Gli estremi superiore ed inferiore generalizzano le nozioni di massimo e minimo e costituiscono uno degli strumenti fondamentali per lo studio degli insiemi numerici.
Nei seguenti esercizi impareremo a determinare maggioranti, minoranti, estremo superiore, estremo inferiore, massimo e minimo attraverso esempi svolti e commentati passo dopo passo.
Esercizio 1 — livello ★☆☆☆☆
Determinare l'insieme dei maggioranti, l'insieme dei minoranti, l'estremo superiore e l'estremo inferiore di:
\[ A=(2,7). \]
Risultato
\[ \sup A=7,\qquad \inf A=2. \]
Insieme dei maggioranti:
\[ [7,+\infty). \]
Insieme dei minoranti:
\[ (-\infty,2]. \]
Svolgimento
Gli elementi dell'insieme \(A=(2,7)\) sono tutti e soli i numeri reali strettamente compresi tra \(2\) e \(7\).
Per definizione, un maggiorante di \(A\) è un numero reale maggiore o uguale a tutti gli elementi dell'insieme.
Poiché ogni elemento di \(A\) è strettamente minore di \(7\), il numero \(7\) è un maggiorante.
Anche ogni numero maggiore di \(7\) è ancora un maggiorante. Pertanto l'insieme di tutti i maggioranti è:
\[ [7,+\infty). \]
L'estremo superiore è il più piccolo dei maggioranti. Poiché \(7\) è il primo elemento dell'insieme dei maggioranti, segue che:
\[ \sup A=7. \]
Consideriamo ora i minoranti.
Un minorante è un numero reale minore o uguale a tutti gli elementi dell'insieme.
Poiché ogni elemento di \(A\) è strettamente maggiore di \(2\), il numero \(2\) è un minorante.
Anche ogni numero minore di \(2\) è ancora un minorante. Di conseguenza l'insieme di tutti i minoranti è:
\[ (-\infty,2]. \]
L'estremo inferiore è il più grande dei minoranti. Pertanto:
\[ \inf A=2. \]
Osserviamo infine che \(2\notin A\) e \(7\notin A\). Per questo motivo l'insieme non possiede né minimo né massimo, pur avendo estremo inferiore ed estremo superiore.
Esercizio 2 — livello ★☆☆☆☆
Determinare l'insieme dei maggioranti, l'insieme dei minoranti, l'estremo superiore, l'estremo inferiore, il massimo e il minimo di:
\[ A=[-3,4]. \]
Risultato
\[ \sup A=\max A=4. \]
\[ \inf A=\min A=-3. \]
Insieme dei maggioranti:
\[ [4,+\infty). \]
Insieme dei minoranti:
\[ (-\infty,-3]. \]
Svolgimento
Gli elementi dell'insieme \(A=[-3,4]\) sono tutti i numeri reali compresi tra \(-3\) e \(4\), estremi inclusi.
Pertanto:
\[ -3\leq x\leq 4 \qquad \forall x\in A. \]
Poiché ogni elemento dell'insieme è minore o uguale a \(4\), il numero \(4\) è un maggiorante di \(A\).
Anche tutti i numeri maggiori di \(4\) sono maggioranti. Ne segue che l'insieme dei maggioranti è:
\[ [4,+\infty). \]
Il più piccolo dei maggioranti è \(4\). Pertanto:
\[ \sup A=4. \]
Analogamente, poiché ogni elemento di \(A\) è maggiore o uguale a \(-3\), il numero \(-3\) è un minorante.
Anche tutti i numeri minori di \(-3\) sono minoranti. L'insieme dei minoranti è quindi:
\[ (-\infty,-3]. \]
Il più grande dei minoranti è \(-3\), dunque:
\[ \inf A=-3. \]
Osserviamo ora che sia \(4\) sia \(-3\) appartengono all'insieme.
Di conseguenza:
\[ \max A=4, \qquad \min A=-3. \]
Questo esempio mostra che quando l'estremo superiore appartiene all'insieme coincide con il massimo, e quando l'estremo inferiore appartiene all'insieme coincide con il minimo.
