Equazioni Goniometriche Omogenee di Secondo Grado

La forma generale e il significato di omogeneità

Consideriamo:

\[ a\sin^2x+b\sin x\cos x+c\cos^2x=0, \qquad a,b,c\in\mathbb R. \]

L’equazione è definita per ogni \(x\in\mathbb R\). Se introduciamo formalmente le variabili \(S=\sin x\) e \(C=\cos x\), il primo membro diventa:

\[ aS^2+bSC+cC^2. \]

È un polinomio omogeneo di secondo grado in \(S\) e \(C\): in ciascun monomio la somma degli esponenti è \(2\).

Se \(a=b=c=0\), l’equazione è un’identità e ogni numero reale è soluzione. Nel seguito supponiamo che almeno uno dei tre coefficienti sia diverso da zero.

Seno e coseno non si annullano contemporaneamente

Dall’identità:

\[ \sin^2x+\cos^2x=1 \]

segue che non esistono angoli per i quali seno e coseno siano entrambi nulli. Questo permette di distinguere i casi esclusi dalla divisione senza ambiguità.

La ripetizione delle soluzioni

Sostituendo \(x+\pi\) a \(x\), seno e coseno cambiano entrambi segno. I loro quadrati e il prodotto \(\sin x\cos x\) restano invariati.

Di conseguenza, se \(x_0\) è una soluzione, anche tutti gli angoli:

\[ x=x_0+k\pi, \qquad k\in\mathbb Z, \]

sono soluzioni.

Il metodo della tangente

Per introdurre la tangente, dividiamo per \(\cos^2x\). La divisione è lecita soltanto quando \(\cos x\ne0\), quindi dobbiamo prima esaminare il caso escluso.

Il caso \(\cos x=0\)

Si ha:

\[ x=\frac{\pi}{2}+k\pi. \]

In questi angoli \(\sin^2x=1\), mentre gli altri due termini dell’equazione si annullano. L’equazione iniziale si riduce a:

\[ a=0. \]

Pertanto:

• se \(a=0\), tutti gli angoli \(\displaystyle x=\frac{\pi}{2}+k\pi\) sono soluzioni;
• se \(a\ne0\), nessuno di questi angoli è soluzione.

Il caso \(\cos x\ne0\)

Dividiamo ogni termine per \(\cos^2x\):

\[ a\frac{\sin^2x}{\cos^2x} + b\frac{\sin x\cos x}{\cos^2x} + c=0. \]

Otteniamo:

\[ a\tan^2x+b\tan x+c=0. \]

Ponendo \(t=\tan x\), risolviamo:

\[ at^2+bt+c=0. \]

Ogni radice reale \(t_0\) dà la famiglia:

\[ x=\arctan t_0+k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]

Tutti questi angoli hanno coseno diverso da zero, perché la loro tangente è definita.

Quando l’equazione in \(t\) è di secondo grado

Se \(a\ne0\), il discriminante è:

\[ \Delta=b^2-4ac. \]

• Se \(\Delta<0\), non esistono radici reali e l’equazione goniometrica non ha soluzioni.
• Se \(\Delta=0\), si ottiene una sola famiglia con passo \(\pi\).
• Se \(\Delta>0\), si ottengono due famiglie distinte con passo \(\pi\).

In questo caso non ci sono soluzioni da aggiungere con \(\cos x=0\), perché \(a\ne0\).

Se invece \(a=0\), l’equazione in \(t\) ha grado inferiore e va risolta come tale. Le eventuali soluzioni ottenute devono essere unite alla famiglia con coseno nullo, già verificata separatamente.

Il metodo della cotangente

Possiamo procedere in modo analogo dividendo per \(\sin^2x\), dopo aver controllato il caso \(\sin x=0\).

Il caso \(\sin x=0\)

Si ha:

\[ x=k\pi. \]

In questi angoli \(\cos^2x=1\), quindi l’equazione iniziale si riduce a:

\[ c=0. \]

Di conseguenza:

• se \(c=0\), tutti gli angoli \(x=k\pi\) sono soluzioni;
• se \(c\ne0\), nessuno di questi angoli è soluzione.

Il caso \(\sin x\ne0\)

Dividendo per \(\sin^2x\):

\[ a+b\cot x+c\cot^2x=0. \]

Poniamo \(u=\cot x\):

\[ cu^2+bu+a=0. \]

Ogni radice reale \(u_0\) dà:

\[ x=\operatorname{arccot}u_0+k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]

Adottiamo la convenzione secondo cui \(\operatorname{arccot}u_0\) è l’unico angolo di \((0,\pi)\) con cotangente \(u_0\).

