La composizione di funzioni è un'operazione che permette di applicare una funzione dopo un'altra. Se una funzione trasforma un elemento \(x\) in \(g(x)\), e una seconda funzione può essere applicata al valore \(g(x)\), allora possiamo considerare la funzione che associa direttamente a \(x\) il valore \(f(g(x))\).
Questa operazione è fondamentale nello studio delle funzioni, perché consente di costruire nuove funzioni a partire da funzioni già note. Inoltre, la composizione è alla base di molti concetti importanti, come la funzione inversa, le trasformazioni del grafico, la regola della catena nel calcolo differenziale e il cambiamento di variabile negli integrali.
Per definire correttamente la composizione, però, non basta scrivere formalmente \(f(g(x))\). È necessario controllare con precisione domini e codomini: il valore prodotto dalla prima funzione deve appartenere al dominio della seconda. Per questo motivo, la composizione di funzioni è un concetto semplice nell'idea, ma richiede attenzione nelle condizioni di esistenza.
Indice
- Idea intuitiva della composizione di funzioni
- Definizione di composizione di funzioni
- Condizione di esistenza della composizione
- Dominio della funzione composta
- Ordine della composizione
- Esempi di composizione di funzioni
- Composizione con la funzione identità
- Associatività della composizione
- Composizione di funzioni iniettive, suriettive e biiettive
- Composizione e funzione inversa
Idea intuitiva della composizione di funzioni
L'idea della composizione di funzioni consiste nell'applicare due funzioni una dopo l'altra.
Supponiamo di avere una funzione \(g\) che associa a un elemento \(x\) un valore \(g(x)\). Supponiamo poi di avere una seconda funzione \(f\), che può essere applicata al valore \(g(x)\). Allora possiamo costruire una nuova funzione che, partendo da \(x\), arriva direttamente al valore \(f(g(x))\).
Lo schema è il seguente:
\[ x \xrightarrow{\;g\;} g(x) \xrightarrow{\;f\;} f(g(x)). \]
In questo caso si dice che abbiamo composto \(f\) con \(g\). La funzione ottenuta si indica con
\[ f\circ g. \]
Il simbolo \(f\circ g\) si legge \(f\) composta con \(g\) oppure \(f\) dopo \(g\).
È importante osservare l'ordine: nella composizione \(f\circ g\), la funzione \(g\) viene applicata per prima, mentre la funzione \(f\) viene applicata per seconda.
Infatti, per ogni \(x\) per cui la composizione è definita, vale
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)). \]
La composizione \(f\circ g\) non significa quindi che si applica prima \(f\) e poi \(g\), ma esattamente il contrario: prima si calcola \(g(x)\), poi si applica \(f\) al risultato ottenuto.
Definizione di composizione di funzioni
Siano
\[ g:A\to B \]
e
\[ f:B\to C \]
due funzioni. La composizione di \(f\) con \(g\) è la funzione
\[ f\circ g:A\to C \]
definita ponendo, per ogni \(x\in A\),
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)). \]
In questa definizione, la funzione \(g\) viene applicata per prima, mentre la funzione \(f\) viene applicata dopo. Infatti, partendo da un elemento \(x\in A\), si ottiene prima il valore \(g(x)\in B\), e poi si applica \(f\) a tale valore:
\[ x\in A \quad \xrightarrow{\;g\;} \quad g(x)\in B \quad \xrightarrow{\;f\;} \quad f(g(x))\in C. \]
La funzione composta \(f\circ g\) associa quindi direttamente a ogni elemento \(x\in A\) l'elemento \(f(g(x))\in C\).
È importante notare che nella scrittura \(f\circ g\) l'ordine di lettura algebrico non coincide con l'ordine di applicazione: la funzione scritta a destra, cioè \(g\), viene applicata per prima; la funzione scritta a sinistra, cioè \(f\), viene applicata per seconda.
Condizione di esistenza della composizione
La composizione \(f\circ g\) è definita quando i valori assunti da \(g\) possono essere usati come argomenti della funzione \(f\).
