Le disequazioni goniometriche riconducibili a quelle elementari si risolvono trasformando il confronto iniziale in una o piĂš disequazioni del tipo \(\sin x>a\), \(\cos x\le a\), \(\tan x<a\) o \(\cot x\ge a\). Le trasformazioni possono richiedere passaggi algebrici, sostituzioni o identitĂ goniometriche.
Il metodo dipende dalla struttura dellâespressione: una disequazione di secondo grado in \(\sin x\) si può studiare ponendo \(t=\sin x\); unâespressione contenente seno e coseno può semplificarsi mediante unâidentitĂ ; un prodotto si affronta confrontando i segni dei fattori. In ogni caso occorre rispettare il dominio e conservare lâequivalenza fra i passaggi.
Consideriamo \(x\in\mathbb R\), misuriamo gli angoli in radianti e indichiamo con \(k\in\mathbb Z\) un parametro intero. Si presuppone la conoscenza delle disequazioni goniometriche elementari e delle relative soluzioni generali.
Indice
- Come riconoscere il metodo risolutivo
- Isolamento della funzione goniometrica
- Disequazioni di secondo grado in seno e coseno
- Disequazioni di secondo grado nella tangente
- Riduzione mediante identitĂ goniometriche
- Prodotti e confronto dei segni
- Argomento composto e periodicitĂ
- Errori comuni e riepilogo
Come riconoscere il metodo risolutivo
Prima di iniziare i calcoli conviene osservare quali funzioni compaiono, con quali potenze e con quali argomenti. Questa analisi permette di scegliere una trasformazione utile.
| Struttura | Metodo |
|---|---|
| \(a\sin x+b>0\) | Isolare \(\sin x\), discutendo il segno del coefficiente per cui si divide. |
| \(a\sin^2x+b\sin x+c\le 0\) | Porre \(t=\sin x\), risolvere la disequazione algebrica e rispettare \(-1\le t\le 1\). |
| \(a\cos^2x+b\cos x+c>0\) | Porre \(t=\cos x\) e procedere analogamente. |
| \(a\tan^2x+b\tan x+c\le 0\) | Determinare il dominio e porre \(t=\tan x\). |
| Espressioni contenenti \(\sin^2x\) e \(\cos^2x\) | Valutare lâuso dellâidentitĂ fondamentale o delle formule dellâangolo doppio. |
| Prodotti di fattori goniometrici | Studiare il segno di ciascun fattore e combinare le condizioni. |
Il procedimento si conclude sempre tornando allâincognita \(x\), selezionando gli intervalli corretti e scrivendo le soluzioni generali.
Dominio e insieme dei valori sono condizioni diverse. La sostituzione \(t=\sin x\) impone \(-1\le t\le 1\) perchĂŠ il seno assume soltanto quei valori. La sostituzione \(t=\tan x\), invece, consente ogni \(t\in\mathbb R\), ma richiede che lâargomento della tangente appartenga al suo dominio.
Isolamento della funzione goniometrica
Quando la funzione compare soltanto al primo grado, spesso bastano semplici passaggi algebrici.
Esempio 1. Coefficiente positivo
Risolviamo
\[ 2\sin x-1>0. \]
Portando il termine noto al secondo membro e dividendo per \(2\), otteniamo
\[ \sin x>\frac12. \]
La disequazione è ora elementare. Pertanto
\[ \frac{\pi}{6}+2k\pi<x<\frac{5\pi}{6}+2k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]
Esempio 2. Coefficiente negativo
Risolviamo
\[ 1-2\cos x\ge 0. \]
Si ha
\[ -2\cos x\ge-1. \]
Dividendo per \(-2\), il verso della disuguaglianza si inverte:
\[ \cos x\le\frac12. \]
Nellâintervallo \([0,2\pi)\), il coseno è minore o uguale a \(\displaystyle\frac12\) fra \(\displaystyle\frac{\pi}{3}\) e \(\displaystyle\frac{5\pi}{3}\), estremi inclusi. Quindi
\[ \frac{\pi}{3}+2k\pi\le x\le\frac{5\pi}{3}+2k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]
La divisione per un numero negativo cambia il verso esattamente come nelle disequazioni algebriche.
