Le formule di duplicazione esprimono le funzioni goniometriche dell’angolo \(2\alpha\) mediante quelle dell’angolo \(\alpha\). Si ricavano dalle formule di addizione ponendo uguali i due angoli.
Dimostreremo le formule di seno, coseno, tangente e cotangente, distinguendo il dominio della funzione dell’angolo doppio da quello delle espressioni utilizzate per calcolarla. Le applicheremo poi al calcolo di valori esatti, alla semplificazione di espressioni e alla risoluzione di un’equazione. Gli angoli sono espressi in radianti e, nelle formule che lo richiedono, \(k\) indica un numero intero.
Indice
- La duplicazione del seno
- La duplicazione del coseno
- I quadrati di seno e coseno e l’angolo doppio
- La duplicazione della tangente
- La duplicazione della cotangente
- Esempi svolti
- Errori comuni
- Riepilogo
La duplicazione del seno
Partiamo dalla formula del seno della somma:
\[ \sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta. \]
Ponendo \(\beta=\alpha\), otteniamo:
\[ \sin(2\alpha) = \sin\alpha\cos\alpha+\cos\alpha\sin\alpha. \]
I due prodotti sono uguali, quindi:
\[ \sin(2\alpha)=2\sin\alpha\cos\alpha. \]
La formula vale per ogni \(\alpha\in\mathbb R\). Si può leggere anche nella forma:
\[ \sin\alpha\cos\alpha=\frac12\sin(2\alpha). \]
Questa seconda scrittura esprime il prodotto di seno e coseno dello stesso angolo come metà del seno dell’angolo doppio.
Un primo controllo
Per \(\displaystyle\alpha=\frac{\pi}{6}\), il doppio è \(\displaystyle 2\alpha=\frac{\pi}{3}\). Infatti:
\[ 2\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{6} = 2\cdot\frac12\cdot\frac{\sqrt3}{2} = \frac{\sqrt3}{2} = \sin\frac{\pi}{3}. \]
La duplicazione del coseno
Dalla formula del coseno della somma:
\[ \cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta, \]
ponendo \(\beta=\alpha\), ricaviamo:
\[ \cos(2\alpha)=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha. \]
Questa formula vale per ogni angolo reale. Utilizzando l’identità fondamentale, possiamo ottenere altre due forme.
Una formula che contiene soltanto il coseno
Sostituiamo \(\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha\):
\[ \begin{aligned} \cos(2\alpha) &=\cos^2\alpha-(1-\cos^2\alpha)\\ &=2\cos^2\alpha-1. \end{aligned} \]
Una formula che contiene soltanto il seno
Sostituiamo invece \(\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha\):
\[ \begin{aligned} \cos(2\alpha) &=(1-\sin^2\alpha)-\sin^2\alpha\\ &=1-2\sin^2\alpha. \end{aligned} \]
Le tre forme equivalenti sono dunque:
\[ \begin{aligned} \cos(2\alpha) &=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\\ &=2\cos^2\alpha-1\\ &=1-2\sin^2\alpha. \end{aligned} \]
La scelta dipende dai dati disponibili: se conosciamo soltanto il seno o soltanto il coseno, possiamo calcolare direttamente il coseno dell’angolo doppio senza ricavare l’altra funzione.
Immagine
I quadrati di seno e coseno e l’angolo doppio
Le formule del coseno dell’angolo doppio possono essere risolte rispetto a \(\sin^2\alpha\) e a \(\cos^2\alpha\). Da \(\cos(2\alpha)=1-2\sin^2\alpha\) segue:
\[ 2\sin^2\alpha=1-\cos(2\alpha), \]
quindi:
\[ \sin^2\alpha=\frac{1-\cos(2\alpha)}{2}. \]
Analogamente, da \(\cos(2\alpha)=2\cos^2\alpha-1\) otteniamo:
\[ \cos^2\alpha=\frac{1+\cos(2\alpha)}{2}. \]
Queste identità valgono per ogni \(\alpha\in\mathbb R\). Esprimono i quadrati di seno e coseno mediante il coseno dell’angolo doppio: nei secondi membri non compaiono potenze delle funzioni goniometriche superiori alla prima. Non occorre scegliere un segno, perché i primi membri sono quadrati.
Per esempio:
\[ 3\sin^2x=\frac32\bigl(1-\cos(2x)\bigr). \]
Il collegamento con le formule di bisezione
Ponendo \(\theta=2\alpha\), le stesse identità diventano:
\[ \sin^2\frac{\theta}{2}=\frac{1-\cos\theta}{2}, \qquad \cos^2\frac{\theta}{2}=\frac{1+\cos\theta}{2}. \]
Si tratta delle forme al quadrato delle formule di bisezione. Passando dai quadrati alle funzioni, si ottiene:
\[ \sin\frac{\theta}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{2}}, \qquad \cos\frac{\theta}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{2}}. \]
Il segno va scelto separatamente per seno e coseno in base alla posizione dell’angolo \(\displaystyle\frac{\theta}{2}\) sulla circonferenza. Le radici quadrate indicano valori non negativi; il simbolo \(\pm\) serve a recuperare il segno della funzione cercata. Se una radice è zero, le due scelte coincidono.
