Molte equazioni goniometriche si possono ricondurre alle forme elementari \(\sin u=a\), \(\cos u=a\), \(\tan u=a\) e \(\cot u=a\). Per riuscirci possiamo isolare una funzione, introdurre una sostituzione, scomporre un’espressione oppure applicare le identità goniometriche.
La scelta del metodo dipende dalla struttura dell’equazione. In questa pagina studieremo i casi più frequenti, controllando le condizioni di esistenza e mantenendo l’equivalenza dei passaggi. Cercheremo le soluzioni reali; gli angoli sono espressi in radianti e \(k\) indica un numero intero.
Indice
- Il metodo generale e le condizioni di esistenza
- Isolare la funzione e risolvere rispetto all’argomento
- Equazioni di secondo grado in una funzione goniometrica
- Scomposizione e annullamento del prodotto
- Utilizzare le identità goniometriche
- Uguaglianze tra funzioni dello stesso tipo
- Selezionare le soluzioni ed evitare gli errori comuni
- Riepilogo
Il metodo generale e le condizioni di esistenza
Risolvere un’equazione significa determinarne tutte e sole le soluzioni nel dominio assegnato. Prima delle trasformazioni occorre quindi stabilire dove l’equazione iniziale è definita.
Seno e coseno sono definiti per ogni argomento reale. Per tangente e cotangente:
\[ \tan u \text{ è definita se } \cos u\ne0, \] \[ \cot u \text{ è definita se } \sin u\ne0. \]
Se compaiono denominatori, anche questi devono essere diversi da zero.
Un procedimento operativo
- Determiniamo le condizioni di esistenza.
- Individuiamo la struttura dell’equazione e scegliamo una trasformazione adatta.
- Risolviamo le equazioni elementari ottenute.
- Torniamo alla variabile iniziale, se abbiamo introdotto una sostituzione.
- Escludiamo i valori non ammessi e selezioniamo le soluzioni nell’eventuale intervallo assegnato.
Sommare la stessa espressione ai due membri o moltiplicare per un numero diverso da zero conserva l’equivalenza. Dividere per un’espressione che dipende dall’incognita richiede invece di distinguere il caso in cui essa sia zero.
Se moltiplichiamo per un denominatore, l’equazione trasformata è equivalente a quella iniziale soltanto mantenendo le condizioni che rendono quel denominatore diverso da zero.
Isolare la funzione e risolvere rispetto all’argomento
Quando compare una sola funzione goniometrica, il primo passo consiste spesso nell’isolarla. L’argomento può essere \(x\), ma anche un’espressione come \(2x\), \(3x-\pi\) o \(\displaystyle\frac{x}{2}\).
Esempio 1. Un’equazione con il seno
Risolviamo:
\[ 2\sin\left(2x-\frac{\pi}{6}\right)-1=0. \]
L’equazione è definita per ogni \(x\in\mathbb R\). Isoliamo il seno:
\[ \sin\left(2x-\frac{\pi}{6}\right)=\frac12. \]
Il seno vale \(\displaystyle\frac12\) per gli argomenti:
\[ 2x-\frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}+2k\pi \]
oppure:
\[ 2x-\frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}+2k\pi. \]
Risolviamo separatamente le due equazioni:
\[ 2x=\frac{\pi}{3}+2k\pi \quad\Longleftrightarrow\quad x=\frac{\pi}{6}+k\pi; \] \[ 2x=\pi+2k\pi \quad\Longleftrightarrow\quad x=\frac{\pi}{2}+k\pi. \]
Le soluzioni sono quindi:
\[ x=\frac{\pi}{6}+k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{\pi}{2}+k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]
Il termine periodico deve essere diviso per il coefficiente di \(x\), come tutti gli altri termini dell’uguaglianza.
