La parabola è una curva piana definita come il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto fisso, detto fuoco, e da una retta fissa, detta direttrice. Il suo asse di simmetria passa per il fuoco ed è perpendicolare alla direttrice.
Indice
- Equazione Canonica della Parabola
- Parabola con Asse Verticale e Parabola con Asse Orizzontale
- Parabola Traslata nel Piano
- Vertice, Fuoco, Direttrice e Asse di Simmetria
- Equazione della Parabola Noti il Vertice e un Punto
- Esercizi Svolti sulla Parabola
Equazione Canonica della Parabola
Una parabola è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso, detto fuoco, e da una retta fissa, detta direttrice.
Consideriamo il caso più semplice: il fuoco è \(F(0,p)\), con \(p>0\), e direttrice la retta \(y=-p\). Un punto \(P(x,y)\) appartiene alla parabola se e solo se la sua distanza dal fuoco è uguale alla sua distanza dalla direttrice:
\[ d(P,F)=d(P,r). \]
Poiché
\[ d(P,F)=\sqrt{x^2+(y-p)^2} \]
e
\[ d(P,r)=|y+p|, \]
otteniamo l'equazione
\[ \sqrt{x^2+(y-p)^2}=|y+p|. \]
In questo caso la parabola si trova al di sopra della direttrice, quindi \(y\geq -p\) e \(y+p\geq 0\). Possiamo allora scrivere:
\[ \sqrt{x^2+(y-p)^2}=y+p. \]
Elevando al quadrato entrambi i membri, si ottiene
\[ x^2+(y-p)^2=(y+p)^2. \]
Sviluppando i quadrati:
\[ x^2+y^2-2py+p^2=y^2+2py+p^2. \]
Semplificando, ricaviamo
\[ x^2=4py. \]
Poiché \(p>0\), possiamo dividere per \(4p\) e ottenere:
\[ y=\frac{1}{4p}x^2. \]
Ponendo
\[ a=\frac{1}{4p}, \]
l'equazione diventa
\[ y=ax^2. \]
Questa è l'equazione canonica della parabola con vertice nell'origine e asse di simmetria coincidente con l'asse \(y\).
Nel caso appena studiato abbiamo \(a>0\), quindi la concavità è rivolta verso l'alto. Più in generale, per ogni \(a\neq 0\), la parabola di equazione
\[ y=ax^2 \]
ha vertice \(V(0,0)\), asse di simmetria \(x=0\), fuoco
\[ F\left(0,\frac{1}{4a}\right) \]
e direttrice
\[ y=-\frac{1}{4a}. \]
La quantità
\[ \frac{1}{4|a|} \]
rappresenta la distanza tra il vertice e il fuoco. La parabola ha concavità verso l'alto se \(a>0\), mentre ha concavità verso il basso se \(a<0\).
Parabola con Asse Verticale e Parabola con Asse Orizzontale
L'equazione della parabola assume forme diverse a seconda dell'orientamento dell'asse di simmetria. I due casi fondamentali sono la parabola con asse verticale e la parabola con asse orizzontale.
Parabola con Asse Verticale
Una parabola con asse verticale e vertice nell'origine ha equazione
\[ y=ax^2, \qquad a\neq 0. \]
L'asse di simmetria coincide con l'asse \(y\), cioè con la retta \(x=0\). Se \(a>0\), la parabola ha concavità rivolta verso l'alto; se invece \(a<0\), ha concavità rivolta verso il basso.
Gli elementi caratteristici sono: vertice \(V(0,0)\), asse di simmetria \(x=0\), fuoco \(F\left(0,\displaystyle \frac{1}{4a}\right)\) e direttrice \(y=-\displaystyle \frac{1}{4a}\).
La stessa equazione può essere scritta anche nella forma
\[ x^2=4py, \]
dove \(p=\displaystyle \frac{1}{4a}\) è il parametro della parabola. Il segno di \(p\) indica il verso di apertura, mentre la distanza tra il vertice e il fuoco è \( |p|=\displaystyle \frac{1}{4|a|} \).