Esercizio 3 — livello ★☆☆☆☆
Determinare l'insieme dei maggioranti, l'insieme dei minoranti, l'estremo superiore, l'estremo inferiore, il massimo e il minimo di:
\[ A=[0,5). \]
Risultato
\[ \sup A=5, \qquad \inf A=\min A=0. \]
Il massimo non esiste.
Insieme dei maggioranti:
\[ [5,+\infty). \]
Insieme dei minoranti:
\[ (-\infty,0]. \]
Svolgimento
Gli elementi di \(A=[0,5)\) soddisfano:
\[ 0\leq x<5. \]
Di conseguenza \(5\) è un maggiorante dell'insieme.
Inoltre ogni numero maggiore di \(5\) è ancora un maggiorante. L'insieme dei maggioranti è quindi:
\[ [5,+\infty). \]
Nessun numero minore di \(5\) può essere un maggiorante, poiché esistono elementi dell'insieme arbitrariamente vicini a \(5\).
Pertanto:
\[ \sup A=5. \]
Per quanto riguarda i minoranti, ogni elemento dell'insieme è maggiore o uguale a \(0\).
Quindi:
\[ (-\infty,0] \]
è l'insieme di tutti i minoranti.
Il più grande di essi è \(0\), perciò:
\[ \inf A=0. \]
Siccome \(0\in A\), segue immediatamente:
\[ \min A=0. \]
Invece \(5\notin A\). Per questo motivo l'insieme non possiede massimo.
Esercizio 4 — livello ★★☆☆☆
Determinare estremo superiore, estremo inferiore, massimo e minimo dell'insieme:
\[ A=\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}. \]
Risultato
\[ \sup A=\max A=1. \]
\[ \inf A=0. \]
Il minimo non esiste.
Svolgimento
Gli elementi dell'insieme sono:
\[ 1,\ \frac12,\ \frac13,\ \frac14,\ldots \]
Si tratta di una successione strettamente decrescente di numeri positivi.
Il valore più grande è il primo:
\[ 1=\frac11. \]
Pertanto:
\[ \sup A=\max A=1. \]
Tutti gli elementi dell'insieme sono positivi, quindi \(0\) è un minorante.
Mostriamo che è il più grande dei minoranti.
Sia \(\varepsilon>0\). Per il principio di Archimede esiste \(n\in\mathbb N\) tale che:
\[ n>\frac1\varepsilon. \]
Da ciò segue:
\[ \frac1n<\varepsilon. \]
Abbiamo quindi trovato un elemento di \(A\) minore di \(0+\varepsilon\).
Per la caratterizzazione dell'estremo inferiore:
\[ \inf A=0. \]
Tuttavia \(0\notin A\), quindi il minimo non esiste.
Questo è uno degli esempi classici in cui l'estremo inferiore esiste ma non appartiene all'insieme.
Esercizio 5 — livello ★★☆☆☆
Determinare estremo superiore, estremo inferiore, massimo e minimo dell'insieme:
\[ A=\left\{\frac{n}{n+1}:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}. \]
Risultato
\[ \inf A=\min A=\frac12. \]
\[ \sup A=1. \]
Il massimo non esiste.
Svolgimento
Osserviamo innanzitutto che:
\[ \frac{n}{n+1} = 1-\frac1{n+1}. \]
Gli elementi dell'insieme sono quindi:
\[ \frac12,\ \frac23,\ \frac34,\ \frac45,\ldots \]
La successione è crescente, poiché il termine \(\frac1{n+1}\) diminuisce all'aumentare di \(n\).
Il primo elemento è:
\[ \frac12. \]
Essendo la successione crescente, nessun elemento può essere più piccolo di \(\frac12\).
Inoltre \(\frac12\in A\), quindi:
\[ \inf A=\min A=\frac12. \]
Per ogni \(n\) vale:
\[ \frac{n}{n+1}<1. \]
Dunque \(1\) è un maggiorante dell'insieme.
Mostriamo che è il più piccolo dei maggioranti.
Sia \(\varepsilon>0\).
