La circonferenza è il luogo geometrico dei punti del piano che hanno distanza costante da un punto fisso, detto centro. Tale distanza costante prende il nome di raggio. La circonferenza è una curva chiusa, simmetrica rispetto al suo centro, ed è un caso particolare di conica non degenere ottenuta sezionando un cono circolare retto con un piano perpendicolare all'asse del cono e non passante per il vertice.
Indice
- Definizione geometrica e deduzione dell'equazione
- Equazione della circonferenza con centro nell'origine
- Equazione della circonferenza con centro generico
- Forma generale e completamento del quadrato
- Condizioni per rappresentare una circonferenza reale
- Posizione di un punto rispetto alla circonferenza
- Retta tangente alla circonferenza
- Intersezione tra due circonferenze
- Fascio di circonferenze
- Simmetrie e proprietà geometriche
- Esercizi
Definizione geometrica e deduzione dell'equazione
Consideriamo un punto fisso \( C(x_0, y_0) \) in un riferimento cartesiano ortonormale. La circonferenza di centro \( C \) e raggio \( r > 0 \) è l'insieme dei punti \( P(x, y) \) del piano tali che:
\[ \text{dist}(P,C)=r \]
Applicando la formula della distanza euclidea tra due punti nel piano cartesiano, si ha:
\[ \text{dist}(P, C) = \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} \]
Imponendo la condizione \( \text{dist}(P, C) = r \), otteniamo:
\[ \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} = r \]
Elevando al quadrato entrambi i membri (operazione lecita poiché entrambi sono non negativi, essendo \( r > 0 \) per definizione):
\[ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2 \]
Questa è la forma canonica (o forma normale) dell'equazione della circonferenza con centro \( C(x_0, y_0) \) e raggio \( r \). L'equazione rappresenta tutti e soli i punti che soddisfano la condizione geometrica di appartenenza alla circonferenza.
Equazione della circonferenza con centro nell'origine
Nel caso particolare in cui il centro coincida con l'origine del sistema di riferimento, cioè \( C(0, 0) \), ponendo \( x_0 = 0 \) e \( y_0 = 0 \) nella forma canonica, l'equazione si semplifica notevolmente:
\[ x^2 + y^2 = r^2 \]
Questa è l'equazione più elementare della circonferenza e descrive l'insieme di tutti i punti equidistanti dall'origine degli assi cartesiani. L'equazione gode delle seguenti proprietà di simmetria:
- Simmetria rispetto all'asse delle ascisse: se \( (x, y) \) appartiene alla circonferenza, allora anche \( (x, -y) \) vi appartiene
- Simmetria rispetto all'asse delle ordinate: se \( (x, y) \) appartiene alla circonferenza, allora anche \( (-x, y) \) vi appartiene
- Simmetria centrale rispetto all'origine: se \( (x, y) \) appartiene alla circonferenza, allora anche \( (-x, -y) \) vi appartiene
Inoltre, tutti i diametri della circonferenza passano per l'origine e hanno lunghezza \( 2r \). Il punto \( (r, 0) \) rappresenta l'intersezione della circonferenza con il semiasse positivo delle ascisse.
Equazione della circonferenza con centro generico
Consideriamo ora il caso generale di una circonferenza con centro in un punto arbitrario \( C(x_0, y_0) \) del piano e raggio \( r > 0 \). L'equazione canonica è:
\[ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2 \]
Sviluppando i quadrati dei binomi utilizzando le identità algebriche \( (a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 \), otteniamo:
\[ x^2 - 2x_0x + x_0^2 + y^2 - 2y_0y + y_0^2 = r^2 \]
Riordinando i termini e portando tutte le quantità al primo membro:
\[ x^2 + y^2 - 2x_0 x - 2y_0 y + (x_0^2 + y_0^2 - r^2) = 0 \]
Introduciamo ora i parametri:
\[ D = -2x_0 \quad , \quad E = -2y_0 \quad , \quad F = x_0^2 + y_0^2 - r^2 \]
Da queste relazioni possiamo ricavare:
\[ x_0 = -\frac{D}{2} \quad , \quad y_0 = -\frac{E}{2} \quad , \quad r^2 = x_0^2 + y_0^2 - F = \frac{D^2 + E^2}{4} - F \]
Sostituendo nella forma sviluppata, otteniamo la forma generale dell'equazione della circonferenza:
\[ x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 \]
Forma generale e completamento del quadrato
Data un'equazione nella forma generale:
\[ x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 \]
per ricondurla alla forma canonica e determinare centro e raggio, utilizziamo la tecnica del completamento del quadrato. Il metodo consiste nel trasformare le espressioni \( x^2 + Dx \) e \( y^2 + Ey \) in quadrati perfetti.