Esempio. Consideriamo la parabola
\[ y=2x^2. \]
In questo caso \(a=2\), quindi
\[ \frac{1}{4a}=\frac{1}{8}. \]
Il vertice è \(V(0,0)\), l'asse di simmetria è \(x=0\), il fuoco è \(F\left(0,\displaystyle \frac{1}{8}\right)\) e la direttrice ha equazione \(y=-\displaystyle \frac{1}{8}\). Poiché \(a>0\), la parabola ha concavità verso l'alto.
Parabola con Asse Orizzontale
Una parabola con asse orizzontale e vertice nell'origine ha equazione
\[ x=ay^2, \qquad a\neq 0. \]
In questo caso l'asse di simmetria coincide con l'asse \(x\), cioè con la retta \(y=0\). Se \(a>0\), la parabola ha concavità rivolta verso destra; se invece \(a<0\), ha concavità rivolta verso sinistra.
Gli elementi caratteristici sono: vertice \(V(0,0)\), asse di simmetria \(y=0\), fuoco \(F\left(\displaystyle \frac{1}{4a},0\right)\) e direttrice \(x=-\displaystyle \frac{1}{4a}\).
Equivalentemente, l'equazione può essere scritta nella forma
\[ y^2=4px, \]
dove anche in questo caso \(p=\displaystyle \frac{1}{4a}\) è il parametro della parabola. Il segno di \(p\) indica il verso di apertura, mentre \( |p|=\displaystyle \frac{1}{4|a|} \) rappresenta la distanza tra il vertice e il fuoco.
Esempio. Consideriamo la parabola
\[ x=2y^2. \]
In questo caso \(a=2\), quindi
\[ \frac{1}{4a}=\frac{1}{8}. \]
Il vertice è \(V(0,0)\), l'asse di simmetria è \(y=0\), il fuoco è \(F\left(\displaystyle \frac{1}{8},0\right)\) e la direttrice ha equazione \(x=-\displaystyle \frac{1}{8}\). Poiché \(a>0\), la parabola ha concavità verso destra.
Relazione tra coefficiente e parametro della parabola
Nelle forme canoniche
\[ y=ax^2 \qquad \text{e} \qquad x=ay^2, \]
il coefficiente \(a\) determina sia l'apertura sia l'orientamento della parabola. Più precisamente, il parametro della parabola è
\[ p=\frac{1}{4a}. \]
Se \(a>0\), allora \(p>0\) e la parabola si apre nel verso positivo dell'asse di simmetria. Se \(a<0\), allora \(p<0\) e la parabola si apre nel verso negativo dell'asse di simmetria.
La distanza tra il vertice e il fuoco, invece, è sempre positiva ed è data da
\[ |p|=\frac{1}{4|a|}. \]
Questa distinzione è importante: \(p\) conserva l'informazione sul verso della concavità, mentre \( |p| \) misura una distanza.
Parabola Traslata nel Piano
Finora abbiamo considerato parabole con vertice nell'origine. In molti casi, però, il vertice si trova in un punto qualsiasi del piano. In questa situazione si parla di parabola traslata.
Una traslazione sposta tutti i punti del piano dello stesso vettore. Per questo motivo, se trasliamo una parabola, la sua forma non cambia: cambiano soltanto la posizione del vertice, del fuoco, della direttrice e dell'asse di simmetria.
Parabola traslata con asse verticale
Partiamo dalla parabola canonica
\[ y=ax^2. \]
Se il vertice viene spostato nel punto \(V(h,k)\), l'equazione diventa
\[ y=a(x-h)^2+k. \]
Questa forma è detta forma del vertice. È particolarmente utile perché permette di leggere immediatamente il vertice della parabola.