La duplicazione della tangente
La tangente dell’angolo doppio è definita se e solo se \(\cos(2\alpha)\ne0\), cioè:
\[ \alpha\ne\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2},\qquad k\in\mathbb Z. \]
In questo dominio:
\[ \tan(2\alpha) = \frac{\sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)} = \frac{2\sin\alpha\cos\alpha} {\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}. \]
Se anche \(\cos\alpha\ne0\), dividiamo numeratore e denominatore per \(\cos^2\alpha\):
\[ \tan(2\alpha) = \frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}. \]
La formula in termini di \(\tan\alpha\) richiede quindi:
\[ \cos\alpha\ne0, \qquad 1-\tan^2\alpha\ne0. \]
Quando \(\cos\alpha\ne0\), vale infatti:
\[ \cos(2\alpha)=\cos^2\alpha\bigl(1-\tan^2\alpha\bigr). \]
In questo dominio, il denominatore \(1-\tan^2\alpha\) è diverso da zero se e solo se \(\cos(2\alpha)\ne0\). La formula espressa mediante \(\tan\alpha\) richiede dunque entrambe le esclusioni:
\[ \alpha\ne\frac{\pi}{2}+k\pi, \qquad \alpha\ne\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb Z. \]
Una distinzione sul dominio
La tangente di \(2\alpha\) può esistere anche quando quella di \(\alpha\) non esiste. Per esempio, se \(\displaystyle\alpha=\frac{\pi}{2}\):
\[ \tan(2\alpha)=\tan\pi=0, \]
ma \(\tan\alpha\) non è definita. In questo caso non possiamo usare la formula espressa mediante \(\tan\alpha\); possiamo invece utilizzare il rapporto tra seno e coseno dell’angolo doppio.
La duplicazione della cotangente
La cotangente dell’angolo doppio è definita quando \(\sin(2\alpha)\ne0\). Utilizzando le formule di seno e coseno:
\[ \cot(2\alpha) = \frac{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha} {2\sin\alpha\cos\alpha}. \]
Poiché \(\sin(2\alpha)=2\sin\alpha\cos\alpha\), questa condizione implica che seno e coseno di \(\alpha\) siano entrambi diversi da zero. Possiamo quindi dividere numeratore e denominatore per \(\sin^2\alpha\):
\[ \cot(2\alpha) = \frac{\cot^2\alpha-1}{2\cot\alpha}. \]
La formula vale quando \(\cot\alpha\) è definita e diversa da zero, ossia:
\[ \sin\alpha\ne0, \qquad \cos\alpha\ne0. \]
Equivalentemente:
\[ \alpha\ne\frac{k\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb Z. \]
In questo caso le condizioni della formula coincidono esattamente con quelle di esistenza di \(\cot(2\alpha)\).
Esempi svolti
Esempio 1. Calcolare seno e coseno dell’angolo doppio
Supponiamo:
\[ \sin\alpha=\frac35, \qquad \frac{\pi}{2}<\alpha<\pi. \]
L’angolo è nel secondo quadrante, quindi:
\[ \cos\alpha = -\sqrt{1-\frac9{25}} = -\frac45. \]
Per il seno dell’angolo doppio:
\[ \sin(2\alpha) = 2\cdot\frac35\cdot\left(-\frac45\right) = -\frac{24}{25}. \]
Per il coseno possiamo usare direttamente il seno assegnato:
\[ \cos(2\alpha) = 1-2\sin^2\alpha = 1-\frac{18}{25} = \frac7{25}. \]
Poiché \(\pi<2\alpha<2\pi\) e \(\cos(2\alpha)>0\), l’angolo doppio appartiene al quarto quadrante. Il seno negativo è coerente con questa conclusione.
