Il logaritmo nasce come operazione inversa dell’elevamento a potenza. Se una potenza permette di determinare il risultato conoscendo la base e l’esponente, il logaritmo permette di determinare l’esponente conoscendo la base e il risultato.
Più precisamente, data una base \(b>0\), con \(b\neq 1\), e un numero \(x>0\), il logaritmo di \(x\) in base \(b\), indicato con \(\log_b(x)\), è l’esponente al quale occorre elevare \(b\) per ottenere \(x\). In simboli,
\[ \log_b(x)=y \iff b^y=x. \]
A partire da questa definizione dimostreremo le principali proprietà dei logaritmi, che permettono di trasformare prodotti, quozienti e potenze in espressioni più semplici. Vedremo inoltre le identità fondamentali che legano logaritmi ed esponenziali e la formula del cambiamento di base.
Indice
- Definizione di logaritmo
- Identità fondamentali e valori notevoli
- Logaritmo di un prodotto
- Logaritmo di un quoziente
- Logaritmo di una potenza
- Formula del cambiamento di base
Definizione di logaritmo
Siano \(b\) e \(x\) due numeri reali tali che
\[ b>0,\qquad b\neq 1,\qquad x>0. \]
Poiché la funzione esponenziale \(y\mapsto b^y\) è strettamente monotona e assume tutti i valori reali positivi, per ogni \(x>0\) esiste un unico numero reale \(y\) tale che
\[ b^y=x. \]
Tale numero si definisce logaritmo di \(x\) in base \(b\). In simboli,
\[ \log_b(x)=y \iff b^y=x. \]
La base del logaritmo deve essere positiva e diversa da \(1\), mentre il suo argomento deve essere strettamente positivo.
La condizione \(b>0\) garantisce che la potenza \(b^y\) sia definita per ogni esponente reale \(y\). La condizione \(b\neq 1\) è necessaria perché
\[ 1^y=1 \]
per ogni \(y\in\mathbb{R}\). Pertanto, quando \(b=1\), nessun esponente produce un numero positivo diverso da \(1\), mentre ogni esponente reale produce \(1\). Di conseguenza, il logaritmo non può essere definito come operazione inversa.
Inoltre, poiché
\[ b^y>0 \]
per ogni \(y\in\mathbb{R}\), il logaritmo è definito soltanto per argomenti positivi.
Per esempio,
\[ \log_2(8)=3, \]
perché
\[ 2^3=8. \]
Analogamente,
\[ \log_3\left(\frac{1}{9}\right)=-2, \]
perché
\[ 3^{-2}=\frac{1}{9}. \]
Il logaritmo può quindi assumere valori positivi, nulli o negativi, mentre il suo argomento deve essere sempre positivo.
Identità fondamentali e valori notevoli
Poiché il logaritmo e l’elevamento a potenza sono operazioni inverse, valgono le identità fondamentali
\[ b^{\log_b(x)}=x, \qquad x>0, \]
e
\[ \log_b(b^y)=y, \qquad y\in\mathbb{R}, \]
dove \(b>0\) e \(b\neq 1\).
La prima identità segue immediatamente dalla definizione di logaritmo: \(\log_b(x)\) è, per definizione, l’esponente al quale occorre elevare \(b\) per ottenere \(x\).
La seconda esprime lo stesso legame in senso inverso: il logaritmo in base \(b\) della potenza \(b^y\) è uguale all’esponente \(y\).
Dalla definizione si ricavano anche due valori notevoli:
\[ \log_b(1)=0 \]
perché
\[ b^0=1, \]
e
\[ \log_b(b)=1 \]
perché
\[ b^1=b. \]
Per esempio,
\[ 5^{\log_5(12)}=12 \]
e
\[ \log_2(2^{-3})=-3. \]
Logaritmo di un prodotto
Il logaritmo di un prodotto è uguale alla somma dei logaritmi dei fattori. Se
\[ x>0,\qquad y>0, \]
allora
\[ \log_b(xy)=\log_b(x)+\log_b(y), \]
dove \(b>0\) e \(b\neq 1\).
Dimostrazione. Poniamo
\[ u=\log_b(x) \qquad\text{e}\qquad v=\log_b(y). \]
Per definizione di logaritmo,
\[ x=b^u \qquad\text{e}\qquad y=b^v. \]
Moltiplicando le due uguaglianze, otteniamo
\[ xy=b^u\cdot b^v=b^{u+v}. \]
Applicando il logaritmo in base \(b\) a entrambi i membri,
\[ \log_b(xy)=\log_b\left(b^{u+v}\right)=u+v. \]
Poiché \(u=\log_b(x)\) e \(v=\log_b(y)\), segue che
\[ \log_b(xy)=\log_b(x)+\log_b(y). \]
Esempio. Calcoliamo
\[ \log_2(4\cdot 8). \]
Applicando la proprietà del prodotto,
\[ \log_2(4\cdot 8)=\log_2(4)+\log_2(8)=2+3=5. \]
Infatti,
\[ 4\cdot 8=32 \qquad\text{e}\qquad \log_2(32)=5. \]
La proprietà si estende a qualsiasi prodotto finito di fattori positivi. Se \(n\in\mathbb{N}\), \(n\geq 2\), e \(x_1,\ldots,x_n>0\), allora
\[ \log_b(x_1x_2\cdots x_n) = \log_b(x_1)+\log_b(x_2)+\cdots+\log_b(x_n). \]
Logaritmo di un quoziente
Il logaritmo di un quoziente è uguale alla differenza tra il logaritmo del numeratore e il logaritmo del denominatore. Se
\[ x>0,\qquad y>0, \]
allora
\[ \log_b\left(\frac{x}{y}\right)=\log_b(x)-\log_b(y), \]
dove \(b>0\) e \(b\neq 1\).