Infatti, nella parabola
\[ y=a(x-h)^2+k, \]
il vertice è \(V(h,k)\), mentre l'asse di simmetria è la retta
\[ x=h. \]
Il segno di \(a\) determina il verso della concavità: la parabola è rivolta verso l'alto se \(a>0\), verso il basso se \(a<0\).
Dalla forma del vertice alla forma generale
Sviluppando il quadrato nella forma del vertice, otteniamo:
\[ y=a(x-h)^2+k =a(x^2-2hx+h^2)+k. \]
Quindi
\[ y=ax^2-2ahx+ah^2+k. \]
Se poniamo
\[ b=-2ah, \qquad c=ah^2+k, \]
ritroviamo la forma generale
\[ y=ax^2+bx+c. \]
Viceversa, partendo dalla forma generale \(y=ax^2+bx+c\), con \(a\neq 0\), le coordinate del vertice sono
\[ h=-\frac{b}{2a}, \qquad k=c-\frac{b^2}{4a}. \]
Elementi geometrici della parabola traslata
Per una parabola con asse verticale di equazione
\[ y=a(x-h)^2+k, \qquad a\neq 0, \]
gli elementi caratteristici sono: vertice \(V(h,k)\), asse di simmetria \(x=h\), fuoco \(F\left(h,k+\displaystyle \frac{1}{4a}\right)\) e direttrice \(y=k-\displaystyle \frac{1}{4a}\).
La distanza tra il vertice e il fuoco è
\[ \frac{1}{4|a|}, \]
mentre la distanza tra il fuoco e la direttrice è
\[ \frac{1}{2|a|}. \]
Esempio. Consideriamo la parabola
\[ y=2(x-3)^2-5. \]
Essa è ottenuta traslando la parabola \(y=2x^2\) di \(3\) unità verso destra e di \(5\) unità verso il basso.
Il vertice è quindi
\[ V(3,-5), \]
e l'asse di simmetria ha equazione
\[ x=3. \]
Poiché \(a=2\), abbiamo
\[ \frac{1}{4a}=\frac{1}{8}. \]
Il fuoco è
\[ F\left(3,-5+\frac{1}{8}\right) = F\left(3,-\frac{39}{8}\right), \]
mentre la direttrice ha equazione
\[ y=-5-\frac{1}{8} = -\frac{41}{8}. \]
Vertice, Fuoco, Direttrice e Asse di Simmetria
Gli elementi geometrici fondamentali di una parabola sono il vertice, il fuoco, la direttrice e l'asse di simmetria. Questi elementi permettono di descrivere completamente la posizione della parabola nel piano cartesiano.
In questa sezione consideriamo le parabole con asse verticale, cioè le parabole rappresentate dall'equazione
\[ y=ax^2+bx+c, \qquad a\neq 0. \]
Vertice della parabola
Per una parabola con asse verticale, il vertice è il punto in cui la funzione quadratica assume il proprio valore minimo, se \(a>0\), oppure il proprio valore massimo, se \(a<0\).
Per determinare le coordinate del vertice, partiamo dall'equazione generale
\[ y=ax^2+bx+c. \]
Raccogliamo \(a\) nei primi due termini:
\[ y=a\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+c. \]
Completiamo il quadrato aggiungendo e sottraendo il termine \(\left(\displaystyle \frac{b}{2a}\right)^2\):
\[ y=a\left[ x^2+\frac{b}{a}x+ \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2 \right]+c. \]
Otteniamo quindi:
\[ y=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a}+c. \]
Poiché \(\Delta=b^2-4ac\), possiamo scrivere:
\[ -\frac{b^2}{4a}+c = -\frac{b^2-4ac}{4a} = -\frac{\Delta}{4a}. \]
Dunque la parabola può essere riscritta nella forma
\[ y=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a}. \]
Confrontando questa espressione con la forma del vertice
\[ y=a(x-h)^2+k, \]
ricaviamo:
\[ h=-\frac{b}{2a}, \qquad k=-\frac{\Delta}{4a}. \]
Quindi il vertice della parabola \(y=ax^2+bx+c\) è
\[ V\left(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a}\right). \]
Asse di simmetria
L'asse di simmetria è la retta che passa per il vertice e divide la parabola in due parti simmetriche. Per una parabola con asse verticale di equazione
\[ y=ax^2+bx+c, \]
l'asse di simmetria ha equazione
\[ x=-\frac{b}{2a}. \]
Questa retta contiene sia il vertice sia il fuoco della parabola.
