La retta è uno degli enti fondamentali della geometria euclidea. Nel piano cartesiano, una retta può essere descritta mediante un'equazione di primo grado nelle due variabili \(x\) e \(y\), cioè mediante un'equazione del tipo
\[ ax+by+c=0, \]
dove \(a,b,c\in\mathbb{R}\) e i coefficienti \(a\) e \(b\) non sono entrambi nulli. Questa forma, detta forma implicita, comprende tutte le rette del piano, comprese le rette verticali e le rette orizzontali.
Quando la retta non è verticale, la sua equazione può essere scritta anche nella forma
\[ y=mx+q, \]
detta forma esplicita. In questo caso \(m\) è il coefficiente angolare, che descrive l'inclinazione della retta rispetto all'asse delle ascisse, mentre \(q\) è l'ordinata all'origine, cioè l'ordinata del punto in cui la retta interseca l'asse \(y\).
In questa pagina vedremo come ricavare l'equazione di una retta a partire da due punti, come passare dalla forma implicita alla forma esplicita, qual è il significato geometrico del coefficiente angolare, come determinare una retta perpendicolare a una retta data e come scrivere l'equazione parametrica di una retta.
Indice
- Equazione della retta passante per due punti
- Forma esplicita della retta
- Forma implicita della retta
- Significato geometrico del coefficiente angolare
- Equazione parametrica della retta
- Retta perpendicolare a una retta data
- Esercizi svolti sulla retta
Equazione della retta passante per due punti
Supponiamo di conoscere due punti distinti del piano cartesiano:
\[ P_1(x_1,y_1),\qquad P_2(x_2,y_2). \]
Poiché i due punti sono distinti, almeno una tra le due differenze \(x_2-x_1\) e \(y_2-y_1\) è diversa da zero.
Se \(x_1=x_2\), i due punti hanno la stessa ascissa. In questo caso la retta passante per \(P_1\) e \(P_2\) è verticale e ha equazione
\[ x=x_1. \]
Supponiamo ora che \(x_1\ne x_2\). In questo caso la retta non è verticale e possiamo introdurre il coefficiente angolare
\[ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}. \]
Se \(y_1=y_2\), allora \(m=0\) e la retta è orizzontale. In questo caso la sua equazione è
\[ y=y_1. \]
Supponiamo quindi che \(y_1\ne y_2\). La retta è obliqua e possiamo ricavare la sua equazione usando la similitudine dei triangoli rettangoli. Sia \(P(x,y)\) un punto generico della retta, diverso da \(P_1\). Nella figura seguente è rappresentata questa situazione:
I triangoli rettangoli \(\triangle P_1P'P\) e \(\triangle P_1P'_2P_2\) sono simili, perché hanno un angolo retto e un angolo acuto congruente, determinato dall'inclinazione della retta. Considerando le variazioni orizzontali e verticali con il loro segno, dalla similitudine dei triangoli si ottiene il rapporto
\[ \frac{y-y_1}{x-x_1}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}. \]
Poiché
\[ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}, \]
segue che
\[ y-y_1=m(x-x_1). \]
Questa è la forma punto-pendenza dell'equazione della retta. Sviluppando i calcoli, otteniamo
\[ y-y_1=mx-mx_1, \]
quindi
\[ y=mx+(y_1-mx_1). \]
Ponendo
\[ q=y_1-mx_1, \]
ricaviamo la forma esplicita
\[ y=mx+q. \]
A partire dalla forma punto-pendenza possiamo ottenere anche una forma implicita. Infatti
\[ y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1). \]
Moltiplicando entrambi i membri per \(x_2-x_1\), si ottiene
\[ (x_2-x_1)(y-y_1)=(y_2-y_1)(x-x_1). \]
Portando tutti i termini al primo membro e riordinando, si ricava:
\[ (y_1-y_2)x+(x_2-x_1)y+(x_1y_2-x_2y_1)=0. \]
La formula appena ottenuta è stata ricavata nel caso \(x_1\ne x_2\). Tuttavia essa rimane valida per qualunque coppia di punti distinti: comprende il caso obliquo, il caso orizzontale e anche il caso verticale.