Dimostrazione. Poniamo
\[ u=\log_b(x) \qquad\text{e}\qquad v=\log_b(y). \]
Per definizione di logaritmo,
\[ x=b^u \qquad\text{e}\qquad y=b^v. \]
Dividendo la prima uguaglianza per la seconda, otteniamo
\[ \frac{x}{y}=\frac{b^u}{b^v}=b^{u-v}. \]
Applicando il logaritmo in base \(b\) a entrambi i membri,
\[ \log_b\left(\frac{x}{y}\right) = \log_b\left(b^{u-v}\right) = u-v. \]
Poiché \(u=\log_b(x)\) e \(v=\log_b(y)\), segue che
\[ \log_b\left(\frac{x}{y}\right)=\log_b(x)-\log_b(y). \]
Esempio. Calcoliamo
\[ \log_3\left(\frac{81}{9}\right). \]
Applicando la proprietà del quoziente,
\[ \log_3\left(\frac{81}{9}\right) = \log_3(81)-\log_3(9) = 4-2 = 2. \]
Infatti,
\[ \frac{81}{9}=9 \qquad\text{e}\qquad \log_3(9)=2. \]
Logaritmo di una potenza
Il logaritmo di una potenza è uguale al prodotto tra l’esponente e il logaritmo della base della potenza. Se
\[ x>0 \]
e \(\alpha\in\mathbb{R}\), allora
\[ \log_b(x^\alpha)=\alpha\log_b(x), \]
dove \(b>0\) e \(b\neq 1\).
Dimostrazione. Poniamo
\[ u=\log_b(x). \]
Per definizione di logaritmo,
\[ x=b^u. \]
Elevando entrambi i membri alla potenza \(\alpha\), otteniamo
\[ x^\alpha=(b^u)^\alpha=b^{\alpha u}. \]
Applicando il logaritmo in base \(b\) a entrambi i membri,
\[ \log_b(x^\alpha) = \log_b\left(b^{\alpha u}\right) = \alpha u. \]
Poiché \(u=\log_b(x)\), segue che
\[ \log_b(x^\alpha)=\alpha\log_b(x). \]
Esempio. Calcoliamo
\[ \log_2(8^4). \]
Applicando la proprietà della potenza,
\[ \log_2(8^4)=4\log_2(8)=4\cdot 3=12. \]
Infatti,
\[ 8^4=(2^3)^4=2^{12}, \]
e quindi
\[ \log_2(8^4)=12. \]
Un caso particolare importante si ottiene ponendo \(\alpha=-1\):
\[ \log_b\left(\frac{1}{x}\right) = \log_b(x^{-1}) = -\log_b(x), \qquad x>0. \]
Analogamente, ponendo \(\alpha=\displaystyle\frac{1}{n}\), con \(n\in\mathbb{N}\) e \(n\geq 2\), otteniamo
\[ \log_b\left(\sqrt[n]{x}\right) = \frac{1}{n}\log_b(x), \qquad x>0. \]
Formula del cambiamento di base
La formula del cambiamento di base permette di esprimere un logaritmo in una base assegnata mediante logaritmi calcolati in un’altra base. Se
\[ x>0,\qquad b>0,\qquad b\neq 1,\qquad c>0,\qquad c\neq 1, \]
allora
\[ \log_b(x)=\frac{\log_c(x)}{\log_c(b)}. \]
Dimostrazione. Poniamo
\[ y=\log_b(x). \]
Per definizione di logaritmo,
\[ b^y=x. \]
Applicando il logaritmo in base \(c\) a entrambi i membri, otteniamo
\[ \log_c(b^y)=\log_c(x). \]
Per la proprietà della potenza,
\[ y\log_c(b)=\log_c(x). \]
Poiché \(b\neq 1\), si ha \(\log_c(b)\neq 0\). Possiamo quindi dividere entrambi i membri per \(\log_c(b)\):
\[ y=\frac{\log_c(x)}{\log_c(b)}. \]
Poiché \(y=\log_b(x)\), segue che
\[ \log_b(x)=\frac{\log_c(x)}{\log_c(b)}. \]
Logaritmi decimali e logaritmi naturali
Due basi particolarmente importanti sono \(10\) ed \(e\). Il logaritmo in base \(10\) è detto logaritmo decimale e, nella matematica elementare, è spesso indicato con
\[ \log(x)=\log_{10}(x), \]
mentre il logaritmo in base \(e\) è detto logaritmo naturale o logaritmo neperiano e si indica con
\[ \ln(x)=\log_e(x). \]
La formula del cambiamento di base consente quindi di scrivere
\[ \log_b(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(b)} \]
oppure
\[ \log_b(x)=\frac{\log(x)}{\log(b)}. \]
Esempio. Esprimiamo \(\log_2(40)\) mediante il logaritmo naturale:
\[ \log_2(40)=\frac{\ln(40)}{\ln(2)}. \]
Con una calcolatrice otteniamo
\[ \log_2(40)\approx 5{,}322. \]
Questo valore è compreso tra \(5\) e \(6\), come ci si aspetta dalla disuguaglianza
\[ 2^5=32<40<64=2^6. \]