Verifichiamo:
\[ \left(-\frac{24}{25}\right)^2 + \left(\frac7{25}\right)^2 = \frac{576+49}{625} = 1. \]
Esempio 2. Conoscere soltanto il coseno
Supponiamo:
\[ \cos\alpha=\frac13. \]
Senza conoscere il quadrante, possiamo comunque determinare il coseno dell’angolo doppio:
\[ \cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha-1 = \frac29-1 = -\frac79. \]
Il seno di \(2\alpha\), invece, non è determinato univocamente da questo dato: esistono angoli con coseno \(\displaystyle\frac13\) e seni di segno opposto. Infatti:
\[ \sin\alpha=\pm\frac{2\sqrt2}{3}, \]
quindi:
\[ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha = \pm\frac{4\sqrt2}{9}. \]
Esempio 3. Dalla tangente alla tangente dell’angolo doppio
Supponiamo:
\[ \tan\alpha=\frac12. \]
La tangente è definita e \(\displaystyle1-\tan^2\alpha=\frac34\ne0\). Possiamo applicare la formula:
\[ \tan(2\alpha) = \frac{2\cdot\frac12}{1-\frac14} = \frac1{\frac34} = \frac43. \]
In questo caso possiamo ricavare anche la cotangente dell’angolo doppio:
\[ \cot(2\alpha)=\frac34. \]
Esempio 4. Semplificare un’espressione
Consideriamo:
\[ \frac{\sin(2x)}{1+\cos(2x)}. \]
Il denominatore si può scrivere:
\[ 1+\cos(2x)=2\cos^2x. \]
Il denominatore è diverso da zero se e solo se \(\cos x\ne0\). Questo è dunque il dominio dell’espressione iniziale. In tale dominio:
\[ \frac{\sin(2x)}{1+\cos(2x)} = \frac{2\sin x\cos x}{2\cos^2x} = \tan x. \]
Abbiamo ottenuto l’identità:
\[ \frac{\sin(2x)}{1+\cos(2x)} = \tan x, \qquad x\ne\frac{\pi}{2}+k\pi, \quad k\in\mathbb Z. \]
Esempio 5. Risolvere un’equazione
Risolviamo:
\[ \sin(2x)=\sin x. \]
Applicando la duplicazione del seno:
\[ 2\sin x\cos x=\sin x. \]
Portiamo tutto al primo membro e raccogliamo:
\[ \sin x(2\cos x-1)=0. \]
Per la legge di annullamento del prodotto:
\[ \sin x=0 \quad\text{oppure}\quad \cos x=\frac12. \]
Tutti i passaggi sono equivalenti, quindi le soluzioni reali sono:
\[ x=k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\pm\frac{\pi}{3}+2k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]
Raccogliere il fattore \(\sin x\), invece di dividere per esso, permette di conservare anche le soluzioni per cui \(\sin x=0\).
Errori comuni
Confondere il doppio dell’angolo con il doppio del valore
In generale, \(\sin(2\alpha)\) non coincide con \(2\sin\alpha\). La formula corretta contiene anche il coseno:
\[ \sin(2\alpha)=2\sin\alpha\cos\alpha. \]
Per esempio, con \(\displaystyle\alpha=\frac{\pi}{6}\):
\[ \sin(2\alpha)=\frac{\sqrt3}{2}, \qquad 2\sin\alpha=1. \]
Confondere \(\sin(2\alpha)\) con \(\sin^2\alpha\)
Le due scritture indicano operazioni diverse:
- \(\sin(2\alpha)\) è il seno dell’angolo doppio;
- \(\sin^2\alpha=(\sin\alpha)^2\) è il quadrato del seno.
Sbagliare il segno nella duplicazione del coseno
Le forme corrette sono:
\[ \cos(2\alpha)=2\cos^2\alpha-1, \qquad \cos(2\alpha)=1-2\sin^2\alpha. \]
Nella prima compare il quadrato del coseno; nella seconda quello del seno, con il segno meno davanti al termine quadratico.
Applicare la formula della tangente senza controllare il dominio
Per usare \(\displaystyle\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}\) devono essere definiti sia \(\tan\alpha\) sia il rapporto. In particolare, bisogna escludere \(\tan\alpha=\pm1\).
Dividere per un fattore che può essere zero
Nelle equazioni, dividere per \(\sin x\) o per \(\cos x\) senza distinguere i casi può eliminare soluzioni. Quando possibile, è preferibile portare tutto a un membro e raccogliere.
Riepilogo
| Funzione | Formula di duplicazione | Condizioni |
|---|---|---|
| Seno | \(\sin(2\alpha)=2\sin\alpha\cos\alpha\) | \(\alpha\in\mathbb R\) |
| Coseno | \(\cos(2\alpha)=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\) | \(\alpha\in\mathbb R\) |
| Coseno | \(\cos(2\alpha)=2\cos^2\alpha-1\) | \(\alpha\in\mathbb R\) |
| Coseno | \(\cos(2\alpha)=1-2\sin^2\alpha\) | \(\alpha\in\mathbb R\) |
| Tangente | \(\displaystyle \tan(2\alpha)=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}\) | \(\cos\alpha\ne0\) e \(\tan\alpha\ne\pm1\) |
| Cotangente | \(\displaystyle \cot(2\alpha)=\frac{\cot^2\alpha-1}{2\cot\alpha}\) | \(\sin\alpha\ne0\) e \(\cos\alpha\ne0\) |
Dalle formule del coseno discendono inoltre:
\[ \sin^2\alpha=\frac{1-\cos(2\alpha)}{2}, \qquad \cos^2\alpha=\frac{1+\cos(2\alpha)}{2}. \]
Per scegliere una formula, osserviamo quali funzioni dell’angolo di partenza sono note e quale espressione vogliamo ottenere. Quando compaiono rapporti o si semplificano fattori, controlliamo sempre le condizioni di esistenza.