Le equazioni goniometriche irrazionali contengono l’incognita nell’argomento di funzioni goniometriche che compaiono sotto un radicale. La loro risoluzione richiede attenzione sia al dominio delle espressioni sia ai segni dei membri dell’equazione.
Ci concentreremo sulle radici quadrate, mostrando quando l’elevamento al quadrato conserva l’equivalenza e quando può introdurre soluzioni estranee. Cercheremo le soluzioni reali; gli angoli sono espressi in radianti e \(k\) indica un numero intero.
Indice
- Il dominio e il significato della radice quadrata
- Quando possiamo elevare al quadrato
- Equazioni con un solo radicale
- Radici di quadrati e valore assoluto
- Equazioni con due radicali
- Radicali e denominatori
- Controllo delle soluzioni ed errori comuni
- Riepilogo
Il dominio e il significato della radice quadrata
Nei numeri reali, l’espressione \(\sqrt{F(x)}\) è definita quando:
\[ F(x)\ge0. \]
La radice quadrata indica sempre il valore non negativo. Pertanto, nel suo dominio:
\[ \sqrt{F(x)}\ge0. \]
Questa proprietà impone condizioni anche all’altro membro di un’equazione.
Radicandi goniometrici
Per esempio:
\[ \sqrt{\sin x} \quad\text{richiede}\quad \sin x\ge0; \] \[ \sqrt{\cos x} \quad\text{richiede}\quad \cos x\ge0. \]
Invece, le espressioni \(\sqrt{1-\sin x}\), \(\sqrt{1+\sin x}\), \(\sqrt{1-\cos x}\) e \(\sqrt{1+\cos x}\) sono definite per ogni \(x\in\mathbb R\), perché seno e coseno assumono valori compresi tra \(-1\) e \(1\).
Se compaiono anche denominatori o funzioni non definite per tutti gli angoli, le relative condizioni devono essere aggiunte a quelle dei radicali.
Quando possiamo elevare al quadrato
Consideriamo l’equazione:
\[ \sqrt{F(x)}=G(x), \]
negli angoli in cui le espressioni \(F(x)\) e \(G(x)\) sono definite.
Poiché il primo membro è non negativo, una soluzione deve soddisfare:
\[ F(x)\ge0, \qquad G(x)\ge0. \]
Con queste condizioni, l’elevamento al quadrato è reversibile:
\[ \sqrt{F(x)}=G(x) \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} F(x)=G^2(x),\\ G(x)\ge0. \end{cases} \]
Nel sistema finale la condizione \(F(x)\ge0\) è già implicata dall’uguaglianza \(F(x)=G^2(x)\). Deve comunque essere considerata quando determiniamo il dominio iniziale.
Perché possono comparire soluzioni estranee?
Se eleviamo al quadrato senza conservare la condizione \(G(x)\ge0\), otteniamo soltanto un’implicazione:
\[ \sqrt{F(x)}=G(x) \quad\Longrightarrow\quad F(x)=G^2(x). \]
L’equazione al quadrato può essere soddisfatta anche quando \(G(x)<0\), ma in quel caso l’uguaglianza iniziale è impossibile. Le soluzioni aggiunte in questo modo sono dette soluzioni estranee.
Il quadrato elimina l’informazione sul segno: due numeri opposti hanno lo stesso quadrato.
Equazioni con un solo radicale
Esempio 1. Una condizione di segno decisiva
Risolviamo:
\[ \sqrt{1-\cos x}=\sin x. \]
Il radicale è definito per ogni numero reale. Poiché il primo membro è non negativo, occorre:
\[ \sin x\ge0. \]
Elevando al quadrato e mantenendo questa condizione:
\[ \begin{cases} 1-\cos x=\sin^2x,\\ \sin x\ge0. \end{cases} \]
Utilizziamo \(\sin^2x=1-\cos^2x\):
\[ 1-\cos x=1-\cos^2x, \] \[ \cos^2x-\cos x=0, \] \[ \cos x(\cos x-1)=0. \]
Quindi:
\[ \cos x=0 \quad\text{oppure}\quad \cos x=1. \]
Dal primo caso, la condizione \(\sin x\ge0\) conserva soltanto:
\[ x=\frac{\pi}{2}+2k\pi. \]
Dal secondo:
\[ x=2k\pi. \]
Le soluzioni sono:
\[ x=2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{\pi}{2}+2k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]
Gli angoli \(\displaystyle x=\frac{3\pi}{2}+2k\pi\) soddisfano l’equazione al quadrato, ma non quella iniziale: il primo membro vale \(1\) e il secondo vale \(-1\).
