Area di un Triangolo Mediante la Trigonometria

La formula dell’area e l’angolo compreso

Consideriamo un triangolo \(ABC\) e poniamo

\[ a=BC,\qquad b=CA,\qquad c=AB. \]

Indichiamo con \(\alpha\), \(\beta\) e \(\gamma\) gli angoli interni rispettivamente nei vertici \(A\), \(B\) e \(C\). Si ha

\[ \alpha+\beta+\gamma=180^\circ. \]

L’area del triangolo si può esprimere in tre forme equivalenti:

\[ S=\frac12bc\sin\alpha, \] \[ S=\frac12ca\sin\beta, \] \[ S=\frac12ab\sin\gamma. \]

In ciascuna formula si moltiplicano le lunghezze di due lati per il seno dell’angolo compreso fra essi, dividendo poi per \(2\).

Per esempio, conoscendo \(AB\) e \(AC\), bisogna usare l’angolo in \(A\), perché è quello formato dai due lati assegnati. Non si può sostituirlo arbitrariamente con un altro angolo del triangolo.

Dimostrazione mediante l’altezza

Scegliamo \(AB\) come base, di lunghezza \(c\), e indichiamo con \(h\) l’altezza relativa a questa base. La formula geometrica dell’area è

\[ S=\frac12ch. \]

Per ottenere la formula trigonometrica basta esprimere \(h\) mediante il lato \(AC=b\) e l’angolo \(\alpha\).

Angolo \(\alpha\) acuto

Sia \(H\) il piede della perpendicolare condotta da \(C\) alla retta \(AB\). Il triangolo \(AHC\) è rettangolo e, poiché \(\alpha\) è acuto, il punto \(H\) appartiene alla semiretta \(AB\). Può trovarsi sul segmento \(AB\) oppure oltre \(B\).

In entrambi i casi

\[ \sin\alpha=\frac{CH}{AC}=\frac{h}{b}, \]

quindi

\[ h=b\sin\alpha. \]

Sostituendo nella formula dell’area, otteniamo

\[ S=\frac12c\cdot b\sin\alpha =\frac12bc\sin\alpha. \]

Angolo \(\alpha\) ottuso

Se \(\alpha\) è ottuso, il piede \(H\) si trova sul prolungamento di \(AB\) oltre \(A\), dalla parte opposta rispetto a \(B\). Nel triangolo rettangolo \(AHC\), l’angolo in \(A\) misura \(180^\circ-\alpha\). Pertanto

\[ h=b\sin(180^\circ-\alpha). \]

Poiché angoli supplementari hanno lo stesso seno,

\[ \sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha, \]

e si ritrova

\[ h=b\sin\alpha. \]

La formula dell’area rimane dunque valida anche quando l’angolo compreso è ottuso.

Angolo \(\alpha\) retto

Se \(\alpha=90^\circ\), i lati \(b\) e \(c\) sono perpendicolari e \(h=b\). Siccome \(\sin90^\circ=1\), la formula diventa

\[ S=\frac12bc, \]

cioè metà del prodotto dei cateti.

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Esempi con angoli acuti, retti e ottusi

Esempio 1. Angolo di \(30^\circ\)

Un triangolo ha due lati di \(8\,\mathrm{cm}\) e \(5\,\mathrm{cm}\), con angolo compreso di \(30^\circ\). L’area è

\[ S=\frac12\cdot8\cdot5\cdot\sin30^\circ =20\cdot\frac12 =10\,\mathrm{cm}^2. \]

Esempio 2. Angolo di \(60^\circ\)

Se i lati misurano \(6\,\mathrm{cm}\) e \(10\,\mathrm{cm}\) e l’angolo compreso è \(60^\circ\), otteniamo

\[ S=\frac12\cdot6\cdot10\cdot\sin60^\circ =30\cdot\frac{\sqrt3}{2} =15\sqrt3\,\mathrm{cm}^2. \]

In forma approssimata,

\[ S\approx25{,}98\,\mathrm{cm}^2. \]

Esempio 3. Angolo ottuso di \(120^\circ\)

Con gli stessi lati di \(6\,\mathrm{cm}\) e \(10\,\mathrm{cm}\), ma angolo compreso di \(120^\circ\), si ha

\[ S=\frac12\cdot6\cdot10\cdot\sin120^\circ. \]

Poiché

\[ \sin120^\circ=\sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}, \]

l’area è ancora

\[ S=15\sqrt3\,\mathrm{cm}^2. \]

I due triangoli hanno la stessa area, pur avendo angoli compresi diversi: \(60^\circ\) e \(120^\circ\) sono supplementari e hanno lo stesso seno.

Esempio 4. Angolo non notevole

Due lati misurano \(7\,\mathrm m\) e \(9\,\mathrm m\) e formano un angolo di \(42^\circ\). L’area è

\[ S=\frac12\cdot7\cdot9\cdot\sin42^\circ =31{,}5\sin42^\circ\,\mathrm m^2 \approx21{,}08\,\mathrm m^2. \]

La calcolatrice va impostata in modalità DEG, perché l’angolo è espresso in gradi. L’arrotondamento si esegue sul risultato finale.

Area massima a parità di due lati

Supponiamo di mantenere fisse le lunghezze \(b\) e \(c\) e di variare l’angolo compreso \(\alpha\). Poiché

\[ 0<\sin\alpha\le1 \qquad \text{per }0^\circ<\alpha<180^\circ, \]

dalla formula dell’area segue

\[ 0<S\le\frac12bc. \]

Il valore massimo si raggiunge esattamente quando \(\sin\alpha=1\), cioè quando

\[ \alpha=90^\circ. \]

Quindi, fra i triangoli con due lati assegnati, quello di area massima è il triangolo in cui tali lati sono perpendicolari.