Se non vogliamo utilizzare l’arcocotangente, possiamo distinguere:

• per \(u_0\ne0\), l’equazione \(\cot x=u_0\) equivale a \(\displaystyle\tan x=\frac1{u_0}\);
• per \(u_0=0\), le soluzioni sono \(\displaystyle x=\frac{\pi}{2}+k\pi\).

Se \(c\ne0\), l’equazione in \(u\) è di secondo grado e ha ancora discriminante \(b^2-4ac\). Se \(c=0\), il grado si abbassa e bisogna aggiungere anche la famiglia \(x=k\pi\), verificata separatamente.

Come scegliere il divisore

Entrambi i metodi sono validi, purché si controllino i casi esclusi. Alcune scelte rendono però il procedimento più breve.

• Se \(a\ne0\), dividere per \(\cos^2x\) è comodo: il controllo iniziale esclude subito il caso \(\cos x=0\).
• Se \(c\ne0\), dividere per \(\sin^2x\) è altrettanto comodo: il caso \(\sin x=0\) non fornisce soluzioni.
• Se manca uno dei termini quadratici, conviene controllare se il primo membro si può scomporre direttamente.

Per esempio, se \(a=0\):

\[ b\sin x\cos x+c\cos^2x = \cos x(b\sin x+c\cos x). \]

Se \(c=0\):

\[ a\sin^2x+b\sin x\cos x = \sin x(a\sin x+b\cos x). \]

La legge di annullamento del prodotto conserva direttamente le soluzioni che una divisione non controllata potrebbe eliminare.

Esempi svolti

Esempio 1. Un’equazione di secondo grado nella tangente

Risolviamo:

\[ \sin^2x-3\sin x\cos x+2\cos^2x=0. \]

Se \(\cos x=0\), il primo membro vale \(1\): non otteniamo soluzioni.

Per \(\cos x\ne0\), dividiamo per \(\cos^2x\):

\[ \tan^2x-3\tan x+2=0. \]

Scomponiamo:

\[ (\tan x-1)(\tan x-2)=0. \]

Quindi:

\[ \tan x=1 \quad\text{oppure}\quad \tan x=2. \]

Le soluzioni sono:

\[ x=\frac{\pi}{4}+k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\arctan2+k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \] 

Immagine

Esempio 2. Una famiglia da conservare prima della divisione

Risolviamo:

\[ 2\sin x\cos x-\cos^2x=0. \]

Se \(\cos x=0\), entrambi i termini sono nulli. Otteniamo quindi:

\[ x=\frac{\pi}{2}+k\pi. \]

Per \(\cos x\ne0\), dividiamo:

\[ 2\tan x-1=0, \] \[ \tan x=\frac12. \]

Le soluzioni complete sono:

\[ x=\frac{\pi}{2}+k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\arctan\frac12+k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]

Lo stesso risultato si ottiene scomponendo direttamente:

\[ \cos x(2\sin x-\cos x)=0. \]

Esempio 3. Usare la cotangente

Risolviamo:

\[ \sin^2x-3\sin x\cos x=0. \]

Se \(\sin x=0\), il primo membro è nullo:

\[ x=k\pi. \]

Per \(\sin x\ne0\), dividiamo per \(\sin^2x\):

\[ 1-3\cot x=0, \] \[ \cot x=\frac13. \]

Poiché il valore della cotangente è diverso da zero, possiamo passare alla tangente:

\[ \tan x=3. \]

Pertanto:

\[ x=k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\arctan3+k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]

Esempio 4. Una radice doppia

Risolviamo:

\[ \sin^2x-2\sin x\cos x+\cos^2x=0. \]

Riconosciamo un quadrato:

\[ (\sin x-\cos x)^2=0. \]

Quindi:

\[ \sin x=\cos x. \]

Il coseno non può essere zero in una soluzione, altrimenti dovrebbe esserlo anche il seno. Possiamo dunque dividere per \(\cos x\):

\[ \tan x=1. \]

Le soluzioni sono:

\[ x=\frac{\pi}{4}+k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]

Nel metodo della tangente avremmo ottenuto \((t-1)^2=0\): la radice doppia produce una sola famiglia di angoli.

Esempio 5. Un’equazione senza soluzioni reali

Risolviamo:

\[ \sin^2x+\sin x\cos x+\cos^2x=0. \]

Il caso \(\cos x=0\) non fornisce soluzioni. Dividendo negli altri angoli:

\[ \tan^2x+\tan x+1=0. \]

Il discriminante è:

\[ \Delta=1-4=-3<0. \]

Non esistono quindi soluzioni reali.

