Disequazioni Goniometriche Elementari

Significato e metodo risolutivo

Risolvere una disequazione goniometrica significa determinare tutti i valori dell’incognita per i quali le espressioni sono definite e il confronto indicato è vero.

Per esempio, nella disequazione

\[ \sin x>\frac12 \]

non cerchiamo soltanto gli angoli per i quali il seno è uguale a \(\displaystyle\frac12\), ma tutti quelli per i quali è maggiore di tale valore. L’equazione associata

\[ \sin x=\frac12 \]

permette di trovare i valori di confine degli intervalli cercati.

Procedimento generale

1. Determinare il dominio. Per seno e coseno non ci sono restrizioni; tangente e cotangente richiedono condizioni di esistenza.
2. Risolvere l’equazione associata. Individuare gli angoli nei quali si verifica l’uguaglianza.
3. Selezionare gli intervalli. Usare la circonferenza goniometrica, il grafico o la monotonia della funzione.
4. Decidere quali estremi includere. Distinguere i simboli \(<\), \(>\), \(\le\), \(\ge\) e rispettare il dominio.
5. Estendere per periodicità. Traslare gli intervalli mediante multipli interi del periodo.

I periodi fondamentali delle quattro funzioni sono:

\[ \begin{aligned} \sin x,\ \cos x &: \quad 2\pi,\\ \tan x,\ \cot x &: \quad \pi. \end{aligned} \]

Per le disequazioni con seno e coseno è spesso comodo lavorare in \([0,2\pi)\). Per la tangente conviene usare \(\displaystyle\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\); per la cotangente, \((0,\pi)\). Questi ultimi intervalli coprono un periodo e coincidono con un ramo continuo della rispettiva funzione.

Disequazioni elementari con il seno

Sulla circonferenza goniometrica, \(\sin x\) è l’ordinata del punto associato all’angolo \(x\). Pertanto:

• \(\sin x>a\) richiede i punti della circonferenza situati sopra la retta \(y=a\);
• \(\sin x<a\) richiede i punti situati sotto la retta \(y=a\).

Con i simboli \(\ge\) e \(\le\) si includono anche i punti della circonferenza appartenenti alla retta.

Esempio 1. Seno maggiore di un valore positivo

Risolviamo

\[ \sin x>\frac12. \]

Nell’intervallo \([0,2\pi)\), l’equazione associata ha soluzioni

\[ x=\frac{\pi}{6}, \qquad x=\frac{5\pi}{6}. \]

Il seno è maggiore di \(\displaystyle\frac12\) per gli angoli compresi fra questi due valori. Poiché la disequazione è stretta, gli estremi sono esclusi:

\[ \frac{\pi}{6}<x<\frac{5\pi}{6}. \]

Aggiungendo multipli interi di \(2\pi\), otteniamo le soluzioni generali:

\[ \boxed{ \frac{\pi}{6}+2k\pi<x<\frac{5\pi}{6}+2k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. } \]

Immagine

Esempio 2. Seno minore o uguale a un valore negativo

Risolviamo

\[ \sin x\le-\frac{\sqrt2}{2}. \]

In \([0,2\pi)\), i valori di confine sono

\[ x=\frac{5\pi}{4}, \qquad x=\frac{7\pi}{4}. \]

La condizione è soddisfatta sull’arco inferiore compreso fra questi angoli, includendo gli estremi. Quindi

\[ \boxed{ \frac{5\pi}{4}+2k\pi\le x\le\frac{7\pi}{4}+2k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. } \]

Confronti con valori esterni a \([-1,1]\)

Poiché \(-1\le\sin x\le 1\), alcuni casi si risolvono immediatamente. Per esempio:

• \(\sin x>1\) è impossibile;
• \(\sin x\le 1\) è verificata per ogni \(x\in\mathbb R\);
• \(\sin x>-2\) è verificata per ogni \(x\in\mathbb R\);
• \(\sin x\le-2\) è impossibile.

I valori di confine \(1\) e \(-1\) richiedono attenzione: per esempio, \(\sin x\ge 1\) equivale a \(\sin x=1\), mentre \(\sin x>1\) non ha soluzioni.

Formule generali per \(-1<a<1\)

Posto

\[ \alpha=\arcsin a, \qquad -\frac{\pi}{2}<\alpha<\frac{\pi}{2}, \]

si ha

\[ \sin x>a \quad\Longleftrightarrow\quad \alpha+2k\pi<x<\pi-\alpha+2k\pi, \qquad k\in\mathbb Z, \]

e

\[ \sin x<a \quad\Longleftrightarrow\quad \pi-\alpha+2k\pi<x<2\pi+\alpha+2k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]

Per le disequazioni non strette si includono entrambi gli estremi. Queste formule descrivono direttamente le soluzioni reali: gli intervalli scritti non devono necessariamente essere contenuti in \([0,2\pi)\).

Disequazioni elementari con il coseno

Sulla circonferenza goniometrica, \(\cos x\) è l’ascissa del punto associato all’angolo \(x\). Pertanto:

• \(\cos x>a\) richiede i punti situati a destra della retta \(x=a\);
• \(\cos x<a\) richiede i punti situati a sinistra della retta \(x=a\).