Disequazioni di secondo grado in seno e coseno
Una disequazione contenente una sola funzione goniometrica e il suo quadrato può essere trattata mediante una sostituzione.
Esempio 3. Secondo grado nel seno
Risolviamo
\[ 2\sin^2x-3\sin x+1\le 0. \]
Poniamo \(t=\sin x\), con \(-1\le t\le 1\). La disequazione diventa
\[ 2t^2-3t+1\le 0. \]
Scomponendo il trinomio, otteniamo
\[ (2t-1)(t-1)\le 0. \]
Le radici sono \(\displaystyle\frac12\) e \(1\). PoichÊ il coefficiente di \(t^2\) è positivo, il prodotto è non positivo fra le radici:
\[ \frac12\le t\le 1. \]
Tornando al seno, segue
\[ \frac12\le\sin x\le 1. \]
La condizione \(\sin x\le 1\) è sempre verificata; rimane quindi \(\displaystyle\sin x\ge\frac12\). Le soluzioni sono
\[ \frac{\pi}{6}+2k\pi\le x\le\frac{5\pi}{6}+2k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]
Esempio 4. Una parte delle soluzioni algebriche non è ammissibile
Risolviamo
\[ 2\cos^2x-5\cos x+2\ge 0. \]
Posto \(t=\cos x\), con \(-1\le t\le 1\), otteniamo
\[ 2t^2-5t+2\ge 0, \]
ossia
\[ (2t-1)(t-2)\ge 0. \]
La disequazione algebrica ha soluzioni
\[ t\le\frac12 \quad\text{oppure}\quad t\ge 2. \]
La seconda possibilità è incompatibile con \(t=\cos x\), perchÊ il coseno non può essere maggiore o uguale a \(2\). Intersecando con \([-1,1]\), rimane
\[ -1\le t\le\frac12. \]
Pertanto la disequazione iniziale equivale a \(\displaystyle\cos x\le\frac12\), e le soluzioni sono
\[ \frac{\pi}{3}+2k\pi\le x\le\frac{5\pi}{3}+2k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]
Immagine
Disequazioni di secondo grado nella tangente
La sostituzione \(t=\tan x\) conduce a una disequazione algebrica senza imporre restrizioni sui valori di \(t\), perchĂŠ la tangente assume tutti i valori reali. Occorre però conservare le condizioni di esistenza dellâespressione originaria.
Esempio 5. Intervallo fra due valori della tangente
Risolviamo
\[ \tan^2x-1\le 0. \]
Il dominio è
\[ x\ne\frac{\pi}{2}+k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]
Posto \(t=\tan x\), la disequazione diventa
\[ t^2-1\le 0, \]
da cui
\[ -1\le t\le 1. \]
Dobbiamo quindi risolvere
\[ -1\le\tan x\le 1. \]
In ciascun ramo la tangente è strettamente crescente. Nel ramo \(\displaystyle\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\), i valori compresi fra \(-1\) e \(1\) corrispondono agli angoli compresi fra \(\displaystyle-\frac{\pi}{4}\) e \(\displaystyle\frac{\pi}{4}\). Pertanto
\[ -\frac{\pi}{4}+k\pi\le x\le\frac{\pi}{4}+k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]
Tutti questi intervalli rispettano il dominio della tangente.
Attenzione alla periodicitĂ . Non basta scrivere un solo intervallo con passo \(2\pi\): si perderebbero le soluzioni dei rami alterni. La famiglia precedente si ripete con passo \(\pi\).
Riduzione mediante identitĂ goniometriche
Quando compaiono funzioni diverse, unâidentitĂ può permettere di riscrivere la disequazione usando una sola funzione o un solo argomento.
