Equazioni goniometriche elementari

Dalle soluzioni in un periodo alle soluzioni generali

Le funzioni seno e coseno hanno periodo fondamentale \(2\pi\):

\[ \sin(x+2k\pi)=\sin x, \qquad \cos(x+2k\pi)=\cos x, \qquad k\in\mathbb Z. \]

Di conseguenza, se \(x_0\) è una soluzione di un’equazione con seno o coseno, anche tutti gli angoli

\[ x=x_0+2k\pi, \qquad k\in\mathbb Z, \]

sono soluzioni. Occorre però individuare tutte le soluzioni in un periodo: partire da una sola può far perdere una seconda famiglia.

Tangente e cotangente hanno invece periodo fondamentale \(\pi\). Nei rispettivi domini:

\[ \tan(x+k\pi)=\tan x, \qquad \cot(x+k\pi)=\cot x, \qquad k\in\mathbb Z. \]

Per queste funzioni è quindi sufficiente aggiungere multipli interi di \(\pi\).

Quando cerchiamo le soluzioni in un periodo, conviene scegliere un intervallo che comprenda un solo estremo, come \([0,2\pi)\): in questo modo non contiamo due volte la stessa posizione sulla circonferenza.

Equazioni della forma \(\sin x=a\)

Condizione di esistenza delle soluzioni

Il seno assume soltanto valori compresi tra \(-1\) e \(1\). Pertanto:

\[ |a|>1 \quad\Longrightarrow\quad \sin x=a \text{ non ha soluzioni reali}. \]

Supponiamo ora che \(-1\le a\le1\) e poniamo

\[ \alpha=\arcsin a, \qquad -\frac{\pi}{2}\le\alpha\le\frac{\pi}{2}. \]

Per definizione, \(\sin\alpha=a\).

Interpretazione sulla circonferenza

Il seno di un angolo è l’ordinata del punto associato sulla circonferenza goniometrica. Risolvere \(\sin x=a\) equivale dunque a cercare i punti della circonferenza che appartengono alla retta orizzontale \(y=a\).

Se \(-1<a<1\), i punti sono due e sono simmetrici rispetto all’asse delle ordinate. Gli angoli \(\alpha\) e \(\pi-\alpha\) hanno infatti lo stesso seno:

\[ \sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha. \]

Tutti gli angoli associati a questi punti si ottengono aggiungendo multipli interi di \(2\pi\). Quindi:

\[ \boxed{ \sin x=a \iff \begin{cases} x=\alpha+2k\pi,\\ \text{oppure}\\ x=\pi-\alpha+2k\pi, \end{cases} \quad \alpha=\arcsin a,\quad k\in\mathbb Z. } \]

Le due famiglie descrivono tutte le soluzioni perché una retta orizzontale non può intersecare la circonferenza in altri punti.

Immagine

Casi particolari

Per \(a=0\), le due famiglie si possono riunire:

\[ \boxed{\sin x=0\iff x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z.} \]

Per \(a=1\) e \(a=-1\), la retta orizzontale è tangente alla circonferenza e le due famiglie della formula generale coincidono:

\[ \boxed{ \sin x=1 \iff x=\frac{\pi}{2}+2k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. } \] \[ \boxed{ \sin x=-1 \iff x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. } \]

Equazioni della forma \(\cos x=a\)

Condizione di esistenza delle soluzioni

Anche il coseno assume soltanto valori compresi tra \(-1\) e \(1\). Dunque:

\[ |a|>1 \quad\Longrightarrow\quad \cos x=a \text{ non ha soluzioni reali}. \]

Per \(-1\le a\le1\), poniamo

\[ \alpha=\arccos a, \qquad 0\le\alpha\le\pi. \]

Per definizione, \(\cos\alpha=a\).

Interpretazione sulla circonferenza

Il coseno è l’ascissa del punto associato all’angolo. Cerchiamo quindi le intersezioni della circonferenza goniometrica con la retta verticale \(x=a\).

Se \(-1<a<1\), i due punti sono simmetrici rispetto all’asse delle ascisse. Agli angoli \(\alpha\) e \(-\alpha\) corrisponde infatti lo stesso coseno:

\[ \cos(-\alpha)=\cos\alpha. \]

Le soluzioni generali sono pertanto:

\[ \boxed{ \cos x=a \iff x=\pm\alpha+2k\pi, \quad \alpha=\arccos a,\quad k\in\mathbb Z. } \]

Il simbolo \(\pm\) indica le due famiglie \(x=\alpha+2k\pi\) e \(x=-\alpha+2k\pi\).