Nella situazione
\[ g:A\to B, \qquad f:B\to C, \]
questa condizione è automaticamente soddisfatta, perché per ogni \(x\in A\) si ha \(g(x)\in B\), e \(B\) è proprio il dominio della funzione \(f\).
Più in generale, se
\[ g:A\to B \]
e
\[ f:D\to C, \]
allora la composizione \(f\circ g\) è definita per tutti gli elementi \(x\in A\) tali che
\[ g(x)\in D. \]
In particolare, se l'immagine di \(g\) è contenuta nel dominio di \(f\), cioè se
\[ g(A)\subseteq D, \]
allora la composizione \(f\circ g\) è definita su tutto \(A\).
Questa è la condizione fondamentale per poter comporre due funzioni: l'uscita della prima funzione deve appartenere al dominio della seconda.
In simboli, se si vuole definire \(f\circ g\) su tutto \(A\), bisogna avere
\[ g(A)\subseteq \operatorname{Dom}(f). \]
Senza questa condizione, l'espressione \(f(g(x))\) potrebbe non avere significato per alcuni valori di \(x\), perché \(g(x)\) potrebbe non appartenere al dominio di \(f\).
Dominio della funzione composta
Quando le funzioni sono assegnate mediante formule, il dominio della funzione composta deve essere determinato con attenzione.
Supponiamo che \(g\) sia definita su un insieme \(A\) e che \(f\) sia definita su un insieme \(D\). La funzione composta \(f\circ g\) è definita esattamente per quegli elementi \(x\in A\) per cui \(g(x)\) appartiene al dominio di \(f\).
Dunque il dominio di \(f\circ g\) è
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)= \{x\in \operatorname{Dom}(g)\mid g(x)\in \operatorname{Dom}(f)\}. \]
Questa formula è fondamentale: per determinare il dominio di una funzione composta non basta considerare il dominio di \(g\), ma bisogna imporre anche che il valore \(g(x)\) sia accettabile come argomento di \(f\).
Consideriamo, ad esempio, le funzioni
\[ g(x)=x-1, \qquad f(x)=\sqrt{x}. \]
La funzione composta \(f\circ g\) è
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x-1)=\sqrt{x-1}. \]
Perché questa espressione sia definita nei numeri reali, deve valere
\[ x-1\ge 0. \]
Quindi
\[ x\ge 1. \]
Pertanto
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)=[1,+\infty). \]
In questo esempio il dominio della composta non è tutto il dominio di \(g\), ma solo la parte del dominio di \(g\) in cui il valore \(g(x)\) appartiene al dominio della radice quadrata.
Ordine della composizione
L'ordine con cui si compongono due funzioni è fondamentale. In generale, \(f\circ g\) e \(g\circ f\) sono funzioni diverse.
Infatti, per definizione,
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)), \]
mentre
\[ (g\circ f)(x)=g(f(x)). \]
Nel primo caso si applica prima \(g\) e poi \(f\); nel secondo caso si applica prima \(f\) e poi \(g\). Poiché l'ordine di applicazione cambia, il risultato può cambiare.
Consideriamo, ad esempio, le funzioni
\[ f(x)=x^2, \qquad g(x)=x+1. \]
Calcoliamo prima \(f\circ g\):
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x+1)=(x+1)^2. \]
Calcoliamo ora \(g\circ f\):
\[ (g\circ f)(x)=g(f(x))=g(x^2)=x^2+1. \]
Le due funzioni ottenute sono
\[ (f\circ g)(x)=(x+1)^2 \]
e
\[ (g\circ f)(x)=x^2+1. \]
In generale queste espressioni non coincidono. Ad esempio, per \(x=1\) si ha
\[ (f\circ g)(1)=(1+1)^2=4, \]
mentre
\[ (g\circ f)(1)=1^2+1=2. \]
Quindi
\[ f\circ g\ne g\circ f. \]
La composizione di funzioni, dunque, non è commutativa: cambiando l'ordine delle funzioni, in generale cambia la funzione composta.
Esempi di composizione di funzioni
Vediamo alcuni esempi per chiarire il calcolo della funzione composta e del suo dominio.