Per giustificare questa validità generale, possiamo usare i vettori. Un punto generico \(P(x,y)\) appartiene alla retta passante per \(P_1\) e \(P_2\) se e solo se i tre punti \(P_1\), \(P_2\) e \(P\) sono allineati. Questo accade quando i vettori
\[ \overrightarrow{P_1P}=(x-x_1,y-y_1), \qquad \overrightarrow{P_1P_2}=(x_2-x_1,y_2-y_1) \]
sono linearmente dipendenti. In termini algebrici, questa condizione equivale all'annullamento del determinante
\[ \begin{vmatrix} x-x_1 & y-y_1\\ x_2-x_1 & y_2-y_1 \end{vmatrix}=0. \]
Sviluppando il determinante si ottiene
\[ (x-x_1)(y_2-y_1)-(y-y_1)(x_2-x_1)=0, \]
e quindi, ancora una volta,
\[ (y_1-y_2)x+(x_2-x_1)y+(x_1y_2-x_2y_1)=0. \]
Forma esplicita della retta
Una retta del piano cartesiano ammette forma esplicita se non è verticale. In questo caso la sua equazione può essere scritta nella forma
\[ y=mx+q. \]
Il numero \(m\) è il coefficiente angolare della retta e misura la variazione dell'ordinata rispetto alla variazione dell'ascissa. Il numero \(q\) è l'ordinata all'origine, cioè l'ordinata del punto in cui la retta interseca l'asse \(y\).
Infatti, ponendo \(x=0\) nell'equazione \(y=mx+q\), si ottiene
\[ y=q. \]
Dunque la retta interseca l'asse delle ordinate nel punto
\[ (0,q). \]
Se conosciamo un punto \(P_1(x_1,y_1)\) della retta e il coefficiente angolare \(m\), possiamo usare la forma punto-pendenza:
\[ y-y_1=m(x-x_1). \]
Sviluppando i calcoli si ottiene:
\[ y-y_1=mx-mx_1, \]
e quindi
\[ y=mx+(y_1-mx_1). \]
Pertanto, nella forma \(y=mx+q\), si ha
\[ q=y_1-mx_1. \]
Se invece sono noti due punti distinti \(P_1(x_1,y_1)\) e \(P_2(x_2,y_2)\), con \(x_1\ne x_2\), allora il coefficiente angolare è
\[ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}. \]
La condizione \(x_1\ne x_2\) è essenziale: se \(x_1=x_2\), la retta passante per i due punti è verticale e non può essere scritta nella forma \(y=mx+q\). In quel caso la sua equazione è
\[ x=x_1. \]
Forma implicita della retta
La forma implicita dell'equazione di una retta è
\[ ax+by+c=0, \]
dove \(a,b,c\in\mathbb{R}\) e \(a\) e \(b\) non sono entrambi nulli. La condizione
\[ (a,b)\ne(0,0) \]
è necessaria: se infatti \(a=0\) e \(b=0\), l'equazione non dipenderebbe più da \(x\) e \(y\). Se \(c=0\), sarebbe verificata da tutti i punti del piano; se \(c\ne0\), non sarebbe verificata da alcun punto. In entrambi i casi non rappresenterebbe una retta.
La forma implicita è la forma più generale dell'equazione della retta nel piano cartesiano, perché comprende anche le rette verticali, che non possono essere scritte nella forma \(y=mx+q\).
Se \(b\ne 0\), possiamo ricavare \(y\):
\[ by=-ax-c, \]
quindi
\[ y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}. \]
In questo caso la retta non è verticale e la sua forma esplicita è
\[ y=mx+q, \]
con
\[ m=-\frac{a}{b}, \qquad q=-\frac{c}{b}. \]
Se invece \(b=0\), allora necessariamente \(a\ne 0\), e l'equazione diventa
\[ ax+c=0. \]
Ricavando \(x\), otteniamo
\[ x=-\frac{c}{a}. \]
Questa è l'equazione di una retta verticale.
