Una successione numerica reale è una lista ordinata di numeri reali, indicati solitamente con
\[ a_1,\ a_2,\ a_3,\ \ldots,\ a_n,\ \ldots \]
dove \(a_n\) rappresenta il termine generale della successione, cioè il termine che occupa la posizione \(n\). Studiare una successione significa capire come si comportano i suoi termini al crescere dell'indice \(n\).
Il concetto centrale è quello di limite di una successione. Quando \(n\to+\infty\), i termini \(a_n\) possono avvicinarsi a un numero reale, crescere senza limite, decrescere senza limite oppure non avere alcun comportamento limite. Per questo motivo si distinguono successioni convergenti, divergenti e irregolari.
Introduciamo le definizioni fondamentali sui limiti di successioni, spiegando in modo rigoroso il significato di convergenza, divergenza e irregolarità.
Indice
- Che cos'è una successione numerica
- Limite di una successione
- Successioni convergenti
- Successioni divergenti
- Successioni irregolari
- Esempi di successioni convergenti, divergenti e irregolari
Che cos'è una successione numerica
Una successione numerica è una funzione definita sull'insieme dei numeri naturali e a valori in un insieme numerico. Nel caso delle successioni reali, si tratta di una funzione
\[ a:\mathbb{N}\to\mathbb{R}. \]
A ogni numero naturale \(n\) viene associato uno e un solo numero reale \(a(n)\). Invece di scrivere \(a(n)\), per le successioni si usa quasi sempre la notazione
\[ a_n. \]
Il numero \(a_n\) si chiama termine n-esimo o termine generale della successione. La successione si indica allora con una delle seguenti notazioni:
\[ (a_n)_{n\in\mathbb{N}},\qquad (a_n),\qquad a_n. \]
Per esempio, la formula
\[ a_n=\frac{1}{n} \]
definisce la successione
\[ 1,\ \frac{1}{2},\ \frac{1}{3},\ \frac{1}{4},\ \ldots \]
In questo caso il primo termine è \(a_1=1\), il secondo termine è \(a_2=\displaystyle \frac{1}{2}\), il terzo termine è \(a_3=\displaystyle \frac{1}{3}\), e così via.
L'aspetto fondamentale è che una successione non è soltanto un insieme di numeri, ma un insieme di valori disposti in un ordine preciso. Per esempio, le successioni
\[ 1,\ 2,\ 1,\ 2,\ 1,\ 2,\ \ldots \]
e
\[ 2,\ 1,\ 2,\ 1,\ 2,\ 1,\ \ldots \]
assumono gli stessi valori, ma in ordine diverso. Per questo devono essere considerate successioni diverse.
Limite di una successione
Il limite di una successione descrive il comportamento dei termini \(a_n\) quando l'indice \(n\) diventa arbitrariamente grande, cioè quando
\[ n\to+\infty. \]
Questo punto è importante: in una successione l'indice \(n\) percorre i numeri naturali, quindi non si studia il comportamento per \(n\to-\infty\), ma soltanto per \(n\to+\infty\).
Una successione può avere diversi comportamenti. Può avvicinarsi a un numero reale, può crescere senza limite, può decrescere senza limite oppure può non avere alcun comportamento limite. Per questo motivo si distinguono tre casi fondamentali:
- le successioni convergenti, quando i termini si avvicinano a un numero reale;
- le successioni divergenti, quando i termini tendono a \(+\infty\) oppure a \(-\infty\);
- le successioni irregolari, quando non esiste né un limite finito né un limite infinito.
Scrivere
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=L \]
significa che, al crescere di \(n\), i termini \(a_n\) si avvicinano indefinitamente al numero reale \(L\). Il numero \(L\), se esiste, si chiama limite della successione.
Per esempio, considerando la successione
\[ a_n=\frac{1}{n}, \]
i termini sono
\[ 1,\ \frac{1}{2},\ \frac{1}{3},\ \frac{1}{4},\ \ldots \]
e diventano sempre più vicini a \(0\). In questo caso si scrive
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0. \]
Il limite, però, non deve essere inteso come un valore necessariamente assunto dalla successione. Nell'esempio precedente, nessun termine della successione è uguale a \(0\), perché
\[ \frac{1}{n}\neq 0 \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\). Tuttavia i termini si avvicinano a \(0\) quanto si vuole, purché \(n\) sia sufficientemente grande.
