Per studiare correttamente una funzione è necessario distinguere con precisione tre insiemi fondamentali: il dominio, il codominio e l'immagine.
Una funzione non è determinata soltanto dalla formula con cui viene assegnato il valore \(f(x)\). Per definirla in modo completo bisogna specificare anche l'insieme degli elementi a cui essa può essere applicata e l'insieme in cui i suoi valori sono dichiarati.
Se
\[ f:A\to B, \]
allora \(A\) è il dominio della funzione, \(B\) è il suo codominio, mentre l'insieme dei valori effettivamente assunti da \(f\) prende il nome di immagine della funzione.
Questi tre concetti sono strettamente collegati, ma non coincidono in generale. Il dominio stabilisce quali valori della variabile indipendente sono ammessi; il codominio stabilisce l'insieme in cui la funzione è dichiarata a valori; l'immagine raccoglie invece soltanto i valori realmente raggiunti dalla funzione.
La distinzione tra dominio, codominio e immagine è essenziale per comprendere proprietà fondamentali come iniettività, suriettività, biiettività, funzione inversa e composizione di funzioni.
Indice
- Dominio, Codominio e Immagine: significato intuitivo
- Definizione di dominio di una funzione
- Definizione di codominio di una funzione
- Definizione di immagine di una funzione
- Differenza tra codominio e immagine
- Come determinare il dominio di una funzione
- Come determinare l'immagine di una funzione
- Esempi su dominio, codominio e immagine
- Errori comuni da evitare
Dominio, Codominio e Immagine: significato intuitivo
Per comprendere intuitivamente il ruolo di dominio, codominio e immagine, consideriamo una funzione
\[ f:A\to B. \]
Questa scrittura indica che la funzione \(f\) associa a ogni elemento \(x\in A\) uno e un solo elemento \(f(x)\in B\).
Il dominio è l'insieme di partenza: contiene gli elementi ai quali la funzione può essere applicata. Il codominio è l'insieme di arrivo: contiene i valori in cui la funzione è dichiarata. L'immagine, invece, è l'insieme dei valori che vengono effettivamente ottenuti applicando la funzione agli elementi del dominio.
In simboli, l'immagine di \(f\) è
\[ f(A)=\{f(x)\in B\mid x\in A\}. \]
Poiché ogni valore assunto dalla funzione appartiene al codominio, si ha sempre
\[ f(A)\subseteq B. \]
L'inclusione precedente esprime una distinzione fondamentale: ogni valore dell'immagine appartiene al codominio, ma non è detto che ogni elemento del codominio appartenga all'immagine.
Per esempio, se
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2, \]
allora il dominio è \(\mathbb R\) e il codominio è \(\mathbb R\). Tuttavia la funzione assume soltanto valori non negativi, quindi la sua immagine è
\[ f(\mathbb R)=[0,+\infty). \]
In questo caso il codominio è \(\mathbb R\), mentre l'immagine è soltanto \([0,+\infty)\).
Definizione di dominio di una funzione
Siano \(A\) e \(B\) due insiemi non vuoti. Se
\[ f:A\to B \]
è una funzione, allora l'insieme \(A\) si chiama dominio della funzione \(f\).
Il dominio è quindi l'insieme formato da tutti gli elementi ai quali la funzione associa un valore.
In modo equivalente, dire che \(A\) è il dominio di \(f\) significa dire che, per ogni \(x\in A\), esiste uno e un solo elemento \(y\in B\) associato a \(x\). In simboli:
\[ \forall x\in A,\quad \exists!\, y\in B \quad : \quad f(x)=y. \]
Il dominio stabilisce dunque quali valori della variabile indipendente possono essere considerati. Se un elemento non appartiene al dominio, la funzione non è definita in quell'elemento.
Per esempio, la funzione
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2+1 \]
ha dominio \(\mathbb R\), perché a ogni numero reale \(x\) associa il numero reale \(x^2+1\).
Invece la funzione
\[ g:(0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad g(x)=\log x \]
ha dominio \((0,+\infty)\), perché il logaritmo reale è definito soltanto per valori positivi della variabile.
Il dominio non è un dettaglio accessorio, ma una parte essenziale della funzione. La stessa formula può infatti definire funzioni diverse se viene considerata su domini diversi.
Per esempio, le funzioni
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2 \]
e
\[ h:[0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad h(x)=x^2 \]
hanno la stessa formula, ma non sono la stessa funzione, perché hanno domini diversi.
Questa differenza è rilevante anche per le proprietà della funzione. Infatti \(f\) non è iniettiva, poiché \(f(-1)=f(1)\), mentre \(h\) è iniettiva sul dominio \([0,+\infty)\).
