Forme Indeterminate nei Limiti: Teoria e Classificazione

Che cosa sono le forme indeterminate

Nel calcolo di un limite si studia spesso un'espressione costruita a partire da più funzioni. Quando sono noti i limiti delle singole funzioni, le regole dell'algebra dei limiti consentono, in molti casi, di determinare direttamente il limite dell'espressione complessiva. In alcune situazioni, tuttavia, i limiti dei singoli termini conducono a una configurazione simbolica che non contiene informazioni sufficienti per stabilire il risultato. Una configurazione di questo tipo prende il nome di forma indeterminata.

Per esempio, siano \(f\) e \(g\) due funzioni tali che

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=0, \]

e supponiamo che il quoziente \(\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}\) sia definito nei punti del dominio sufficientemente vicini a \(x_0\). Si dice allora che il limite

\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} \]

si presenta nella forma indeterminata

\[ \frac{0}{0}. \]

Questa scrittura non significa che il quoziente sia uguale a \(\displaystyle\frac{0}{0}\). Il simbolo \(\displaystyle\frac{0}{0}\) non rappresenta infatti un numero e non può essere trattato come una frazione ordinaria: indica soltanto che il numeratore e il denominatore tendono entrambi a zero.

Il termine indeterminata esprime precisamente il fatto che il comportamento separato dei termini non determina quello dell'espressione complessiva. A partire dalla stessa forma indeterminata, il limite può assumere un valore reale, essere infinito oppure non esistere.

Una forma indeterminata non è quindi il risultato di un limite, ma il segnale che è necessaria un'analisi ulteriore dell'espressione e del comportamento relativo dei suoi termini.

Perché una forma indeterminata non determina il limite

Per comprendere perché una forma indeterminata non consenta di stabilire il valore di un limite, consideriamo alcuni quozienti che, per \(x\to 0\), si presentano tutti nella forma

\[ \frac{0}{0}. \]

Il primo esempio è

\[ \lim_{x\to 0}\frac{x}{x}. \]

Per ogni \(x\neq 0\) si ha

\[ \frac{x}{x}=1, \]

e quindi

\[ \lim_{x\to 0}\frac{x}{x}=1. \]

Consideriamo ora il limite

\[ \lim_{x\to 0}\frac{x^2}{x}. \]

Per ogni \(x\neq 0\) possiamo semplificare il fattore \(x\) e ottenere

\[ \frac{x^2}{x}=x. \]

Pertanto

\[ \lim_{x\to 0}\frac{x^2}{x}=0. \]

La stessa forma indeterminata può condurre anche a un limite infinito. Infatti,

\[ \lim_{x\to 0}\frac{x^2}{x^4} = \lim_{x\to 0}\frac{1}{x^2} = +\infty. \]

Infine, consideriamo

\[ \lim_{x\to 0}\frac{x}{|x|}. \]

Per \(x>0\) si ha \(|x|=x\), mentre per \(x<0\) si ha \(|x|=-x\). Di conseguenza,

\[ \frac{x}{|x|} = \begin{cases} 1, & x>0,\\ -1, & x<0. \end{cases} \]

Ne segue che

\[ \lim_{x\to 0^+}\frac{x}{|x|}=1 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to 0^-}\frac{x}{|x|}=-1. \]

Poiché il limite destro e il limite sinistro sono diversi, il limite per \(x\to 0\) non esiste.

Abbiamo così ottenuto, a partire dalla medesima forma indeterminata \(\displaystyle\frac{0}{0}\), quattro comportamenti differenti:

\[ 1,\qquad 0,\qquad +\infty,\qquad \text{limite non esistente}. \]

La forma \(\displaystyle\frac{0}{0}\) non determina dunque il limite del quoziente. Essa descrive soltanto il fatto che numeratore e denominatore tendono entrambi a zero, ma non indica quale dei due si avvicini a zero più rapidamente né quale sia il loro comportamento relativo.

Lo stesso principio vale per tutte le altre forme indeterminate: per stabilire il limite è necessario studiare la struttura dell'espressione e confrontare con maggiore precisione il comportamento dei termini che la compongono.

Le sette forme indeterminate

Le forme indeterminate che si incontrano nel calcolo dei limiti sono tradizionalmente sette:

\[ \frac{0}{0}, \qquad \frac{\infty}{\infty}, \qquad 0\cdot\infty, \qquad \infty-\infty, \qquad 1^\infty, \qquad 0^0, \qquad \infty^0. \]

Questi simboli non rappresentano operazioni tra numeri, ma descrivono il comportamento limite dei termini che compongono un'espressione.

Le prime due sono forme di quoziente:

• \(\displaystyle\frac{0}{0}\), quando il numeratore e il denominatore tendono entrambi a zero;
• \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\), quando il numeratore e il denominatore tendono, ciascuno, a \(+\infty\) oppure a \(-\infty\), con segni non necessariamente uguali.

La terza è una forma di prodotto:

• \(0\cdot\infty\), quando un fattore tende a zero e l'altro tende a \(+\infty\) oppure a \(-\infty\).

La quarta è una forma di differenza:

• \(\infty-\infty\), quando i due termini della differenza tendono entrambi a \(+\infty\) oppure entrambi a \(-\infty\).

Le ultime tre sono forme esponenziali:

• \(1^\infty\), quando la base tende a \(1\) e l'esponente tende a \(+\infty\) oppure a \(-\infty\);
• \(0^0\), quando la base tende a \(0^+\) e l'esponente tende a zero;
• \(\infty^0\), quando la base tende a \(+\infty\) e l'esponente tende a zero.

Nelle forme esponenziali, quando si lavora nell'insieme dei numeri reali, si richiede che la base sia positiva nei punti sufficientemente vicini al punto verso cui tende la variabile. Questa condizione permette di interpretare la potenza mediante il logaritmo e di studiarne correttamente il limite.

Non tutte le combinazioni che coinvolgono zero o infinito sono indeterminate. Per esempio, sotto le opportune ipotesi sui segni,

\[ \frac{a}{\infty}=0, \qquad \frac{\infty}{a}=\pm\infty, \qquad 0+\infty=\infty, \]

dove \(a\) indica un numero reale finito e diverso da zero. Anche queste scritture hanno valore esclusivamente simbolico: riassumono proprietà dei limiti e non devono essere interpretate come operazioni aritmetiche eseguite con l'infinito.

La forma indeterminata \(\displaystyle\frac{0}{0}\)

Siano \(f\) e \(g\) due funzioni tali che

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=0, \]

e supponiamo che il quoziente \(\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}\) sia definito nei punti del dominio sufficientemente vicini a \(x_0\), eventualmente con l'esclusione di \(x_0\). In questo caso, il limite

\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} \]

si presenta nella forma indeterminata

\[ \frac{0}{0}. \]

Il fatto che numeratore e denominatore tendano entrambi a zero non permette di determinare il limite del loro rapporto. Il risultato dipende dal comportamento relativo delle due funzioni, cioè dalla rapidità con cui esse si avvicinano a zero e dall'eventuale presenza di oscillazioni o cambiamenti di segno.