Esempio 1. Consideriamo le funzioni
\[ f(x)=3x+2, \qquad g(x)=x^2. \]
La composizione \(f\circ g\) si ottiene sostituendo \(g(x)\) al posto della variabile di \(f\):
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x^2)=3x^2+2. \]
La composizione \(g\circ f\), invece, è
\[ (g\circ f)(x)=g(f(x))=g(3x+2)=(3x+2)^2. \]
Anche in questo caso le due composizioni sono diverse:
\[ f\circ g\ne g\circ f. \]
Esempio 2. Consideriamo le funzioni
\[ f(x)=\sqrt{x}, \qquad g(x)=x^2-1. \]
La composta \(f\circ g\) è
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x^2-1)=\sqrt{x^2-1}. \]
Perché questa funzione sia definita nei numeri reali, deve valere
\[ x^2-1\ge 0. \]
Risolvendo la disequazione, otteniamo
\[ x\le -1 \qquad \text{oppure} \qquad x\ge 1. \]
Quindi
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)=(-\infty,-1]\cup[1,+\infty). \]
La composta \(g\circ f\), invece, è
\[ (g\circ f)(x)=g(f(x))=g(\sqrt{x})=(\sqrt{x})^2-1=x-1. \]
In questo caso bisogna però ricordare che \(f(x)=\sqrt{x}\) è definita solo per \(x\ge 0\). Pertanto
\[ \operatorname{Dom}(g\circ f)=[0,+\infty). \]
Questo esempio mostra che due composizioni possono avere non solo formule diverse, ma anche domini diversi.
Esempio 3. Consideriamo le funzioni
\[ f(x)=\frac{1}{x}, \qquad g(x)=x-2. \]
La funzione composta \(f\circ g\) è
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x-2)=\frac{1}{x-2}. \]
Questa espressione è definita se e solo se
\[ x-2\ne 0. \]
Quindi
\[ x\ne 2. \]
Pertanto
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)=\mathbb R\setminus\{2\}. \]
Anche qui il dominio della composta si ottiene imponendo che il valore della funzione interna appartenga al dominio della funzione esterna.
Composizione con la funzione identità
La funzione identità è l'elemento neutro rispetto alla composizione di funzioni.
Ricordiamo che, dato un insieme \(A\), la funzione identità su \(A\) è la funzione
\[ \operatorname{id}_A:A\to A \]
definita da
\[ \operatorname{id}_A(x)=x \]
per ogni \(x\in A\).
Sia ora
\[ f:A\to B \]
una funzione. Componendo \(f\) a destra con l'identità di \(A\), otteniamo
\[ f\circ \operatorname{id}_A:A\to B. \]
Per ogni \(x\in A\), si ha
\[ (f\circ \operatorname{id}_A)(x)=f(\operatorname{id}_A(x))=f(x). \]
Quindi
\[ f\circ \operatorname{id}_A=f. \]
Componendo invece \(f\) a sinistra con l'identità di \(B\), otteniamo
\[ \operatorname{id}_B\circ f:A\to B. \]
Per ogni \(x\in A\), risulta
\[ (\operatorname{id}_B\circ f)(x)=\operatorname{id}_B(f(x))=f(x). \]
Dunque
\[ \operatorname{id}_B\circ f=f. \]
In conclusione, per ogni funzione \(f:A\to B\), vale
\[ f\circ \operatorname{id}_A=f \qquad \text{e} \qquad \operatorname{id}_B\circ f=f. \]
Associatività della composizione
La composizione di funzioni è associativa. Questo significa che, quando si compongono tre funzioni compatibili, il modo in cui si inseriscono le parentesi non cambia il risultato finale.
Siano
\[ h:A\to B,\qquad g:B\to C,\qquad f:C\to D \]
tre funzioni. Allora sono definite entrambe le composizioni
\[ (f\circ g)\circ h \]
e
\[ f\circ (g\circ h). \]
Per ogni \(x\in A\), si ha
\[ ((f\circ g)\circ h)(x) = (f\circ g)(h(x)) = f(g(h(x))). \]
D'altra parte,
\[ (f\circ (g\circ h))(x) = f((g\circ h)(x)) = f(g(h(x))). \]
Le due funzioni assumono quindi lo stesso valore per ogni \(x\in A\). Di conseguenza,
\[ (f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h). \]
Grazie all'associatività, quando non c'è ambiguità si può scrivere semplicemente
\[ f\circ g\circ h, \]
ricordando però che l'ordine di applicazione rimane da destra verso sinistra: prima \(h\), poi \(g\), infine \(f\).