Definizione di codominio di una funzione
Siano \(A\) e \(B\) due insiemi non vuoti. Se
\[ f:A\to B \]
è una funzione, allora l'insieme \(B\) si chiama codominio della funzione \(f\).
Il codominio è quindi l'insieme di arrivo della funzione, cioè l'insieme in cui sono contenuti tutti i valori assunti dalla funzione.
In simboli:
\[ \forall x\in A,\quad f(x)\in B. \]
Il codominio stabilisce l'ambiente in cui la funzione è dichiarata a valori. Tuttavia, il fatto che un elemento appartenga al codominio non significa necessariamente che esso venga raggiunto dalla funzione.
Per esempio, consideriamo
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2. \]
Il codominio è \(\mathbb R\). Tuttavia la funzione non assume valori negativi, perché \(x^2\ge 0\) per ogni \(x\in\mathbb R\). Numeri come \(-1\), \(-2\) o \(-10\) appartengono dunque al codominio, ma non sono valori della funzione.
Anche il codominio, come il dominio, fa parte della definizione della funzione. La stessa formula e lo stesso dominio possono dare luogo a funzioni diverse se cambia il codominio.
Per esempio, le funzioni
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2 \]
e
\[ g:\mathbb R\to[0,+\infty),\qquad g(x)=x^2 \]
hanno la stessa formula e lo stesso dominio, ma hanno codomini diversi.
Questa differenza diventa particolarmente importante nello studio della suriettività: una funzione è suriettiva quando la sua immagine coincide con il codominio.
Definizione di immagine di una funzione
Siano \(A\) e \(B\) due insiemi non vuoti e sia
\[ f:A\to B \]
una funzione. Si chiama immagine della funzione \(f\) l'insieme di tutti i valori che \(f\) assume sugli elementi del dominio.
In simboli:
\[ f(A)=\{f(x)\in B\mid x\in A\}. \]
Equivalentemente, un elemento \(y\in B\) appartiene all'immagine di \(f\) se e solo se esiste almeno un elemento \(x\in A\) tale che \(f(x)=y\). In simboli:
\[ y\in f(A)\iff \exists x\in A \quad : \quad f(x)=y. \]
L'immagine è quindi l'insieme dei valori effettivamente raggiunti dalla funzione. Per definizione, essa è sempre un sottoinsieme del codominio:
\[ f(A)\subseteq B. \]
L'inclusione può essere propria oppure può essere un'uguaglianza. Se \(f(A)\subsetneq B\), alcuni elementi del codominio non vengono raggiunti. Se invece \(f(A)=B\), ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio.
Consideriamo, per esempio,
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2+1. \]
Per ogni \(x\in\mathbb R\) si ha \(x^2\ge 0\), quindi
\[ x^2+1\ge 1. \]
Ne segue che tutti i valori della funzione sono maggiori o uguali a \(1\).
Viceversa, se \(y\ge 1\), allora \(y-1\ge 0\) e possiamo scegliere
\[ x=\sqrt{y-1}. \]
Si ottiene così
\[ f(x)=f(\sqrt{y-1})=(\sqrt{y-1})^2+1=y. \]
Pertanto
\[ f(\mathbb R)=[1,+\infty). \]
In questo esempio il codominio è \(\mathbb R\), mentre l'immagine è \([1,+\infty)\).
Differenza tra codominio e immagine
La differenza tra codominio e immagine è uno dei punti più delicati nello studio delle funzioni.
Se
\[ f:A\to B, \]
allora il codominio è l'insieme \(B\), assegnato nella definizione della funzione. L'immagine, invece, è l'insieme
\[ f(A)=\{f(x)\in B\mid x\in A\}, \]
cioè l'insieme dei valori effettivamente assunti dalla funzione.
Si ha sempre
\[ f(A)\subseteq B, \]
ma non necessariamente \(f(A)=B\).
Per esempio, la funzione
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2 \]
ha codominio \(\mathbb R\), ma immagine \([0,+\infty)\). Infatti nessun numero reale negativo è il quadrato di un numero reale.
Se invece consideriamo
\[ g:\mathbb R\to[0,+\infty),\qquad g(x)=x^2, \]
allora l'immagine coincide con il codominio:
\[ g(\mathbb R)=[0,+\infty). \]
Le due funzioni hanno la stessa formula e lo stesso dominio, ma codomini diversi. Di conseguenza, la prima non è suriettiva, mentre la seconda è suriettiva.
In sintesi, il codominio è stabilito quando si definisce la funzione; l'immagine deve invece essere determinata studiando i valori che la funzione assume realmente sul dominio.
Come determinare il dominio di una funzione
Determinare il dominio di una funzione significa individuare tutti i valori della variabile indipendente per i quali la funzione è definita.