Se \(a=0\), allora necessariamente \(b\ne 0\), e l'equazione diventa
\[ by+c=0. \]
Ricavando \(y\), otteniamo
\[ y=-\frac{c}{b}. \]
Questa è l'equazione di una retta orizzontale.
La forma implicita è particolarmente utile perché permette di verificare facilmente se un punto appartiene a una retta. Infatti, un punto \(P(x_0,y_0)\) appartiene alla retta \(ax+by+c=0\) se e solo se
\[ ax_0+by_0+c=0. \]
Inoltre, partendo dalla forma punto-pendenza
\[ y-y_1=m(x-x_1), \]
si può ottenere una forma implicita portando tutti i termini al primo membro:
\[ y-y_1-mx+mx_1=0, \]
cioè
\[ -mx+y+(mx_1-y_1)=0. \]
Significato geometrico del coefficiente angolare
Il coefficiente angolare di una retta non verticale misura il rapporto tra la variazione dell'ordinata e la variazione dell'ascissa. Se la retta passa per due punti distinti
\[ P_1(x_1,y_1),\qquad P_2(x_2,y_2), \]
con \(x_1\ne x_2\), allora il coefficiente angolare è
\[ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}. \]
Questa formula mostra che \(m\) descrive quanto varia \(y\) quando varia \(x\). Per questo motivo il coefficiente angolare viene anche chiamato pendenza della retta.
Se la retta ha equazione esplicita
\[ y=mx+q, \]
allora il valore di \(m\) determina il comportamento geometrico della retta.
- Se \(m>0\), la retta è crescente: quando \(x\) aumenta, anche \(y\) aumenta. In questo caso la retta forma con il semiasse positivo delle ascisse un angolo acuto.
- Se \(m<0\), la retta è decrescente: quando \(x\) aumenta, \(y\) diminuisce. In questo caso la retta forma con il semiasse positivo delle ascisse un angolo ottuso.
- Se \(m=0\), la retta è orizzontale. Infatti l'equazione diventa \(y=q\), quindi l'ordinata resta costante al variare di \(x\).
Il coefficiente angolare è legato anche all'angolo di inclinazione della retta. Se \(\alpha\) è l'angolo che la retta forma con il semiasse positivo delle ascisse, allora, per una retta non verticale, vale
\[ m=\tan\alpha. \]
Le rette verticali costituiscono un caso particolare. Una retta verticale ha equazione
\[ x=k. \]
In questo caso il coefficiente angolare non è definito, perché l'ascissa è costante e non è possibile esprimere \(y\) come funzione di \(x\). Geometricamente, la retta verticale è parallela all'asse \(y\).
Equazione parametrica della retta
Una retta può essere descritta anche mediante un'equazione parametrica. In questa forma, le coordinate dei punti della retta dipendono da un parametro reale.
Supponiamo che la retta passi per un punto
\[ P_0(x_0,y_0) \]
e abbia come vettore direttore un vettore non nullo
\[ \boldsymbol{v}=(a,b). \]
Allora una rappresentazione parametrica della retta è
\[ \begin{cases} x=x_0+at\\ y=y_0+bt \end{cases} \qquad t\in\mathbb{R}. \]
Il parametro \(t\) indica lo spostamento lungo la direzione del vettore \(\boldsymbol{v}\). Al variare di \(t\) in \(\mathbb{R}\), il punto
\[ (x_0+at,\ y_0+bt) \]
descrive tutti e soli i punti della retta.
Se sono noti due punti distinti
\[ P_1(x_1,y_1),\qquad P_2(x_2,y_2), \]
possiamo scegliere come vettore direttore
\[ \boldsymbol{v}=(x_2-x_1,\ y_2-y_1). \]
In questo caso una rappresentazione parametrica della retta passante per \(P_1\) e \(P_2\) è
\[ \begin{cases} x=x_1+(x_2-x_1)t\\ y=y_1+(y_2-y_1)t \end{cases} \qquad t\in\mathbb{R}. \]
Per \(t=0\) si ottiene il punto \(P_1\), mentre per \(t=1\) si ottiene il punto \(P_2\). I valori compresi tra \(0\) e \(1\) descrivono i punti del segmento \(P_1P_2\), mentre gli altri valori di \(t\) descrivono i punti della retta esterni al segmento.