Per il termine in \( x \):
\[ x^2 + Dx = x^2 + Dx + \frac{D^2}{4} - \frac{D^2}{4} = \left( x + \frac{D}{2} \right)^2 - \frac{D^2}{4} \]
Analogamente, per il termine in \( y \):
\[ y^2 + Ey = y^2 + Ey + \frac{E^2}{4} - \frac{E^2}{4} = \left( y + \frac{E}{2} \right)^2 - \frac{E^2}{4} \]
Sostituendo nell'equazione generale:
\[ \left( x + \frac{D}{2} \right)^2 - \frac{D^2}{4} + \left( y + \frac{E}{2} \right)^2 - \frac{E^2}{4} + F = 0 \]
Riordinando:
\[ \left( x + \frac{D}{2} \right)^2 + \left( y + \frac{E}{2} \right)^2 = \frac{D^2 + E^2}{4} - F \]
Questa è la forma canonica, dalla quale possiamo leggere direttamente:
- Centro: \( C\left( -\displaystyle \frac{D}{2}, -\displaystyle\frac{E}{2} \right) \)
- Raggio: \( r = \sqrt{\displaystyle\frac{D^2 + E^2}{4} - F} \) (purché l'espressione sotto radice sia positiva)
Condizioni per rappresentare una circonferenza reale
Consideriamo un'equazione di secondo grado nelle due variabili \(x\) e \(y\):
\[ ax^2 + by^2 + cxy + dx + ey + f = 0 \]
Essa può rappresentare una circonferenza solo se i coefficienti dei termini quadratici puri sono uguali e il termine misto è assente. Più precisamente, devono valere le condizioni:
- coefficienti dei termini quadratici uguali e non nulli: \(a=b\ne 0\);
- assenza del termine misto: \(c=0\).
In tal caso, dividendo l'equazione per \(a\), si ottiene:
\[ x^2+y^2+\frac{d}{a}x+\frac{e}{a}y+\frac{f}{a}=0. \]
Il centro e il quadrato del raggio sono quindi:
\[ C\left(-\frac{d}{2a},-\frac{e}{2a}\right), \qquad r^2=\frac{d^2+e^2}{4a^2}-\frac{f}{a}. \]
Di conseguenza:
- se \( \displaystyle \frac{d^2+e^2}{4a^2}-\frac{f}{a}>0 \), l'equazione rappresenta una circonferenza reale non degenere;
- se \( \displaystyle \frac{d^2+e^2}{4a^2}-\frac{f}{a}=0 \), l'equazione rappresenta una circonferenza degenere, ridotta a un punto;
- se \( \displaystyle \frac{d^2+e^2}{4a^2}-\frac{f}{a}<0 \), l'equazione non ha punti reali.
