Gli esercizi che seguono permettono di applicare in modo sistematico la teoria delle discontinuità di una funzione. In ogni esercizio studieremo il comportamento della funzione in un punto assegnato, prestando particolare attenzione al dominio, al limite sinistro, al limite destro e, quando il punto appartiene al dominio, al valore assunto dalla funzione.
L'obiettivo è imparare a distinguere correttamente i diversi casi: funzione continua, discontinuità eliminabile, discontinuità a salto, discontinuità infinita e discontinuità essenziale. Quando necessario, stabiliremo inoltre se una discontinuità può essere eliminata mediante un prolungamento continuo oppure se è associata alla presenza di un asintoto verticale.
Gli svolgimenti sono costruiti passo passo e seguono sempre lo stesso principio: prima si determina il dominio, poi si studia da quali lati è possibile avvicinarsi al punto, quindi si calcolano i limiti pertinenti e, infine, si confronta il comportamento ottenuto con il valore della funzione nel punto.
Esercizio 1 — livello ★☆☆☆☆
Studiare la funzione
\[ f(x)=\frac{x^2-4}{x-2} \]
in corrispondenza di \(x=2\). Stabilire quale tipo di discontinuità presenta e verificare se è possibile eliminarla.
Risultato
La funzione presenta una discontinuità eliminabile in \(x=2\). Il limite vale
\[ \lim_{x\to2}f(x)=4. \]
La funzione può essere prolungata per continuità assegnando il valore \(4\) nel punto \(x=2\).
Svolgimento
Per prima cosa determiniamo il dominio della funzione. La funzione è razionale e il denominatore non può essere uguale a zero. Dobbiamo quindi imporre
\[ x-2\neq0, \]
da cui
\[ x\neq2. \]
Il dominio è pertanto
\[ D_f=\mathbb{R}\setminus\{2\}. \]
Il punto \(x=2\) non appartiene al dominio. Questo fatto, da solo, non permette però di stabilire il tipo di discontinuità: dobbiamo studiare il comportamento della funzione quando \(x\) si avvicina a \(2\).
Consideriamo il numeratore:
\[ x^2-4. \]
Si tratta di una differenza di quadrati, quindi possiamo fattorizzarlo:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2). \]
Per \(x\neq2\), cioè precisamente nei punti del dominio sufficientemente vicini a \(2\), possiamo quindi scrivere
\[ f(x)=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2. \]
La funzione originaria e la funzione \(x+2\) coincidono dunque in tutti i punti del dominio, anche arbitrariamente vicini a \(2\). Di conseguenza,
\[ \lim_{x\to2}f(x) = \lim_{x\to2}(x+2) = 4. \]
Il limite esiste ed è un numero reale finito. Tuttavia \(f(2)\) non è definito, perché \(2\) è escluso dal dominio.
Ci troviamo quindi nel caso caratteristico di una discontinuità eliminabile: il comportamento della funzione vicino al punto tende a un valore ben determinato, ma nel punto manca il valore corrispondente.
Possiamo eliminare la discontinuità definendo una nuova funzione
\[ g(x)= \begin{cases} f(x), & x\neq2,\\ 4, & x=2. \end{cases} \]
Per questa nuova funzione si ha
\[ \lim_{x\to2}g(x)=4 \]
e, per definizione,
\[ g(2)=4. \]
Pertanto
\[ \lim_{x\to2}g(x)=g(2), \]
e \(g\) è continua in \(x=2\).
Esercizio 2 — livello ★☆☆☆☆
Studiare la continuità della funzione
\[ f(x)= \begin{cases} x+1, & x\neq1,\\ 5, & x=1 \end{cases} \]
nel punto \(x=1\). Classificare l'eventuale discontinuità e stabilire come eliminarla.
Risultato
La funzione presenta una discontinuità eliminabile in \(x=1\), perché
\[ \lim_{x\to1}f(x)=2 \]
mentre
\[ f(1)=5. \]
La discontinuità si elimina ridefinendo \(f(1)=2\).
Svolgimento
In questo esercizio il punto \(x=1\) appartiene al dominio, perché la seconda riga della definizione assegna esplicitamente alla funzione il valore
\[ f(1)=5. \]
Per stabilire se la funzione è continua in \(x=1\), non è però sufficiente conoscere \(f(1)\). Dobbiamo studiare anche il comportamento della funzione quando \(x\) si avvicina a \(1\).
Per tutti i valori \(x\neq1\), la funzione è data da
\[ f(x)=x+1. \]
Pertanto il limite per \(x\to1\) è
\[ \lim_{x\to1}f(x) = \lim_{x\to1}(x+1) = 2. \]
Indichiamo questo valore con
\[ L=2. \]
Per avere continuità in \(x=1\) dovrebbe essere verificata la condizione
\[ L=f(1). \]
Nel nostro caso, invece,
\[ L=2 \]
mentre
\[ f(1)=5. \]
Quindi
\[ \lim_{x\to1}f(x)\neq f(1). \]
La funzione non è continua in \(x=1\).
Il limite, tuttavia, esiste ed è finito. Il problema riguarda esclusivamente il valore assegnato alla funzione nel singolo punto \(x=1\). Per questo motivo la discontinuità è eliminabile.
Per eliminarla è sufficiente ridefinire
\[ f(1)=2. \]
Con questa modifica si avrebbe infatti
\[ \lim_{x\to1}f(x)=f(1)=2, \]
e la funzione risulterebbe continua in \(x=1\).
Questo esercizio mostra anche perché il valore assunto dalla funzione nel punto e il limite della funzione devono essere tenuti distinti: il limite è determinato dal comportamento di \(f(x)\) per \(x\) vicino a \(1\), mentre il valore \(f(1)\) descrive ciò che accade esattamente nel punto.
Esercizio 3 — livello ★★☆☆☆
Studiare la funzione
\[ f(x)= \begin{cases} 2x+1, & x<0,\\ x+3, & x\geq0 \end{cases} \]
nel punto \(x=0\). Classificare l'eventuale discontinuità e determinarne l'ampiezza.
Risultato
La funzione presenta una discontinuità a salto in \(x=0\), perché
\[ \lim_{x\to0^-}f(x)=1 \]
e
\[ \lim_{x\to0^+}f(x)=3. \]
L'ampiezza del salto è
\[ |3-1|=2. \]
Svolgimento
La funzione è definita mediante due formule differenti, una per i valori negativi di \(x\) e una per i valori non negativi.
Il punto in cui cambia la formula è
\[ x=0. \]
Proprio per questo motivo dobbiamo studiare separatamente il limite sinistro e il limite destro.
Cominciamo dal limite sinistro. Quando \(x\) tende a \(0\) da sinistra, abbiamo \(x<0\), quindi dobbiamo utilizzare la prima espressione:
\[ f(x)=2x+1. \]
Pertanto
\[ \lim_{x\to0^-}f(x) = \lim_{x\to0^-}(2x+1) = 1. \]
Passiamo ora al limite destro. Quando \(x\) tende a \(0\) da destra, abbiamo \(x>0\), quindi si utilizza la seconda espressione:
\[ f(x)=x+3. \]
Di conseguenza,
\[ \lim_{x\to0^+}f(x) = \lim_{x\to0^+}(x+3) = 3. \]
Abbiamo quindi ottenuto
\[ \lim_{x\to0^-}f(x)=1 \]
e
\[ \lim_{x\to0^+}f(x)=3. \]
Entrambi i limiti esistono e sono finiti, ma non coincidono:
\[ 1\neq3. \]
Di conseguenza il limite
\[ \lim_{x\to0}f(x) \]
non esiste.