Esempio 2. Un’equazione con la tangente
Risolviamo:
\[ \tan\left(3x+\frac{\pi}{4}\right)=1. \]
La condizione di esistenza è:
\[ 3x+\frac{\pi}{4}\ne\frac{\pi}{2}+k\pi, \]
ossia:
\[ x\ne\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{3}. \]
La tangente vale \(1\) quando:
\[ 3x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+k\pi. \]
Pertanto:
\[ x=\frac{k\pi}{3}, \qquad k\in\mathbb Z. \]
Tutti questi valori sono ammessi: in corrispondenza di essi l’argomento della tangente è \(\displaystyle\frac{\pi}{4}+k\pi\), dove la funzione è definita.
Equazioni di secondo grado in una funzione goniometrica
Un’equazione come:
\[ a\sin^2x+b\sin x+c=0, \qquad a\ne0, \]
è un’equazione di secondo grado nel valore \(\sin x\). Possiamo porre \(t=\sin x\), risolvere l’equazione algebrica e poi tornare alla funzione goniometrica.
La sostituzione porta con sé una restrizione:
\[ t=\sin x \quad\Longrightarrow\quad -1\le t\le1. \]
Lo stesso vale per \(t=\cos x\). Se invece poniamo \(t=\tan x\) o \(t=\cot x\), il parametro può assumere ogni valore reale, ma devono essere rispettati i domini delle funzioni iniziali.
Esempio 3. Un’equazione quadratica nel seno
Risolviamo:
\[ 2\sin^2x-\sin x-1=0. \]
Poniamo \(t=\sin x\), con \(t\in[-1,1]\):
\[ 2t^2-t-1=0. \]
Scomponiamo:
\[ (2t+1)(t-1)=0. \]
Quindi:
\[ t=-\frac12 \quad\text{oppure}\quad t=1. \]
Entrambi i valori appartengono a \([-1,1]\). Torniamo al seno:
\[ \sin x=-\frac12 \quad\text{oppure}\quad \sin x=1. \]
Otteniamo:
\[ x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{7\pi}{6}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{\pi}{2}+2k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]
Esempio 4. Una radice algebrica non ammissibile
Risolviamo:
\[ 2\cos^2x-5\cos x+2=0. \]
Ponendo \(t=\cos x\), con \(t\in[-1,1]\):
\[ 2t^2-5t+2=0, \] \[ (2t-1)(t-2)=0. \]
Le radici algebriche sono \(\displaystyle t=\frac12\) e \(t=2\). Il secondo valore non può essere assunto dal coseno e va scartato.
Resta:
\[ \cos x=\frac12, \]
quindi:
\[ x=\pm\frac{\pi}{3}+2k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]
Il valore \(t=2\) risolve l’equazione algebrica, ma non corrisponde ad alcuna soluzione reale dell’equazione goniometrica.
Scomposizione e annullamento del prodotto
Se possiamo portare l’equazione nella forma:
\[ F(x)G(x)=0, \]
allora, nel dominio in cui entrambi i fattori sono definiti:
\[ F(x)=0 \quad\text{oppure}\quad G(x)=0. \]
Questo procedimento permette di separare i casi senza dividere per fattori che potrebbero essere nulli.
Esempio 5. Raccogliere un fattore comune
Risolviamo:
\[ 2\sin x\cos x=\sin x. \]
Portiamo tutto al primo membro:
\[ 2\sin x\cos x-\sin x=0. \]
Raccogliamo \(\sin x\):
\[ \sin x(2\cos x-1)=0. \]
Quindi:
\[ \sin x=0 \quad\text{oppure}\quad \cos x=\frac12. \]
Le soluzioni sono:
\[ x=k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\pm\frac{\pi}{3}+2k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]
Dividere direttamente l’equazione iniziale per \(\sin x\) avrebbe eliminato la famiglia \(x=k\pi\).
Esempio 6. Un prodotto con la tangente
Risolviamo:
\[ (\tan x-1)(2\cos x-1)=0. \]
Il dominio iniziale richiede:
\[ \cos x\ne0. \]
Nel dominio possiamo applicare l’annullamento del prodotto:
\[ \tan x=1 \quad\text{oppure}\quad \cos x=\frac12. \]
Otteniamo:
\[ x=\frac{\pi}{4}+k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\pm\frac{\pi}{3}+2k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]
Tutte le soluzioni trovate soddisfano \(\cos x\ne0\). Anche quando un fattore è zero, l’altro deve essere definito: un prodotto contenente un’espressione non definita non assume il valore zero.