Successioni convergenti
Una successione reale \((a_n)\) si dice convergente se esiste un numero reale \(L\) tale che
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=L. \]
In questo caso si dice che la successione converge a \(L\), oppure che \(L\) è il limite finito della successione.
La definizione rigorosa è la seguente:
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=L \iff \forall \varepsilon>0\ \exists n_\varepsilon\in\mathbb{N}\ :\ \forall n\geq n_\varepsilon \,\, , \,\ |a_n-L|<\varepsilon. \]
Questa definizione va letta con attenzione. Il numero \(\varepsilon>0\) rappresenta una distanza arbitrariamente piccola dal limite \(L\). Dire che
\[ |a_n-L|<\varepsilon \]
significa infatti che il termine \(a_n\) dista da \(L\) meno di \(\varepsilon\).
La definizione afferma quindi che, scelta una qualunque distanza positiva \(\varepsilon\), per quanto piccola, esiste un indice \(n_\varepsilon\) tale che tutti i termini della successione con indice \(n\geq n_\varepsilon\) si trovano a distanza minore di \(\varepsilon\) da \(L\).
In termini geometrici, fissato un intervallo aperto centrato in \(L\),
\[ (L-\varepsilon,L+\varepsilon), \]
esiste un indice \(n_\varepsilon\) tale che tutti i termini successivi della successione appartengono a tale intervallo.
In simboli:
\[ n\geq n_\varepsilon \quad\Longrightarrow\quad a_n\in(L-\varepsilon,L+\varepsilon). \]
È importante osservare che la definizione non richiede che tutti i termini della successione siano vicini a \(L\). I primi termini possono anche essere molto lontani dal limite. Ciò che conta è che, da un certo indice in poi, tutti i termini rimangano arbitrariamente vicini a \(L\).
Per esempio, la successione
\[ a_n=\frac{n}{n+1} \]
converge a \(1\), perché i suoi termini
\[ \frac{1}{2},\ \frac{2}{3},\ \frac{3}{4},\ \frac{4}{5},\ \ldots \]
si avvicinano sempre di più a \(1\).
Infatti:
\[ \frac{n}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}. \]
La quantità sottratta a \(1\), cioè \(\displaystyle \frac{1}{n+1}\), diventa sempre più piccola al crescere di \(n\). Perciò
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n}{n+1}=1. \]
Le successioni convergenti hanno sempre un limite reale finito. Per questo motivo si dice anche che una successione convergente è una successione che ammette limite finito.
Successioni divergenti
Una successione reale \((a_n)\) si dice divergente se i suoi termini non si avvicinano a un numero reale finito, ma diventano arbitrariamente grandi oppure arbitrariamente piccoli.
Più precisamente, una successione può divergere in due modi:
- può divergere a \(+\infty\), se i suoi termini diventano maggiori di qualunque soglia positiva prefissata;
- può divergere a \(-\infty\), se i suoi termini diventano minori di qualunque soglia negativa prefissata.
In entrambi i casi, il simbolo \(+\infty\) oppure \(-\infty\) non rappresenta un numero reale. Dire che una successione tende a \(+\infty\) o a \(-\infty\) significa descrivere un comportamento dei suoi termini, non indicare un valore assunto dalla successione.
Successioni divergenti a \(+\infty\)
Una successione reale \((a_n)\) si dice divergente a \(+\infty\) se, fissato un qualunque numero positivo \(M\), esiste un indice \(n_M\) tale che tutti i termini successivi della successione sono maggiori di \(M\).
Formalmente:
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=+\infty \iff \forall M>0\ \exists n_M\in\mathbb{N}\ :\ \forall n\geq n_M \,\, , \,\ a_n>M. \]
La definizione dice che, qualunque sia la soglia positiva \(M\), anche molto grande, da un certo indice in poi tutti i termini della successione superano quella soglia.
Per esempio, la successione
\[ a_n=n^2 \]
diverge a \(+\infty\), perché i suoi termini
\[ 1,\ 4,\ 9,\ 16,\ \ldots \]
diventano arbitrariamente grandi.