Per esempio, consideriamo

\[ \lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}. \]

Il numeratore e il denominatore tendono entrambi a zero, quindi il limite si presenta nella forma \(\displaystyle\frac{0}{0}\). Tuttavia, per \(x\neq 1\), possiamo scomporre il numeratore e semplificare:

\[ \frac{x^2-1}{x-1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1. \]

Le funzioni \(\displaystyle\frac{x^2-1}{x-1}\) e \(x+1\) coincidono in tutti i punti del dominio sufficientemente vicini a \(1\), escluso eventualmente il punto \(1\) stesso. Di conseguenza, hanno lo stesso limite per \(x\to 1\), e quindi

\[ \lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1} = \lim_{x\to 1}(x+1) = 2. \]

La forma \(\displaystyle\frac{0}{0}\) può presentarsi anche quando non è possibile eliminare immediatamente un fattore comune. Consideriamo, per esempio,

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}. \]

Anche in questo caso numeratore e denominatore tendono a zero. Moltiplicando numeratore e denominatore per il coniugato \(\sqrt{1+x}+1\), per \(x\neq 0\) otteniamo

\begin{align} \frac{\sqrt{1+x}-1}{x} &= \frac{(\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1+x}+1)} {x(\sqrt{1+x}+1)} \\ &= \frac{x}{x(\sqrt{1+x}+1)} = \frac{1}{\sqrt{1+x}+1}. \end{align}

Pertanto

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{1}{\sqrt{1+x}+1} = \frac{1}{2}. \]

Questi esempi mostrano che la forma \(\displaystyle\frac{0}{0}\) non deve essere interpretata come un risultato, ma come l'indicazione che il quoziente deve essere trasformato o analizzato più accuratamente. A seconda della struttura delle funzioni coinvolte, possono essere utili la scomposizione, la semplificazione, la razionalizzazione, i limiti notevoli, le equivalenze asintotiche o altri strumenti del calcolo dei limiti.

La forma indeterminata \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\)

Siano \(f\) e \(g\) due funzioni e siano \(\ell_f,\ell_g\in\{-\infty,+\infty\}\) tali che

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=\ell_f \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=\ell_g, \]

dove \(x\to x_0\) può essere sostituito da \(x\to+\infty\) o da \(x\to-\infty\). Supponiamo inoltre che il quoziente \(\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}\) sia definito nei punti del dominio sufficientemente vicini alla situazione limite considerata. Il limite del quoziente si presenta allora nella forma indeterminata

\[ \frac{\infty}{\infty}. \]

Questa scrittura indica che il numeratore e il denominatore tendono, ciascuno, a uno dei due infiniti, con segni non necessariamente uguali. Non permette, tuttavia, di stabilire il comportamento del loro rapporto: il risultato dipende dalla rapidità con cui le due funzioni crescono in valore assoluto e dai loro segni.

Consideriamo, per esempio, il limite

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2-x+1}{2x^2+5}. \]

Sia il numeratore sia il denominatore tendono a \(+\infty\), perciò il limite si presenta nella forma \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\). Per confrontare il loro comportamento, dividiamo numeratore e denominatore per \(x^2\):

\[ \frac{3x^2-x+1}{2x^2+5} = \frac{3-\displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{1}{x^2}} {2+\displaystyle\frac{5}{x^2}}. \]

Poiché

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^2}=0, \]

otteniamo

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2-x+1}{2x^2+5} = \frac{3}{2}. \]

La stessa forma indeterminata può condurre anche a risultati diversi. Per esempio,

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{x}{x^2} = \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x} = 0, \]

mentre

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{x^2}{x} = \lim_{x\to+\infty}x = +\infty. \]

Inoltre,

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{x(2+\sin x)}{x} = \lim_{x\to+\infty}(2+\sin x) \]

non esiste, perché la funzione \(2+\sin x\) continua a oscillare tra \(1\) e \(3\) senza tendere a un unico valore.

La forma \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\) può quindi condurre a un numero reale finito, a zero, a un limite infinito oppure a un limite inesistente. Anche in questo caso, la forma indeterminata non fornisce il risultato: segnala la necessità di confrontare più precisamente l'ordine di crescita e il comportamento relativo del numeratore e del denominatore.

La forma indeterminata \(0\cdot\infty\)

Siano \(f\) e \(g\) due funzioni e sia \(\ell\in\{-\infty,+\infty\}\) tale che

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=\ell, \]

dove \(x\to x_0\) può essere sostituito da un'altra situazione limite, e supponiamo che il prodotto \(f(x)g(x)\) sia definito nei punti del dominio sufficientemente vicini alla situazione considerata. Il limite

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)g(x) \]

si presenta allora nella forma indeterminata

\[ 0\cdot\infty. \]

Questa scrittura non rappresenta il prodotto tra il numero \(0\) e l'infinito. Indica soltanto che un fattore tende a zero, mentre l'altro cresce senza limite in valore assoluto.

I due fattori esercitano effetti contrapposti: il fattore che tende a zero tende a rendere piccolo il prodotto, mentre quello divergente tende a renderlo grande in valore assoluto. Il limite dipende quindi dal loro comportamento relativo.

Consideriamo, per esempio,

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}\cdot x. \]

Il primo fattore tende a zero e il secondo tende a \(+\infty\), perciò il limite si presenta nella forma \(0\cdot\infty\). Tuttavia, per ogni \(x>0\),

\[ \frac{1}{x}\cdot x=1, \]

e quindi

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}\cdot x=1. \]

La stessa forma può condurre a zero. Infatti,

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^2}\cdot x = \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x} = 0. \]

Può condurre anche a un limite infinito:

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}\cdot x^2 = \lim_{x\to+\infty}x = +\infty. \]

Infine, il limite può non esistere. Consideriamo

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\sin x}{x}\cdot x. \]

Il primo fattore tende a zero, perché

\[ \left|\frac{\sin x}{x}\right|\leq\frac{1}{x} \]

per \(x>0\), mentre il secondo tende a \(+\infty\). Il prodotto si presenta quindi nella forma \(0\cdot\infty\). Tuttavia, per ogni \(x>0\),

\[ \frac{\sin x}{x}\cdot x=\sin x, \]

e il limite non esiste, perché \(\sin x\) oscilla senza tendere a un unico valore.