Poiché il limite sinistro e il limite destro sono entrambi finiti ma differenti, la funzione presenta una discontinuità a salto.
L'ampiezza del salto si calcola mediante
\[ |L_2-L_1|, \]
dove possiamo porre
\[ L_1=1,\qquad L_2=3. \]
Otteniamo quindi
\[ |L_2-L_1| = |3-1| = 2. \]
Osserviamo infine che, poiché \(0\geq0\), il valore della funzione nel punto è
\[ f(0)=0+3=3. \]
Questo valore non modifica però la classificazione della discontinuità. Anche assegnando a \(f(0)\) un valore diverso, il limite sinistro rimarrebbe \(1\) e il limite destro rimarrebbe \(3\).
La discontinuità non può quindi essere eliminata modificando il valore della funzione nel solo punto \(x=0\).
Esercizio 4 — livello ★★☆☆☆
Studiare la funzione
\[ f(x)=\frac{1}{(x-2)^2} \]
in corrispondenza di \(x=2\). Classificare la discontinuità e stabilire se la retta \(x=2\) è un asintoto verticale.
Risultato
La funzione presenta una discontinuità infinita in \(x=2\). Si ha
\[ \lim_{x\to2^-}f(x)=+\infty \]
e
\[ \lim_{x\to2^+}f(x)=+\infty. \]
Pertanto
\[ \lim_{x\to2}f(x)=+\infty \]
e la retta
\[ x=2 \]
è un asintoto verticale.
Svolgimento
Determiniamo anzitutto il dominio. Il denominatore
\[ (x-2)^2 \]
non può essere uguale a zero. Poiché
\[ (x-2)^2=0 \]
precisamente quando
\[ x=2, \]
il dominio è
\[ D_f=\mathbb{R}\setminus\{2\}. \]
Il punto \(x=2\) è dunque escluso dal dominio.
Anche in questo caso, però, il semplice fatto che il denominatore si annulli non basta a classificare la discontinuità. Dobbiamo studiare il comportamento della funzione quando \(x\) si avvicina a \(2\).
Consideriamo innanzitutto il denominatore:
\[ (x-2)^2. \]
Essendo un quadrato, esso è positivo per ogni \(x\neq2\):
\[ (x-2)^2>0. \]
Inoltre, quando \(x\) si avvicina a \(2\), la quantità \(x-2\) tende a zero e quindi anche il suo quadrato tende a zero:
\[ (x-2)^2\to0. \]
Il denominatore tende dunque a zero attraverso valori positivi, sia avvicinandosi a \(2\) da sinistra sia avvicinandosi da destra.
Per il limite sinistro otteniamo quindi
\[ \lim_{x\to2^-}\frac{1}{(x-2)^2}=+\infty. \]
Analogamente, per il limite destro,
\[ \lim_{x\to2^+}\frac{1}{(x-2)^2}=+\infty. \]
I due comportamenti coincidono:
\[ \lim_{x\to2^-}f(x) = \lim_{x\to2^+}f(x) = +\infty. \]
Pertanto possiamo scrivere
\[ \lim_{x\to2}f(x)=+\infty. \]
Non esiste dunque un limite reale finito, ma esiste un limite infinito.
La funzione presenta una discontinuità infinita in corrispondenza di \(x=2\).
Inoltre, poiché la funzione cresce senza limite quando \(x\) si avvicina a \(2\), la retta
\[ x=2 \]
è un asintoto verticale.
Non sarebbe possibile eliminare questa discontinuità assegnando un valore reale alla funzione in \(x=2\), perché il problema non consiste nella mancanza di un singolo valore: è il comportamento stesso della funzione vicino al punto a diventare illimitato.
Esercizio 5 — livello ★★★☆☆
Studiare la funzione
\[ f(x)=\sin\left(\frac{1}{x}\right), \qquad x\neq0, \]
in corrispondenza di \(x=0\). Stabilire se il limite esiste e classificare il comportamento della funzione.
Risultato
Il limite
\[ \lim_{x\to0}\sin\left(\frac{1}{x}\right) \]
non esiste, neppure come limite infinito.
La funzione presenta in \(x=0\) una discontinuità essenziale di tipo oscillatorio.
Svolgimento
La funzione
\[ f(x)=\sin\left(\frac{1}{x}\right) \]
è definita soltanto quando
\[ x\neq0, \]
perché l'espressione
\[ \frac{1}{x} \]
non è definita per \(x=0\).
Il dominio è quindi
\[ D_f=\mathbb{R}\setminus\{0\}. \]
Per comprendere ciò che accade quando \(x\to0\), dobbiamo osservare il comportamento dell'argomento del seno:
\[ \frac{1}{x}. \]
Quando \(x\) assume valori sempre più vicini a zero, il valore assoluto di \(1/x\) diventa arbitrariamente grande.
La funzione seno, però, non tende a un valore determinato quando il suo argomento assume valori sempre più grandi in valore assoluto. Essa continua invece a oscillare tra
\[ -1 \]
e
\[ 1. \]
Questo significa che, per quanto si restringa l'intorno di \(0\), è sempre possibile trovare punti del dominio in cui \(f(x)\) assume valori arbitrariamente vicini a \(1\), altri in cui assume valori arbitrariamente vicini a \(-1\) e altri ancora in cui assume valori intermedi.
La funzione non si stabilizza quindi attorno a un unico numero reale.
Di conseguenza il limite
\[ \lim_{x\to0}\sin\left(\frac{1}{x}\right) \]
non esiste come limite finito.
D'altra parte, la funzione seno è sempre compresa tra \(-1\) e \(1\):
\[ -1\leq\sin\left(\frac{1}{x}\right)\leq1. \]
La funzione non può quindi tendere né a \(+\infty\) né a \(-\infty\).
Il limite non esiste dunque neppure come limite infinito.
Secondo la classificazione adottata nella teoria, ci troviamo in presenza di una discontinuità essenziale. Più precisamente, poiché la mancata esistenza del limite è dovuta alle oscillazioni persistenti della funzione, si tratta di una discontinuità oscillatoria.
Non sarebbe possibile eliminare questa discontinuità attribuendo un valore a \(f(0)\). Anche assegnando alla funzione un qualsiasi valore reale nel punto \(x=0\), infatti, il comportamento di \(f(x)\) per \(x\) arbitrariamente vicino a \(0\) continuerebbe a essere oscillatorio.
Il problema non riguarda quindi il valore assunto dalla funzione nel singolo punto, ma il suo comportamento in ogni intorno di \(0\).
Esercizio 6 — livello ★★☆☆☆
Sia
\[ f:[0,+\infty)\to\mathbb{R}, \qquad f(x)=2x+1. \]
Studiare la continuità della funzione nel punto \(x=0\).
Risultato
La funzione è continua in \(x=0\). Poiché \(0\) è l'estremo sinistro del dominio, è sufficiente considerare il limite destro:
\[ \lim_{x\to0^+}f(x)=1=f(0). \]
Svolgimento
Prima di calcolare qualsiasi limite dobbiamo osservare attentamente il dominio della funzione.