Per il principio di Archimede esiste \(n\) tale che:
\[ \frac1{n+1}<\varepsilon. \]
Allora:
\[ \frac{n}{n+1} = 1-\frac1{n+1} > 1-\varepsilon. \]
Per la caratterizzazione dell'estremo superiore segue che:
\[ \sup A=1. \]
Tuttavia \(1\notin A\), quindi il massimo non esiste.
Esercizio 6 — livello ★★☆☆☆
Determinare estremo superiore, estremo inferiore, massimo e minimo dell'insieme:
\[ A=\left\{(-1)^n+\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}. \]
Risultato
\[ \sup A=\max A=\frac32. \]
\[ \inf A=-1. \]
Il minimo non esiste.
Svolgimento
Conviene distinguere i casi in cui \(n\) è pari e quelli in cui \(n\) è dispari.
Se \(n\) è pari, allora:
\[ (-1)^n+\frac1n = 1+\frac1n. \]
Otteniamo quindi i valori:
\[ \frac32,\ \frac54,\ \frac76,\ldots \]
Questi numeri sono tutti maggiori di \(1\) e decrescono verso \(1\).
Il più grande si ottiene per \(n=2\):
\[ 1+\frac12=\frac32. \]
Pertanto:
\[ \sup A=\max A=\frac32. \]
Se invece \(n\) è dispari:
\[ (-1)^n+\frac1n = -1+\frac1n. \]
Otteniamo:
\[ 0,\ -\frac23,\ -\frac45,\ldots \]
Il primo valore è \(0\), ottenuto per \(n=1\). Per gli indici dispari successivi si ottengono invece valori negativi che si avvicinano progressivamente a \(-1\) senza mai raggiungerlo.
Il numero \(-1\) è quindi un minorante dell'insieme.
Inoltre, per ogni \(\varepsilon>0\), scegliendo \(n\) dispari sufficientemente grande si ottiene:
\[ -1+\frac1n<-1+\varepsilon. \]
Per la caratterizzazione dell'estremo inferiore:
\[ \inf A=-1. \]
Poiché nessun elemento dell'insieme è uguale a \(-1\), il minimo non esiste.
Esercizio 7 — livello ★★☆☆☆
Determinare estremo superiore, estremo inferiore, massimo e minimo dell'insieme:
\[ A=\left\{x\in\mathbb R:x^2<9\right\}. \]
Risultato
\[ \sup A=3, \qquad \inf A=-3. \]
L'insieme non possiede né massimo né minimo.
Svolgimento
La condizione:
\[ x^2<9 \]
equivale a:
\[ -3<x<3 \]
Pertanto:
\[ A=(-3,3). \]
Tutti gli elementi dell'insieme sono minori di \(3\), quindi \(3\) è un maggiorante.
Inoltre esistono elementi dell'insieme arbitrariamente vicini a \(3\), per esempio:
\[ 3-\frac1n. \]
Nessun numero minore di \(3\) può quindi essere un maggiorante.
Dunque:
\[ \sup A=3. \]
Con un ragionamento del tutto analogo si ottiene:
\[ \inf A=-3. \]
Poiché né \(3\) né \(-3\) appartengono all'insieme, non esistono massimo e minimo.
Esercizio 8 — livello ★★☆☆☆
Determinare estremo superiore, estremo inferiore, massimo e minimo dell'insieme:
\[ A=\left\{x\in\mathbb R:x^2\leq9\right\}. \]
Risultato
\[ \sup A=\max A=3. \]
\[ \inf A=\min A=-3. \]
Svolgimento
La disequazione:
\[ x^2\leq9 \]
equivale a:
\[ -3\leq x\leq3. \]
Pertanto:
\[ A=[-3,3]. \]
Il numero \(3\) è un maggiorante dell'insieme.
Inoltre appartiene all'insieme stesso.
Ne segue che:
\[ \sup A=\max A=3. \]
Analogamente il numero \(-3\) è un minorante e appartiene all'insieme.
Pertanto:
\[ \inf A=\min A=-3. \]
Questo esercizio mette in evidenza la differenza tra intervalli aperti e intervalli chiusi: aggiungendo gli estremi all'insieme compaiono automaticamente massimo e minimo.