Esempio 6. IdentitĂ fondamentale
Risolviamo
\[ \sin^2x-\cos^2x\ge\frac12. \]
Usando \(\sin^2x=1-\cos^2x\), otteniamo
\[ 1-2\cos^2x\ge\frac12. \]
Quindi
\[ \cos^2x\le\frac14, \]
che equivale a
\[ -\frac12\le\cos x\le\frac12. \]
In \([0,2\pi)\), entrambe le condizioni sono soddisfatte negli intervalli
\[ \left[\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3}\right] \cup \left[\frac{4\pi}{3},\frac{5\pi}{3}\right]. \]
Le soluzioni generali si possono raccogliere nella famiglia
\[ \frac{\pi}{3}+k\pi\le x\le\frac{2\pi}{3}+k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]
In questo caso il passo \(\pi\) è sufficiente: infatti \(\sin^2x-\cos^2x=-\cos(2x)\) ha periodo \(\pi\).
Esempio 7. Formula dellâangolo doppio
Risolviamo
\[ 2\sin x\cos x>\frac12. \]
Per lâidentitĂ \(2\sin x\cos x=\sin(2x)\), la disequazione equivale a
\[ \sin(2x)>\frac12. \]
Le soluzioni rispetto allâargomento \(2x\) sono
\[ \frac{\pi}{6}+2k\pi<2x<\frac{5\pi}{6}+2k\pi. \]
Dividendo tutti i membri per \(2\), otteniamo
\[ \frac{\pi}{12}+k\pi<x<\frac{5\pi}{12}+k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]
Le identitĂ impiegate valgono per ogni \(x\in\mathbb R\), quindi questi passaggi non introducono restrizioni aggiuntive sul dominio.
Prodotti e confronto dei segni
Se la disequazione è espressa come prodotto, non si può generalmente studiare ogni fattore separatamente imponendo a tutti lo stesso segno. Per esempio, un prodotto è positivo sia quando i due fattori sono positivi sia quando sono entrambi negativi.
Esempio 8. Prodotto di due fattori goniometrici
Risolviamo
\[ (2\sin x-1)\cos x\ge 0. \]
Il dominio è \(\mathbb R\). Studiamo i fattori nellâintervallo \([0,2\pi)\).
Il primo fattore si annulla per
\[ x=\frac{\pi}{6}, \qquad x=\frac{5\pi}{6}, \]
ed è positivo fra questi due angoli. Il secondo si annulla per
\[ x=\frac{\pi}{2}, \qquad x=\frac{3\pi}{2}. \]
Ordinando i valori di confine e confrontando i segni, otteniamo:
| Intervallo | \(2\sin x-1\) | \(\cos x\) | Prodotto |
|---|---|---|---|
| \(\displaystyle\left(0,\frac{\pi}{6}\right)\) | \(-\) | \(+\) | \(-\) |
| \(\displaystyle\left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2}\right)\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) |
| \(\displaystyle\left(\frac{\pi}{2},\frac{5\pi}{6}\right)\) | \(+\) | \(-\) | \(-\) |
| \(\displaystyle\left(\frac{5\pi}{6},\frac{3\pi}{2}\right)\) | \(-\) | \(-\) | \(+\) |
| \(\displaystyle\left(\frac{3\pi}{2},2\pi\right)\) | \(-\) | \(+\) | \(-\) |
Il prodotto è nullo in tutti e quattro i valori di confine, che devono essere inclusi. Il valore \(x=0\), invece, dà prodotto \(-1\) e non è una soluzione.
In \([0,2\pi)\), le soluzioni sono quindi
\[ \left[\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{5\pi}{6},\frac{3\pi}{2}\right]. \]
Estendendo per periodicitĂ , otteniamo
\[ \begin{aligned} &\frac{\pi}{6}+2k\pi\le x\le\frac{\pi}{2}+2k\pi\\ &\quad\text{oppure}\\ &\frac{5\pi}{6}+2k\pi\le x\le\frac{3\pi}{2}+2k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \end{aligned} \]
PerchÊ non dividere subito per \(\cos x\)? Il coseno può essere positivo, negativo o nullo. La divisione richiederebbe una discussione dei casi: il verso si conserva se \(\cos x>0\), si inverte se \(\cos x<0\), mentre i valori con \(\cos x=0\) vanno esaminati separatamente. Lo studio del prodotto gestisce direttamente tutte queste possibilità .