Per studiare una forma \(0\cdot\infty\), si trasforma generalmente il prodotto in un quoziente. Poiché \(g(x)\to\ell\), con \(\ell\in\{-\infty,+\infty\}\), si ha \(g(x)\neq 0\) definitivamente e

\[ \frac{1}{g(x)}\to 0. \]

Possiamo quindi scrivere

\[ f(x)g(x)=\frac{f(x)}{\displaystyle\frac{1}{g(x)}}, \]

ottenendo una forma \(\displaystyle\frac{0}{0}\).

Se, inoltre, \(f(x)\neq 0\) e ha segno costante definitivamente, allora \(\displaystyle\frac{1}{f(x)}\) tende a \(+\infty\) oppure a \(-\infty\), e si può anche scrivere

\[ f(x)g(x)=\frac{g(x)}{\displaystyle\frac{1}{f(x)}}, \]

ottenendo una forma \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\).

La scelta della trasformazione più conveniente dipende dalla struttura delle funzioni coinvolte. In ogni caso, la forma \(0\cdot\infty\) non determina il limite, ma indica che il prodotto deve essere riscritto o analizzato con maggiore precisione.

La forma indeterminata \(\infty-\infty\)

Siano \(f\) e \(g\) due funzioni tali che

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=+\infty, \]

oppure

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=-\infty \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=-\infty, \]

dove \(x\to x_0\) può essere sostituito da un'altra situazione limite. Il limite della differenza

\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)-g(x)\bigr) \]

si presenta nella forma indeterminata

\[ \infty-\infty. \]

Questa scrittura non rappresenta una sottrazione tra numeri infiniti. Indica che i due termini della differenza divergono con lo stesso segno e che, pertanto, non è possibile stabilire il comportamento della loro differenza conoscendo soltanto i loro limiti separati.

Il risultato dipende dal modo in cui i due termini divergono e, in particolare, dalla differenza tra i loro ordini di crescita.

Per esempio,

\[ \lim_{x\to+\infty}\bigl((x+1)-x\bigr)=1. \]

Entrambi i termini \(x+1\) e \(x\) tendono a \(+\infty\), ma la loro differenza è costantemente uguale a \(1\).

La stessa forma può condurre a zero:

\[ \lim_{x\to+\infty}(x-x)=0. \]

Può condurre a \(+\infty\):

\[ \lim_{x\to+\infty}(2x-x) = \lim_{x\to+\infty}x = +\infty, \]

oppure a \(-\infty\):

\[ \lim_{x\to+\infty}(x-2x) = \lim_{x\to+\infty}(-x) = -\infty. \]

Il limite può anche non esistere. Infatti,

\[ \lim_{x\to+\infty}\bigl((x+\sin x)-x\bigr) = \lim_{x\to+\infty}\sin x \]

non esiste, sebbene sia \(x+\sin x\to+\infty\) sia \(x\to+\infty\).

Per risolvere una forma \(\infty-\infty\), si cerca generalmente di trasformare la differenza in un'unica espressione, in modo da rendere evidente il comportamento relativo dei due termini. A seconda della struttura dell'espressione, può essere utile raccogliere un fattore comune, ridurre i termini allo stesso denominatore oppure razionalizzare.

Consideriamo, per esempio,

\[ \lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right). \]

Poiché

\[ \sqrt{x^2+x}\to+\infty \qquad\text{e}\qquad x\to+\infty, \]

il limite si presenta nella forma \(\infty-\infty\). Moltiplichiamo e dividiamo per l'espressione coniugata:

\[ \sqrt{x^2+x}-x = \frac{\left(\sqrt{x^2+x}-x\right) \left(\sqrt{x^2+x}+x\right)} {\sqrt{x^2+x}+x}. \]

Al numeratore otteniamo una differenza di quadrati:

\[ \sqrt{x^2+x}-x = \frac{x^2+x-x^2}{\sqrt{x^2+x}+x} = \frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}. \]

Poiché \(x>0\) definitivamente per \(x\to+\infty\), possiamo dividere numeratore e denominatore per \(x\):

\[ \frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x} = \frac{1}{\sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{x}}+1}. \]

Pertanto

\[ \lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right) = \frac{1}{2}. \]

La forma \(\infty-\infty\) non determina dunque il limite della differenza. Per ottenere il risultato è necessario trasformare l'espressione e mettere in evidenza il confronto effettivo tra i termini divergenti.

La forma indeterminata \(1^\infty\)

Siano \(f\) e \(g\) due funzioni e sia \(\ell\in\{-\infty,+\infty\}\) tale che

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=1 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=\ell, \]

dove \(x\to x_0\) può essere sostituito da un'altra situazione limite. Poiché \(f(x)\to 1\), si ha \(f(x)>0\) definitivamente; la potenza \(f(x)^{g(x)}\) può quindi essere studiata, nell'ambito reale, mediante il logaritmo.

Il limite

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)^{g(x)} \]

si presenta allora nella forma indeterminata

\[ 1^\infty. \]

Questa scrittura non rappresenta una potenza avente base \(1\) ed esponente infinito. Indica soltanto che la base tende a \(1\), mentre l'esponente tende a \(+\infty\) oppure a \(-\infty\).

La forma è indeterminata perché due effetti si contrappongono. Da un lato, una base vicina a \(1\) tende a modificare poco il valore della potenza; dall'altro, un esponente molto grande in valore assoluto può rendere decisiva anche una differenza molto piccola tra la base e \(1\). Il risultato dipende quindi dal comportamento congiunto della base e dell'esponente.

Per analizzare questa forma, poniamo

\[ y=f(x)^{g(x)}. \]

Poiché \(f(x)>0\), possiamo applicare il logaritmo naturale:

\[ \ln y=g(x)\ln f(x). \]

Dal momento che \(f(x)\to 1\), per la continuità del logaritmo si ha

\[ \ln f(x)\to\ln 1=0. \]

Il prodotto

\[ g(x)\ln f(x) \]

si presenta dunque nella forma \(0\cdot\infty\). Lo studio della forma esponenziale \(1^\infty\) viene così ricondotto allo studio del limite del logaritmo dell'espressione.

In particolare, se

\[ \lim_{x\to x_0}g(x)\ln f(x)=L, \]

con \(L\in\mathbb{R}\), allora, per la continuità della funzione esponenziale,

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)^{g(x)}=e^L. \]

Se invece

\[ g(x)\ln f(x)\to+\infty, \]

allora

\[ f(x)^{g(x)}\to+\infty; \]

se

\[ g(x)\ln f(x)\to-\infty, \]

allora

\[ f(x)^{g(x)}\to 0. \]

Consideriamo il limite fondamentale

\[ \lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e. \]

La base tende a \(1\) e l'esponente tende a \(+\infty\), ma il limite è il numero reale positivo \(e\).