Esercizio 9 — livello ★★☆☆☆
Determinare estremo superiore, estremo inferiore, massimo e minimo dell'insieme:
\[ A=\left\{x\in\mathbb R:1<x\leq 6\right\}. \]
Risultato
\[ \sup A=\max A=6. \]
\[ \inf A=1. \]
Il minimo non esiste.
Svolgimento
L'insieme è formato da tutti i numeri reali maggiori di \(1\) e minori o uguali a \(6\).
Possiamo quindi scrivere:
\[ A=(1,6]. \]
Ogni elemento di \(A\) è minore o uguale a \(6\), quindi \(6\) è un maggiorante dell'insieme.
Poiché \(6\in A\), il numero \(6\) è anche il massimo dell'insieme.
Pertanto:
\[ \sup A=\max A=6. \]
Consideriamo ora l'estremo inferiore.
Ogni elemento di \(A\) è maggiore di \(1\), quindi \(1\) è un minorante.
Inoltre nessun numero maggiore di \(1\) può essere un minorante, perché gli elementi dell'insieme possono essere scelti arbitrariamente vicini a \(1\) da destra.
Dunque:
\[ \inf A=1. \]
Tuttavia \(1\notin A\), perché la disuguaglianza è stretta.
Quindi il minimo non esiste.
Esercizio 10 — livello ★★☆☆☆
Determinare estremo superiore, estremo inferiore, massimo e minimo dell'insieme:
\[ A=\left\{x\in\mathbb R:x>-2\right\}. \]
Risultato
\[ \inf A=-2. \]
\[ \sup A=+\infty. \]
L'insieme non possiede né massimo né minimo.
Svolgimento
L'insieme contiene tutti i numeri reali maggiori di \(-2\). Quindi:
\[ A=(-2,+\infty). \]
L'insieme non è limitato superiormente. Infatti, qualunque numero reale \(M\) si scelga, possiamo prendere un numero \(x\) maggiore sia di \(M\) sia di \(-2\). In tal modo \(x\in A\) e \(x>M\).
Dunque non esiste alcun maggiorante reale di \(A\).
Con la convenzione usuale:
\[ \sup A=+\infty. \]
Studiamo ora i minoranti.
Ogni elemento dell'insieme è maggiore di \(-2\), quindi \(-2\) è un minorante.
Inoltre nessun numero maggiore di \(-2\) può essere un minorante, perché gli elementi dell'insieme possono avvicinarsi quanto si vuole a \(-2\) da destra.
Pertanto:
\[ \inf A=-2. \]
Poiché \(-2\notin A\), il minimo non esiste.
Inoltre, essendo l'insieme illimitato superiormente, non esiste neppure il massimo.
Esercizio 11 — livello ★★★☆☆
Determinare estremo superiore, estremo inferiore, massimo e minimo dell'insieme:
\[ A=\left\{2-\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}. \]
Risultato
\[ \inf A=\min A=1. \]
\[ \sup A=2. \]
Il massimo non esiste.
Svolgimento
Scriviamo alcuni elementi dell'insieme:
\[ 1,\ \frac32,\ \frac53,\ \frac74,\ldots \]
Infatti, per \(n=1\) si ottiene:
\[ 2-\frac11=1. \]
Al crescere di \(n\), il termine \(\frac1n\) diminuisce, quindi \(2-\frac1n\) aumenta.
Il valore più piccolo è dunque il primo valore, cioè \(1\).
Poiché \(1\in A\), segue:
\[ \inf A=\min A=1. \]
Inoltre, per ogni \(n\geq1\), si ha:
\[ 2-\frac1n<2. \]
Dunque \(2\) è un maggiorante di \(A\).
Mostriamo che è il più piccolo dei maggioranti.
Sia \(\varepsilon>0\). Per il principio di Archimede esiste \(n\in\mathbb N\) tale che:
\[ \frac1n<\varepsilon. \]
Allora:
\[ 2-\frac1n>2-\varepsilon. \]
Quindi esiste un elemento di \(A\) maggiore di \(2-\varepsilon\).