Composizione di funzioni iniettive, suriettive e biiettive
La composizione conserva alcune proprietà importanti delle funzioni, come l'iniettività, la suriettività e la biiettività.
Siano
\[ g:A\to B \]
e
\[ f:B\to C \]
due funzioni.
Se \(g\) e \(f\) sono entrambe iniettive, allora anche \(f\circ g:A\to C\) è iniettiva.
Infatti, supponiamo che
\[ (f\circ g)(x_1)=(f\circ g)(x_2). \]
Allora
\[ f(g(x_1))=f(g(x_2)). \]
Poiché \(f\) è iniettiva, segue che
\[ g(x_1)=g(x_2). \]
Poiché \(g\) è iniettiva, otteniamo
\[ x_1=x_2. \]
Quindi \(f\circ g\) è iniettiva.
Se \(g\) e \(f\) sono entrambe suriettive, allora anche \(f\circ g:A\to C\) è suriettiva.
Infatti, sia \(z\in C\). Poiché \(f\) è suriettiva, esiste \(y\in B\) tale che
\[ f(y)=z. \]
Poiché \(g\) è suriettiva, esiste \(x\in A\) tale che
\[ g(x)=y. \]
Di conseguenza,
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(y)=z. \]
Quindi ogni elemento di \(C\) è immagine di almeno un elemento di \(A\) tramite \(f\circ g\), e pertanto \(f\circ g\) è suriettiva.
Se \(g\) e \(f\) sono entrambe biiettive, allora \(f\circ g\) è biiettiva, perché è sia iniettiva sia suriettiva.
Composizione e funzione inversa
La composizione è lo strumento naturale per definire e riconoscere la funzione inversa.
Sia
\[ f:A\to B \]
una funzione. Una funzione
\[ g:B\to A \]
è l'inversa di \(f\) se, componendo le due funzioni nei due ordini possibili, si ottengono le funzioni identità:
\[ g\circ f=\operatorname{id}_A \]
e
\[ f\circ g=\operatorname{id}_B. \]
La prima uguaglianza significa che, partendo da un elemento \(x\in A\), applicare prima \(f\) e poi \(g\) riporta al punto di partenza:
\[ (g\circ f)(x)=g(f(x))=x. \]
La seconda uguaglianza significa che, partendo da un elemento \(y\in B\), applicare prima \(g\) e poi \(f\) riporta al punto di partenza:
\[ (f\circ g)(y)=f(g(y))=y. \]
In questo caso si scrive
\[ g=f^{-1}. \]
La composizione mostra quindi che una funzione inversa non è semplicemente una formula ottenuta “invertendo i passaggi”, ma una funzione che annulla l'effetto di \(f\) sia a destra sia a sinistra, riportando ogni elemento del dominio e del codominio al proprio punto di partenza.
In particolare, una funzione \(f:A\to B\) ammette inversa \(f^{-1}:B\to A\) se e solo se è biiettiva.
La composizione di funzioni è quindi un'operazione fondamentale per costruire nuove funzioni a partire da funzioni già note. La sua definizione è semplice:
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)), \]
ma richiede sempre attenzione all'ordine di applicazione e ai domini delle funzioni coinvolte.
In particolare, nella composizione \(f\circ g\), la funzione \(g\) viene applicata per prima, mentre \(f\) viene applicata per seconda. Inoltre, la composizione è definita solo per quei valori di \(x\) per cui \(g(x)\) appartiene al dominio di \(f\).
La composizione non è in generale commutativa, ma è associativa. La funzione identità agisce come elemento neutro, mentre la funzione inversa può essere descritta proprio mediante la composizione con le funzioni identità.
Per questo motivo, la composizione di funzioni è uno strumento essenziale nello studio delle funzioni, delle loro proprietà e delle relazioni tra funzione, inversa, dominio e codominio.