La stessa forma può condurre a \(1\). Infatti,

\[ \left(1+\frac{1}{x}\right)^{\sqrt{x}} = \left[\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\right]^{\frac{1}{\sqrt{x}}} \longrightarrow e^0=1 \qquad\text{per }x\to+\infty. \]

Può condurre anche a \(+\infty\):

\[ \left(1+\frac{1}{x}\right)^{x^2} = \left[\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\right]^x \longrightarrow+\infty. \]

Un risultato uguale a zero si ottiene, per esempio, nel limite

\[ \lim_{x\to+\infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^{x^2}. \]

Per \(x>1\), la base è positiva e possiamo scrivere

\[ \left(1-\frac{1}{x}\right)^{x^2} = \left[\left(1-\frac{1}{x}\right)^x\right]^x. \]

Poiché

\[ \lim_{x\to+\infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^x=e^{-1}, \]

e \(0<e^{-1}<1\), segue che

\[ \lim_{x\to+\infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^{x^2}=0. \]

Infine, il limite può non esistere. Consideriamo

\[ \lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x(2+\sin x)}. \]

La base tende a \(1\), mentre l'esponente \(x(2+\sin x)\) tende a \(+\infty\), perché \(2+\sin x\geq 1\). Applicando il logaritmo, otteniamo

\[ \ln\left[\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x(2+\sin x)}\right] = (2+\sin x)\,x\ln\left(1+\frac{1}{x}\right). \]

Poiché

\[ x\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)\to 1, \]

lungo la successione \(x_n=\displaystyle\frac{\pi}{2}+2\pi n\) il logaritmo dell'espressione tende a \(3\), mentre lungo la successione \(y_n=\displaystyle\frac{3\pi}{2}+2\pi n\) tende a \(1\). Di conseguenza, l'espressione tende rispettivamente a \(e^3\) e a \(e\), e quindi il limite non esiste.

La forma \(1^\infty\) può dunque condurre a \(1\), a un numero reale positivo diverso da \(1\), a zero, a \(+\infty\) oppure a un limite inesistente. Il suo studio richiede di considerare il prodotto tra l'esponente e il logaritmo della base.

La forma indeterminata \(0^0\)

Siano \(f\) e \(g\) due funzioni tali che

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=0, \]

dove \(x\to x_0\) può essere sostituito da un'altra situazione limite. Supponiamo inoltre che \(f(x)>0\) nei punti del dominio sufficientemente vicini alla situazione considerata. Il limite

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)^{g(x)} \]

si presenta allora nella forma indeterminata

\[ 0^0. \]

La scrittura \(0^0\), in questo contesto, non rappresenta il valore assunto dalla potenza e non deve essere interpretata come un'operazione tra due numeri. Indica soltanto che la base tende a zero, mentre l'esponente tende a zero.

La forma è indeterminata perché il comportamento della potenza dipende dal modo in cui la base e l'esponente si avvicinano ai rispettivi valori limite. Una base positiva molto piccola tende a rendere piccola la potenza quando l'esponente è positivo, mentre un esponente che tende a zero tende a rendere la potenza vicina a \(1\). Se l'esponente assume valori negativi, la potenza può invece diventare arbitrariamente grande.

Per studiare questa forma, poniamo

\[ y=f(x)^{g(x)}. \]

Poiché \(f(x)>0\), possiamo applicare il logaritmo naturale:

\[ \ln y=g(x)\ln f(x). \]

Dal momento che \(f(x)\to 0^+\), si ha

\[ \ln f(x)\to-\infty. \]

Poiché contemporaneamente \(g(x)\to 0\), il prodotto

\[ g(x)\ln f(x) \]

si presenta nella forma indeterminata \(0\cdot\infty\), con il fattore divergente negativo. Lo studio della forma \(0^0\) viene quindi ricondotto allo studio del logaritmo della potenza.

Se

\[ \lim_{x\to x_0}g(x)\ln f(x)=L, \]

con \(L\in\mathbb{R}\), allora, per la continuità della funzione esponenziale,

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)^{g(x)}=e^L. \]

Se invece

\[ g(x)\ln f(x)\to-\infty, \]

allora

\[ f(x)^{g(x)}\to 0; \]

se

\[ g(x)\ln f(x)\to+\infty, \]

allora

\[ f(x)^{g(x)}\to+\infty. \]

Consideriamo anzitutto il limite

\[ \lim_{x\to 0^+}x^x. \]

La base e l'esponente tendono entrambi a zero. Applicando il logaritmo, otteniamo

\[ \ln(x^x)=x\ln x. \]

Poiché

\[ \lim_{x\to 0^+}x\ln x=0, \]

segue che

\[ \lim_{x\to 0^+}x^x=e^0=1. \]

La stessa forma può condurre a un numero reale positivo diverso da \(1\). Per esempio, per \(0<x<1\),

\[ x^{\frac{1}{\ln x}} = e^{\frac{1}{\ln x}\ln x} = e. \]

Poiché \(x\to 0^+\) e \(\displaystyle\frac{1}{\ln x}\to 0\), il limite si presenta nella forma \(0^0\), ma si ha

\[ \lim_{x\to 0^+}x^{\frac{1}{\ln x}}=e. \]

La forma \(0^0\) può condurre anche a zero. Consideriamo

\[ \lim_{x\to 0^+}x^{\frac{1}{\sqrt{-\ln x}}}. \]

L'esponente tende a zero e

\[ \ln\left(x^{\frac{1}{\sqrt{-\ln x}}}\right) = \frac{\ln x}{\sqrt{-\ln x}} = -\sqrt{-\ln x} \to-\infty. \]

Pertanto

\[ \lim_{x\to 0^+}x^{\frac{1}{\sqrt{-\ln x}}}=0. \]

Se cambiamo il segno dell'esponente, otteniamo invece

\[ \ln\left(x^{-\frac{1}{\sqrt{-\ln x}}}\right) = -\frac{\ln x}{\sqrt{-\ln x}} = \sqrt{-\ln x} \to+\infty, \]

e quindi

\[ \lim_{x\to 0^+}x^{-\frac{1}{\sqrt{-\ln x}}}=+\infty. \]

Infine, il limite può non esistere. Consideriamo

\[ x^{\frac{\sin(-\ln x)}{\ln x}}. \]

Per \(x\to 0^+\), la base tende a zero e l'esponente tende a zero, perché il numeratore è limitato mentre \(\ln x\to-\infty\). Tuttavia,

\[ x^{\frac{\sin(-\ln x)}{\ln x}} = e^{\sin(-\ln x)}. \]

Poiché \(-\ln x\to+\infty\), la funzione \(\sin(-\ln x)\) continua a oscillare e non ammette limite. Di conseguenza, anche l'espressione \(e^{\sin(-\ln x)}\) non ammette limite.

La forma \(0^0\) può dunque condurre a \(1\), a un numero reale positivo diverso da \(1\), a zero, a \(+\infty\) oppure a un limite inesistente. Il risultato è determinato dal comportamento del prodotto tra l'esponente e il logaritmo della base.