Esempio 2. Una sostituzione nel coseno
Risolviamo:
\[ \sqrt{1+\cos x}=2\cos x. \]
Il radicale è sempre definito. La condizione sul secondo membro è:
\[ \cos x\ge0. \]
Elevando al quadrato:
\[ 1+\cos x=4\cos^2x. \]
Poniamo \(t=\cos x\). La condizione di segno e l’immagine del coseno impongono \(t\in[0,1]\). Risolviamo:
\[ 4t^2-t-1=0, \] \[ t=\frac{1+\sqrt{17}}{8} \quad\text{oppure}\quad t=\frac{1-\sqrt{17}}{8}. \]
La seconda radice è negativa e va esclusa. La prima appartiene a \([0,1]\), quindi:
\[ \cos x=\frac{1+\sqrt{17}}{8}. \]
Le soluzioni sono:
\[ x= \pm\arccos\left(\frac{1+\sqrt{17}}{8}\right)+2k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]
La radice negativa dell’equazione algebrica darebbe un secondo membro negativo e non può soddisfare l’equazione iniziale.
Radici di quadrati e valore assoluto
Per ogni numero reale \(u\):
\[ \sqrt{u^2}=|u|. \]
In particolare:
\[ \sqrt{\sin^2x}=|\sin x|, \qquad \sqrt{\cos^2x}=|\cos x|. \]
Non possiamo eliminare la radice e il quadrato scrivendo direttamente \(\sin x\) o \(\cos x\), a meno di sapere che la funzione è non negativa.
Esempio 3. Un’equazione con valore assoluto
Risolviamo:
\[ \sqrt{\sin^2x}=\cos x. \]
L’equazione equivale a:
\[ |\sin x|=\cos x. \]
Il secondo membro deve essere non negativo:
\[ \cos x\ge0. \]
Elevando al quadrato con questa condizione:
\[ \begin{cases} \sin^2x=\cos^2x,\\ \cos x\ge0. \end{cases} \]
L’uguaglianza dei quadrati equivale a \(\cos(2x)=0\), quindi le candidate sono:
\[ x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}. \]
Conservando soltanto gli angoli con coseno non negativo:
\[ x=\frac{\pi}{4}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=-\frac{\pi}{4}+2k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]
Le identità di bisezione con il valore assoluto
Le formule di duplicazione danno:
\[ 1-\cos x=2\sin^2\frac{x}{2}, \qquad 1+\cos x=2\cos^2\frac{x}{2}. \]
Prendendo la radice quadrata:
\[ \sqrt{1-\cos x} = \sqrt2\left|\sin\frac{x}{2}\right|, \] \[ \sqrt{1+\cos x} = \sqrt2\left|\cos\frac{x}{2}\right|. \]
Queste identità valgono per ogni \(x\in\mathbb R\). I valori assoluti non possono essere omessi senza un controllo dei segni.
Equazioni con due radicali
Due radici quadrate uguali
Se entrambi i radicandi sono non negativi:
\[ \sqrt{F(x)}=\sqrt{G(x)} \quad\Longleftrightarrow\quad F(x)=G(x). \]
L’elevamento al quadrato è reversibile perché entrambi i membri sono non negativi.
Esempio 4. Uguagliare i radicandi
Risolviamo:
\[ \sqrt{1+\sin x}=\sqrt{1-\sin x}. \]
Entrambi i radicali sono definiti per ogni numero reale. Elevando al quadrato:
\[ 1+\sin x=1-\sin x, \] \[ \sin x=0. \]
Quindi:
\[ x=k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]
Esempio 5. Una somma di radicali
Risolviamo:
\[ \sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x}=\sqrt2. \]
Il dominio è \(\mathbb R\). Entrambi i membri sono non negativi, quindi possiamo elevare al quadrato mantenendo l’equivalenza:
\[ 2+2\sqrt{(1+\sin x)(1-\sin x)}=2. \]
Utilizzando l’identità fondamentale:
\[ 2+2\sqrt{1-\sin^2x}=2, \] \[ 2+2\sqrt{\cos^2x}=2. \]
Pertanto:
\[ 2+2|\cos x|=2, \] \[ \cos x=0. \]
Le soluzioni sono:
\[ x=\frac{\pi}{2}+k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]
In questi angoli il seno vale \(1\) oppure \(-1\): uno dei due radicali vale \(\sqrt2\), l’altro vale zero.
Radicali e denominatori
Se una radice quadrata compare al denominatore, non basta imporre che il radicando sia non negativo: il denominatore deve anche essere diverso da zero.