Fuoco della parabola
Il fuoco è il punto fisso che compare nella definizione geometrica della parabola. Ogni punto della parabola ha la stessa distanza dal fuoco e dalla direttrice.
Se la parabola è scritta nella forma del vertice
\[ y=a(x-h)^2+k, \]
il suo fuoco è
\[ F\left(h,k+\frac{1}{4a}\right). \]
Nel caso della forma generale \(y=ax^2+bx+c\), abbiamo
\[ h=-\frac{b}{2a}, \qquad k=-\frac{\Delta}{4a}. \]
Sostituendo questi valori, otteniamo:
\[ F\left( -\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a}+\frac{1}{4a} \right). \]
La formula è valida sia per \(a>0\), sia per \(a<0\). Se \(a>0\), il fuoco si trova sopra il vertice; se \(a<0\), si trova sotto il vertice.
Direttrice della parabola
La direttrice è la retta fissa rispetto alla quale viene definita la parabola. Ogni punto della parabola è equidistante dal fuoco e dalla direttrice.
Se la parabola è scritta nella forma
\[ y=a(x-h)^2+k, \]
la direttrice ha equazione
\[ y=k-\frac{1}{4a}. \]
Per la parabola di equazione \(y=ax^2+bx+c\), usando ancora
\[ k=-\frac{\Delta}{4a}, \]
otteniamo:
\[ y=-\frac{\Delta}{4a}-\frac{1}{4a}. \]
Anche questa formula tiene conto automaticamente del segno di \(a\). Se \(a>0\), la direttrice si trova sotto il vertice; se \(a<0\), si trova sopra il vertice.
Distanza focale
La distanza tra il vertice e il fuoco è detta distanza focale. Nella forma del vertice
\[ y=a(x-h)^2+k, \]
il fuoco si ottiene a partire dal vertice mediante uno spostamento orientato pari a
\[ \frac{1}{4a} \]
lungo l'asse di simmetria. Di conseguenza, la distanza focale è
\[ \frac{1}{4|a|}. \]
La distanza tra il fuoco e la direttrice è quindi il doppio:
\[ \frac{1}{2|a|}. \]
Riepilogo delle formule
Per una parabola con asse verticale di equazione
\[ y=ax^2+bx+c, \qquad a\neq 0, \]
ponendo \(\Delta=b^2-4ac\), abbiamo: vertice \(V\left(-\displaystyle \frac{b}{2a},-\displaystyle \frac{\Delta}{4a}\right)\), asse di simmetria \(x=-\displaystyle \frac{b}{2a}\), fuoco \(F\left(-\displaystyle \frac{b}{2a},-\displaystyle \frac{\Delta}{4a}+\displaystyle \frac{1}{4a}\right)\), direttrice \(y=-\displaystyle \frac{\Delta}{4a}-\displaystyle \frac{1}{4a}\) e distanza focale \(\displaystyle \frac{1}{4|a|}\).