Utilizzare le identità goniometriche
Le identità permettono di ricondurre un’equazione a una sola funzione o a un prodotto. La trasformazione va scelta in base alla struttura dell’espressione.
Esempio 7. Usare l’identità fondamentale
Risolviamo:
\[ \sin^2x+2\cos x=1. \]
Sostituiamo \(\sin^2x=1-\cos^2x\):
\[ 1-\cos^2x+2\cos x=1. \]
Semplificando e raccogliendo:
\[ -\cos^2x+2\cos x=0, \] \[ \cos x(2-\cos x)=0. \]
Quindi:
\[ \cos x=0 \quad\text{oppure}\quad \cos x=2. \]
Il secondo caso è impossibile. Le soluzioni sono:
\[ x=\frac{\pi}{2}+k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]
Esempio 8. Usare la duplicazione
Risolviamo:
\[ \cos(2x)=\sin x. \]
La forma \(\cos(2x)=1-2\sin^2x\) permette di ottenere un’equazione contenente soltanto \(\sin x\):
\[ 1-2\sin^2x=\sin x. \]
Riordinando:
\[ 2\sin^2x+\sin x-1=0, \] \[ (2\sin x-1)(\sin x+1)=0. \]
Quindi:
\[ \sin x=\frac12 \quad\text{oppure}\quad \sin x=-1. \]
Le soluzioni sono:
\[ x=\frac{\pi}{6}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]
Esempio 9. Usare la prostaferesi
Risolviamo:
\[ \sin(3x)+\sin x=0. \]
Trasformiamo la somma in prodotto:
\[ 2\sin(2x)\cos x=0. \]
Dunque:
\[ \sin(2x)=0 \quad\text{oppure}\quad \cos x=0. \]
Le due famiglie sono:
\[ x=\frac{k\pi}{2}, \qquad x=\frac{\pi}{2}+k\pi. \]
La seconda è contenuta nella prima. L’insieme completo delle soluzioni si scrive quindi:
\[ x=\frac{k\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb Z. \]
Uguaglianze tra funzioni dello stesso tipo
Quando ai due membri compare la stessa funzione goniometrica, possiamo confrontare direttamente gli argomenti. Le seguenti equivalenze riguardano valori reali di \(u\) e \(v\).
Uguaglianza tra due seni
\[ \sin u=\sin v \]
se e solo se:
\[ u=v+2k\pi \quad\text{oppure}\quad u=\pi-v+2k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]
Le due possibilità corrispondono ai punti della circonferenza con la stessa ordinata.
Uguaglianza tra due coseni
\[ \cos u=\cos v \]
se e solo se:
\[ u=v+2k\pi \quad\text{oppure}\quad u=-v+2k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]
In forma compatta:
\[ u=\pm v+2k\pi. \]
Uguaglianza tra due tangenti o due cotangenti
Quando entrambi i membri sono definiti:
\[ \tan u=\tan v \quad\Longleftrightarrow\quad u=v+k\pi, \qquad k\in\mathbb Z; \] \[ \cot u=\cot v \quad\Longleftrightarrow\quad u=v+k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]
Le condizioni di esistenza devono essere controllate prima e conservate durante la risoluzione.