La funzione è definita su
\[ [0,+\infty). \]
Il punto
\[ x=0 \]
appartiene al dominio ed è il suo estremo sinistro.
Questo significa che possiamo avvicinarci a \(0\) mediante punti del dominio soltanto da destra.
Non avrebbe quindi senso richiedere il limite sinistro
\[ \lim_{x\to0^-}f(x), \]
perché per \(x<0\) la funzione non è definita.
Per studiare la continuità in \(0\) dobbiamo dunque considerare soltanto il limite destro:
\[ \lim_{x\to0^+}f(x). \]
Poiché
\[ f(x)=2x+1, \]
otteniamo
\[ \lim_{x\to0^+}(2x+1)=1. \]
Calcoliamo ora il valore della funzione nel punto:
\[ f(0)=2\cdot0+1=1. \]
Abbiamo quindi
\[ \lim_{x\to0^+}f(x)=f(0)=1. \]
Poiché \(0\) è un estremo del dominio, questa uguaglianza è precisamente la condizione richiesta per la continuità rispetto al dominio.
La funzione è pertanto continua in \(x=0\).
Questo esempio è importante perché mostra che, negli estremi del dominio, non bisogna richiedere artificialmente l'esistenza di due limiti. Si considera soltanto il comportamento della funzione dal lato dal quale il dominio consente di avvicinarsi al punto.
Esercizio 7 — livello ★★☆☆☆
Studiare la continuità della funzione
\[ f(x)= \begin{cases} x+2, & x<1,\\ 5, & x=1,\\ 4-x, & x>1 \end{cases} \]
nel punto \(x=1\). Classificare l'eventuale discontinuità e stabilire se può essere eliminata.
Risultato
La funzione presenta una discontinuità eliminabile in \(x=1\). Infatti,
\[ \lim_{x\to1^-}f(x)=3, \qquad \lim_{x\to1^+}f(x)=3, \]
quindi
\[ \lim_{x\to1}f(x)=3, \]
ma
\[ f(1)=5. \]
La discontinuità si elimina ridefinendo
\[ f(1)=3. \]
Svolgimento
La funzione è definita mediante formule differenti a sinistra e a destra del punto \(x=1\). Dobbiamo quindi studiare separatamente il limite sinistro e il limite destro.
Cominciamo dal limite sinistro.
Quando \(x\) tende a \(1\) da sinistra, abbiamo
\[ x<1, \]
quindi la formula da utilizzare è
\[ f(x)=x+2. \]
Pertanto
\[ \lim_{x\to1^-}f(x) = \lim_{x\to1^-}(x+2) = 3. \]
Passiamo al limite destro.
Quando \(x\) tende a \(1\) da destra, abbiamo
\[ x>1, \]
quindi dobbiamo utilizzare
\[ f(x)=4-x. \]
Otteniamo
\[ \lim_{x\to1^+}f(x) = \lim_{x\to1^+}(4-x) = 3. \]
I due limiti esistono, sono finiti e coincidono:
\[ \lim_{x\to1^-}f(x) = \lim_{x\to1^+}f(x) = 3. \]
Di conseguenza esiste il limite per \(x\to1\) e vale
\[ \lim_{x\to1}f(x)=3. \]
A questo punto non possiamo ancora concludere che la funzione sia continua. Dobbiamo confrontare il valore del limite con il valore assunto dalla funzione esattamente nel punto.
Dalla definizione della funzione leggiamo
\[ f(1)=5. \]
Pertanto
\[ \lim_{x\to1}f(x)=3 \]
mentre
\[ f(1)=5. \]
Poiché
\[ 3\neq5, \]
la condizione di continuità
\[ \lim_{x\to1}f(x)=f(1) \]
non è soddisfatta.
La funzione è quindi discontinua in \(x=1\).
Il limite, però, esiste ed è finito. La discontinuità dipende esclusivamente dal valore assegnato nel singolo punto.
Si tratta dunque di una discontinuità eliminabile.
Per eliminarla è sufficiente ridefinire
\[ f(1)=3. \]
In questo modo si avrebbe
\[ \lim_{x\to1}f(x)=f(1)=3, \]
e la funzione diventerebbe continua in \(x=1\).
Esercizio 8 — livello ★★★☆☆
Sia
\[ f:(2,+\infty)\to\mathbb{R}, \qquad f(x)=\frac{1}{x-2}. \]
Studiare il comportamento della funzione quando \(x\) si avvicina a \(2\) e stabilire se la retta \(x=2\) è un asintoto verticale.
Risultato
Poiché il dominio permette di avvicinarsi a \(2\) soltanto da destra, si considera il limite destro:
\[ \lim_{x\to2^+}\frac{1}{x-2}=+\infty. \]
Si ha quindi un comportamento infinito in corrispondenza di \(x=2\), e la retta
\[ x=2 \]
è un asintoto verticale.
Svolgimento
Il primo elemento da considerare è il dominio:
\[ D_f=(2,+\infty). \]
Il punto
\[ x=2 \]
non appartiene al dominio.
Inoltre il dominio contiene soltanto valori maggiori di \(2\). Di conseguenza, quando studiamo il comportamento della funzione vicino a \(2\), possiamo avvicinarci al punto soltanto da destra.
Non dobbiamo quindi calcolare un limite sinistro, perché non esistono punti del dominio sufficientemente vicini a \(2\) con
\[ x<2. \]
Il limite significativo rispetto al dominio è
\[ \lim_{x\to2^+}\frac{1}{x-2}. \]
Quando \(x\) tende a \(2\) da destra, abbiamo
\[ x>2. \]
Di conseguenza
\[ x-2>0. \]
Inoltre, poiché \(x\) si avvicina sempre di più a \(2\), la quantità \(x-2\) diventa positiva ma arbitrariamente piccola.
Il denominatore tende quindi a zero attraverso valori positivi.
Il reciproco di un numero positivo che diventa arbitrariamente piccolo assume valori positivi arbitrariamente grandi.
Pertanto
\[ \lim_{x\to2^+}\frac{1}{x-2}=+\infty. \]
La funzione presenta dunque un comportamento infinito quando ci si avvicina a \(2\) dal lato consentito dal dominio.
Non è possibile ottenere un prolungamento continuo assegnando alla funzione un valore reale in \(x=2\), perché la funzione non si avvicina a un numero reale finito.
Inoltre, per la definizione di asintoto verticale adottata nella teoria, è sufficiente che almeno uno tra il limite destro e il limite sinistro che ha significato rispetto al dominio sia infinito.
Poiché
\[ \lim_{x\to2^+}f(x)=+\infty, \]
la retta
\[ x=2 \]
è un asintoto verticale.
Esercizio 9 — livello ★★★☆☆
Studiare la funzione
\[ f(x)= \begin{cases} x+2, & x<0,\\ 0, & x=0,\\ \displaystyle\frac{1}{x}, & x>0 \end{cases} \]
nel punto \(x=0\). Classificare la discontinuità.
Risultato
Si ha
\[ \lim_{x\to0^-}f(x)=2 \]
e
\[ \lim_{x\to0^+}f(x)=+\infty. \]
La funzione presenta quindi una discontinuità infinita in \(x=0\). La retta
\[ x=0 \]
è un asintoto verticale.