Per la caratterizzazione dell'estremo superiore:
\[ \sup A=2. \]
Poiché \(2\notin A\), il massimo non esiste.
Esercizio 12 — livello ★★★☆☆
Determinare estremo superiore, estremo inferiore, massimo e minimo dell'insieme:
\[ A=\left\{\frac{2n+1}{n+1}:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}. \]
Risultato
\[ \inf A=\min A=\frac32. \]
\[ \sup A=2. \]
Il massimo non esiste.
Svolgimento
Riscriviamo il termine generale in una forma più utile:
\[ \frac{2n+1}{n+1} = \frac{2n+2-1}{n+1} = 2-\frac1{n+1}. \]
Quindi:
\[ A=\left\{2-\frac1{n+1}:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}. \]
Calcoliamo il primo elemento:
\[ 2-\frac12=\frac32. \]
Al crescere di \(n\), il termine \(\frac1{n+1}\) diminuisce, quindi \(2-\frac1{n+1}\) aumenta.
Pertanto il valore più piccolo dell'insieme è:
\[ \frac32. \]
Poiché questo valore appartiene all'insieme, abbiamo:
\[ \inf A=\min A=\frac32. \]
Inoltre, per ogni \(n\geq1\), vale:
\[ 2-\frac1{n+1}<2. \]
Dunque \(2\) è un maggiorante.
Per dimostrare che \(2\) è l'estremo superiore, usiamo la caratterizzazione con \(\varepsilon\).
Sia \(\varepsilon>0\). Scegliamo \(n\) sufficientemente grande in modo che:
\[ \frac1{n+1}<\varepsilon. \]
Allora:
\[ 2-\frac1{n+1}>2-\varepsilon. \]
Quindi esiste un elemento di \(A\) maggiore di \(2-\varepsilon\).
Ne segue:
\[ \sup A=2. \]
Infine \(2\notin A\), perché \(\frac1{n+1}\) non è mai uguale a \(0\). Perciò il massimo non esiste.
Esercizio 13 — livello ★★★☆☆
Determinare estremo superiore, estremo inferiore, massimo e minimo dell'insieme:
\[ A=\left\{\frac{n}{n+2}:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}. \]
Risultato
\[ \inf A=\min A=\frac13. \]
\[ \sup A=1. \]
Il massimo non esiste.
Svolgimento
Riscriviamo il termine generale in una forma più leggibile:
\[ \frac{n}{n+2} = \frac{n+2-2}{n+2} = 1-\frac{2}{n+2}. \]
Gli elementi dell'insieme sono:
\[ \frac13,\ \frac24,\ \frac35,\ \frac46,\ldots \]
Al crescere di \(n\), il termine \(\frac{2}{n+2}\) diminuisce; quindi \(1-\frac{2}{n+2}\) aumenta.
Il valore più piccolo si ottiene per \(n=1\):
\[ \frac{1}{1+2}=\frac13. \]
Poiché \(\frac13\in A\), segue:
\[ \inf A=\min A=\frac13. \]
Inoltre, per ogni \(n\geq1\), vale:
\[ \frac{n}{n+2}<1. \]
Quindi \(1\) è un maggiorante di \(A\).
Mostriamo che \(1\) è il più piccolo dei maggioranti.
Sia \(\varepsilon>0\). Vogliamo trovare un elemento di \(A\) maggiore di \(1-\varepsilon\).
Poiché:
\[ \frac{n}{n+2}=1-\frac{2}{n+2}, \]
basta scegliere \(n\) tale che:
\[ \frac{2}{n+2}<\varepsilon. \]
Questo è possibile per il principio di Archimede.
Con tale scelta si ottiene:
\[ \frac{n}{n+2} = 1-\frac{2}{n+2} > 1-\varepsilon. \]
Per la caratterizzazione dell'estremo superiore:
\[ \sup A=1. \]
Infine \(1\notin A\), perché l'uguaglianza \(\frac{n}{n+2}=1\) implicherebbe \(n=n+2\), impossibile. Dunque il massimo non esiste.