Infatti, fissato \(M>0\), vogliamo che
\[ n^2>M. \]
Poiché \(n\) è positivo, questa disuguaglianza è verificata quando
\[ n>\sqrt{M}. \]
Scegliendo \(n_M\in\mathbb{N}\) tale che
\[ n_M>\sqrt{M}, \]
per ogni \(n\geq n_M\) si ha
\[ n^2>M. \]
Quindi
\[ \lim_{n\to+\infty}n^2=+\infty. \]
Successioni divergenti a \(-\infty\)
Una successione reale \((a_n)\) si dice divergente a \(-\infty\) se, fissato un qualunque numero positivo \(M\), esiste un indice \(n_M\) tale che tutti i termini successivi della successione sono minori di \(-M\).
Formalmente:
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=-\infty \iff \forall M>0\ \exists n_M\in\mathbb{N}\ :\ \forall n\geq n_M \,\, , \,\ a_n<-M. \]
La definizione dice che i termini della successione scendono al di sotto di qualunque soglia negativa. Anche in questo caso \(-\infty\) non è un valore assunto dalla successione, ma descrive il fatto che i termini diventano arbitrariamente piccoli.
Per esempio, la successione
\[ a_n=-n \]
diverge a \(-\infty\), perché i suoi termini
\[ -1,\ -2,\ -3,\ -4,\ \ldots \]
diventano sempre più piccoli.
Infatti, fissato \(M>0\), vogliamo che
\[ -n<-M. \]
Moltiplicando entrambi i membri per \(-1\), il verso della disuguaglianza cambia:
\[ n>M. \]
Scegliendo \(n_M\in\mathbb{N}\) tale che
\[ n_M>M, \]
per ogni \(n\geq n_M\) si ha
\[ n>M \]
e quindi
\[ -n<-M. \]
Pertanto
\[ \lim_{n\to+\infty}(-n)=-\infty. \]
Le successioni divergenti non sono convergenti, perché non ammettono un limite reale finito. Tuttavia hanno comunque un comportamento limite preciso: tendono a \(+\infty\) oppure a \(-\infty\).
Successioni irregolari
Una successione reale \((a_n)\) si dice irregolare se non ammette limite, né finito né infinito.
In altre parole, una successione è irregolare se non è convergente e non diverge né a \(+\infty\) né a \(-\infty\). Quindi una successione irregolare non si avvicina a un numero reale, non cresce senza limite e non decresce senza limite.
Il caso più semplice è quello di una successione che oscilla indefinitamente tra valori diversi. Per esempio, la successione
\[ a_n=(-1)^n \]
assume alternativamente i valori
\[ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ \ldots \]
e quindi non si avvicina a un unico valore limite.
Infatti, considerando soltanto gli indici pari, otteniamo
\[ a_{2k}=(-1)^{2k}=1. \]
Dunque
\[ \lim_{k\to+\infty}a_{2k}=1. \]
Considerando invece gli indici dispari, otteniamo
\[ a_{2k-1}=(-1)^{2k-1}=-1. \]
Dunque
\[ \lim_{k\to+\infty}a_{2k-1}=-1. \]
La stessa successione possiede quindi due sottosuccessioni convergenti a limiti diversi. Per questo motivo la successione \(((-1)^n)\) non può essere convergente.
Inoltre è limitata, perché per ogni \(n\in\mathbb{N}\) vale
\[ -1\leq (-1)^n\leq 1. \]
Essendo limitata, non può divergere né a \(+\infty\) né a \(-\infty\). Di conseguenza è una successione irregolare.
Questo esempio mostra che una successione limitata non è necessariamente convergente. La limitatezza impedisce la divergenza a \(+\infty\) o a \(-\infty\), ma non garantisce l'esistenza di un limite finito.
Più in generale, una successione può essere irregolare perché oscilla tra valori diversi, perché presenta comportamenti differenti lungo sottosuccessioni diverse, oppure perché non tende stabilmente ad alcun valore, finito o infinito.
Esempi di successioni convergenti, divergenti e irregolari
Vediamo ora alcuni esempi fondamentali, utili per riconoscere i principali comportamenti limite di una successione.
Esempio 1.(successione convergente a \(0\)). Consideriamo la successione
\[ a_n=\frac{1}{n}. \]
I suoi termini sono
\[ 1,\ \frac{1}{2},\ \frac{1}{3},\ \frac{1}{4},\ \ldots \]
Al crescere di \(n\), il denominatore diventa sempre più grande, mentre il numeratore resta uguale a \(1\). Di conseguenza i termini della successione diventano sempre più piccoli e si avvicinano a \(0\).
Quindi
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0. \]
La successione è dunque convergente.