Svolgimento
La funzione è definita mediante tre condizioni differenti. Il punto da studiare è precisamente il punto in cui cambia la sua espressione:
\[ x=0. \]
Per classificare correttamente il comportamento della funzione dobbiamo calcolare separatamente il limite sinistro e il limite destro.
Cominciamo dal limite sinistro.
Quando \(x\to0^-\), abbiamo
\[ x<0, \]
quindi utilizziamo
\[ f(x)=x+2. \]
Otteniamo
\[ \lim_{x\to0^-}f(x) = \lim_{x\to0^-}(x+2) = 2. \]
Il limite sinistro esiste ed è finito.
Studiamo ora il limite destro.
Quando \(x\to0^+\), abbiamo
\[ x>0, \]
quindi la funzione è data da
\[ f(x)=\frac{1}{x}. \]
Il denominatore è positivo e tende a zero attraverso valori positivi. Di conseguenza,
\[ \lim_{x\to0^+}\frac{1}{x}=+\infty. \]
Abbiamo quindi due comportamenti molto differenti:
\[ \lim_{x\to0^-}f(x)=2, \]
mentre
\[ \lim_{x\to0^+}f(x)=+\infty. \]
Non si tratta di una discontinuità a salto.
Una discontinuità a salto richiede infatti che il limite sinistro e il limite destro siano entrambi finiti e differenti.
In questo caso, invece, il limite destro è infinito.
Secondo la classificazione adottata, quando almeno uno tra il limite sinistro e il limite destro che deve essere considerato è uguale a \(+\infty\) oppure a \(-\infty\), si ha una discontinuità infinita.
La funzione presenta quindi una discontinuità infinita in \(x=0\).
Osserviamo inoltre che il valore della funzione nel punto è
\[ f(0)=0. \]
Questo valore non può modificare il comportamento della funzione quando \(x\) tende a \(0\) da destra. Anche cambiando \(f(0)\), infatti, rimarrebbe
\[ \lim_{x\to0^+}f(x)=+\infty. \]
La discontinuità non è quindi eliminabile.
Infine, poiché almeno uno dei due comportamenti è infinito, la retta
\[ x=0 \]
è un asintoto verticale.
Esercizio 10 — livello ★★★★☆
Studiare la funzione
\[ f(x)= \begin{cases} 0, & x\leq0,\\ \sin\left(\displaystyle\frac{1}{x}\right), & x>0 \end{cases} \]
nel punto \(x=0\). Stabilire se il limite esiste e classificare la discontinuità.
Risultato
Si ha
\[ \lim_{x\to0^-}f(x)=0, \]
mentre
\[ \lim_{x\to0^+}\sin\left(\frac{1}{x}\right) \]
non esiste neppure come limite infinito.
La funzione presenta quindi una discontinuità essenziale di tipo oscillatorio in \(x=0\).
Svolgimento
Il punto \(x=0\) appartiene al dominio della funzione, perché per
\[ x\leq0 \]
è definito
\[ f(x)=0. \]
In particolare,
\[ f(0)=0. \]
La funzione cambia però espressione proprio in \(x=0\), quindi dobbiamo studiare separatamente il limite sinistro e il limite destro.
Per il limite sinistro, quando \(x\to0^-\), abbiamo
\[ x<0, \]
e quindi
\[ f(x)=0. \]
Pertanto
\[ \lim_{x\to0^-}f(x)=0. \]
Il comportamento da sinistra è quindi perfettamente regolare.
Studiamo ora ciò che accade da destra.
Quando
\[ x\to0^+, \]
la funzione è
\[ f(x)=\sin\left(\frac{1}{x}\right). \]
Al tendere di \(x\) a \(0\) da destra, la quantità
\[ \frac{1}{x} \]
assume valori positivi arbitrariamente grandi.
La funzione seno continua quindi a oscillare tra
\[ -1 \]
e
\[ 1 \]
senza stabilizzarsi attorno a un unico valore.
Per quanto si considerino valori di \(x\) positivi e vicini a zero, la funzione continua ad assumere valori arbitrariamente vicini a \(1\), a \(-1\) e ai valori intermedi.
Il limite destro
\[ \lim_{x\to0^+}\sin\left(\frac{1}{x}\right) \]
non esiste quindi come limite finito.
Inoltre, poiché
\[ -1\leq\sin\left(\frac{1}{x}\right)\leq1, \]
la funzione rimane limitata e non può tendere né a \(+\infty\) né a \(-\infty\).
Il limite destro non esiste dunque neppure come limite infinito.
Riassumendo:
\[ \lim_{x\to0^-}f(x)=0, \]
mentre
\[ \lim_{x\to0^+}f(x) \]
non esiste né come limite finito né come limite infinito.
Di conseguenza il limite
\[ \lim_{x\to0}f(x) \]
non esiste.
Poiché almeno uno dei comportamenti che devono essere considerati non ammette né un limite finito né un limite infinito, la funzione presenta una discontinuità essenziale.
In questo caso possiamo essere ancora più precisi: la mancata esistenza del limite destro è dovuta alle oscillazioni persistenti della funzione.
Si tratta quindi di una discontinuità essenziale di tipo oscillatorio.
Il fatto che
\[ f(0)=0 \]
non può modificare questa conclusione. Anche cambiando il valore della funzione nel solo punto \(x=0\), il comportamento oscillatorio per \(x>0\) e arbitrariamente vicino a \(0\) rimarrebbe invariato.
La discontinuità non può pertanto essere eliminata modificando il valore della funzione nel punto.
Esercizio 11 — livello ★★★☆☆
Studiare la funzione
\[ f(x)=\frac{x^2-3x+2}{x^2-4x+3} \]
nei punti esclusi dal dominio e classificare le eventuali discontinuità.
Risultato
Il dominio è
\[ D_f=\mathbb{R}\setminus\{1,3\}. \]
In \(x=1\) la funzione presenta una discontinuità eliminabile e
\[ \lim_{x\to1}f(x)=\frac{1}{2}. \]
In \(x=3\) la funzione presenta una discontinuità infinita e la retta
\[ x=3 \]
è un asintoto verticale.
Svolgimento
Iniziamo determinando il dominio della funzione.
La funzione è razionale, quindi dobbiamo escludere i valori di \(x\) che annullano il denominatore:
\[ x^2-4x+3\neq0. \]
Fattorizziamo il denominatore:
\[ x^2-4x+3=(x-1)(x-3). \]
Il denominatore si annulla quindi per
\[ x=1 \]
e
\[ x=3. \]
Il dominio è pertanto
\[ D_f=\mathbb{R}\setminus\{1,3\}. \]
Dobbiamo studiare separatamente il comportamento della funzione in corrispondenza dei due punti esclusi.
Fattorizziamo anche il numeratore:
\[ x^2-3x+2=(x-1)(x-2). \]
Per \(x\neq1\) possiamo quindi semplificare il fattore comune \(x-1\):
\[ f(x) = \frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)(x-3)} = \frac{x-2}{x-3}. \]
Questa uguaglianza vale nei punti del dominio, quindi può essere utilizzata per studiare il comportamento della funzione vicino a \(x=1\).
Calcoliamo:
\[ \lim_{x\to1}f(x) = \lim_{x\to1}\frac{x-2}{x-3}. \]
Per \(x=1\), il denominatore della funzione semplificata vale
\[ 1-3=-2\neq0, \]
quindi il limite è finito e vale
\[ \lim_{x\to1}f(x) = \frac{1-2}{1-3} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}. \]
Il punto \(x=1\) non appartiene al dominio, ma la funzione tende a un valore reale finito.