La forma parametrica è particolarmente utile perché descrive allo stesso modo rette oblique, orizzontali e verticali. Ad esempio, se il vettore direttore è \((0,b)\), con \(b\ne 0\), allora l'ascissa rimane costante e si ottiene una retta verticale.
Retta perpendicolare a una retta data
Due rette sono perpendicolari se si incontrano formando quattro angoli retti. Nel piano cartesiano, questa condizione può essere espressa in modo semplice tramite i coefficienti angolari, quando entrambe le rette non sono verticali.
Supponiamo che una retta \(r\) abbia equazione
\[ r:\ y=mx+q, \]
con \(m\ne 0\). Allora ogni retta perpendicolare a \(r\) ha coefficiente angolare
\[ m_\perp=-\frac{1}{m}. \]
Infatti, se due rette non verticali hanno coefficienti angolari \(m_1\) e \(m_2\), esse sono perpendicolari se e solo se
\[ m_1m_2=-1. \]
Per trovare la retta perpendicolare a \(r\) e passante per un punto \(P_0(x_0,y_0)\), si usa quindi la forma punto-pendenza:
\[ y-y_0=-\frac{1}{m}(x-x_0). \]
Il punto \(P_0(x_0,y_0)\) è il punto per cui deve passare la retta perpendicolare. Esso non deve necessariamente appartenere alla retta \(r\).
Bisogna però distinguere i casi particolari.
- Se \(r\) è orizzontale, allora ha equazione \(y=k\). Ogni retta perpendicolare a \(r\) è verticale e ha equazione \(x=h\).
- Se \(r\) è verticale, allora ha equazione \(x=h\). Ogni retta perpendicolare a \(r\) è orizzontale e ha equazione \(y=k\).
Più in generale, usando la forma implicita, la retta
\[ ax+by+c=0 \]
ha come vettore normale
\[ \boldsymbol{n}=(a,b). \]
Una retta perpendicolare a essa ha quindi una direzione parallela al vettore \((a,b)\). Per questo motivo, se deve passare per \(P_0(x_0,y_0)\), una sua possibile equazione parametrica è
\[ \begin{cases} x=x_0+at\\ y=y_0+bt \end{cases} \qquad t\in\mathbb{R}. \]
Questa descrizione è utile perché funziona anche nei casi in cui la retta di partenza è verticale oppure orizzontale.
Esercizi svolti sulla retta
Concludiamo con alcuni esercizi svolti sull'equazione della retta. Gli esempi mostrano come applicare le formule viste nelle sezioni precedenti: equazione passante per due punti, retta perpendicolare, coefficiente angolare e forma parametrica.
Esercizio 1. Determinare l'equazione esplicita della retta passante per i punti \(A(1,2)\) e \(B(3,6)\).
Calcoliamo il coefficiente angolare:
\[ m=\frac{6-2}{3-1}=\frac{4}{2}=2. \]
Poiché la retta passa per \(A(1,2)\), usiamo la forma punto-pendenza:
\[ y-2=2(x-1). \]
Sviluppando otteniamo:
\[ y-2=2x-2, \]
quindi
\[ y=2x. \]
L'equazione della retta cercata è dunque
\[ y=2x. \]
Verifichiamo che entrambi i punti appartengono alla retta:
\[ A(1,2):\quad 2=2\cdot 1, \]
\[ B(3,6):\quad 6=2\cdot 3. \]
Esercizio 2. Determinare l'equazione della retta perpendicolare alla retta \(y=2x\) e passante per il punto \(P(3,6)\).