Esempio 2. (successione convergente a \(1\)). Consideriamo la successione
\[ a_n=\frac{n}{n+1}. \]
Possiamo riscrivere il termine generale nel modo seguente:
\[ \frac{n}{n+1} = \frac{n+1-1}{n+1} = 1-\frac{1}{n+1}. \]
Poiché
\[ \frac{1}{n+1}\to0 \]
per \(n\to+\infty\), otteniamo
\[ 1-\frac{1}{n+1}\to1. \]
Pertanto
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n}{n+1}=1. \]
Anche questa successione è convergente.
Esempio 3. (successione divergente a \(+\infty\)).
Consideriamo la successione
\[ a_n=2n. \]
I suoi termini sono
\[ 2,\ 4,\ 6,\ 8,\ \ldots \]
e crescono senza limite. Infatti, fissato un qualunque numero \(M>0\), vogliamo trovare un indice \(n_M\) tale che, per ogni \(n\geq n_M\), risulti
\[ 2n>M. \]
Questa disuguaglianza equivale a
\[ n>\frac{M}{2}. \]
Scegliendo \(n_M\in\mathbb{N}\) tale che
\[ n_M>\frac{M}{2}, \]
per ogni \(n\geq n_M\) si ha \(2n>M\). Quindi
\[ \lim_{n\to+\infty}2n=+\infty. \]
La successione è dunque divergente a \(+\infty\).
Esempio 4. (successione divergente a \(-\infty\)). Consideriamo la successione
\[ a_n=-3n. \]
I suoi termini sono
\[ -3,\ -6,\ -9,\ -12,\ \ldots \]
e diventano sempre più piccoli. Fissato \(M>0\), vogliamo che
\[ -3n<-M. \]
Moltiplicando entrambi i membri per \(-1\), il verso della disuguaglianza cambia:
\[ 3n>M. \]
Quindi
\[ n>\frac{M}{3}. \]
Scegliendo \(n_M\in\mathbb{N}\) tale che
\[ n_M>\frac{M}{3}, \]
per ogni \(n\geq n_M\) si ha
\[ -3n<-M. \]
Pertanto
\[ \lim_{n\to+\infty}(-3n)=-\infty. \]
La successione è quindi divergente a \(-\infty\).
Esempio 5. (successione irregolare). Consideriamo la successione
\[ a_n=(-1)^n. \]
I suoi termini sono
\[ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ \ldots \]
La successione non si avvicina a un unico valore. Infatti, lungo gli indici pari si ha
\[ a_{2k}=1, \]
mentre lungo gli indici dispari si ha
\[ a_{2k-1}=-1. \]
Quindi due sottosuccessioni della stessa successione hanno limiti diversi:
\[ \lim_{k\to+\infty}a_{2k}=1, \qquad \lim_{k\to+\infty}a_{2k-1}=-1. \]
Di conseguenza la successione non è convergente.
Inoltre è limitata, perché per ogni \(n\in\mathbb{N}\) vale
\[ -1\leq a_n\leq 1. \]
Dunque non diverge né a \(+\infty\) né a \(-\infty\). La successione è quindi irregolare.
Esempio 6. (successione limitata ma non convergente)
Consideriamo la successione
\[ a_n=\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right). \]
I primi termini sono
\[ 1,\ 0,\ -1,\ 0,\ 1,\ 0,\ -1,\ 0,\ \ldots \]
Anche in questo caso la successione è limitata, perché i suoi termini appartengono all'intervallo \([-1,1]\). Tuttavia non converge, perché assume periodicamente valori diversi e non si stabilizza attorno a un unico limite.
Per esempio, per gli indici della forma \(4k+1\) si ha
\[ a_{4k+1}=1, \]
mentre per gli indici della forma \(4k+2\) si ha
\[ a_{4k+2}=0. \]
Quindi
\[ \lim_{k\to+\infty}a_{4k+1}=1, \qquad \lim_{k\to+\infty}a_{4k+2}=0. \]
La successione possiede due sottosuccessioni con limiti diversi, quindi non è convergente. Essendo limitata, non può divergere a \(+\infty\) né a \(-\infty\). Pertanto è irregolare.
Riassumendo, una successione può avere tre comportamenti principali: può convergere a un numero reale, può divergere a \(+\infty\) o a \(-\infty\), oppure può essere irregolare. Questa classificazione è alla base dello studio dei limiti di successioni.