Nel caso della forma standard
\[ x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0, \]
il centro e il quadrato del raggio sono:
\[ C\left(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}\right), \qquad r^2=\frac{D^2+E^2}{4}-F. \]
La condizione affinché l'equazione rappresenti una circonferenza reale non degenere è:
\[ \frac{D^2+E^2}{4}-F>0 \quad \Longleftrightarrow \quad D^2+E^2-4F>0. \]
Distinguiamo quindi tre casi:
- se \(D^2+E^2-4F>0\): l'equazione rappresenta una circonferenza reale non degenere, di raggio \( \displaystyle r=\frac{1}{2}\sqrt{D^2+E^2-4F} \);
- se \(D^2+E^2-4F=0\): l'equazione rappresenta una circonferenza degenere, ridotta al solo centro;
- se \(D^2+E^2-4F<0\): l'equazione non rappresenta alcun luogo reale.
Posizione di un punto rispetto alla circonferenza
Data una circonferenza di equazione \( (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2 \) e un punto \( P(x_P, y_P) \), possiamo determinare la posizione relativa del punto rispetto alla circonferenza calcolando la quantità:
\[ \delta = (x_P - x_0)^2 + (y_P - y_0)^2 - r^2 \]
Si hanno tre possibilità:
- Se \( \delta = 0 \): il punto appartiene alla circonferenza
- Se \( \delta < 0 \): il punto è interno alla circonferenza
- Se \( \delta > 0 \): il punto è esterno alla circonferenza
Equivalentemente, confrontando la distanza \( d = \sqrt{(x_P - x_0)^2 + (y_P - y_0)^2} \) del punto dal centro con il raggio:
- Se \( d = r \): punto sulla circonferenza
- Se \( d < r \): punto interno
- Se \( d > r \): punto esterno
Retta tangente alla circonferenza
Data una circonferenza di centro \( C(x_0, y_0) \) e raggio \( r \), e un punto \( P(x_1, y_1) \) appartenente alla circonferenza, l'equazione della retta tangente alla circonferenza nel punto \( P \) è:
\[ (x_1 - x_0)(x - x_0) + (y_1 - y_0)(y - y_0) = r^2 \]
Nel caso particolare di circonferenza centrata nell'origine \( x^2 + y^2 = r^2 \), l'equazione della tangente nel punto \( P(x_1, y_1) \) si semplifica in:
\[ x_1 x + y_1 y = r^2 \]
La retta tangente è perpendicolare al raggio condotto nel punto di tangenza. Questo risultato deriva dal fatto che il vettore \( \overrightarrow{CP} = (x_1 - x_0, y_1 - y_0) \) è normale alla tangente.
Tangenti da un punto esterno
Da un punto esterno \( P(x_P, y_P) \) a una circonferenza si possono condurre esattamente due rette tangenti. Per determinarle, si può considerare una generica retta passante per \(P\) e imporre che la sua distanza dal centro sia uguale al raggio. In alternativa, si possono cercare direttamente i punti di tangenza \(T\), imponendo che \(T\) appartenga alla circonferenza e che la tangente in \(T\) passi per il punto esterno \(P\).
Intersezione tra due circonferenze
Date due circonferenze:
\[ \Gamma_1:\quad x^2 + y^2 + D_1 x + E_1 y + F_1 = 0 \]
\[ \Gamma_2:\quad x^2 + y^2 + D_2 x + E_2 y + F_2 = 0, \]
per trovare gli eventuali punti di intersezione si risolve il sistema formato dalle due equazioni. Sottraendo la seconda equazione dalla prima si ottiene:
\[ (D_1-D_2)x+(E_1-E_2)y+(F_1-F_2)=0. \]
Se le due circonferenze non sono concentriche e non coincidono, questa equazione rappresenta una retta, detta asse radicale. Quando le circonferenze sono secanti, l'asse radicale passa per i due punti di intersezione; quando sono tangenti, passa per il loro unico punto comune.
Se invece le due circonferenze sono concentriche, cioè hanno lo stesso centro, la sottrazione delle due equazioni non produce una retta: si ottiene un'equazione impossibile, nel caso di raggi diversi, oppure un'identità, nel caso di circonferenze coincidenti.