Esercizio 14 — livello ★★★☆☆
Determinare estremo superiore, estremo inferiore, massimo e minimo dell'insieme:
\[ A=\left\{3+\frac{1}{n}:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}. \]
Risultato
\[ \sup A=\max A=4. \]
\[ \inf A=3. \]
Il minimo non esiste.
Svolgimento
Gli elementi dell'insieme sono:
\[ 4,\ \frac72,\ \frac{10}{3},\ \frac{13}{4},\ldots \]
Infatti, per \(n=1\), si ottiene:
\[ 3+\frac11=4. \]
Al crescere di \(n\), il termine \(\frac1n\) diminuisce. Quindi anche \(3+\frac1n\) diminuisce.
Il primo elemento è dunque il più grande dell'insieme.
Pertanto:
\[ \sup A=\max A=4. \]
Inoltre, per ogni \(n\geq1\), vale:
\[ 3+\frac1n>3. \]
Quindi \(3\) è un minorante di \(A\).
Mostriamo che è il più grande dei minoranti.
Sia \(\varepsilon>0\). Per il principio di Archimede esiste \(n\in\mathbb N\) tale che:
\[ \frac1n<\varepsilon. \]
Allora:
\[ 3+\frac1n<3+\varepsilon. \]
Abbiamo quindi trovato un elemento di \(A\) minore di \(3+\varepsilon\).
Per la caratterizzazione dell'estremo inferiore:
\[ \inf A=3. \]
Poiché \(3\notin A\), il minimo non esiste.
Esercizio 15 — livello ★★★☆☆
Determinare estremo superiore, estremo inferiore, massimo e minimo dell'insieme:
\[ A=\left\{2+\frac{(-1)^n}{n}:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}. \]
Risultato
\[ \inf A=\min A=1. \]
\[ \sup A=\max A=\frac52. \]
Svolgimento
Separiamo i casi in cui \(n\) è pari e quelli in cui \(n\) è dispari.
Se \(n\) è pari, allora \((-1)^n=1\), quindi gli elementi corrispondenti sono:
\[ 2+\frac1n. \]
Per \(n=2\) si ottiene:
\[ 2+\frac12=\frac52. \]
Per gli altri valori pari di \(n\), il termine \(\frac1n\) è più piccolo. Quindi il valore massimo tra i termini con indice pari è \(\frac52\).
Se \(n\) è dispari, allora \((-1)^n=-1\), quindi gli elementi corrispondenti sono:
\[ 2-\frac1n. \]
Per \(n=1\) si ottiene:
\[ 2-1=1. \]
Per gli altri valori dispari di \(n\), il termine \(\frac1n\) è più piccolo, e quindi \(2-\frac1n\) è maggiore di \(1\).
Ne segue che il valore più piccolo dell'intero insieme è:
\[ 1. \]
Poiché \(1\in A\), abbiamo:
\[ \inf A=\min A=1. \]
Il valore più grande dell'insieme è invece:
\[ \frac52. \]
Anche questo valore appartiene ad \(A\), perché si ottiene per \(n=2\).
Pertanto:
\[ \sup A=\max A=\frac52. \]
Esercizio 16 — livello ★★★☆☆
Determinare estremo superiore, estremo inferiore, massimo e minimo dell'insieme:
\[ A=\left\{x\in\mathbb R:0<x<1\right\}\cup\{2\}. \]
Risultato
\[ \inf A=0. \]
\[ \sup A=\max A=2. \]
Il minimo non esiste.
Svolgimento
L'insieme è formato da due parti:
\[ (0,1) \]
e dal singolo elemento:
\[ 2. \]
Tutti gli elementi dell'intervallo \((0,1)\) sono minori di \(1\), mentre \(2\) appartiene all'insieme.
Il valore più grande dell'insieme è quindi \(2\).
Di conseguenza:
\[ \sup A=\max A=2. \]
Studiamo ora il comportamento inferiore.
Tutti gli elementi dell'insieme sono positivi, quindi \(0\) è un minorante.
Inoltre gli elementi dell'intervallo \((0,1)\) possono essere scelti arbitrariamente vicini a \(0\) da destra.