La retta data ha coefficiente angolare
\[ m=2. \]
Poiché la retta cercata deve essere perpendicolare alla retta data, il suo coefficiente angolare è
\[ m_\perp=-\frac{1}{m}=-\frac{1}{2}. \]
Usiamo ora la forma punto-pendenza con il punto \(P(3,6)\):
\[ y-6=-\frac{1}{2}(x-3). \]
Sviluppando:
\[ y-6=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}. \]
Aggiungendo \(6\) a entrambi i membri otteniamo:
\[ y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}+6. \]
Quindi
\[ y=-\frac{1}{2}x+\frac{15}{2}. \]
L'equazione esplicita della retta cercata è
\[ y=-\frac{1}{2}x+\frac{15}{2}. \]
In forma implicita:
\[ 2y=-x+15, \]
cioè
\[ x+2y-15=0. \]
Verifichiamo il passaggio per \(P(3,6)\):
\[ 6=-\frac{1}{2}\cdot 3+\frac{15}{2} =-\frac{3}{2}+\frac{15}{2} =\frac{12}{2}=6. \]
Esercizio 3. Determinare l'equazione della retta passante per il punto \(P(3,4)\) e avente angolo di inclinazione \(30^\circ\) rispetto al semiasse positivo delle ascisse.
Il coefficiente angolare di una retta non verticale è legato all'angolo di inclinazione dalla relazione
\[ m=\tan\alpha. \]
In questo caso \(\alpha=30^\circ\), quindi
\[ m=\tan 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{3}. \]
Usiamo la forma punto-pendenza con \(P(3,4)\):
\[ y-4=\frac{\sqrt{3}}{3}(x-3). \]
Sviluppando:
\[ y-4=\frac{\sqrt{3}}{3}x-\sqrt{3}. \]
Dunque
\[ y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+4-\sqrt{3}. \]
L'equazione della retta cercata è quindi
\[ y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+4-\sqrt{3}. \]
Verifichiamo il passaggio per \(P(3,4)\):
\[ y=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot 3+4-\sqrt{3} =\sqrt{3}+4-\sqrt{3}=4. \]
Esercizio 4. Determinare l'equazione della retta perpendicolare alla retta \(y=2x\) e passante per il punto \(P(4,2)\).
La retta \(y=2x\) ha coefficiente angolare
\[ m=2. \]
La retta perpendicolare ha quindi coefficiente angolare
\[ m_\perp=-\frac{1}{2}. \]
Usando la forma punto-pendenza con il punto \(P(4,2)\), otteniamo:
\[ y-2=-\frac{1}{2}(x-4). \]
Sviluppando:
\[ y-2=-\frac{1}{2}x+2. \]
Quindi
\[ y=-\frac{1}{2}x+4. \]
L'equazione esplicita della retta cercata è
\[ y=-\frac{1}{2}x+4. \]
In forma implicita:
\[ 2y=-x+8, \]
cioè
\[ x+2y-8=0. \]
Verifichiamo il passaggio per \(P(4,2)\):
\[ 2=-\frac{1}{2}\cdot 4+4=-2+4=2. \]
Esercizio 5. Scrivere l'equazione parametrica della retta passante per \(A(3,-1)\) e \(B(4,1)\). Successivamente, ricavare la corrispondente equazione cartesiana.
Calcoliamo un vettore direttore della retta:
\[ \boldsymbol{v}=(4-3,\ 1-(-1))=(1,2). \]
Una rappresentazione parametrica della retta passante per \(A(3,-1)\) con vettore direttore \(\boldsymbol{v}=(1,2)\) è
\[ \begin{cases} x=3+t\\ y=-1+2t \end{cases} \qquad t\in\mathbb{R}. \]
Per passare alla forma cartesiana, ricaviamo \(t\) dalla prima equazione:
\[ x=3+t, \]
quindi
\[ t=x-3. \]
Sostituendo nella seconda equazione:
\[ y=-1+2(x-3). \]
Sviluppando:
\[ y=-1+2x-6=2x-7. \]
Dunque la forma esplicita della retta è
\[ y=2x-7. \]
Portando tutti i termini al primo membro, otteniamo la forma implicita:
\[ 2x-y-7=0. \]
Verifichiamo il passaggio per i due punti:
\[ A(3,-1):\quad -1=2\cdot 3-7, \]
\[ B(4,1):\quad 1=2\cdot 4-7. \]