Le posizioni relative delle due circonferenze dipendono dalla distanza \(d\) tra i centri e dai raggi \(r_1\) e \(r_2\):
- se \(d=0\) e \(r_1=r_2\): le due circonferenze sono coincidenti e hanno infiniti punti in comune;
- se \(d=0\) e \(r_1\ne r_2\): le due circonferenze sono concentriche e non hanno punti in comune;
- se \(d>r_1+r_2\): le due circonferenze sono esterne e non hanno punti in comune;
- se \(d=r_1+r_2\): le due circonferenze sono tangenti esternamente e hanno un solo punto in comune;
- se \(|r_1-r_2|<d<r_1+r_2\): le due circonferenze sono secanti e hanno due punti in comune;
- se \(d=|r_1-r_2|\) e \(d>0\): le due circonferenze sono tangenti internamente e hanno un solo punto in comune;
- se \(0<d<|r_1-r_2|\): una circonferenza è interna all'altra e non hanno punti in comune.
Fascio di circonferenze
Consideriamo due circonferenze di equazioni:
\[ \Gamma_1(x,y)=x^2+y^2+D_1x+E_1y+F_1=0 \]
\[ \Gamma_2(x,y)=x^2+y^2+D_2x+E_2y+F_2=0. \]
Il fascio di circonferenze generato da \(\Gamma_1\) e \(\Gamma_2\) è l'insieme delle equazioni:
\[ \lambda \Gamma_1(x,y)+\mu \Gamma_2(x,y)=0, \]
dove \(\lambda\) e \(\mu\) sono parametri reali non entrambi nulli.
Esplicitamente:
\[ \lambda(x^2+y^2+D_1x+E_1y+F_1)+ \mu(x^2+y^2+D_2x+E_2y+F_2)=0. \]
Se \(\lambda+\mu\ne 0\), l'equazione contiene ancora i termini quadratici \(x^2+y^2\) e può rappresentare una circonferenza, una circonferenza degenere oppure nessun luogo reale, a seconda del valore del quadrato del raggio.
Se invece \(\lambda+\mu=0\), i termini quadratici si eliminano. In questo caso, quando le due circonferenze non sono concentriche, si ottiene l'equazione dell'asse radicale:
\[ (D_1-D_2)x+(E_1-E_2)y+(F_1-F_2)=0. \]
Dal punto di vista geometrico, si distinguono alcuni casi fondamentali:
- circonferenze generatrici secanti: tutte le circonferenze del fascio passano per i due punti comuni alle generatrici;
- circonferenze generatrici tangenti: tutte le circonferenze del fascio passano per il punto di tangenza comune;
- circonferenze generatrici non secanti: le circonferenze del fascio non hanno punti base reali comuni;
- circonferenze generatrici concentriche: le circonferenze del fascio hanno lo stesso centro.
In ogni caso, non tutte le equazioni del fascio rappresentano necessariamente circonferenze reali non degeneri: alcuni valori del parametro possono produrre una circonferenza degenere, un luogo privo di punti reali oppure, quando \(\lambda+\mu=0\) e le generatrici non sono concentriche, una retta.
Simmetrie e proprietà geometriche
La circonferenza possiede notevoli proprietà di simmetria che la rendono una figura geometrica di particolare interesse:
Simmetrie
- Simmetria centrale: ogni circonferenza è simmetrica rispetto al proprio centro
- Assi di simmetria: ogni retta passante per il centro è un asse di simmetria
- Invarianza per rotazione: la circonferenza è invariante per qualsiasi rotazione attorno al centro
Proprietà metriche
- Lunghezza della circonferenza: \( L = 2\pi r \)
- Area del cerchio: \( A = \pi r^2 \)
- Angoli al centro e alla circonferenza: un angolo alla circonferenza misura la metà del corrispondente angolo al centro che insiste sullo stesso arco
Esercizi
Esercizio 1. Verificare se il punto \( P(3, 4) \) appartiene alla circonferenza di equazione \( x^2 + y^2 = 25 \).