Esempio 10. Due seni con argomenti diversi
Risolviamo:
\[ \sin(2x)=\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right). \]
L’equazione è definita per ogni numero reale. Le due possibilità sono:
\[ 2x=x+\frac{\pi}{6}+2k\pi \]
oppure:
\[ 2x=\pi-\left(x+\frac{\pi}{6}\right)+2k\pi. \]
Dalla prima:
\[ x=\frac{\pi}{6}+2k\pi. \]
Dalla seconda:
\[ 3x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi, \] \[ x=\frac{5\pi}{18}+\frac{2k\pi}{3}. \]
Le soluzioni sono l’unione delle due famiglie:
\[ x=\frac{\pi}{6}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{5\pi}{18}+\frac{2k\pi}{3}, \qquad k\in\mathbb Z. \]
Esempio 11. Un’uguaglianza tra tangenti con argomenti diversi
Risolviamo:
\[ \tan(2x)=\tan x. \]
Il dominio richiede:
\[ \cos(2x)\ne0, \qquad \cos x\ne0. \]
Nel dominio, l’uguaglianza equivale a:
\[ 2x=x+k\pi. \]
Quindi:
\[ x=k\pi. \]
Per questi valori entrambi i membri sono definiti e valgono zero. Le soluzioni sono dunque:
\[ x=k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]
Selezionare le soluzioni ed evitare gli errori comuni
Le soluzioni in un intervallo assegnato
Riprendiamo l’equazione dell’esempio 1:
\[ 2\sin\left(2x-\frac{\pi}{6}\right)-1=0. \]
Le soluzioni generali sono:
\[ x=\frac{\pi}{6}+k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{\pi}{2}+k\pi. \]
Se cerchiamo soltanto quelle in \([0,2\pi)\), nella prima famiglia sono ammessi \(k=0,1\), che danno:
\[ \frac{\pi}{6}, \qquad \frac{7\pi}{6}. \]
Nella seconda famiglia sono ancora ammessi \(k=0,1\), che danno:
\[ \frac{\pi}{2}, \qquad \frac{3\pi}{2}. \]
Pertanto:
\[ x\in \left\{ \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{7\pi}{6}, \frac{3\pi}{2} \right\}. \]
Immagine
Fermarsi alle radici della sostituzione
Se poniamo \(t=\sin x\), i valori trovati per \(t\) non sono ancora le soluzioni in \(x\). Per ogni valore ammesso bisogna risolvere l’equazione elementare corrispondente.
Accettare valori fuori dall’immagine della funzione
Le equazioni \(\sin x=2\) e \(\cos x=-3\) non hanno soluzioni reali. Le radici di un’equazione algebrica ottenuta per sostituzione devono rispettare l’immagine della funzione sostituita.
Dividere soltanto una parte dell’uguaglianza
Da:
\[ 3x=\theta+2k\pi \]
segue:
\[ x=\frac{\theta}{3}+\frac{2k\pi}{3}. \]
Anche il termine periodico deve essere diviso per \(3\).
Confrontare soltanto gli argomenti dei seni o dei coseni
Da \(\sin u=\sin v\) non segue soltanto \(u=v+2k\pi\): esiste anche la famiglia \(u=\pi-v+2k\pi\). Analogamente, per il coseno bisogna considerare entrambi i segni.
Perdere soluzioni dividendo per una funzione
Prima di dividere per una funzione goniometrica bisogna trattare il caso in cui essa sia zero. Raccogliere e applicare l’annullamento del prodotto evita spesso questa difficoltà.
Confondere unione e intersezione
Le alternative ottenute da un prodotto nullo si uniscono: basta che uno dei fattori sia zero. Le condizioni di esistenza, invece, devono essere soddisfatte tutte contemporaneamente.
Riepilogo
| Struttura dell’equazione | Metodo | Controllo essenziale |
|---|---|---|
| Una funzione con coefficienti esterni | Isolare la funzione goniometrica | Verificare che il valore richiesto sia ammissibile |
| Argomento composto | Risolvere prima rispetto all’argomento | Trasformare anche il termine periodico |
| Polinomio in una funzione goniometrica | Introdurre una sostituzione | Rispettare l’immagine della funzione e tornare a \(x\) |
| Prodotto o espressione scomponibile | Applicare l’annullamento del prodotto | Mantenere il dominio di tutti i fattori |
| Funzioni diverse o argomenti multipli | Utilizzare le identità goniometriche | Scegliere una trasformazione che semplifichi la struttura |
| Uguaglianza tra funzioni dello stesso tipo | Applicare le equivalenze sugli argomenti | Considerare tutte le famiglie e le condizioni di esistenza |
Una risoluzione completa richiede di distinguere le trasformazioni algebriche dalla determinazione degli angoli. Dopo aver ottenuto equazioni elementari, ricaviamo le soluzioni generali, manteniamo le esclusioni iniziali e selezioniamo gli eventuali valori appartenenti all’intervallo assegnato.