La discontinuità in \(x=1\) è quindi eliminabile.
Sarebbe possibile ottenere un prolungamento continuo assegnando
\[ f(1)=\frac{1}{2}. \]
Studiamo ora il punto \(x=3\).
Dopo la semplificazione, nei punti del dominio abbiamo
\[ f(x)=\frac{x-2}{x-3}. \]
Quando \(x\) si avvicina a \(3\), il numeratore tende a
\[ 3-2=1, \]
quindi rimane positivo e vicino a \(1\).
Il denominatore
\[ x-3 \]
tende invece a zero e cambia segno a seconda del lato dal quale ci si avvicina a \(3\).
Se \(x\to3^-\), allora
\[ x-3<0 \]
e il denominatore tende a zero attraverso valori negativi. Pertanto
\[ \lim_{x\to3^-}\frac{x-2}{x-3}=-\infty. \]
Se invece \(x\to3^+\), allora
\[ x-3>0 \]
e il denominatore tende a zero attraverso valori positivi. Quindi
\[ \lim_{x\to3^+}\frac{x-2}{x-3}=+\infty. \]
Almeno uno dei due comportamenti è infinito; in realtà lo sono entrambi.
In \(x=3\) si ha quindi una discontinuità infinita.
Inoltre la retta
\[ x=3 \]
è un asintoto verticale.
Questo esercizio mostra che due punti esclusi dal dominio della stessa funzione possono dare luogo a discontinuità di natura completamente diversa.
Esercizio 12 — livello ★★★☆☆
Sia
\[ f:[0,+\infty)\to\mathbb{R} \]
definita da
\[ f(x)= \begin{cases} 4, & x=0,\\ x+1, & x>0. \end{cases} \]
Studiare la continuità della funzione in \(x=0\) e classificare l'eventuale discontinuità.
Risultato
La funzione presenta una discontinuità eliminabile nell'estremo \(x=0\), perché
\[ \lim_{x\to0^+}f(x)=1 \]
mentre
\[ f(0)=4. \]
La discontinuità si elimina assegnando
\[ f(0)=1. \]
Svolgimento
Il dominio della funzione è
\[ [0,+\infty). \]
Il punto \(x=0\) appartiene al dominio ed è il suo estremo sinistro.
Per questo motivo non dobbiamo richiedere sia il limite sinistro sia il limite destro.
Dal momento che il dominio contiene soltanto valori maggiori o uguali a zero, possiamo avvicinarci a \(0\) soltanto da destra.
Il limite significativo rispetto al dominio è quindi
\[ \lim_{x\to0^+}f(x). \]
Per \(x>0\), la funzione è data da
\[ f(x)=x+1. \]
Pertanto
\[ \lim_{x\to0^+}f(x) = \lim_{x\to0^+}(x+1) = 1. \]
Il limite dal lato appartenente al dominio esiste ed è finito.
Ora confrontiamo questo valore con il valore assunto dalla funzione nell'estremo.
Dalla definizione abbiamo
\[ f(0)=4. \]
Quindi
\[ \lim_{x\to0^+}f(x)=1 \]
ma
\[ f(0)=4. \]
I due valori non coincidono:
\[ 1\neq4. \]
La funzione non è quindi continua in \(x=0\).
Poiché però il limite significativo rispetto al dominio esiste ed è finito, e il problema consiste soltanto nel valore assegnato alla funzione nel punto, la discontinuità è eliminabile.
Per eliminarla è sufficiente ridefinire
\[ f(0)=1. \]
In questo modo si avrebbe
\[ \lim_{x\to0^+}f(x)=f(0)=1, \]
e la funzione sarebbe continua nell'estremo sinistro del dominio.
Esercizio 13 — livello ★★★★☆
Determinare il valore del parametro \(a\in\mathbb{R}\) affinché la funzione
\[ f(x)= \begin{cases} 2x+a, & x<1,\\ 4, & x=1,\\ x+2, & x>1 \end{cases} \]
sia continua in \(x=1\).
Risultato
Non esiste alcun valore di \(a\in\mathbb{R}\) che renda la funzione continua in \(x=1\). Per \(a=1\), il limite sinistro e il limite destro coincidono e valgono \(3\), ma \(f(1)=4\), quindi la funzione presenta una discontinuità eliminabile. Per \(a\neq1\), invece, il limite sinistro e il limite destro sono finiti ma differenti, quindi la funzione presenta una discontinuità a salto.
Svolgimento
Perché una funzione sia continua in \(x=1\), il comportamento della funzione quando \(x\) si avvicina al punto deve essere compatibile da entrambi i lati e il valore del limite deve coincidere con \(f(1)\).
Iniziamo dal limite sinistro.
Per
\[ x<1, \]
la funzione è
\[ f(x)=2x+a. \]
Quindi
\[ \lim_{x\to1^-}f(x) = \lim_{x\to1^-}(2x+a) = 2+a. \]
Calcoliamo ora il limite destro.
Per
\[ x>1, \]
abbiamo
\[ f(x)=x+2. \]
Pertanto
\[ \lim_{x\to1^+}f(x) = \lim_{x\to1^+}(x+2) = 3. \]
Affinché il limite per \(x\to1\) esista, il limite sinistro e il limite destro devono coincidere.
Dobbiamo quindi imporre
\[ 2+a=3. \]
Risolvendo rispetto ad \(a\), otteniamo
\[ a=1. \]
Verifichiamo ora che questo valore renda la funzione effettivamente continua.
Per
\[ a=1, \]
il limite sinistro vale
\[ \lim_{x\to1^-}f(x)=2+1=3, \]
mentre il limite destro vale
\[ \lim_{x\to1^+}f(x)=3. \]
Di conseguenza,
\[ \lim_{x\to1}f(x)=3. \]
Tuttavia dobbiamo ancora confrontare il limite con il valore della funzione nel punto.
Dalla definizione,
\[ f(1)=4. \]
Otteniamo quindi
\[ \lim_{x\to1}f(x)=3\neq4=f(1). \]
Questo significa che, con la funzione scritta nella consegna, non esiste alcun valore del parametro \(a\) che renda \(f\) continua in \(x=1\).
Il valore
\[ a=1 \]
rende uguali il limite sinistro e il limite destro, ma la funzione continua a presentare una discontinuità eliminabile perché il valore assegnato nel punto è \(4\) anziché \(3\).
Pertanto la conclusione corretta è:
\[ \boxed{\text{non esiste alcun }a\in\mathbb{R}\text{ per cui }f\text{ sia continua in }x=1.} \]
Se invece si volesse ottenere una funzione continua mantenendo \(a=1\), bisognerebbe anche ridefinire
\[ f(1)=3. \]
Esercizio 14 — livello ★★★★☆
Studiare e classificare tutte le discontinuità della funzione
\[ f(x)=\frac{x^2-4}{x^2-x-2}. \]
Risultato
Il dominio è
\[ D_f=\mathbb{R}\setminus\{-1,2\}. \]
In \(x=2\) si ha una discontinuità eliminabile e
\[ \lim_{x\to2}f(x)=\frac{4}{3}. \]
In \(x=-1\) si ha una discontinuità infinita e la retta
\[ x=-1 \]
è un asintoto verticale.