Quindi nessun numero maggiore di \(0\) può essere un minorante.
Pertanto:
\[ \inf A=0. \]
Poiché \(0\notin A\), il minimo non esiste.
L'elemento isolato \(2\) modifica l'estremo superiore, ma non modifica l'estremo inferiore dell'insieme.
Esercizio 17 — livello ★★★★☆
Determinare estremo superiore, estremo inferiore, massimo e minimo dell'insieme:
\[ A=\left\{x\in\mathbb R:x^2>4,\ -5<x<3\right\}. \]
Risultato
\[ \inf A=-5, \qquad \sup A=3. \]
L'insieme non possiede né massimo né minimo.
Svolgimento
Studiamo separatamente le due condizioni che definiscono l'insieme.
La disequazione:
\[ x^2>4 \]
equivale a:
\[ x<-2 \qquad\text{oppure}\qquad x>2. \]
Inoltre deve valere:
\[ -5<x<3. \]
Intersecando le condizioni otteniamo:
\[ A=(-5,-2)\cup(2,3). \]
L'insieme è quindi formato da due intervalli aperti.
Il valore più piccolo verso cui gli elementi possono avvicinarsi è \(-5\), ma \(-5\notin A\). Perciò:
\[ \inf A=-5. \]
Il valore più grande verso cui gli elementi possono avvicinarsi è \(3\), ma \(3\notin A\). Quindi:
\[ \sup A=3. \]
Poiché l'estremo inferiore non appartiene all'insieme, il minimo non esiste.
Poiché l'estremo superiore non appartiene all'insieme, il massimo non esiste.
Osserviamo che il “buco” tra \(-2\) e \(2\) non modifica né l'estremo inferiore né l'estremo superiore: questi dipendono soltanto dal comportamento più basso e più alto dell'insieme.
Esercizio 18 — livello ★★★★☆
Determinare estremo superiore, estremo inferiore, massimo e minimo dell'insieme:
\[ A=\left\{\frac{(-1)^n n}{n+1}:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}. \]
Risultato
\[ \sup A=1. \]
\[ \inf A=-1. \]
L'insieme non possiede né massimo né minimo.
Svolgimento
Per determinare estremo superiore ed estremo inferiore conviene distinguere i termini con indice pari da quelli con indice dispari.
Se \(n\) è pari, allora:
\[ (-1)^n=1. \]
I corrispondenti elementi dell'insieme sono quindi:
\[ \frac{n}{n+1}. \]
Per \(n=2,4,6,\ldots\) otteniamo:
\[ \frac23,\ \frac45,\ \frac67,\ \frac89,\ldots \]
Possiamo riscrivere tali termini nella forma:
\[ \frac{n}{n+1} = 1-\frac1{n+1}. \]
Poiché \(\frac1{n+1}>0\), ogni termine è strettamente minore di \(1\).
Inoltre, al crescere di \(n\), il termine \(\frac1{n+1}\) diventa sempre più piccolo e tende a \(0\). Di conseguenza i valori
\[ \frac{n}{n+1} \]
si avvicinano arbitrariamente a \(1\) senza mai raggiungerlo.
Il numero \(1\) è quindi un maggiorante dell'insieme.
Inoltre, per ogni \(\varepsilon>0\), esiste un indice pari sufficientemente grande tale che:
\[ \frac{n}{n+1}>1-\varepsilon. \]
Per la caratterizzazione dell'estremo superiore segue che:
\[ \sup A=1. \]
Poiché nessun elemento dell'insieme è uguale a \(1\), il massimo non esiste.
Consideriamo ora gli indici dispari.
Se \(n\) è dispari, allora:
\[ (-1)^n=-1. \]
I corrispondenti elementi dell'insieme sono:
\[ -\frac{n}{n+1}. \]
Per \(n=1,3,5,\ldots\) otteniamo:
\[ -\frac12,\ -\frac34,\ -\frac56,\ -\frac78,\ldots \]
Riscriviamo questi termini come:
\[ -\frac{n}{n+1} = -1+\frac1{n+1}. \]
Poiché \(\frac1{n+1}>0\), tutti questi valori sono strettamente maggiori di \(-1\).
