In questa pagina vedremo come calcolare la derivata della funzione esponenziale utilizzando due forme equivalenti del rapporto incrementale: una nella variabile \(h\), con \(h \to 0\), e una nella variabile \(x\), con \(x \to x_0\).
Sia dunque \(a>0\), con \(a\neq 1\), e consideriamo la funzione esponenziale:
\[ f(x)=a^x \]
Le due forme del rapporto incrementale sono:
\[ \lim_{h\to 0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h} \qquad , \qquad \lim_{x\to x_0}\frac{a^x-a^{x_0}}{x-x_0} \]
Indice
- Limite del rapporto incrementale per \( h \to 0 \)
- Limite del rapporto incrementale per \( x \to x_0 \)
Limite del rapporto incrementale per \( h \to 0 \)
Calcoliamo la derivata della funzione esponenziale come limite del rapporto incrementale:
\[ f'(x_0) = \lim_{h\to 0} \frac{a^{x_0+h}-a^{x_0}}{h} \]
Utilizziamo la proprietà delle potenze:
\[ a^{x_0+h}=a^{x_0}\cdot a^h \]
Sostituendo nel rapporto incrementale:
\[ f'(x_0) = \lim_{h\to 0} \frac{a^{x_0}a^h-a^{x_0}}{h} \]
Raccogliamo il fattore comune \(a^{x_0}\):
\[ f'(x_0) = a^{x_0} \lim_{h\to 0} \frac{a^h-1}{h} \]
Il limite notevole dell’esponenziale è:
\[ \lim_{h\to 0} \frac{a^h-1}{h} = \ln(a) \]
Pertanto:
\[ f'(x_0) = a^{x_0}\ln(a) \]
Limite del rapporto incrementale per \( x \to x_0 \)
Applichiamo ora la definizione di derivata nella forma:
\[ f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{a^x-a^{x_0}}{x-x_0} \]
Riscriviamo \(a^x\) come:
\[ a^x=a^{x_0}\cdot a^{x-x_0} \]
Sostituendo:
\[ f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{a^{x_0}a^{x-x_0}-a^{x_0}}{x-x_0} \]
Raccogliendo \(a^{x_0}\):
\[ f'(x_0) = a^{x_0} \lim_{x\to x_0} \frac{a^{x-x_0}-1}{x-x_0} \]
Introduciamo la variabile ausiliaria:
\[ u=x-x_0 \]
Poiché \(x\to x_0\), si ha:
\[ u\to 0 \]
Pertanto il limite diventa:
\[ \lim_{u\to 0} \frac{a^u-1}{u} \]
Per il limite fondamentale dell’esponenziale:
\[ \lim_{u\to 0} \frac{a^u-1}{u} = \ln(a) \]
Otteniamo quindi:
\[ f'(x_0) = a^{x_0}\ln(a) \]
In conclusione, la derivata della funzione esponenziale è:
\[ f'(x) = a^x\ln(a) \qquad , \qquad \forall x\in\mathbb{R} \]