Esempio 3. Coseno maggiore o uguale a un valore positivo

Risolviamo

\[ \cos x\ge\frac12. \]

In \([0,2\pi)\), l’equazione associata ha soluzioni

\[ x=\frac{\pi}{3}, \qquad x=\frac{5\pi}{3}. \]

La condizione è soddisfatta negli intervalli

\[ x\in \left[0,\frac{\pi}{3}\right] \cup \left[\frac{5\pi}{3},2\pi\right). \]

L’estremo \(2\pi\) è escluso soltanto perché stiamo lavorando in \([0,2\pi)\); la disequazione, considerata su \(\mathbb R\), è soddisfatta anche per \(x=2\pi\).

Per esprimere le soluzioni generali in modo compatto, possiamo descrivere un unico intervallo centrato in \(0\) e ripeterlo con periodo \(2\pi\):

\[ \boxed{ -\frac{\pi}{3}+2k\pi\le x\le\frac{\pi}{3}+2k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. } \]

Le due rappresentazioni sono coerenti: l’intervallo \(\displaystyle\left[-\frac{\pi}{3},0\right)\), traslato di \(2\pi\), diventa \(\displaystyle\left[\frac{5\pi}{3},2\pi\right)\).

Immagine

Esempio 4. Coseno negativo

La disequazione

\[ \cos x<0 \]

richiede i punti della semicirconferenza sinistra, escludendo quelli sull’asse delle ordinate. Pertanto

\[ \boxed{ \frac{\pi}{2}+2k\pi<x<\frac{3\pi}{2}+2k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. } \]

Formule generali per \(-1<a<1\)

Posto

\[ \beta=\arccos a, \qquad 0<\beta<\pi, \]

si ha

\[ \cos x>a \quad\Longleftrightarrow\quad -\beta+2k\pi<x<\beta+2k\pi, \qquad k\in\mathbb Z, \]

e

\[ \cos x<a \quad\Longleftrightarrow\quad \beta+2k\pi<x<2\pi-\beta+2k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]

Per \(\ge\) e \(\le\) si includono gli estremi. Come per il seno, i confronti con \(a\notin(-1,1)\) si discutono usando \(-1\le\cos x\le 1\).

Disequazioni elementari con la tangente

La tangente è definita quando \(\cos x\ne 0\), cioè per

\[ x\ne\frac{\pi}{2}+k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]

In ciascun intervallo

\[ \left(-\frac{\pi}{2}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi\right) \]

la tangente è continua, strettamente crescente e assume tutti i valori reali.

Per confrontare \(\tan x\) con un numero reale \(a\), poniamo

\[ \gamma=\arctan a, \qquad -\frac{\pi}{2}<\gamma<\frac{\pi}{2}. \]

Poiché la funzione è crescente su ciascun ramo, otteniamo

\[ \boxed{ \tan x>a \quad\Longleftrightarrow\quad \gamma+k\pi<x<\frac{\pi}{2}+k\pi, \qquad k\in\mathbb Z, } \] \[ \boxed{ \tan x<a \quad\Longleftrightarrow\quad -\frac{\pi}{2}+k\pi<x<\gamma+k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. } \]

Per una disequazione non stretta si include l’estremo \(\gamma+k\pi\), ma si esclude sempre l’estremo in cui la tangente non è definita.

Esempio 5. Tangente maggiore di uno

Risolviamo

\[ \tan x>1. \]

Nel ramo \(\displaystyle\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\), l’equazione associata ha soluzione \(\displaystyle x=\frac{\pi}{4}\). La tangente è maggiore di \(1\) alla sua destra, fino all’asintoto:

\[ \frac{\pi}{4}<x<\frac{\pi}{2}. \]

Le soluzioni generali sono quindi

\[ \boxed{ \frac{\pi}{4}+k\pi<x<\frac{\pi}{2}+k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. } \]

Esempio 6. Tangente minore o uguale a un valore negativo

Risolviamo

\[ \tan x\le-\sqrt3. \]

Poiché \(\displaystyle\arctan(-\sqrt3)=-\frac{\pi}{3}\), otteniamo

\[ \boxed{ -\frac{\pi}{2}+k\pi<x\le-\frac{\pi}{3}+k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. } \]

L’estremo destro è incluso perché realizza l’uguaglianza; quello sinistro è escluso perché la tangente non esiste.

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Disequazioni elementari con la cotangente

La cotangente è definita quando \(\sin x\ne 0\), cioè per

\[ x\ne k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]

In ciascun intervallo

\[ (k\pi,\pi+k\pi) \]

la cotangente è continua, strettamente decrescente e assume tutti i valori reali.