In alcuni ambiti della matematica, come la combinatoria e la teoria delle serie di potenze, può essere conveniente adottare la convenzione \(0^0=1\). Tale convenzione riguarda contesti specifici e non modifica il fatto che \(0^0\), nel calcolo dei limiti, sia una forma indeterminata.

La forma indeterminata \(\infty^0\)

Siano \(f\) e \(g\) due funzioni tali che

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=0, \]

dove \(x\to x_0\) può essere sostituito da un'altra situazione limite. Poiché \(f(x)\to+\infty\), la base è positiva nei punti del dominio sufficientemente vicini alla situazione considerata. Il limite

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)^{g(x)} \]

si presenta allora nella forma indeterminata

\[ \infty^0. \]

Questa scrittura non rappresenta una potenza avente base infinita ed esponente nullo. Indica soltanto che la base cresce senza limite, mentre l'esponente tende a zero.

La forma è indeterminata perché i due comportamenti producono effetti contrapposti. Una base molto grande può rendere grande la potenza, mentre un esponente vicino a zero tende a rendere la potenza vicina a \(1\). Se l'esponente assume valori negativi, la potenza può invece avvicinarsi a zero.

Per studiare questa forma, poniamo

\[ y=f(x)^{g(x)}. \]

Poiché \(f(x)>0\) definitivamente, possiamo applicare il logaritmo naturale:

\[ \ln y=g(x)\ln f(x). \]

Dal momento che \(f(x)\to+\infty\), si ha

\[ \ln f(x)\to+\infty. \]

Poiché contemporaneamente \(g(x)\to 0\), il prodotto

\[ g(x)\ln f(x) \]

si presenta nella forma indeterminata \(0\cdot\infty\). Lo studio della forma \(\infty^0\) viene quindi ricondotto allo studio del logaritmo della potenza.

Se

\[ \lim_{x\to x_0}g(x)\ln f(x)=L, \]

con \(L\in\mathbb{R}\), allora, per la continuità della funzione esponenziale,

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)^{g(x)}=e^L. \]

Se invece

\[ g(x)\ln f(x)\to-\infty, \]

allora

\[ f(x)^{g(x)}\to 0; \]

se

\[ g(x)\ln f(x)\to+\infty, \]

allora

\[ f(x)^{g(x)}\to+\infty. \]

Consideriamo anzitutto il limite

\[ \lim_{x\to+\infty}x^{\frac{1}{x}}. \]

La base tende a \(+\infty\), mentre l'esponente tende a zero. Applicando il logaritmo, otteniamo

\[ \ln\left(x^{\frac{1}{x}}\right) = \frac{\ln x}{x}. \]

Poiché

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}=0, \]

segue che

\[ \lim_{x\to+\infty}x^{\frac{1}{x}}=e^0=1. \]

La stessa forma può condurre a un numero reale positivo diverso da \(1\). Per esempio, per \(x>1\),

\[ x^{\frac{1}{\ln x}} = e^{\frac{1}{\ln x}\ln x} = e. \]

Poiché \(x\to+\infty\) e \(\displaystyle\frac{1}{\ln x}\to 0\), si ha quindi

\[ \lim_{x\to+\infty}x^{\frac{1}{\ln x}}=e. \]

La forma \(\infty^0\) può condurre anche a zero. Consideriamo

\[ \lim_{x\to+\infty}x^{-\frac{1}{\sqrt{\ln x}}}. \]

L'esponente tende a zero e

\[ \ln\left(x^{-\frac{1}{\sqrt{\ln x}}}\right) = -\frac{\ln x}{\sqrt{\ln x}} = -\sqrt{\ln x} \to-\infty. \]

Pertanto

\[ \lim_{x\to+\infty}x^{-\frac{1}{\sqrt{\ln x}}}=0. \]

Se cambiamo il segno dell'esponente, otteniamo invece

\[ \ln\left(x^{\frac{1}{\sqrt{\ln x}}}\right) = \sqrt{\ln x} \to+\infty, \]

e quindi

\[ \lim_{x\to+\infty}x^{\frac{1}{\sqrt{\ln x}}}=+\infty. \]

Infine, il limite può non esistere. Consideriamo, per \(x>1\),

\[ x^{\frac{\sin(\ln\ln x)}{\ln x}}. \]

Per \(x\to+\infty\), la base tende a \(+\infty\) e l'esponente tende a zero, perché il numeratore è limitato mentre \(\ln x\to+\infty\). Tuttavia,

\[ x^{\frac{\sin(\ln\ln x)}{\ln x}} = e^{\sin(\ln\ln x)}. \]

Poiché \(\ln\ln x\to+\infty\), la funzione \(\sin(\ln\ln x)\) continua a oscillare e non ammette limite. Di conseguenza, anche l'espressione \(e^{\sin(\ln\ln x)}\) non ammette limite.

La forma \(\infty^0\) può dunque condurre a \(1\), a un numero reale positivo diverso da \(1\), a zero, a \(+\infty\) oppure a un limite inesistente. Anche in questo caso, il risultato è determinato dal comportamento del prodotto tra l'esponente e il logaritmo della base.

Trasformazione delle forme indeterminate

Le forme indeterminate non si risolvono mediante regole aritmetiche applicate direttamente ai simboli \(0\) e \(\infty\). Per determinarne il limite è necessario riscrivere l'espressione in una forma uguale all'originale per tutti i valori della variabile sufficientemente vicini alla situazione limite considerata.

Se \(x\to x_0\), è sufficiente che le due espressioni coincidano in un intorno forato di \(x_0\), cioè nei punti del dominio abbastanza vicini a \(x_0\), eventualmente escluso il punto stesso. Se invece \(x\to+\infty\) o \(x\to-\infty\), è sufficiente che coincidano rispettivamente per tutti i valori di \(x\) sufficientemente grandi o sufficientemente piccoli.

Le forme \(\displaystyle\frac{0}{0}\) e \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\) sono già espresse come quozienti. Le altre forme indeterminate possono spesso essere ricondotte a una di esse mediante opportune trasformazioni.

Trasformazione della forma \(0\cdot\infty\)

Se

\[ f(x)\to 0 \qquad\text{e}\qquad g(x)\to\ell, \qquad \ell\in\{-\infty,+\infty\}, \]

allora \(g(x)\neq 0\) definitivamente e

\[ \frac{1}{g(x)}\to 0. \]

Possiamo quindi scrivere

\[ f(x)g(x)=\frac{f(x)}{\displaystyle\frac{1}{g(x)}}, \]

ottenendo una forma \(\displaystyle\frac{0}{0}\).

Se, inoltre, \(f(x)\neq 0\) e ha segno costante definitivamente, allora \(\displaystyle\frac{1}{f(x)}\) tende a \(+\infty\) oppure a \(-\infty\), e si può anche scrivere

\[ f(x)g(x)=\frac{g(x)}{\displaystyle\frac{1}{f(x)}}, \]

ottenendo una forma \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\).