Esempio. Consideriamo la parabola
\[ y=2x^2-8x+3. \]
In questo caso
\[ a=2, \qquad b=-8, \qquad c=3. \]
Il discriminante è
\[ \Delta=b^2-4ac=(-8)^2-4\cdot 2\cdot 3=64-24=40. \]
Il vertice è quindi
\[ V\left(-\frac{-8}{2\cdot 2},-\frac{40}{4\cdot 2}\right) = V(2,-5). \]
L'asse di simmetria ha equazione
\[ x=2. \]
Poiché
\[ \frac{1}{4a}=\frac{1}{8}, \]
il fuoco è
\[ F\left(2,-5+\frac{1}{8}\right) = F\left(2,-\frac{39}{8}\right), \]
mentre la direttrice ha equazione
\[ y=-5-\frac{1}{8} = -\frac{41}{8}. \]
Infine, la distanza focale è
\[ \frac{1}{4|a|} = \frac{1}{8}. \]
Equazione della Parabola Noti il Vertice e un Punto
Una parabola con asse verticale è determinata in modo univoco quando conosciamo il suo vertice e un altro punto della curva, purché questo punto non abbia la stessa ascissa del vertice.
Supponiamo quindi che il vertice sia
\[ V(h,k) \]
e che la parabola passi per il punto
\[ P(x_0,y_0), \qquad x_0\neq h. \]
Poiché il vertice è noto, conviene usare la forma del vertice:
\[ y=a(x-h)^2+k. \]
In questa equazione l'unico parametro da determinare è \(a\). Per trovarlo, imponiamo il passaggio della parabola per il punto \(P(x_0,y_0)\). Sostituendo le coordinate del punto, otteniamo:
\[ y_0=a(x_0-h)^2+k. \]
Da cui:
\[ y_0-k=a(x_0-h)^2. \]
Poiché \(x_0\neq h\), possiamo dividere per \((x_0-h)^2\) e ricavare:
\[ a=\frac{y_0-k}{(x_0-h)^2}. \]
L'equazione della parabola è quindi
\[ y=\frac{y_0-k}{(x_0-h)^2}(x-h)^2+k. \]
Esempio. Determiniamo l'equazione della parabola con asse verticale, vertice
\[ V(3,-2) \]
e passante per il punto
\[ P(5,6). \]
Poiché il vertice è \(V(3,-2)\), scriviamo la parabola nella forma:
\[ y=a(x-3)^2-2. \]
Ora imponiamo il passaggio per il punto \(P(5,6)\):
\[ 6=a(5-3)^2-2. \]
Quindi:
\[ 6=4a-2. \]
Da cui:
\[ 8=4a \]
e dunque
\[ a=2. \]
L'equazione cercata è quindi
\[ y=2(x-3)^2-2. \]
Se vogliamo scriverla in forma generale, sviluppiamo il quadrato:
\[ y=2(x^2-6x+9)-2. \]
Otteniamo:
\[ y=2x^2-12x+18-2, \]
cioè
\[ y=2x^2-12x+16. \]
Verifica. Verifichiamo che la parabola ottenuta abbia davvero vertice \(V(3,-2)\). Nell'equazione
\[ y=2x^2-12x+16 \]
abbiamo \(a=2\), \(b=-12\), \(c=16\). L'ascissa del vertice è:
\[ x_V=-\frac{b}{2a} = -\frac{-12}{2\cdot 2} = 3. \]
L'ordinata corrispondente è:
\[ y_V=2\cdot 3^2-12\cdot 3+16 = 18-36+16 = -2. \]
Il vertice è quindi effettivamente \(V(3,-2)\).
Caso della parabola con asse orizzontale
Il procedimento è analogo per una parabola con asse orizzontale. Se il vertice è \(V(h,k)\), la forma del vertice è
\[ x=a(y-k)^2+h. \]
Se la parabola passa per il punto \(P(x_0,y_0)\), con \(y_0\neq k\), sostituendo le coordinate del punto otteniamo:
\[ x_0=a(y_0-k)^2+h. \]
Da cui:
\[ a=\frac{x_0-h}{(y_0-k)^2}. \]
Anche in questo caso, una volta determinato \(a\), l'equazione della parabola è completamente nota.
Fuoco e direttrice
Dopo aver determinato il coefficiente \(a\), possiamo calcolare anche gli elementi geometrici della parabola.