Usiamo la convenzione secondo cui \(\operatorname{arccot}a\) è l’unico angolo di \((0,\pi)\) avente cotangente uguale ad \(a\). Posto

\[ \delta=\operatorname{arccot}a, \qquad 0<\delta<\pi, \]

la decrescenza della funzione dà

\[ \boxed{ \cot x>a \quad\Longleftrightarrow\quad k\pi<x<\delta+k\pi, \qquad k\in\mathbb Z, } \] \[ \boxed{ \cot x<a \quad\Longleftrightarrow\quad \delta+k\pi<x<\pi+k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. } \]

Per una disequazione non stretta si include l’estremo \(\delta+k\pi\). Gli estremi \(k\pi\) e \(\pi+k\pi\) restano sempre esclusi.

Esempio 7. Cotangente maggiore o uguale a radice di tre

Risolviamo

\[ \cot x\ge\sqrt3. \]

Nell’intervallo \((0,\pi)\), l’equazione associata ha soluzione \(\displaystyle x=\frac{\pi}{6}\). Poiché la cotangente è decrescente, i valori maggiori o uguali a \(\sqrt3\) si ottengono a sinistra di tale angolo:

\[ 0<x\le\frac{\pi}{6}. \]

Le soluzioni generali sono

\[ \boxed{ k\pi<x\le\frac{\pi}{6}+k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. } \]

Esempio 8. Cotangente minore di meno uno

Risolviamo

\[ \cot x<-1. \]

In \((0,\pi)\), l’equazione \(\cot x=-1\) ha soluzione \(\displaystyle x=\frac{3\pi}{4}\). La cotangente assume valori minori di \(-1\) alla destra di questo angolo. Quindi

\[ \boxed{ \frac{3\pi}{4}+k\pi<x<\pi+k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. } \]

Immagine

Estremi inclusi, esclusi e condizioni di esistenza

Per stabilire se un estremo appartiene alle soluzioni occorre distinguere tre situazioni.

Per esempio, nella disequazione \(\tan x\ge 1\), le soluzioni sono

\[ \frac{\pi}{4}+k\pi\le x<\frac{\pi}{2}+k\pi. \]

Il primo estremo è incluso perché la tangente vale \(1\); il secondo è escluso perché la funzione non è definita.

Se invece si richiedono le soluzioni di \(\cos x\ge 1/2\) in \([0,2\pi)\), il valore \(2\pi\) non si scrive fra le soluzioni dell’intervallo, pur soddisfacendo la disequazione su \(\mathbb R\).

Disequazioni con argomento composto

Se l’argomento della funzione è un’espressione come \(2x\), \(-x\) oppure \(\displaystyle x+\frac{\pi}{3}\), si risolve prima la disequazione rispetto all’intero argomento e poi si isola \(x\).

Esempio 9. Seno con argomento doppio

Risolviamo

\[ \sin(2x)>\frac12. \]

Applicando la soluzione elementare all’argomento \(2x\), otteniamo

\[ \frac{\pi}{6}+2k\pi<2x<\frac{5\pi}{6}+2k\pi. \]

Dividendo tutti i membri per \(2\), segue

\[ \boxed{ \frac{\pi}{12}+k\pi<x<\frac{5\pi}{12}+k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. } \]

La ripetizione avviene con passo \(\pi\), coerentemente con il periodo della funzione \(\sin(2x)\).

Esempio 10. Divisione per un numero negativo

Risolviamo

\[ \tan(-x)>1. \]

Applicando la formula all’argomento \(-x\), troviamo

\[ \frac{\pi}{4}+k\pi<-x<\frac{\pi}{2}+k\pi. \]

Moltiplicando per \(-1\), si invertono i versi delle disuguaglianze. Riordinando gli estremi, otteniamo

\[ -\frac{\pi}{2}-k\pi<x<-\frac{\pi}{4}-k\pi. \]

Poiché \(-k\) percorre tutti gli interi quando \(k\) percorre \(\mathbb Z\), possiamo riscrivere

\[ \boxed{ -\frac{\pi}{2}+k\pi<x<-\frac{\pi}{4}+k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. } \]

Si può arrivare allo stesso risultato usando la disparità della tangente: \(\tan(-x)=-\tan x\), quindi la disequazione equivale a \(\tan x<-1\).

Riepilogo delle formule risolutive

Per seno e coseno supponiamo \(-1<a<1\) e poniamo

\[ \alpha=\arcsin a, \qquad \beta=\arccos a. \]

Per tangente e cotangente, con \(a\in\mathbb R\), poniamo

\[ \gamma=\arctan a, \qquad \delta=\operatorname{arccot}a\in(0,\pi). \]

In tutte le righe della tabella, \(k\in\mathbb Z\).

Per passare alle disequazioni non strette si includono gli estremi nei quali la funzione vale \(a\). I valori esclusi dal dominio restano esclusi.

I casi \(a=1\), \(a=-1\) e quelli esterni a \([-1,1]\), per seno e coseno, si discutono separatamente usando l’insieme dei valori delle due funzioni.

Errori comuni

Una soluzione completa deve indicare gli intervalli corretti, l’inclusione o l’esclusione degli estremi e il parametro intero che descrive la periodicità. Il controllo di un valore interno a ciascun intervallo aiuta a verificare la scelta degli archi o dei rami; le condizioni di esistenza e gli estremi vanno controllati separatamente.