\frac{\pi}{2}+k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]
La seconda esclusione resta necessaria anche se non compare nel dominio della sola funzione \(\tan(2x)\), perché proviene dall’espressione iniziale.
Esempio 5. Risolvere un’equazione
Risolviamo:
\[ \sin(3x)+\sin x=0. \]
Applichiamo la formula della somma di due seni:
\[ 2\sin(2x)\cos x=0. \]
Per la legge di annullamento del prodotto:
\[ \sin(2x)=0 \quad\text{oppure}\quad \cos x=0. \]
La prima equazione dà:
\[ 2x=k\pi \quad\Longleftrightarrow\quad x=\frac{k\pi}{2}. \]
La seconda dà:
\[ x=\frac{\pi}{2}+k\pi. \]
Tutte le soluzioni della seconda famiglia appartengono già alla prima, perché:
\[ \frac{\pi}{2}+k\pi = \frac{(2k+1)\pi}{2}. \]
L’insieme completo delle soluzioni si scrive dunque:
\[ x=\frac{k\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb Z. \]
Esempio 6. Un’equazione con due coseni
Risolviamo:
\[ \cos(3x)=\cos x. \]
Portiamo tutto al primo membro e trasformiamo:
\[ \cos(3x)-\cos x=0, \] \[ -2\sin(2x)\sin x=0. \]
Quindi:
\[ \sin(2x)=0 \quad\text{oppure}\quad \sin x=0. \]
Le rispettive famiglie sono:
\[ x=\frac{k\pi}{2}, \qquad x=k\pi. \]
La seconda è contenuta nella prima. Pertanto:
\[ x=\frac{k\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb Z. \]
Errori comuni
Usare la somma e la differenza invece delle loro metà
Nelle formule di prostaferesi compaiono \(\displaystyle\frac{\alpha+\beta}{2}\) e \(\displaystyle\frac{\alpha-\beta}{2}\), non direttamente \(\alpha+\beta\) e \(\alpha-\beta\).
Dimenticare il fattore \(2\)
Le quattro formule contengono un fattore \(2\), con segno negativo nella forma usuale della differenza di due coseni.
Perdere il segno meno nella differenza di coseni
Con la semidifferenza nell’ordine \(\alpha-\beta\), la formula corretta è:
\[ \cos\alpha-\cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2}. \]
Dividere per un fattore che può annullarsi
Nell’equazione \(\sin(3x)+\sin x=0\), dopo la trasformazione in prodotto non possiamo dividere direttamente per \(\cos x\) senza distinguere il caso \(\cos x=0\). Il procedimento corretto consiste nell’applicare la legge di annullamento del prodotto.
Non conservare le esclusioni nei rapporti
Una cancellazione può produrre un’espressione definita in più punti di quella iniziale. L’uguaglianza resta valida soltanto dove il rapporto di partenza è definito.
Confondere prostaferesi e Werner
La direzione della trasformazione è:
- prostaferesi: da somme o differenze a prodotti;
- Werner: da prodotti a somme o differenze.
Riepilogo
Per ogni \(\alpha,\beta\in\mathbb R\):
| Somma o differenza | Prodotto equivalente |
|---|---|
| \(\sin\alpha+\sin\beta\) | \(\displaystyle 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}\) |
| \(\sin\alpha-\sin\beta\) | \(\displaystyle 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2}\) |
| \(\cos\alpha+\cos\beta\) | \(\displaystyle 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}\) |
| \(\cos\alpha-\cos\beta\) | \(\displaystyle -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2}\) |
Le formule non introducono restrizioni sugli angoli. Se vengono utilizzate all’interno di rapporti o equazioni con denominatori, restano però valide tutte le condizioni di esistenza dell’espressione iniziale.
Per applicarle, calcoliamo con attenzione semisomma e semidifferenza, manteniamo il fattore \(2\) e controlliamo il segno della differenza di coseni. Nelle equazioni, la trasformazione in prodotto permette poi di separare i casi senza dividere per fattori che potrebbero essere nulli.