Per una parabola con asse verticale di equazione
\[ y=a(x-h)^2+k, \]
il fuoco è
\[ F\left(h,k+\frac{1}{4a}\right), \]
mentre la direttrice ha equazione
\[ y=k-\frac{1}{4a}. \]
La distanza tra il vertice e il fuoco è
\[ \frac{1}{4|a|}. \]
Esercizi Svolti sulla Parabola
Concludiamo con alcuni esercizi svolti sulla parabola. Gli esempi raccolgono le situazioni più frequenti: determinare gli elementi caratteristici, ricavare l'equazione a partire da dati geometrici, studiare una parabola con asse orizzontale e risolvere semplici problemi di simmetria.
Esercizio 1. Data la parabola di equazione
\[ y=3x^2-12x+7, \]
determinare il vertice, il fuoco, la direttrice e la distanza focale.
L'equazione è nella forma
\[ y=ax^2+bx+c. \]
In questo caso
\[ a=3,\qquad b=-12,\qquad c=7. \]
Calcoliamo il discriminante:
\[ \Delta=b^2-4ac=(-12)^2-4\cdot 3\cdot 7=144-84=60. \]
Il vertice della parabola è
\[ V\left(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a}\right). \]
Sostituendo i valori trovati, otteniamo:
\[ V\left(-\frac{-12}{2\cdot 3},-\frac{60}{4\cdot 3}\right) = V(2,-5). \]
Poiché
\[ \frac{1}{4a}=\frac{1}{12}, \]
e poiché \(a>0\), il fuoco si trova sopra il vertice:
\[ F\left(2,-5+\frac{1}{12}\right) = F\left(2,-\frac{59}{12}\right). \]
La direttrice si trova invece sotto il vertice:
\[ y=-5-\frac{1}{12} = -\frac{61}{12}. \]
Infine, la distanza focale è
\[ \frac{1}{4|a|} = \frac{1}{12}. \]
Esercizio 2. Determinare l'equazione della parabola con asse verticale che ha vertice \(V(-1,4)\) e passa per il punto \(P(2,-5)\).
Poiché conosciamo il vertice, usiamo la forma del vertice:
\[ y=a(x-h)^2+k. \]
Nel nostro caso \(h=-1\) e \(k=4\), quindi:
\[ y=a(x+1)^2+4. \]
La parabola passa per il punto \(P(2,-5)\). Sostituendo \(x=2\) e \(y=-5\), otteniamo:
\[ -5=a(2+1)^2+4. \]
Quindi:
\[ -5=9a+4. \]
Da cui:
\[ -9=9a, \]
e dunque
\[ a=-1. \]
L'equazione della parabola è quindi
\[ y=-(x+1)^2+4. \]
Sviluppando il quadrato, otteniamo:
\[ y=-(x^2+2x+1)+4, \]
cioè
\[ y=-x^2-2x+3. \]
Esercizio 3. Data la parabola con asse orizzontale
\[ x=2y^2-8y+6, \]
determinare il vertice, il fuoco e la direttrice.
Poiché la parabola ha asse orizzontale, completiamo il quadrato rispetto alla variabile \(y\):
\[ \begin{aligned} x &=2y^2-8y+6 \\ &=2(y^2-4y)+6 \\ &=2(y^2-4y+4-4)+6 \\ &=2(y-2)^2-8+6 \\ &=2(y-2)^2-2. \end{aligned} \]
La parabola è quindi nella forma
\[ x=a(y-k)^2+h. \]
Confrontando le due espressioni, ricaviamo:
\[ a=2,\qquad h=-2,\qquad k=2. \]
Il vertice è quindi
\[ V(-2,2). \]
Inoltre
\[ \frac{1}{4a}=\frac{1}{8}. \]
Poiché \(a>0\), la parabola si apre verso destra. Il fuoco si trova quindi a destra del vertice:
\[ F\left(-2+\frac{1}{8},2\right) = F\left(-\frac{15}{8},2\right). \]
La direttrice si trova invece a sinistra del vertice:
\[ x=-2-\frac{1}{8} = -\frac{17}{8}. \]
Esercizio 4. Data la parabola
\[ y=-2x^2+8x-5, \]
determinare l'equazione della parabola simmetrica rispetto all'asse delle ascisse. Calcolare inoltre i punti di intersezione tra le due parabole.