La scelta tra le due riscritture dipende dalla struttura delle funzioni e dalla forma che risulta più semplice da analizzare.

Trasformazione della forma \(\infty-\infty\)

Una differenza che si presenta nella forma \(\infty-\infty\) deve essere trasformata in un'unica espressione, così da rendere visibile il comportamento relativo dei due termini divergenti.

Se i termini sono frazioni, è spesso utile ridurli allo stesso denominatore:

\[ \frac{f(x)}{g(x)}-\frac{h(x)}{k(x)} = \frac{f(x)k(x)-h(x)g(x)}{g(x)k(x)}. \]

La forma \(\infty-\infty\) può così trasformarsi in una forma di quoziente, generalmente \(\displaystyle\frac{0}{0}\) oppure \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\).

Quando compaiono radicali, può essere utile moltiplicare e dividere per l'espressione coniugata. Per esempio,

\[ \sqrt{f(x)}-\sqrt{g(x)} = \frac{f(x)-g(x)} {\sqrt{f(x)}+\sqrt{g(x)}}, \]

nei punti in cui le radici sono definite e il denominatore è diverso da zero.

In altri casi può essere conveniente raccogliere un fattore comune:

\[ f(x)-g(x) = f(x)\left(1-\frac{g(x)}{f(x)}\right), \]

purché \(f(x)\neq 0\) nei punti considerati.

Trasformazione delle forme esponenziali

Le forme \(1^\infty\), \(0^0\) e \(\infty^0\) si studiano mediante il logaritmo. Consideriamo un'espressione

\[ f(x)^{g(x)}, \]

e supponiamo che \(f(x)>0\) definitivamente. Ponendo

\[ y(x)=f(x)^{g(x)}, \]

si ottiene

\[ \ln y(x)=g(x)\ln f(x). \]

Il limite della potenza viene così ricondotto allo studio del prodotto

\[ g(x)\ln f(x), \]

che si presenta generalmente nella forma \(0\cdot\infty\).

Se, nella situazione limite considerata,

\[ g(x)\ln f(x)\to L, \]

con \(L\in\mathbb{R}\), allora

\[ f(x)^{g(x)}\to e^L. \]

Se invece

\[ g(x)\ln f(x)\to+\infty, \]

allora

\[ f(x)^{g(x)}\to+\infty; \]

se

\[ g(x)\ln f(x)\to-\infty, \]

allora

\[ f(x)^{g(x)}\to 0. \]

Viceversa, se il prodotto \(g(x)\ln f(x)\) non ammette né un limite reale né un limite infinito, neppure la potenza \(f(x)^{g(x)}\) ammette limite. Infatti, la funzione esponenziale è continua e strettamente crescente, e il logaritmo naturale è la sua funzione inversa su \((0,+\infty)\).

In ogni trasformazione è essenziale verificare le condizioni di validità delle operazioni eseguite. Una trasformazione algebrica è utile soltanto quando conserva l'espressione nei punti del dominio sufficientemente vicini alla situazione limite e conduce a una forma più semplice da analizzare.

Metodi per risolvere le forme indeterminate

Non esiste un procedimento unico per determinare tutti i limiti che si presentano in forma indeterminata. Il metodo da utilizzare dipende dalla struttura dell'espressione, dal tipo di forma indeterminata e dagli strumenti matematici disponibili.

Prima di eseguire qualsiasi trasformazione, è necessario individuare il dominio dell'espressione, calcolare separatamente i limiti dei termini che la compongono e verificare che si presenti effettivamente una forma indeterminata.

Semplificazione algebrica

Quando un limite si presenta nella forma \(\displaystyle\frac{0}{0}\), può essere possibile scomporre il numeratore e il denominatore, individuare un fattore comune e semplificarlo.

Consideriamo, per esempio,

\[ \lim_{x\to 1}\frac{x^3-1}{x-1}. \]

Utilizzando la scomposizione della differenza di due cubi, per \(x\neq 1\) otteniamo

\[ \frac{x^3-1}{x-1} = \frac{(x-1)(x^2+x+1)}{x-1} = x^2+x+1. \]

Pertanto

\[ \lim_{x\to 1}\frac{x^3-1}{x-1} = \lim_{x\to 1}(x^2+x+1) = 3. \]

La semplificazione è lecita perché viene eseguita per \(x\neq 1\), cioè nei punti sufficientemente vicini al punto verso cui tende la variabile. Il valore eventualmente assunto dall'espressione nel punto \(x=1\) non influisce sul limite.

Riduzione allo stesso denominatore e razionalizzazione

Le differenze che si presentano nella forma \(\infty-\infty\) possono spesso essere trasformate riducendo i termini allo stesso denominatore. Se invece compaiono radicali, può essere utile moltiplicare e dividere per l'espressione coniugata.

Questi procedimenti trasformano la differenza in un'unica frazione, nella quale è possibile studiare il comportamento complessivo del numeratore e del denominatore.

Anche in questo caso è necessario verificare che i denominatori introdotti siano diversi da zero nei punti considerati e che tutte le radici presenti siano definite.

Divisione per il termine di grado massimo

Nei quozienti tra polinomi, per \(x\to+\infty\) o \(x\to-\infty\), il comportamento è determinato dai termini di grado massimo. Si può quindi dividere il numeratore e il denominatore per la massima potenza di \(x\) presente nel denominatore o, più in generale, per una potenza che permetta di confrontare i termini dominanti.

Per esempio,

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{5x^3-x}{2x^3+4x} = \lim_{x\to+\infty} \frac{5-\displaystyle\frac{1}{x^2}} {2+\displaystyle\frac{4}{x^2}} = \frac{5}{2}. \]

Se sono presenti radicali, occorre prestare particolare attenzione all'identità

\[ \sqrt{x^2}=|x|. \]

In particolare, per \(x\to-\infty\) si ha \(|x|=-x\), non \(|x|=x\).

Limiti notevoli

Molte forme indeterminate possono essere ricondotte a limiti notevoli mediante trasformazioni algebriche o cambiamenti di variabile. Tra i principali limiti notevoli si hanno

\[ \lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1, \qquad \lim_{t\to 0}\frac{e^t-1}{t}=1, \]

\[ \lim_{t\to 0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1, \qquad \lim_{t\to 0}(1+t)^{\frac{1}{t}}=e. \]

Per utilizzare correttamente un limite notevole, l'intera espressione deve essere ricondotta alla sua struttura, verificando che la variabile interna tenda al valore richiesto.