Per esempio:
\[ \frac1{\sqrt{\sin x}} \]
è definita se e solo se:
\[ \sin x>0. \]
Se invece il denominatore è una somma che contiene un radicale, la condizione va imposta all’intera espressione.
Esempio 6. Una radice al denominatore
Risolviamo:
\[ \frac1{\sqrt{1-\cos x}}=1. \]
La condizione di esistenza è:
\[ 1-\cos x>0, \]
ossia:
\[ x\ne2k\pi. \]
Nel dominio possiamo moltiplicare per la radice:
\[ 1=\sqrt{1-\cos x}. \]
Entrambi i membri sono non negativi. Elevando al quadrato:
\[ 1=1-\cos x, \] \[ \cos x=0. \]
Otteniamo:
\[ x=\frac{\pi}{2}+k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]
Tutte queste soluzioni sono ammesse: il radicando vale \(1\) e il denominatore è diverso da zero.
Controllo delle soluzioni ed errori comuni
Controllare le candidate nell’equazione iniziale
Se abbiamo conservato tutte le condizioni e compiuto soltanto passaggi equivalenti, le soluzioni ottenute soddisfano già l’equazione iniziale. Una verifica diretta è comunque utile per controllare i calcoli.
Se invece abbiamo elevato al quadrato senza imporre i segni necessari, i valori ottenuti sono soltanto candidati: devono essere sostituiti nell’equazione iniziale, scartando quelli che non la soddisfano.
Immagine
Attribuire due valori alla radice quadrata
Il simbolo \(\sqrt a\), con \(a\ge0\), indica soltanto la radice non negativa. Per esempio, \(\sqrt4=2\), non \(\pm2\).
Il doppio segno compare invece risolvendo un’equazione come \(u^2=4\), le cui soluzioni sono \(u=2\) e \(u=-2\).
Confondere dominio e condizione sul segno dell’altro membro
Nell’equazione \(\sqrt{F(x)}=G(x)\), la condizione \(F(x)\ge0\) serve a definire il radicale. La condizione \(G(x)\ge0\) è invece necessaria perché l’uguaglianza possa essere vera.
Entrambe devono essere rispettate dalle soluzioni, ma hanno ruoli diversi.
Eliminare un valore assoluto senza distinguere i segni
Da \(\sqrt{\sin^2x}\) si ottiene \(|\sin x|\). Per scrivere direttamente \(\sin x\) bisogna sapere che \(\sin x\ge0\); se il seno è negativo, il valore assoluto è \(-\sin x\).
Sviluppare male il quadrato di una somma di radicali
Quando \(F(x)\ge0\) e \(G(x)\ge0\):
\[ \bigl(\sqrt{F(x)}+\sqrt{G(x)}\bigr)^2 = F(x)+G(x)+2\sqrt{F(x)G(x)}. \]
Il doppio prodotto non può essere omesso.
Dimenticare le esclusioni dei denominatori
Le condizioni sui radicali non sostituiscono quelle dei denominatori. Una candidata che annulla un denominatore iniziale deve essere scartata anche se soddisfa l’equazione ottenuta dopo le trasformazioni.
Riepilogo
Per risolvere un’equazione goniometrica con radici quadrate:
- Determiniamo il dominio di tutte le espressioni iniziali.
- Quando possibile, isoliamo un radicale.
- Imponiamo le condizioni di segno necessarie prima di elevare al quadrato.
- Risolviamo l’equazione goniometrica ottenuta mantenendo tutte le condizioni.
- Controlliamo le candidate, soprattutto se abbiamo eseguito passaggi non equivalenti.
- Se richiesto, selezioniamo le soluzioni nell’intervallo assegnato.
| Espressione o equazione | Condizione o trasformazione |
|---|---|
| \(\sqrt{F(x)}\) | \(F(x)\ge0\), con \(F(x)\) definita |
| \(\displaystyle\frac1{\sqrt{F(x)}}\) | \(F(x)>0\), con \(F(x)\) definita |
| \(\sqrt{F(x)}=G(x)\) | \(F(x)=G^2(x)\) e \(G(x)\ge0\), con le espressioni definite |
| \(\sqrt{F(x)}=\sqrt{G(x)}\) | \(F(x)=G(x)\), nel dominio \(F(x)\ge0\), \(G(x)\ge0\) |
| \(\sqrt{u^2}\) | \(|u|\), per ogni \(u\in\mathbb R\) |
Il principio decisivo è conservare le informazioni sui segni. Elevare al quadrato è un passaggio equivalente soltanto quando i segni dei membri sono opportunamente controllati; altrimenti può introdurre soluzioni estranee.