Immagine

Casi particolari

\[ \boxed{ \cos x=0 \iff x=\frac{\pi}{2}+k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. } \] \[ \boxed{ \cos x=1 \iff x=2k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. } \] \[ \boxed{ \cos x=-1 \iff x=\pi+2k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. } \]

Per \(a=\pm1\), le due famiglie della formula generale coincidono; per \(a=0\), possono essere riunite in una sola famiglia con passo \(\pi\).

Equazioni della forma \(\tan x=a\)

La tangente è definita per

\[ x\ne\frac{\pi}{2}+k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]

Nell’intervallo \(\displaystyle\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\) è strettamente crescente e assume tutti i valori reali. Per ogni \(a\in\mathbb R\) esiste quindi una sola soluzione in questo intervallo:

\[ \alpha=\arctan a. \]

Per la periodicità, tutti gli angoli \(\alpha+k\pi\) sono soluzioni. Non ve ne sono altre: ogni angolo del dominio può essere ricondotto, sottraendo un opportuno multiplo di \(\pi\), all’intervallo considerato, dove la soluzione è unica.

\[ \boxed{ \tan x=a \iff x=\arctan a+k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. } \]

La formula produce soltanto angoli appartenenti al dominio della tangente, perché \(\displaystyle-\frac{\pi}{2}<\arctan a<\frac{\pi}{2}\).

In particolare:

\[ \boxed{\tan x=0\iff x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z.} \]

Equazioni della forma \(\cot x=a\)

La cotangente è definita per

\[ x\ne k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]

Nell’intervallo \((0,\pi)\) è strettamente decrescente e assume tutti i valori reali. Per ogni \(a\in\mathbb R\) esiste quindi una sola soluzione in questo intervallo.

Adottiamo la convenzione secondo cui \(\operatorname{arccot}a\), detta arcocotangente di \(a\), è l’unico angolo \(\alpha\in(0,\pi)\) tale che \(\cot\alpha=a\).

Aggiungendo multipli interi del periodo \(\pi\), otteniamo tutte le soluzioni:

\[ \boxed{ \cot x=a \iff x=\operatorname{arccot}a+k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. } \]

In particolare:

\[ \boxed{ \cot x=0 \iff x=\frac{\pi}{2}+k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. } \]

Risoluzione mediante la tangente

Se \(a\ne0\), l’equazione \(\cot x=a\) implica che anche \(\cos x\ne0\). Possiamo quindi passare alla tangente:

\[ \cot x=a \iff \tan x=\frac1a. \]

Ne segue la formula equivalente:

\[ \boxed{ \cot x=a \iff x=\arctan\left(\frac1a\right)+k\pi, \quad a\ne0,\quad k\in\mathbb Z. } \]

Per \(a=0\) questa trasformazione non si può usare: occorre applicare direttamente il caso particolare della cotangente.

Esempi svolti

Esempio 1. Un’equazione con il seno

Risolviamo:

\[ \sin x=\frac12. \]

Nell’intervallo \([0,2\pi)\), i due angoli con seno \(\displaystyle\frac12\) sono \(\displaystyle\frac{\pi}{6}\) e \(\displaystyle\frac{5\pi}{6}\). Pertanto:

\[ \boxed{ x=\frac{\pi}{6}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. } \]

Esempio 2. Un’equazione con il coseno negativo

Risolviamo:

\[ \cos x=-\frac{\sqrt2}{2}. \]

Il coseno è negativo nel secondo e nel terzo quadrante. L’angolo di riferimento è \(\displaystyle\frac{\pi}{4}\), quindi in \([0,2\pi)\) troviamo:

\[ x=\frac{3\pi}{4}, \qquad x=\frac{5\pi}{4}. \]

Le soluzioni generali sono:

\[ \boxed{ x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{5\pi}{4}+2k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. } \]

Equivalentemente, possiamo scrivere \(\displaystyle x=\pm\frac{3\pi}{4}+2k\pi\). Le due forme descrivono lo stesso insieme di soluzioni.