Quando una funzione è assegnata nella forma
\[ f:A\to B, \]
il dominio è già indicato: è l'insieme \(A\).
Per esempio, se
\[ f:[0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad f(x)=\sqrt x, \]
allora il dominio della funzione è \([0,+\infty)\).
In molti esercizi, però, viene fornita soltanto l'espressione della funzione, per esempio
\[ f(x)=\frac{1}{x-2}. \]
In questo caso, se non viene specificato diversamente, si cerca il più grande sottoinsieme di \(\mathbb R\) in cui l'espressione ha significato. Questo insieme viene chiamato dominio naturale o campo di esistenza della funzione.
Per determinare il dominio naturale di una funzione reale di variabile reale bisogna imporre tutte le condizioni che rendono possibile il calcolo dell'espressione.
Le restrizioni più frequenti sono le seguenti.
- Denominatori: il denominatore di una frazione deve essere diverso da zero.
- Radici di indice pari: il radicando deve essere maggiore o uguale a zero.
- Logaritmi: l'argomento del logaritmo deve essere strettamente positivo.
Per esempio, per
\[ f(x)=\frac{1}{x-2} \]
bisogna imporre
\[ x-2\ne 0, \]
quindi \(x\ne 2\). Il dominio naturale è
\[ \mathbb R\setminus\{2\}. \]
Per
\[ g(x)=\sqrt{x-3} \]
bisogna imporre
\[ x-3\ge 0, \]
quindi \(x\ge 3\). Il dominio naturale è
\[ [3,+\infty). \]
Per
\[ h(x)=\log(x+1) \]
bisogna imporre
\[ x+1>0, \]
quindi \(x>-1\). Il dominio naturale è
\[ (-1,+\infty). \]
In generale, il dominio naturale si ottiene traducendo in condizioni matematiche tutte le restrizioni presenti nell'espressione della funzione e risolvendo il sistema di condizioni ottenuto.
Bisogna però distinguere il dominio naturale dal dominio assegnato. Se una funzione viene dichiarata esplicitamente con un dominio, allora il dominio della funzione è quello indicato, anche quando la formula avrebbe significato su un insieme più grande.
Per esempio,
\[ f:[0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2 \]
ha dominio \([0,+\infty)\), anche se la formula \(x^2\) ha significato per ogni \(x\in\mathbb R\).
Come determinare l'immagine di una funzione
Determinare l'immagine di una funzione significa individuare tutti e soli i valori che la funzione assume quando la variabile indipendente varia nel dominio.
Se
\[ f:A\to B \]
è una funzione, allora un elemento \(y\in B\) appartiene all'immagine di \(f\) se e solo se esiste almeno un \(x\in A\) tale che
\[ f(x)=y. \]
Determinare l'immagine significa quindi stabilire per quali valori di \(y\) l'equazione
\[ y=f(x) \]
ammette almeno una soluzione \(x\) nel dominio della funzione.
A differenza del dominio naturale, che spesso si trova imponendo condizioni di esistenza sull'espressione, l'immagine richiede di studiare i valori effettivamente assunti dalla funzione. Il metodo dipende quindi dal tipo di funzione considerata.
Per esempio, consideriamo
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2. \]
Poniamo
\[ y=x^2. \]
Questa equazione ammette soluzioni reali se e solo se \(y\ge 0\). Infatti, se \(y\ge 0\), si può scegliere \(x=\sqrt y\); se \(y<0\), non esiste alcun numero reale \(x\) tale che \(x^2=y\).
Pertanto
\[ f(\mathbb R)=[0,+\infty). \]
Consideriamo ora
\[ g:[0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad g(x)=x+1. \]
Poiché \(x\ge 0\), si ha
\[ x+1\ge 1. \]
Viceversa, se \(y\ge 1\), scegliendo \(x=y-1\) si ha \(x\in[0,+\infty)\) e
\[ g(x)=x+1=(y-1)+1=y. \]
Quindi
\[ g([0,+\infty))=[1,+\infty). \]
Dal punto di vista geometrico, l'immagine di una funzione è l'insieme delle ordinate dei punti del suo grafico. Per questo motivo, in alcuni casi, può essere determinata anche osservando il grafico.
Per funzioni più complesse, invece, può essere necessario studiare la monotonia, individuare massimi e minimi, oppure usare proprietà specifiche della funzione considerata.
In ogni caso, l'immagine non si ottiene leggendo semplicemente il codominio dichiarato: deve essere determinata studiando i valori realmente raggiunti dalla funzione sul suo dominio.