Soluzione. Sostituiamo le coordinate del punto nell'equazione:
\[ 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \]
Poiché l'uguaglianza è verificata, il punto \( P(3, 4) \) appartiene alla circonferenza. Geometricamente, ciò significa che la distanza di \( P \) dall'origine è esattamente uguale al raggio \( r = 5 \).
Esercizio 2. Determinare l'equazione della circonferenza con centro \( C(2, -3) \) e raggio \( r = 4 \).
Soluzione. Applicando la forma canonica:
\[ (x - 2)^2 + (y - (-3))^2 = 4^2 \]
\[ (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16. \]
Sviluppando, otteniamo la forma generale:
\[ x^2 - 4x + 4 + y^2 + 6y + 9 = 16 \]
\[ x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0. \]
Esercizio 3. Data l'equazione \( x^2 + y^2 + 6x - 8y + 5 = 0 \), determinare centro e raggio della circonferenza.
Soluzione. Completiamo i quadrati:
\[ x^2 + 6x = (x + 3)^2 - 9 \]
\[ y^2 - 8y = (y - 4)^2 - 16. \]
Sostituendo:
\[ (x + 3)^2 - 9 + (y - 4)^2 - 16 + 5 = 0 \]
\[ (x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 20. \]
Quindi:
- Centro: \( C(-3, 4) \)
- Raggio: \( r = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \)
Esercizio 4. Trovare l'equazione della circonferenza passante per i punti \( A(1, 0) \), \( B(0, 1) \) e \( C(-1, 0) \).
Soluzione. Utilizziamo la forma generale \( x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 \) e imponiamo il passaggio per i tre punti:
Per \( A(1, 0) \), si ha
\[ 1 + 0 + D + 0 + F = 0 \implies D + F = -1 \]
Per \( B(0, 1) \), si ha
\[ 0 + 1 + 0 + E + F = 0 \implies E + F = -1 \]
Per \( C(-1, 0) \), si ha
\[ 1 + 0 - D + 0 + F = 0 \implies -D + F = -1 \]
Risolvendo il sistema:
\[ \begin{cases} D + F = -1 \\ E + F = -1 \\ -D + F = -1 \end{cases} \]
Dalla prima e terza equazione: \( D = 0 \), quindi \( F = -1 \). Dalla seconda equazione: \( E = 0 \).
L'equazione cercata è: \( x^2 + y^2 - 1 = 0 \), ovvero \( x^2 + y^2 = 1 \).
Questa è la circonferenza unitaria centrata nell'origine.
Esercizio 5. Determinare le tangenti alla circonferenza \( x^2 + y^2 = 9 \) condotte dal punto esterno \( P(5, 0) \).
Soluzione. Sia \( T(x_T, y_T) \) un punto di tangenza. Poiché la circonferenza ha equazione \(x^2+y^2=9\), la tangente nel punto \(T(x_T,y_T)\) ha equazione:
\[ x_T x + y_T y = 9. \]
Poiché questa retta passa per \( P(5, 0) \):
\[ 5x_T + 0 \cdot y_T = 9 \Rightarrow x_T = \frac{9}{5} \]
Essendo \( T \) sulla circonferenza: \( x_T^2 + y_T^2 = 9 \), quindi:
\[ \left(\frac{9}{5}\right)^2 + y_T^2 = 9 \Rightarrow y_T^2 = 9 - \frac{81}{25} = \frac{144}{25} \Rightarrow y_T = \pm\frac{12}{5} \]
I punti di tangenza sono
\[ T_1\left(\frac{9}{5}, \frac{12}{5}\right) \quad \text{e} \quad T_2\left(\frac{9}{5}, -\frac{12}{5}\right) \]
Le equazioni delle tangenti sono:
\[ \frac{9}{5}x + \frac{12}{5}y = 9 \quad \implies \quad 3x + 4y = 15 \]
\[ \frac{9}{5}x - \frac{12}{5}y = 9 \quad \implies \quad 3x - 4y = 15. \]