Possiamo verificarlo anche usando:

\[ \sin^2x+\sin x\cos x+\cos^2x = 1+\frac12\sin(2x). \]

Poiché \(-1\le\sin(2x)\le1\), il primo membro è sempre maggiore o uguale a \(\displaystyle\frac12\) e non può annullarsi.

Equazioni riconducibili alla forma omogenea

Un’equazione con un termine costante:

\[ a\sin^2x+b\sin x\cos x+c\cos^2x=d \]

può essere trasformata utilizzando:

\[ d=d(\sin^2x+\cos^2x). \]

Portando tutto al primo membro, otteniamo l’equazione equivalente:

\[ (a-d)\sin^2x+b\sin x\cos x+(c-d)\cos^2x=0. \]

La trasformazione vale per ogni \(x\in\mathbb R\) e non introduce esclusioni.

Se i tre nuovi coefficienti sono tutti nulli, l’equazione è un’identità. Altrimenti possiamo applicare i metodi precedenti ai nuovi coefficienti.

Esempio 6. Trasformare un termine costante

Risolviamo:

\[ 2\sin^2x+3\sin x\cos x-\cos^2x=1. \]

Sostituiamo \(1=\sin^2x+\cos^2x\) e riordiniamo:

\[ \sin^2x+3\sin x\cos x-2\cos^2x=0. \]

Per \(\cos x=0\), il primo membro dell’equazione trasformata vale \(1\), quindi non si ottengono soluzioni.

Negli altri angoli, dividendo per \(\cos^2x\):

\[ \tan^2x+3\tan x-2=0. \]

Ponendo \(t=\tan x\):

\[ t^2+3t-2=0, \] \[ t=\frac{-3+\sqrt{17}}{2} \quad\text{oppure}\quad t=\frac{-3-\sqrt{17}}{2}. \]

Le soluzioni sono:

\[ x=\arctan\left(\frac{-3+\sqrt{17}}{2}\right)+k\pi \]

oppure:

\[ x=\arctan\left(\frac{-3-\sqrt{17}}{2}\right)+k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]

Errori comuni

Dividere senza controllare il divisore

La divisione per \(\cos^2x\) esclude gli angoli con coseno nullo; quella per \(\sin^2x\) esclude gli angoli con seno nullo. Questi casi devono essere verificati nell’equazione iniziale prima di procedere.

Controllare il coefficiente sbagliato

Nell’equazione:

\[ a\sin^2x+b\sin x\cos x+c\cos^2x=0, \]

• per \(\cos x=0\), rimane il coefficiente \(a\);
• per \(\sin x=0\), rimane il coefficiente \(c\).

La verifica va eseguita sostituendo i valori delle funzioni, non soltanto osservando il termine che contiene il divisore.

Usare il periodo \(2\pi\) senza includere tutti i casi

Se \(\tan x=t_0\), la soluzione generale è:

\[ x=\arctan t_0+k\pi. \]

Usare soltanto \(2k\pi\) perderebbe metà degli angoli della famiglia.

Confondere radici algebriche e soluzioni goniometriche

Una radice \(t_0\) dell’equazione in \(t=\tan x\) è un valore della tangente, non un valore di \(x\). Occorre ancora risolvere \(\tan x=t_0\).

Scartare radici reali perché maggiori di \(1\)

Tangente e cotangente possono assumere ogni valore reale. A differenza delle sostituzioni con seno o coseno, non bisogna limitare le radici all’intervallo \([-1,1]\).

Invertire una cotangente nulla

Da \(\cot x=u_0\) possiamo passare a \(\displaystyle\tan x=\frac1{u_0}\) soltanto se \(u_0\ne0\). Se \(u_0=0\), si ha direttamente:

\[ x=\frac{\pi}{2}+k\pi. \]

Trattare come quadratica un’equazione di grado inferiore

Dopo la divisione, controlliamo il coefficiente del termine quadratico. Se è zero, l’equazione può essere lineare oppure ridursi a un’uguaglianza costante.

Riepilogo

Per risolvere:

\[ a\sin^2x+b\sin x\cos x+c\cos^2x=0, \]

controlliamo anzitutto se tutti i coefficienti sono nulli. In tal caso ogni numero reale è soluzione.

Negli altri casi possiamo scegliere uno dei seguenti procedimenti.

Per ogni radice reale:

\[ t_0 \quad\Longrightarrow\quad x=\arctan t_0+k\pi; \] \[ u_0 \quad\Longrightarrow\quad x=\operatorname{arccot}u_0+k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]

Uniamo infine queste famiglie alle eventuali soluzioni trovate prima della divisione. Se è assegnato un intervallo, selezioniamo gli angoli che vi appartengono.