La simmetria rispetto all'asse delle ascisse trasforma ogni punto \((x,y)\) nel punto \((x,-y)\). Per trovare l'equazione della parabola simmetrica, sostituiamo quindi \(y\) con \(-y\) nell'equazione iniziale:
\[ -y=-2x^2+8x-5. \]
Moltiplicando entrambi i membri per \(-1\), otteniamo:
\[ y=2x^2-8x+5. \]
Questa è l'equazione della parabola simmetrica rispetto all'asse delle ascisse.
Per determinare i punti di intersezione tra le due parabole, risolviamo il sistema:
\[ \begin{cases} y=-2x^2+8x-5 \\ y=2x^2-8x+5. \end{cases} \]
Uguagliando le due espressioni di \(y\), otteniamo:
\[ -2x^2+8x-5=2x^2-8x+5. \]
Portando tutto a secondo membro:
\[ 4x^2-16x+10=0. \]
Dividendo per \(2\):
\[ 2x^2-8x+5=0. \]
Applicando la formula risolutiva, ricaviamo:
\[ x= \frac{8\pm\sqrt{64-40}}{4} = \frac{8\pm\sqrt{24}}{4} = \frac{8\pm 2\sqrt6}{4} = \frac{4\pm\sqrt6}{2}. \]
Poiché una curva e la sua simmetrica rispetto all'asse delle ascisse si intersecano sull'asse \(x\), le ordinate dei punti di intersezione sono nulle. Dunque i punti di intersezione sono:
\[ A\left(\frac{4+\sqrt6}{2},0\right), \qquad B\left(\frac{4-\sqrt6}{2},0\right). \]
Esercizio 5. Determinare l'equazione della parabola con asse verticale che ha fuoco \(F(1,5)\) e direttrice \(y=3\). Verificare inoltre se il punto \(P(3,6)\) appartiene alla parabola.
Il fuoco è \(F(1,5)\) e la direttrice è la retta \(y=3\). Poiché la direttrice è orizzontale, l'asse della parabola è verticale e passa per il fuoco.
Il vertice si trova a metà strada tra il fuoco e la direttrice. Ha quindi la stessa ascissa del fuoco e ordinata uguale alla media tra \(5\) e \(3\):
\[ V\left(1,\frac{5+3}{2}\right) = V(1,4). \]
La distanza focale è
\[ 5-4=1. \]
Poiché il fuoco si trova sopra il vertice, la parabola ha concavità verso l'alto. Pertanto il parametro della parabola è \(p=1\), e quindi:
\[ a=\frac{1}{4p}=\frac{1}{4}. \]
L'equazione della parabola è quindi
\[ y=\frac{1}{4}(x-1)^2+4. \]
Verifichiamo ora se il punto \(P(3,6)\) appartiene alla parabola. Sostituendo \(x=3\) nell'equazione trovata, otteniamo:
\[ y=\frac{1}{4}(3-1)^2+4 = \frac{1}{4}\cdot 4+4 = 5. \]
Per \(x=3\), la parabola ha ordinata \(5\), mentre il punto dato ha ordinata \(6\). Quindi il punto \(P(3,6)\) non appartiene alla parabola.
Possiamo confermare lo stesso risultato anche usando la definizione geometrica. La distanza di \(P\) dal fuoco è
\[ d(P,F) = \sqrt{(3-1)^2+(6-5)^2} = \sqrt5, \]
mentre la distanza di \(P\) dalla direttrice è
\[ d(P,\text{direttrice}) = |6-3| = 3. \]
Poiché \(\sqrt5\neq 3\), il punto non appartiene alla parabola.