Immagine
Argomento composto e periodicitĂ
Quando lâargomento è unâespressione \(ax+b\), si può porre \(u=ax+b\), risolvere rispetto a \(u\) e infine isolare \(x\).
Esempio 9. Sostituzione e traslazione dellâargomento
Risolviamo
\[ 2\cos^2\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)-1>0. \]
Poniamo \(\displaystyle u=2x-\frac{\pi}{3}\). La disequazione diventa
\[ 2\cos^2u-1>0. \]
Per la formula dellâangolo doppio, \(2\cos^2u-1=\cos(2u)\). Dobbiamo quindi risolvere
\[ \cos(2u)>0. \]
Le soluzioni sono
\[ -\frac{\pi}{2}+2k\pi<2u<\frac{\pi}{2}+2k\pi, \]
ossia
\[ -\frac{\pi}{4}+k\pi<u<\frac{\pi}{4}+k\pi. \]
Sostituendo lâespressione di \(u\), otteniamo
\[ -\frac{\pi}{4}+k\pi <2x-\frac{\pi}{3} <\frac{\pi}{4}+k\pi. \]
Aggiungendo \(\displaystyle\frac{\pi}{3}\) a tutti i membri, segue
\[ \frac{\pi}{12}+k\pi<2x<\frac{7\pi}{12}+k\pi. \]
Dividendo per \(2\), troviamo
\[ \frac{\pi}{24}+\frac{k\pi}{2} <x< \frac{7\pi}{24}+\frac{k\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb Z. \]
Il passo di ripetizione è \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\), coerentemente con lâidentitĂ
\[ 2\cos^2\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)-1 = \cos\left(4x-\frac{2\pi}{3}\right). \]
Il periodo va riferito allâespressione effettiva. La presenza di un seno o di un coseno non implica automaticamente che il periodo fondamentale dellâintera espressione sia \(2\pi\): potenze e argomenti composti possono modificarlo.
Errori comuni e riepilogo
| Errore | Procedimento corretto |
|---|---|
| Dimenticare \(-1\le t\le 1\) dopo aver posto \(t=\sin x\) o \(t=\cos x\). | Intersecare le soluzioni algebriche con lâinsieme dei valori della funzione. |
| Fermarsi alla soluzione della disequazione in \(t\). | Tornare alla funzione goniometrica e determinare gli intervalli dellâincognita \(x\). |
| Scrivere soltanto gli angoli che annullano lâespressione. | Studiare anche il segno negli intervalli delimitati da tali angoli. |
| Dedurre da \(\cos^2x\le a^2\), con \(a>0\), soltanto \(\cos x\le a\). | Scrivere entrambe le condizioni: \(-a\le\cos x\le a\). |
| Dividere per un fattore goniometrico senza discuterne il segno. | Studiare il prodotto oppure separare i casi positivo, negativo e nullo. |
| Includere valori nei quali tangente o cotangente non esistono. | Conservare fino alla fine le condizioni di esistenza originarie. |
| Elevare al quadrato una disequazione senza condizioni sui segni. | Verificare quando il passaggio è equivalente: il quadrato non conserva in generale lâordine fra numeri reali. |
| Trasformare lâargomento senza modificare tutti gli estremi e il termine periodico. | Applicare ogni operazione a tutti i membri della doppia disuguaglianza. |
La riduzione a disequazioni elementari richiede due fasi: semplificare correttamente la struttura algebrica e interpretare le condizioni ottenute sulle funzioni goniometriche. Dominio, segni, estremi e periodicitĂ devono restare coerenti in ogni passaggio.