Svolgimento
Determiniamo innanzitutto il dominio.
Il denominatore è
\[ x^2-x-2. \]
Fattorizziamolo:
\[ x^2-x-2=(x-2)(x+1). \]
Il denominatore si annulla per
\[ x=2 \]
e
\[ x=-1. \]
Il dominio è quindi
\[ D_f=\mathbb{R}\setminus\{-1,2\}. \]
Per classificare correttamente le due possibili discontinuità dobbiamo analizzare la struttura del numeratore:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2). \]
Nei punti del dominio possiamo pertanto scrivere
\[ f(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+1)} = \frac{x+2}{x+1}, \qquad x\neq2. \]
Studiamo prima \(x=2\).
Utilizzando l'espressione semplificata,
\[ \lim_{x\to2}f(x) = \lim_{x\to2}\frac{x+2}{x+1}. \]
Il denominatore tende a
\[ 2+1=3, \]
che è diverso da zero.
Quindi il limite è finito:
\[ \lim_{x\to2}f(x) = \frac{2+2}{2+1} = \frac{4}{3}. \]
Il punto \(x=2\) non appartiene al dominio della funzione originaria, ma il limite esiste ed è finito.
In \(x=2\) si ha quindi una discontinuità eliminabile.
Essa potrebbe essere eliminata assegnando
\[ f(2)=\frac{4}{3}. \]
Passiamo ora al punto
\[ x=-1. \]
Nei punti del dominio vicini a \(-1\),
\[ f(x)=\frac{x+2}{x+1}. \]
Quando \(x\to-1\), il numeratore tende a
\[ -1+2=1, \]
quindi rimane positivo.
Il denominatore
\[ x+1 \]
tende invece a zero.
Se \(x\to-1^-\), allora
\[ x+1<0, \]
e quindi
\[ \lim_{x\to-1^-}f(x)=-\infty. \]
Se \(x\to-1^+\), allora
\[ x+1>0, \]
e quindi
\[ \lim_{x\to-1^+}f(x)=+\infty. \]
I due comportamenti sono infiniti.
Non si tratta di una discontinuità a salto, perché una discontinuità a salto richiede due limiti finiti.
In \(x=-1\) la funzione presenta quindi una discontinuità infinita.
La retta
\[ x=-1 \]
è inoltre un asintoto verticale.
Esercizio 15 — livello ★★★★☆
Studiare e classificare le discontinuità della funzione
\[ f(x)= \begin{cases} x+1, & x<0,\\ 3, & x=0,\\ x+2, & 0<x<2,\\ 5, & x\geq2. \end{cases} \]
Risultato
La funzione presenta:
una discontinuità a salto in \(x=0\), perché
\[ \lim_{x\to0^-}f(x)=1, \qquad \lim_{x\to0^+}f(x)=2; \]
una discontinuità a salto in \(x=2\), perché
\[ \lim_{x\to2^-}f(x)=4, \qquad \lim_{x\to2^+}f(x)=5. \]
Le ampiezze dei due salti sono rispettivamente
\[ 1 \]
e
\[ 1. \]
Svolgimento
La funzione è definita mediante formule differenti in diversi intervalli.
I punti nei quali cambia la sua espressione sono
\[ x=0 \]
e
\[ x=2. \]
Sono quindi questi i punti che dobbiamo analizzare.
Cominciamo da \(x=0\).
Per \(x<0\),
\[ f(x)=x+1. \]
Pertanto il limite sinistro è
\[ \lim_{x\to0^-}f(x) = \lim_{x\to0^-}(x+1) = 1. \]
Per
\[ 0<x<2, \]
la funzione è invece
\[ f(x)=x+2. \]
Il limite destro è quindi
\[ \lim_{x\to0^+}f(x) = \lim_{x\to0^+}(x+2) = 2. \]
I due limiti esistono e sono finiti, ma
\[ 1\neq2. \]
Di conseguenza,
\[ \lim_{x\to0}f(x) \]
non esiste e in \(x=0\) si ha una discontinuità a salto.
L'ampiezza del salto è
\[ |2-1|=1. \]
Il valore della funzione esattamente nel punto è
\[ f(0)=3. \]
Questo valore non modifica la classificazione. Anche scegliendo un valore diverso per \(f(0)\), il limite sinistro rimarrebbe \(1\) e il limite destro rimarrebbe \(2\).
Passiamo ora al punto \(x=2\).
Quando \(x\to2^-\), abbiamo
\[ 0<x<2, \]
quindi
\[ f(x)=x+2. \]
Otteniamo
\[ \lim_{x\to2^-}f(x) = \lim_{x\to2^-}(x+2) = 4. \]
Quando invece \(x\to2^+\), abbiamo
\[ x>2. \]
In questo intervallo la funzione è costante:
\[ f(x)=5. \]
Di conseguenza,
\[ \lim_{x\to2^+}f(x)=5. \]
Ancora una volta il limite sinistro e il limite destro esistono e sono finiti, ma sono differenti:
\[ 4\neq5. \]
In \(x=2\) si ha quindi una seconda discontinuità a salto.
L'ampiezza del salto è
\[ |5-4|=1. \]
Poiché per \(x\geq2\) la funzione vale \(5\), si ha anche
\[ f(2)=5. \]
Anche in questo caso il valore assunto esattamente nel punto non modifica la natura della discontinuità.
La funzione presenta dunque due discontinuità, entrambe a salto:
\[ x=0 \]
e
\[ x=2. \]
Esercizio 16 — livello ★★★★☆
Determinare i valori dei parametri \(a,b\in\mathbb{R}\) affinché la funzione
\[ f(x)= \begin{cases} ax+1, & x<2,\\ b, & x=2,\\ 3x-1, & x>2 \end{cases} \]
sia continua in \(x=2\).
Risultato
La funzione è continua in \(x=2\) per
\[ a=2,\qquad b=5. \]
Svolgimento
Affinché la funzione sia continua in \(x=2\), devono essere soddisfatte due condizioni.
Innanzitutto deve esistere il limite
\[ \lim_{x\to2}f(x). \]
Poiché la funzione è definita mediante espressioni differenti a sinistra e a destra di \(2\), dobbiamo calcolare separatamente il limite sinistro e il limite destro.
Inoltre, una volta determinato il limite, il suo valore deve coincidere con
\[ f(2). \]
Cominciamo dal limite sinistro.
Per
\[ x<2, \]
la funzione è
\[ f(x)=ax+1. \]
Pertanto
\[ \lim_{x\to2^-}f(x) = \lim_{x\to2^-}(ax+1) = 2a+1. \]
Passiamo al limite destro.
Per
\[ x>2, \]
la funzione è
\[ f(x)=3x-1. \]
Di conseguenza,
\[ \lim_{x\to2^+}f(x) = \lim_{x\to2^+}(3x-1) = 5. \]
Perché esista il limite per \(x\to2\), il limite sinistro e il limite destro devono coincidere. Dobbiamo quindi imporre
\[ 2a+1=5. \]
Sottraendo \(1\) da entrambi i membri,
\[ 2a=4, \]
da cui
\[ a=2. \]
Per questo valore di \(a\), si ha
\[ \lim_{x\to2^-}f(x) = \lim_{x\to2^+}f(x) = 5. \]
Pertanto
\[ \lim_{x\to2}f(x)=5. \]
L'esistenza del limite non è però sufficiente per la continuità. Dobbiamo anche avere
\[ f(2)=5. \]
Dalla definizione della funzione,
\[ f(2)=b. \]
Dobbiamo quindi imporre
\[ b=5. \]
Con
\[ a=2 \]
e
\[ b=5, \]
risultano verificate le uguaglianze
\[ \lim_{x\to2^-}f(x) = \lim_{x\to2^+}f(x) = f(2) = 5. \]
La funzione è quindi continua in \(x=2\).