Per esempio,

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin(3x)}{x} = 3\lim_{x\to 0}\frac{\sin(3x)}{3x} = 3. \]

Equivalenze asintotiche

Due funzioni \(f\) e \(g\) si dicono asintoticamente equivalenti per \(x\to x_0\) se

\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=1, \]

e si scrive

\[ f(x)\sim g(x) \qquad\text{per }x\to x_0. \]

Le equivalenze asintotiche permettono di sostituire una funzione con un'altra dal medesimo comportamento principale nei prodotti e nei quozienti, purché le espressioni coinvolte siano definite e i denominatori siano diversi da zero definitivamente.

Per esempio, poiché

\[ \sin x\sim x \qquad\text{per }x\to 0, \]

si ha

\[ \frac{\sin x}{x}\sim\frac{x}{x}=1. \]

Le equivalenze non possono invece essere utilizzate indiscriminatamente nelle somme e nelle differenze, perché può verificarsi una cancellazione dei termini principali.

Per esempio,

\[ x+x^2\sim x \qquad\text{e}\qquad x\sim x \]

per \(x\to 0\), ma

\[ (x+x^2)-x=x^2, \]

mentre la sostituzione separata dei due termini con \(x\) produrrebbe erroneamente \(x-x=0\). Quando si verifica una cancellazione, è necessario conservare termini di ordine successivo.

Teoremi di confronto

Quando un'espressione contiene fattori oscillanti o non è facilmente semplificabile, può essere utile confrontarla con funzioni dal comportamento noto.

Consideriamo, per esempio,

\[ \lim_{x\to 0}\frac{x^2\sin\left(\displaystyle\frac{1}{x}\right)}{x}. \]

Per \(x\neq 0\), l'espressione si riduce a

\[ x\sin\left(\frac{1}{x}\right). \]

Poiché

\[ \left|x\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right| \leq |x|, \]

e \(|x|\to 0\), dal teorema del confronto segue che

\[ \lim_{x\to 0}x\sin\left(\frac{1}{x}\right)=0. \]

Teorema di de l'Hôpital

Il teorema di de l'Hôpital permette, sotto precise ipotesi, di studiare limiti di quozienti che si presentano nelle forme \(\displaystyle\frac{0}{0}\) oppure \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\).

In una delle sue formulazioni, siano \(f\) e \(g\) funzioni derivabili in un intervallo privato del punto \(x_0\), con \(g'(x)\neq 0\) nei punti considerati. Supponiamo che

\[ f(x)\to 0 \qquad\text{e}\qquad g(x)\to 0, \]

oppure che

\[ f(x)\to\ell_f \qquad\text{e}\qquad g(x)\to\ell_g, \qquad \ell_f,\ell_g\in\{-\infty,+\infty\}. \]

Se esiste, finito o infinito, il limite

\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=L, \]

allora, nelle ipotesi del teorema,

\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=L. \]

Il teorema non consiste quindi nel derivare automaticamente numeratore e denominatore ogni volta che compare un quoziente. Prima di applicarlo è indispensabile verificare sia la forma indeterminata sia tutte le sue ipotesi.

Le forme \(0\cdot\infty\), \(\infty-\infty\), \(1^\infty\), \(0^0\) e \(\infty^0\) non rientrano direttamente nelle forme previste dal teorema e devono prima essere trasformate in un quoziente del tipo appropriato.

Se il teorema viene applicato più volte, dopo ogni derivazione occorre verificare nuovamente la forma del limite e le condizioni necessarie.

Sviluppi asintotici

Quando i termini principali si cancellano, le semplici equivalenze asintotiche possono non essere sufficienti. In questi casi è necessario conoscere con maggiore precisione il comportamento delle funzioni, utilizzando sviluppi asintotici o sviluppi di Taylor.

Per esempio, per \(x\to 0\),

\[ \sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3). \]

Pertanto

\[ \sin x-x=-\frac{x^3}{6}+o(x^3), \]

e si ottiene

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x-x}{x^3} = -\frac{1}{6}. \]

La sola equivalenza \(\sin x\sim x\) non sarebbe sufficiente, perché i termini equivalenti si sottraggono e si cancellano al primo ordine.

La scelta del metodo deve quindi essere guidata dalla struttura dell'espressione. Una trasformazione efficace non elimina formalmente i simboli della forma indeterminata, ma rende esplicito il comportamento relativo delle funzioni che la producono.

Errori frequenti

Nel calcolo delle forme indeterminate è essenziale distinguere le trasformazioni matematicamente valide dalle manipolazioni puramente formali. Gli errori più comuni derivano spesso dall'interpretazione impropria dei simboli \(0\) e \(\infty\), dall'applicazione automatica di una regola oppure dalla mancata verifica delle condizioni necessarie.

Considerare la forma indeterminata come il risultato del limite

Scrivere che un limite si presenta nella forma \(\displaystyle\frac{0}{0}\) non significa averne determinato il valore. La forma indica soltanto che il numeratore e il denominatore tendono entrambi a zero.

Per esempio,

\[ \lim_{x\to 0}\frac{x}{x}=1, \qquad \lim_{x\to 0}\frac{x^2}{x}=0, \qquad \lim_{x\to 0}\frac{x}{x^2} \]

si presentano tutti nella forma \(\displaystyle\frac{0}{0}\), ma producono comportamenti differenti. Nell'ultimo caso, inoltre, il limite bilatero non esiste: il limite destro è \(+\infty\), mentre il limite sinistro è \(-\infty\).

Trattare l'infinito come un numero reale

I simboli \(+\infty\) e \(-\infty\) non rappresentano numeri reali. Scritture come

\[ \frac{\infty}{\infty}, \qquad \infty-\infty, \qquad 0\cdot\infty \]

non sono operazioni aritmetiche eseguite con l'infinito, ma descrizioni sintetiche del comportamento limite dei termini.

Non è quindi lecito, per esempio, semplificare formalmente gli infiniti nella scrittura \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\) e concludere che il risultato sia \(1\).

Confondere la sostituzione con il calcolo del limite

La sostituzione diretta è uno strumento utile quando le operazioni coinvolte conservano il limite e non producono configurazioni indeterminate. Se invece la sostituzione conduce a una forma indeterminata, essa non determina il limite, ma segnala la necessità di un'analisi ulteriore.

Inoltre, il limite di una funzione in un punto non dipende necessariamente dal valore assunto dalla funzione in quel punto. Per questo motivo, un'espressione può non essere definita nel punto verso cui tende la variabile e possedere comunque un limite.

Semplificare un fattore senza precisarne le condizioni

Nella relazione

\[ \frac{(x-x_0)h(x)}{x-x_0}=h(x), \]

la semplificazione è valida soltanto per \(x\neq x_0\). Ciò è sufficiente per il calcolo del limite per \(x\to x_0\), perché il limite dipende dai valori assunti in un intorno forato del punto.

Non sarebbe invece corretto affermare che le due espressioni sono uguali anche in \(x=x_0\), poiché il primo membro non è definito in quel punto.

