Studio di Funzione: Esercizi Svolti

Retta crescente con zero in \(x=2\), nessun asintoto, nessun estremo.

Dominio e simmetrie

La funzione è un polinomio di primo grado, quindi è definita per ogni valore reale: \(\mathcal{D}=\mathbb{R}\). Per verificare le simmetrie si calcola \(f(-x)=-2x-4\): questo non coincide né con \(f(x)=2x-4\) né con \(-f(x)=-2x+4\), quindi la funzione non è né pari né dispari.

Intersezioni con gli assi

Con l'asse \(y\) si calcola \(f(0)=2\cdot0-4=-4\), quindi il grafico interseca l'asse \(y\) nel punto \((0,-4)\). Con l'asse \(x\) si pone \(f(x)=0\):

\[ 2x-4=0 \implies x=2 \]

L'unico zero è \(x=2\), cioè il punto \((2,0)\).

Studio del segno

Poiché il coefficiente di \(x\) è positivo, la funzione è negativa a sinistra dello zero e positiva a destra:

\[ f(x) > 0 \iff x > 2 \qquad f(x) < 0 \iff x < 2 \]

Limiti e asintoti

Trattandosi di un polinomio, \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) e \(\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\). Non esistono asintoti di alcun tipo.

Derivata prima e monotonia

Si calcola \(f'(x)=2\). Poiché la derivata è costantemente positiva, la funzione è strettamente crescente su tutto \(\mathbb{R}\) e non ha né massimi né minimi.

Derivata seconda e concavità

Si ha \(f''(x)=0\) ovunque: il grafico non ha flessi e non cambia mai concavità.

Risultato

\[ \boxed{f \text{ è una retta crescente con zero in } x=2} \]

Grafico della Funzione

Parabola pari con vertice \((0,-4)\), zeri in \(x=\pm2\), minimo assoluto in \(x=0\).

Dominio e simmetrie

Il dominio è \(\mathbb{R}\). Poiché \(f(-x)=(-x)^2-4=x^2-4=f(x)\), la funzione è pari: il grafico è simmetrico rispetto all'asse \(y\), quindi basta studiarlo per \(x\geq0\) e poi riflettere.

Intersezioni con gli assi

Il grafico interseca l'asse \(y\) nel punto \((0,-4)\). Gli zeri si trovano risolvendo \(x^2-4=0\), da cui \(x^2=4\) e quindi \(x=\pm2\): il grafico attraversa l'asse \(x\) nei punti \((\pm2,0)\).

Studio del segno

L'espressione \(x^2-4=(x-2)(x+2)\) è un prodotto di due fattori lineari. Il segno cambia nei punti \(x=-2\) e \(x=2\):

\[ f(x) > 0 \iff x < -2 \text{ oppure } x > 2 \qquad f(x) < 0 \iff -2 < x < 2 \]

Limiti e asintoti

Il termine dominante è \(x^2\), quindi \(\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=+\infty\). Non esistono asintoti.

Derivata prima e monotonia

Si calcola \(f'(x)=2x\), che si annulla in \(x=0\). Per \(x<0\) la derivata è negativa (funzione decrescente), per \(x>0\) è positiva (funzione crescente). Il punto \(x=0\) è quindi un minimo assoluto, con \(f(0)=-4\).

Derivata seconda e concavità

Si ha \(f''(x)=2>0\) ovunque: la parabola è sempre concava verso l'alto (a forma di U) e non presenta flessi.

Risultato

\[ \boxed{\text{minimo assoluto in }(0,-4),\quad \text{zeri in }x=\pm2} \]

Grafico della Funzione

Funzione dispari con massimo relativo in \((-1,2)\), minimo relativo in \((1,-2)\) e flesso nell'origine.

Dominio e simmetrie

Il dominio è \(\mathbb{R}\). Poiché \(f(-x)=-x^3+3x=-(x^3-3x)=-f(x)\), la funzione è dispari: il grafico è simmetrico rispetto all'origine. Questo dimezza il lavoro: studieremo il comportamento per \(x\geq0\) e rifletteremo.

Intersezioni con gli assi

Il grafico passa per l'origine \((0,0)\). Per trovare gli altri zeri si fattorizza:

\[ x^3-3x = x(x^2-3) = 0 \implies x=0,\quad x=\sqrt{3},\quad x=-\sqrt{3} \]

Studio del segno

La funzione si scrive come \(f(x)=x(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})\). I tre fattori cambiano segno rispettivamente in \(x=-\sqrt{3}\), \(x=0\) e \(x=\sqrt{3}\):

\[ f(x)>0 \iff -\sqrt{3} < x < 0 \text{ oppure } x > \sqrt{3} \]

Limiti e asintoti

Come ogni polinomio di grado dispari con coefficiente direttore positivo, \(f(x)\to+\infty\) per \(x\to+\infty\) e \(f(x)\to-\infty\) per \(x\to-\infty\). Non ci sono asintoti.