Esempio 3. Un’equazione con la tangente

Risolviamo:

\[ \tan x=-\sqrt3. \]

Poiché \(\displaystyle\tan\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\sqrt3\), la soluzione nell’intervallo \(\displaystyle\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\) è \(\displaystyle-\frac{\pi}{3}\). Quindi:

\[ \boxed{ x=-\frac{\pi}{3}+k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. } \]

In \([0,2\pi)\), questa famiglia fornisce le soluzioni \(\displaystyle\frac{2\pi}{3}\) e \(\displaystyle\frac{5\pi}{3}\).

Esempio 4. Un’equazione con la cotangente

Risolviamo:

\[ \cot x=-1. \]

Nell’intervallo \((0,\pi)\), la cotangente vale \(-1\) per \(\displaystyle x=\frac{3\pi}{4}\). Pertanto:

\[ \boxed{ x=\frac{3\pi}{4}+k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. } \]

Passando alla tangente avremmo ottenuto \(\displaystyle x=-\frac{\pi}{4}+k\pi\). Le due scritture sono equivalenti perché gli angoli di partenza differiscono di \(\pi\).

Esempio 5. Un’equazione senza soluzioni

L’equazione

\[ 2\sin x=3 \]

equivale a \(\displaystyle\sin x=\frac32\). Poiché \(\displaystyle\frac32>1\), non esistono soluzioni reali.

Esempio 6. Dalle soluzioni generali a un intervallo assegnato

Risolviamo \(\displaystyle\sin x=\frac12\) nell’intervallo \([-\pi,\pi]\). Partiamo dalle due famiglie:

\[ x=\frac{\pi}{6}+2k\pi, \qquad x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi. \]

Per \(k=0\) otteniamo \(\displaystyle\frac{\pi}{6}\) e \(\displaystyle\frac{5\pi}{6}\), entrambi nell’intervallo. Per \(k\ge1\), entrambe le espressioni superano \(\pi\); per \(k\le-1\), sono entrambe minori di \(-\pi\). Quindi:

\[ \boxed{ x\in\left\{\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\right\}. } \]

Errori comuni

Fermarsi al valore della funzione inversa

Scrivere soltanto \(\displaystyle x=\arcsin\left(\frac12\right)=\frac{\pi}{6}\) non risolve l’equazione in \(\mathbb R\): mancano la seconda famiglia e tutti gli angoli ottenuti per periodicità.

La funzione inversa restituisce un valore principale; l’equazione richiede tutte le soluzioni nel dominio assegnato.

Confondere le simmetrie del seno e del coseno

Per il seno si usano gli angoli \(\alpha\) e \(\pi-\alpha\); per il coseno gli angoli \(\alpha\) e \(-\alpha\). In generale, la scrittura \(x=\pm\alpha+2k\pi\) non è corretta per un’equazione con il seno.

Usare soltanto multipli di \(2\pi\) per tangente e cotangente

Se \(\tan\alpha=a\), la famiglia \(x=\alpha+2k\pi\) contiene soluzioni, ma ne perde altre: anche \(\alpha+\pi\) è una soluzione. Per descriverle tutte bisogna scrivere \(x=\alpha+k\pi\).

Trasformare \(\cot x=0\) usando il reciproco

Il passaggio a \(\tan x=1/a\) richiede \(a\ne0\). L’equazione \(\cot x=0\) si risolve direttamente e dà \(\displaystyle x=\frac{\pi}{2}+k\pi\).

Scambiare le soluzioni generali con quelle in un intervallo

Le famiglie contenenti \(k\in\mathbb Z\) descrivono le soluzioni in \(\mathbb R\). Se il problema assegna un intervallo, bisogna selezionare soltanto i valori che vi appartengono, controllando anche se gli estremi sono inclusi.

Riepilogo

Nella tabella seguente \(k\in\mathbb Z\). Per l’arcocotangente adottiamo valori nell’intervallo \((0,\pi)\).

Per seno e coseno, se \(|a|>1\), non esistono soluzioni reali. I casi particolari più frequenti sono:

Per risolvere un’equazione goniometrica elementare, controlliamo anzitutto se il valore richiesto è ammesso. Individuiamo poi le soluzioni in un periodo e aggiungiamo i multipli del periodo appropriato. Se è assegnato un intervallo, selezioniamo infine le soluzioni che vi appartengono.