Applicare le equivalenze asintotiche nelle differenze senza controllare le cancellazioni

Le equivalenze asintotiche possono essere utilizzate direttamente nei prodotti e nei quozienti, ma non possono essere sostituite indiscriminatamente all'interno di somme e differenze.

Per esempio, per \(x\to 0\),

\[ \sin x\sim x. \]

Tuttavia, sostituire semplicemente \(\sin x\) con \(x\) nella differenza \(\sin x-x\) produrrebbe zero e cancellerebbe proprio il termine che determina il limite. In realtà,

\[ \sin x-x\sim-\frac{x^3}{6}. \]

Quando i termini principali si eliminano tra loro, è necessario utilizzare un'approssimazione di ordine superiore.

Applicare il teorema di de l'Hôpital senza verificarne le ipotesi

Il teorema di de l'Hôpital non si applica a qualsiasi quoziente. È necessario che il limite si presenti nella forma \(\displaystyle\frac{0}{0}\) oppure \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\) e che siano soddisfatte le ipotesi di derivabilità e le ulteriori condizioni previste dal teorema.

In particolare, non si può applicare direttamente il teorema a forme come

\[ 0\cdot\infty, \qquad \infty-\infty, \qquad 1^\infty. \]

Queste devono prima essere trasformate in un quoziente della forma appropriata. Dopo ogni eventuale applicazione del teorema, occorre inoltre verificare nuovamente la forma ottenuta prima di applicarlo una seconda volta.

Derivare separatamente numeratore e denominatore come se fosse un'identità

Il passaggio

\[ \frac{f(x)}{g(x)} \longrightarrow \frac{f'(x)}{g'(x)} \]

non è una trasformazione algebrica dell'espressione e, in generale, i due quozienti non sono uguali. Il teorema di de l'Hôpital stabilisce soltanto, sotto le sue ipotesi, una relazione tra i rispettivi limiti.

Trascurare il dominio dell'espressione

Prima di calcolare un limite è necessario stabilire dove l'espressione è definita. Questa verifica è particolarmente importante in presenza di denominatori, radicali, logaritmi e potenze con esponente reale.

Per esempio, nello studio di

\[ f(x)^{g(x)} \]

mediante la relazione

\[ f(x)^{g(x)}=e^{g(x)\ln f(x)}, \]

è necessario che \(f(x)>0\) nei punti sufficientemente vicini alla situazione limite considerata.

Dimenticare il valore assoluto nell'estrazione di un quadrato

L'identità corretta è

\[ \sqrt{x^2}=|x|, \]

non \(\sqrt{x^2}=x\) per ogni \(x\in\mathbb{R}\).

Di conseguenza, per \(x\to-\infty\),

\[ \sqrt{x^2}=|x|=-x. \]

Ignorare questo fatto può modificare il segno dell'espressione e condurre a un risultato errato.

Confondere un limite infinito con un limite inesistente

Dire che

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty \]

esprime un comportamento preciso: i valori della funzione diventano maggiori di qualunque numero reale prefissato quando \(x\) è sufficientemente vicino a \(x_0\).

Questo caso è diverso da quello in cui il limite non esiste per oscillazione oppure perché i due limiti unilateri sono diversi.

Per esempio,

\[ \lim_{x\to 0}\frac{1}{x^2}=+\infty, \]

mentre

\[ \lim_{x\to 0}\frac{1}{x} \]

non esiste come limite bilatero, poiché

\[ \lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x}=+\infty \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to 0^-}\frac{1}{x}=-\infty. \]

Trascurare il segno dei termini divergenti

Conoscere soltanto la divergenza in valore assoluto non è sempre sufficiente per determinare il segno del risultato. Nei quozienti, nei prodotti e nelle differenze è necessario studiare anche il segno assunto definitivamente dai singoli termini.

Per esempio, dalla sola informazione

\[ |f(x)|\to+\infty \]

non segue che \(f(x)\to+\infty\): la funzione potrebbe tendere a \(-\infty\) oppure oscillare assumendo valori arbitrariamente grandi in valore assoluto.

Fermarsi quando una trasformazione produce un'altra forma indeterminata

Una forma indeterminata può trasformarsi in un'altra forma indeterminata. Questo non significa che la trasformazione sia inutile o errata: può essere un passaggio intermedio necessario.

Per esempio, una forma \(0\cdot\infty\) può essere riscritta come \(\displaystyle\frac{0}{0}\), mentre una forma esponenziale può essere ricondotta a \(0\cdot\infty\) mediante il logaritmo.

Il procedimento deve proseguire finché l'espressione ottenuta consente di applicare correttamente le proprietà dei limiti oppure uno degli strumenti disponibili.

Evitare questi errori richiede di considerare ogni forma indeterminata come un problema di confronto tra comportamenti, non come un calcolo simbolico tra \(0\) e \(\infty\). Ogni passaggio deve essere giustificato dal dominio, dalle proprietà delle funzioni coinvolte e dalle ipotesi del metodo utilizzato.

Schema riepilogativo

Le sette forme indeterminate possono essere classificate in forme di quoziente, di prodotto, di differenza ed esponenziali. La tabella seguente ne riassume il significato e le trasformazioni più frequentemente utilizzate.

Per le forme esponenziali, ponendo

\[ y(x)=f(x)^{g(x)} \]

e supponendo \(f(x)>0\) definitivamente, si ha

\[ y(x)=e^{g(x)\ln f(x)}. \]

Se, nella situazione limite considerata,

\[ g(x)\ln f(x)\to L, \]

dove \(L\) può essere reale oppure infinito, allora

\[ f(x)^{g(x)}\to e^L, \]

interpretando

\[ e^{+\infty}=+\infty \qquad\text{ed}\qquad e^{-\infty}=0 \]

come scritture simboliche che esprimono il corrispondente comportamento limite.

Il procedimento generale per studiare un limite può essere riassunto nei seguenti passaggi:

1. determinare il dominio dell'espressione e precisare la situazione limite considerata;
2. calcolare separatamente i limiti dei termini che compongono l'espressione;
3. verificare se le proprietà dell'algebra dei limiti permettono di concludere direttamente oppure se compare una forma indeterminata;
4. trasformare l'espressione mediante un procedimento valido nel suo dominio;
5. applicare il metodo più adatto, verificandone tutte le ipotesi;
6. controllare il risultato, prestando attenzione ai segni, ai limiti unilateri e all'eventuale presenza di oscillazioni.

Una forma indeterminata non costituisce dunque un ostacolo puramente formale, ma segnala che il comportamento dei singoli termini non è sufficiente per determinare quello dell'espressione complessiva. Il calcolo del limite richiede di mettere in evidenza il loro comportamento relativo mediante trasformazioni e strumenti matematicamente giustificati.