Esempio 5. Due lati di \(6\) e \(10\) centimetri

L’area massima possibile è

\[ S_{\max}=\frac12\cdot6\cdot10 =30\,\mathrm{cm}^2. \]

Si ottiene quando l’angolo compreso è retto. Non sarebbe possibile costruire con questi due lati un triangolo di area \(35\,\mathrm{cm}^2\).

Quando \(\alpha\) tende a \(0^\circ\) oppure a \(180^\circ\), l’area tende a zero. I valori estremi \(0^\circ\) e \(180^\circ\) corrispondono a configurazioni degeneri e non sono angoli interni ammessi per un triangolo non degenere.

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Problemi inversi: ricavare un lato o un angolo

Ricavare un lato

Se sono noti l’area \(S\), un lato \(c\) e l’angolo compreso \(\alpha\), dalla relazione

\[ S=\frac12bc\sin\alpha \]

si ricava

\[ b=\frac{2S}{c\sin\alpha}. \]

La divisione è ammessa perché \(c>0\) e \(\sin\alpha>0\) per ogni angolo interno di un triangolo non degenere.

Esempio 6. Lato incognito

Un triangolo ha area \(18\,\mathrm{cm}^2\). Un lato misura \(9\,\mathrm{cm}\) e forma un angolo di \(30^\circ\) con il lato incognito \(b\). Pertanto

\[ b=\frac{2\cdot18}{9\sin30^\circ} =\frac{36}{9/2} =8\,\mathrm{cm}. \]

Ricavare l’angolo compreso

Se sono noti \(S\), \(b\) e \(c\), otteniamo

\[ \sin\alpha=\frac{2S}{bc}. \]

Prima di calcolare l’angolo bisogna verificare la compatibilità dei dati:

\[ 0<\frac{2S}{bc}\le1. \]

• Se \(\displaystyle\frac{2S}{bc}>1\), i dati sono incompatibili.
• Se \(\displaystyle\frac{2S}{bc}=1\), l’angolo compreso è \(90^\circ\).
• Se \(\displaystyle0<\frac{2S}{bc}<1\), esistono due possibili angoli interni, uno acuto e uno ottuso, fra loro supplementari.

In quest’ultimo caso, posto

\[ \theta=\arcsin\left(\frac{2S}{bc}\right), \qquad 0^\circ<\theta<90^\circ, \]

le possibilità sono

\[ \alpha=\theta \quad\text{oppure}\quad \alpha=180^\circ-\theta. \]

Eventuali informazioni aggiuntive, come il fatto che l’angolo compreso sia acuto, permettono di scegliere una sola possibilità.

Esempio 7. Due angoli possibili

Siano \(b=8\,\mathrm{cm}\), \(c=5\,\mathrm{cm}\) e \(S=10\,\mathrm{cm}^2\). Si ha

\[ \sin\alpha=\frac{2\cdot10}{8\cdot5} =\frac12. \]

Poiché \(\alpha\) è un angolo interno, le possibilità sono

\[ \alpha=30^\circ \quad\text{oppure}\quad \alpha=150^\circ. \]

Scrivere soltanto \(\alpha=\arcsin(1/2)=30^\circ\) farebbe perdere la soluzione ottusa.

Due angoli e un lato noti

Se conosciamo due angoli, il terzo si ricava dalla somma degli angoli interni. Per applicare la formula dell’area occorre poi determinare un secondo lato.

Il teorema dei seni afferma che

\[ \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma}. \]

Conoscendo il lato \(a\) e gli angoli \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\), si ricavano

\[ b=\frac{a\sin\beta}{\sin\alpha}, \qquad c=\frac{a\sin\gamma}{\sin\alpha}. \]

Sostituendo nella formula \(\displaystyle S=\frac12bc\sin\alpha\), otteniamo

\[ S=\frac{a^2\sin\beta\sin\gamma}{2\sin\alpha}. \]

Questa relazione è utile quando sono noti un lato e due angoli; il lato \(a\) deve essere quello opposto all’angolo \(\alpha\).

Esempio 8. Un lato e due angoli

Un triangolo ha \(a=10\,\mathrm{cm}\), \(\alpha=30^\circ\) e \(\beta=60^\circ\). Il terzo angolo è

\[ \gamma=180^\circ-30^\circ-60^\circ=90^\circ. \]

L’area vale

\[ S= \frac{10^2\sin60^\circ\sin90^\circ} {2\sin30^\circ} = \frac{100\cdot\frac{\sqrt3}{2}\cdot1} {2\cdot\frac12} = 50\sqrt3\,\mathrm{cm}^2. \]

Il lato di \(10\,\mathrm{cm}\) è opposto all’angolo di \(30^\circ\): non è l’ipotenusa. In questo triangolo rettangolo l’ipotenusa è il lato \(c\), opposto all’angolo \(\gamma=90^\circ\).

Controlli ed errori comuni

Per calcolare l’area mediante la trigonometria bisogna identificare due lati e il loro angolo compreso, applicare la formula corretta e controllare unità e plausibilità del risultato. Nei problemi inversi, la compatibilità dei dati e la possibile presenza di due angoli supplementari richiedono un’attenzione particolare.