Esercizio 17 — livello ★★★★☆
Determinare il dominio della funzione
\[ f(x)=\frac{x^2-1}{x^2-x-2} \]
e classificare tutte le sue discontinuità.
Risultato
Il dominio è
\[ D_f=\mathbb{R}\setminus\{-1,2\}. \]
In \(x=-1\) si ha una discontinuità eliminabile e
\[ \lim_{x\to-1}f(x)=\frac{2}{3}. \]
In \(x=2\) si ha una discontinuità infinita. Inoltre,
\[ \lim_{x\to2^-}f(x)=-\infty, \qquad \lim_{x\to2^+}f(x)=+\infty, \]
e la retta \(x=2\) è un asintoto verticale.
Svolgimento
Trattandosi di una funzione razionale, iniziamo determinando i valori che annullano il denominatore.
Abbiamo
\[ x^2-x-2=(x-2)(x+1). \]
Il denominatore è quindi uguale a zero per
\[ x=2 \]
oppure
\[ x=-1. \]
Il dominio è pertanto
\[ D_f=\mathbb{R}\setminus\{-1,2\}. \]
Il fatto che entrambi i punti siano esclusi dal dominio non significa che le due discontinuità abbiano necessariamente la stessa natura.
Per stabilirlo dobbiamo studiare il comportamento della funzione vicino a ciascun punto.
Fattorizziamo il numeratore:
\[ x^2-1=(x-1)(x+1). \]
Nei punti del dominio possiamo quindi scrivere
\[ f(x) = \frac{(x-1)(x+1)}{(x-2)(x+1)} = \frac{x-1}{x-2}. \]
La semplificazione è possibile per \(x\neq-1\), cioè precisamente nei punti del dominio vicini a \(-1\).
Studiamo quindi il comportamento in \(x=-1\):
\[ \lim_{x\to-1}f(x) = \lim_{x\to-1}\frac{x-1}{x-2}. \]
Il denominatore tende a
\[ -1-2=-3, \]
che è diverso da zero.
Possiamo quindi determinare il limite:
\[ \lim_{x\to-1}f(x) = \frac{-1-1}{-1-2} = \frac{-2}{-3} = \frac{2}{3}. \]
Il limite esiste ed è finito, mentre la funzione originaria non è definita in \(x=-1\).
Si ha quindi una discontinuità eliminabile.
Essa potrebbe essere eliminata assegnando
\[ f(-1)=\frac{2}{3}. \]
Passiamo ora al punto \(x=2\).
Nei punti del dominio vicini a \(2\),
\[ f(x)=\frac{x-1}{x-2}. \]
Quando \(x\to2\), il numeratore tende a
\[ 2-1=1, \]
quindi rimane positivo.
Il denominatore
\[ x-2 \]
tende invece a zero e il suo segno dipende dal lato dal quale \(x\) si avvicina a \(2\).
Per \(x\to2^-\),
\[ x-2<0, \]
quindi
\[ \lim_{x\to2^-}f(x)=-\infty. \]
Per \(x\to2^+\),
\[ x-2>0, \]
quindi
\[ \lim_{x\to2^+}f(x)=+\infty. \]
Almeno uno tra il limite sinistro e il limite destro è infinito; in questo caso lo sono entrambi.
In \(x=2\) si ha pertanto una discontinuità infinita.
Inoltre la retta
\[ x=2 \]
è un asintoto verticale.
Esercizio 18 — livello ★★★☆☆
Studiare la continuità della funzione
\[ f(x)= \begin{cases} \displaystyle\frac{|x-1|}{x-1}, & x\neq1,\\ 0, & x=1 \end{cases} \]
nel punto \(x=1\) e classificare l'eventuale discontinuità.
Risultato
La funzione presenta una discontinuità a salto in \(x=1\). Infatti,
\[ \lim_{x\to1^-}f(x)=-1 \]
e
\[ \lim_{x\to1^+}f(x)=1. \]
L'ampiezza del salto è
\[ |1-(-1)|=2. \]
Svolgimento
Per studiare il comportamento della funzione vicino a \(x=1\), dobbiamo comprendere come si comporta il valore assoluto
\[ |x-1| \]
a sinistra e a destra del punto.
Se
\[ x<1, \]
allora
\[ x-1<0. \]
Di conseguenza,
\[ |x-1|=-(x-1). \]
Per \(x<1\) e \(x\neq1\), possiamo quindi scrivere
\[ f(x) = \frac{-(x-1)}{x-1} = -1. \]
Pertanto
\[ \lim_{x\to1^-}f(x)=-1. \]
Se invece
\[ x>1, \]
allora
\[ x-1>0, \]
e quindi
\[ |x-1|=x-1. \]
Perciò
\[ f(x) = \frac{x-1}{x-1} = 1. \]
Otteniamo così
\[ \lim_{x\to1^+}f(x)=1. \]
Riassumendo,
\[ \lim_{x\to1^-}f(x)=-1, \qquad \lim_{x\to1^+}f(x)=1. \]
I due limiti esistono e sono finiti, ma sono differenti:
\[ -1\neq1. \]
Pertanto il limite
\[ \lim_{x\to1}f(x) \]
non esiste.
La funzione presenta quindi una discontinuità a salto.
L'ampiezza del salto è
\[ |1-(-1)|=2. \]
Il valore assunto dalla funzione esattamente nel punto è
\[ f(1)=0. \]
Questo valore non modifica la classificazione della discontinuità. Anche ridefinendo \(f(1)\), infatti, il limite sinistro rimarrebbe \(-1\) e il limite destro rimarrebbe \(1\).
La discontinuità non è quindi eliminabile modificando il solo valore \(f(1)\).
Esercizio 19 — livello ★★★★★
Studiare e classificare le discontinuità della funzione
\[ f(x)= \begin{cases} \sin\left(\displaystyle\frac{1}{x}\right), & x<0,\\ 0, & x=0,\\ x+1, & 0<x<2,\\ 4, & x=2,\\ \displaystyle\frac{1}{x-2}, & x>2. \end{cases} \]
Risultato
In \(x=0\) la funzione presenta una discontinuità essenziale di tipo oscillatorio:
\[ \lim_{x\to0^-}\sin\left(\frac{1}{x}\right) \]
non esiste neppure come limite infinito, mentre
\[ \lim_{x\to0^+}f(x)=1. \]
In \(x=2\) la funzione presenta una discontinuità infinita:
\[ \lim_{x\to2^-}f(x)=3, \qquad \lim_{x\to2^+}f(x)=+\infty. \]
La retta \(x=2\) è un asintoto verticale.
Svolgimento
La funzione cambia espressione nei punti
\[ x=0 \]
e
\[ x=2. \]
Dobbiamo quindi studiare separatamente questi due punti.
Cominciamo da \(x=0\).
Per \(x<0\),
\[ f(x)=\sin\left(\frac{1}{x}\right). \]
Quando \(x\to0^-\), la quantità
\[ \frac{1}{x} \]
assume valori negativi arbitrariamente grandi in valore assoluto.