Inoltre, al crescere di \(n\), il termine \(\frac1{n+1}\) tende a \(0\), e quindi i valori
\[ -\frac{n}{n+1} \]
si avvicinano arbitrariamente a \(-1\) senza mai raggiungerlo.
Il numero \(-1\) è dunque un minorante dell'insieme.
Inoltre, per ogni \(\varepsilon>0\), esiste un indice dispari sufficientemente grande tale che:
\[ -\frac{n}{n+1}< -1+\varepsilon. \]
Per la caratterizzazione dell'estremo inferiore segue che:
\[ \inf A=-1. \]
Poiché nessun elemento dell'insieme è uguale a \(-1\), il minimo non esiste.
Concludiamo quindi che:
\[ \sup A=1, \qquad \inf A=-1. \]
mentre l'insieme non possiede né massimo né minimo.
Esercizio 19 — livello ★★★★☆
Verificare, usando la caratterizzazione dell'estremo superiore, che:
\[ \sup(2,7)=7. \]
Risultato
\[ \sup(2,7)=7. \]
Svolgimento
Per dimostrare che \(7\) è l'estremo superiore dell'insieme \(A=(2,7)\), dobbiamo verificare due condizioni.
La prima condizione richiede che \(7\) sia un maggiorante di \(A\).
Infatti, se \(x\in(2,7)\), allora:
\[ x<7. \]
A maggior ragione:
\[ x\leq 7. \]
Quindi \(7\) è un maggiorante.
La seconda condizione richiede che, per ogni \(\varepsilon>0\), esista un elemento \(x\in A\) tale che:
\[ 7-\varepsilon<x. \]
Sia dunque \(\varepsilon>0\).
Se \(0<\varepsilon<10\), consideriamo:
\[ x=7-\frac{\varepsilon}{2}. \]
Allora:
\[ 2<x<7 \]
per cui \(x\in(2,7)\).
Inoltre:
\[ x=7-\frac{\varepsilon}{2}>7-\varepsilon. \]
Abbiamo quindi trovato un elemento dell'insieme maggiore di \(7-\varepsilon\).
Se invece \(\varepsilon\geq10\), basta scegliere \(x=3\).
Infatti:
\[ 3\in(2,7) \]
e
\[ 3>7-\varepsilon. \]
In ogni caso, per ogni \(\varepsilon>0\), esiste \(x\in A\) tale che:
\[ 7-\varepsilon<x. \]
Per la caratterizzazione dell'estremo superiore concludiamo che:
\[ \sup(2,7)=7. \]
Esercizio 20 — livello ★★★★★
Verificare, usando la caratterizzazione dell'estremo inferiore, che:
\[ \inf\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}=0. \]
Risultato
\[ \inf\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}=0. \]
Svolgimento
Poniamo:
\[ A=\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}. \]
Per dimostrare che \(0\) è l'estremo inferiore di \(A\), dobbiamo verificare due condizioni.
La prima condizione richiede che \(0\) sia un minorante di \(A\).
Infatti, per ogni \(n\geq1\), si ha:
\[ \frac1n>0. \]
Dunque:
\[ 0\leq \frac1n \qquad \forall n\geq1. \]
Quindi \(0\) è un minorante dell'insieme.
La seconda condizione richiede che, per ogni \(\varepsilon>0\), esista un elemento di \(A\) minore di:
\[ 0+\varepsilon=\varepsilon. \]
Sia dunque \(\varepsilon>0\).
Per il principio di Archimede esiste \(n\in\mathbb N\) tale che:
\[ n>\frac1\varepsilon. \]
Da questa disuguaglianza segue:
\[ \frac1n<\varepsilon. \]
Ma \(\frac1n\in A\). Dunque, per ogni \(\varepsilon>0\), abbiamo trovato un elemento \(x\in A\) tale che:
\[ x<0+\varepsilon. \]
Per la caratterizzazione dell'estremo inferiore segue:
\[ \inf A=0. \]
Infine osserviamo che \(0\notin A\), quindi \(A\) non possiede minimo.