Esempi su dominio, codominio e immagine
Vediamo ora alcuni esempi in cui dominio, codominio e immagine vengono determinati esplicitamente. L'obiettivo è riconoscere con precisione l'insieme di partenza, l'insieme di arrivo e l'insieme dei valori effettivamente assunti.
Esempio 1. Consideriamo la funzione
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x+2. \]
Il dominio è \(\mathbb R\), perché la funzione è definita per ogni numero reale \(x\). Il codominio è \(\mathbb R\), perché la funzione è dichiarata a valori reali.
Per determinare l'immagine, poniamo
\[ y=x+2. \]
Per ogni \(y\in\mathbb R\), scegliendo \(x=y-2\), si ottiene
\[ f(x)=f(y-2)=(y-2)+2=y. \]
Dunque ogni numero reale viene assunto dalla funzione. Pertanto
\[ f(\mathbb R)=\mathbb R. \]
In questo caso l'immagine coincide con il codominio.
Esempio 2. Consideriamo la funzione
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2+1. \]
Il dominio è \(\mathbb R\) e il codominio è \(\mathbb R\).
Poiché \(x^2\ge 0\) per ogni \(x\in\mathbb R\), si ha
\[ x^2+1\ge 1. \]
Viceversa, se \(y\ge 1\), scegliendo \(x=\sqrt{y-1}\), si ottiene
\[ f(x)=f(\sqrt{y-1})=(\sqrt{y-1})^2+1=y. \]
Quindi
\[ f(\mathbb R)=[1,+\infty). \]
L'immagine è un sottoinsieme proprio del codominio.
Esempio 3. Consideriamo la funzione
\[ g:[0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad g(x)=x^2+1. \]
Il dominio è \([0,+\infty)\), mentre il codominio è \(\mathbb R\).
Anche in questo caso \(x^2+1\ge 1\). Inoltre, per ogni \(y\ge 1\), scegliendo \(x=\sqrt{y-1}\), si ha \(x\in[0,+\infty)\) e
\[ g(x)=x^2+1=y. \]
Pertanto
\[ g([0,+\infty))=[1,+\infty). \]
La funzione ha la stessa immagine dell'esempio precedente, pur essendo definita su un dominio diverso.
Esempio 4. Consideriamo la funzione
\[ h:[0,+\infty)\to[1,+\infty),\qquad h(x)=x^2+1. \]
Il dominio è \([0,+\infty)\) e il codominio è \([1,+\infty)\). Come visto nell'esempio precedente,
\[ h([0,+\infty))=[1,+\infty). \]
In questo caso l'immagine coincide con il codominio. La funzione \(h\) è quindi suriettiva.
Esempio 5. Consideriamo la funzione
\[ p:\mathbb R\setminus\{0\}\to\mathbb R,\qquad p(x)=\frac{1}{x}. \]
Il dominio è \(\mathbb R\setminus\{0\}\), perché l'espressione \(\frac{1}{x}\) non è definita per \(x=0\). Il codominio è \(\mathbb R\).
Per ogni \(x\ne 0\), si ha \(\frac{1}{x}\ne 0\), quindi \(0\) non appartiene all'immagine.
Viceversa, se \(y\ne 0\), scegliendo \(x=\frac{1}{y}\), si ha \(x\ne 0\) e
\[ p(x)=p\left(\frac{1}{y}\right)=\frac{1}{\frac{1}{y}}=y. \]
Dunque
\[ p(\mathbb R\setminus\{0\})=\mathbb R\setminus\{0\}. \]
L'immagine è quindi un sottoinsieme proprio del codominio, perché il codominio contiene \(0\), mentre l'immagine no.
Errori comuni da evitare
Riassumiamo alcuni errori frequenti nello studio di dominio, codominio e immagine.
- Confondere il codominio con l'immagine. Il codominio è l'insieme di arrivo assegnato nella definizione della funzione; l'immagine è l'insieme dei valori effettivamente raggiunti.
- Pensare che la formula determini da sola la funzione. La stessa formula può definire funzioni diverse se cambiano dominio o codominio.
- Confondere dominio assegnato e dominio naturale. Se il dominio è indicato nella scrittura \(f:A\to B\), allora il dominio è \(A\). Il dominio naturale si cerca solo quando viene fornita soltanto un'espressione.
- Dimenticare che l'immagine dipende dal dominio. Modificare il dominio può cambiare l'insieme dei valori assunti dalla funzione.
- Stabilire la suriettività senza guardare il codominio. Una funzione è suriettiva se e solo se la sua immagine coincide con il codominio.
In conclusione, dominio, codominio e immagine sono tre elementi distinti della teoria delle funzioni. Il dominio indica dove la funzione è definita; il codominio indica dove la funzione è dichiarata a valori; l'immagine indica quali valori vengono effettivamente raggiunti.