La funzione seno continua quindi a oscillare tra \(-1\) e \(1\) senza stabilizzarsi attorno a un unico valore.
Pertanto
\[ \lim_{x\to0^-}\sin\left(\frac{1}{x}\right) \]
non esiste come limite finito.
Inoltre,
\[ -1\leq\sin\left(\frac{1}{x}\right)\leq1, \]
quindi la funzione rimane limitata e non può tendere né a \(+\infty\) né a \(-\infty\).
Il limite sinistro non esiste dunque neppure come limite infinito.
Studiamo ora il limite destro.
Per
\[ 0<x<2, \]
la funzione è
\[ f(x)=x+1. \]
Quindi
\[ \lim_{x\to0^+}f(x) = \lim_{x\to0^+}(x+1) = 1. \]
Il limite destro esiste ed è finito, ma il limite sinistro non esiste neppure come limite infinito.
Di conseguenza in \(x=0\) la funzione presenta una discontinuità essenziale.
Poiché la mancata esistenza del limite sinistro dipende dalle oscillazioni persistenti del seno, possiamo precisare che si tratta di una discontinuità essenziale di tipo oscillatorio.
Il valore
\[ f(0)=0 \]
non può modificare questa conclusione.
Passiamo al punto \(x=2\).
Quando \(x\to2^-\), la funzione è data da
\[ f(x)=x+1. \]
Pertanto
\[ \lim_{x\to2^-}f(x) = \lim_{x\to2^-}(x+1) = 3. \]
Quando invece \(x\to2^+\), abbiamo
\[ f(x)=\frac{1}{x-2}. \]
Per \(x>2\), il denominatore \(x-2\) è positivo e tende a zero attraverso valori positivi.
Ne segue che
\[ \lim_{x\to2^+}\frac{1}{x-2}=+\infty. \]
Abbiamo dunque
\[ \lim_{x\to2^-}f(x)=3, \qquad \lim_{x\to2^+}f(x)=+\infty. \]
Non si tratta di una discontinuità a salto, perché il limite destro non è finito.
Poiché almeno uno dei due comportamenti è infinito, in \(x=2\) si ha una discontinuità infinita.
Anche il valore
\[ f(2)=4 \]
è irrilevante per la classificazione: modificandolo non cambierebbe il comportamento infinito della funzione da destra.
Infine, poiché
\[ \lim_{x\to2^+}f(x)=+\infty, \]
la retta
\[ x=2 \]
è un asintoto verticale.
Esercizio 20 — livello ★★★★★
Studiare e classificare tutte le discontinuità della funzione
\[ f(x)= \begin{cases} x+1, & x<0,\\ 7, & x=0,\\ x+3, & 0<x<1,\\ 5, & x=1,\\ 2x+2, & 1<x<2,\\ 0, & x=2,\\ \displaystyle\frac{1}{x-2}, & x>2. \end{cases} \]
Per ogni punto individuato, determinare il tipo di discontinuità e stabilire, quando possibile, se può essere eliminata.
Risultato
La funzione presenta tre discontinuità:
in \(x=0\), una discontinuità a salto, con
\[ \lim_{x\to0^-}f(x)=1, \qquad \lim_{x\to0^+}f(x)=3; \]
in \(x=1\), una discontinuità eliminabile, perché
\[ \lim_{x\to1}f(x)=4 \]
mentre
\[ f(1)=5; \]
in \(x=2\), una discontinuità infinita, perché
\[ \lim_{x\to2^-}f(x)=6, \qquad \lim_{x\to2^+}f(x)=+\infty. \]
La retta \(x=2\) è un asintoto verticale.
Svolgimento
La funzione cambia espressione in corrispondenza dei punti
\[ x=0,\qquad x=1,\qquad x=2. \]
Dobbiamo quindi studiare separatamente ciascuno di essi.
Cominciamo da \(x=0\).
Per \(x<0\),
\[ f(x)=x+1. \]
Pertanto
\[ \lim_{x\to0^-}f(x) = \lim_{x\to0^-}(x+1) = 1. \]
Per
\[ 0<x<1, \]
la funzione è
\[ f(x)=x+3. \]
Quindi
\[ \lim_{x\to0^+}f(x) = \lim_{x\to0^+}(x+3) = 3. \]
Il limite sinistro e il limite destro sono entrambi finiti, ma
\[ 1\neq3. \]
Pertanto
\[ \lim_{x\to0}f(x) \]
non esiste e in \(x=0\) si ha una discontinuità a salto.
L'ampiezza del salto è
\[ |3-1|=2. \]
Il valore
\[ f(0)=7 \]
non modifica la natura della discontinuità.
Passiamo ora a \(x=1\).
Per \(0<x<1\),
\[ f(x)=x+3. \]
Quindi
\[ \lim_{x\to1^-}f(x) = \lim_{x\to1^-}(x+3) = 4. \]
Per
\[ 1<x<2, \]
la funzione è
\[ f(x)=2x+2. \]
Pertanto
\[ \lim_{x\to1^+}f(x) = \lim_{x\to1^+}(2x+2) = 4. \]
I due limiti coincidono:
\[ \lim_{x\to1^-}f(x) = \lim_{x\to1^+}f(x) = 4. \]
Quindi
\[ \lim_{x\to1}f(x)=4. \]
Confrontiamo ora questo valore con il valore della funzione nel punto:
\[ f(1)=5. \]
Poiché
\[ 4\neq5, \]
la funzione non è continua in \(x=1\).
Tuttavia il limite esiste ed è finito. La discontinuità è quindi eliminabile.
Per eliminarla sarebbe sufficiente ridefinire
\[ f(1)=4. \]
Rimane infine da studiare \(x=2\).
Per \(1<x<2\),
\[ f(x)=2x+2. \]
Di conseguenza,
\[ \lim_{x\to2^-}f(x) = \lim_{x\to2^-}(2x+2) = 6. \]
Per \(x>2\),
\[ f(x)=\frac{1}{x-2}. \]
Quando \(x\to2^+\), il denominatore è positivo e tende a zero attraverso valori positivi.
Pertanto
\[ \lim_{x\to2^+}f(x)=+\infty. \]
Il limite sinistro è finito, mentre il limite destro è infinito.
Non si tratta quindi di una discontinuità a salto.
Poiché almeno uno tra il limite sinistro e il limite destro è infinito, in \(x=2\) si ha una discontinuità infinita.
Il valore
\[ f(2)=0 \]
non può cambiare questa classificazione, perché il comportamento infinito da destra rimane invariato qualunque valore venga assegnato nel singolo punto.
Inoltre,
\[ \lim_{x\to2^+}f(x)=+\infty, \]
quindi la retta
\[ x=2 \]
è un asintoto verticale.
Riassumendo, la funzione presenta tre tipi differenti di discontinuità:
\[ x=0: \quad \text{discontinuità a salto}; \]
\[ x=1: \quad \text{discontinuità eliminabile}; \]
\[ x=2: \quad \text{discontinuità infinita}. \]
L'esercizio mostra perché la classificazione deve essere effettuata studiando separatamente il comportamento della funzione in ciascun punto critico: il semplice fatto che una funzione cambi espressione o presenti un valore particolare in un punto non determina, da solo, la natura della discontinuità.