Derivata prima e monotonia

Si calcola \(f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)\). La derivata si annulla in \(x=-1\) e \(x=1\). Il segno di \(f'\) si determina osservando che il coefficiente \(3>0\) e le radici sono \(\pm1\):

Il punto \(x=-1\) è un massimo relativo con \(f(-1)=2\), il punto \(x=1\) è un minimo relativo con \(f(1)=-2\).

Derivata seconda e flessi

Si calcola \(f''(x)=6x\), che si annulla in \(x=0\). Per \(x<0\) si ha \(f''<0\) (concava verso il basso), per \(x>0\) si ha \(f''>0\) (concava verso l'alto): la concavità cambia in \(x=0\), quindi l'origine è un punto di flesso.

Risultato

\[ \boxed{\max(-1,\,2),\quad \min(1,\,-2),\quad \text{flesso in }(0,0)} \]

Grafico Cartesiano

Funzione dispari, dominio \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\), asintoti \(x=0\) e \(y=0\), strettamente decrescente su ciascun ramo.

Dominio e simmetrie

La funzione non è definita in \(x=0\), quindi \(\mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus\{0\}\). Poiché \(f(-x)=\tfrac{1}{-x}=-\tfrac{1}{x}=-f(x)\), la funzione è dispari e il grafico è simmetrico rispetto all'origine.

Intersezioni con gli assi e segno

L'equazione \(\tfrac{1}{x}=0\) non ha soluzioni, quindi non ci sono zeri. Il valore \(f(0)\) non è definito, quindi non c'è neppure l'intersezione con l'asse \(y\). Il segno è immediato: la funzione ha lo stesso segno del denominatore \(x\), quindi

\[ f(x)>0 \iff x>0 \qquad f(x)<0 \iff x<0 \]

Limiti e asintoti

Calcoliamo i limiti agli estremi del dominio. Avvicinandosi a zero:

\[ \lim_{x\to0^+}\frac{1}{x}=+\infty \qquad \lim_{x\to0^-}\frac{1}{x}=-\infty \]

Quindi l'asse \(y\) (retta \(x=0\)) è un asintoto verticale. All'infinito:

\[ \lim_{x\to\pm\infty}\frac{1}{x}=0 \]

Quindi l'asse \(x\) (retta \(y=0\)) è un asintoto orizzontale.

Derivata prima e monotonia

Si calcola \(f'(x)=-\tfrac{1}{x^2}\). Poiché \(x^2>0\) per ogni \(x\neq0\), la derivata è sempre negativa: la funzione è strettamente decrescente su \((-\infty,0)\) e su \((0,+\infty)\). Non ha estremi.

Derivata seconda e concavità

Si calcola \(f''(x)=\tfrac{2}{x^3}\). Per \(x>0\) la derivata seconda è positiva (concava verso l'alto), per \(x<0\) è negativa (concava verso il basso). Non ci sono flessi nel dominio perché \(x=0\) non appartiene a \(\mathcal{D}\).

Risultato

\[ \boxed{\text{asintoto verticale }x=0,\quad \text{asintoto orizzontale }y=0} \]

Grafico Cartesiano

Dominio \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\), asintoto verticale \(x=1\), asintoto obliquo \(y=x+1\), massimo relativo in \((0,0)\) e minimo relativo in \((2,4)\).

Dominio e simmetrie

La funzione è definita per ogni \(x\) che non annulla il denominatore: \(\mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus\{1\}\). La funzione non presenta simmetrie (né pari né dispari).

Intersezioni con gli assi e segno

L'unica intersezione con gli assi è l'origine \((0,0)\). Poiché il numeratore \(x^2\) è sempre non negativo, il segno di \(f(x)\) concorda con quello del denominatore: \[ f(x) > 0 \iff x > 1 \qquad f(x) < 0 \iff x < 1 \; (x \neq 0) \]

Asintoti

Asintoto verticale: \[ \lim_{x\to1^+} \frac{x^2}{x-1} = +\infty, \quad \lim_{x\to1^-} \frac{x^2}{x-1} = -\infty \] La retta \(x=1\) è un asintoto verticale.

Asintoto obliquo: Poiché il grado del numeratore è superiore di una unità rispetto al denominatore, eseguiamo la divisione tra polinomi: \[ \frac{x^2}{x-1} = x + 1 + \frac{1}{x-1} \] Per \(x \to \pm\infty\), il termine frazionario tende a zero. Pertanto, la retta \(y = x + 1\) è l'asintoto obliquo.

Derivata prima e monotonia

Calcoliamo la derivata prima: \[ f'(x) = \frac{2x(x-1) - x^2(1)}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x}{(x-1)^2} = \frac{x(x-2)}{(x-1)^2} \] La derivata si annulla per \(x=0\) e \(x=2\). Studiandone il segno:

Abbiamo un massimo relativo in \(M(0,0)\) e un minimo relativo in \(m(2,4)\).

Risultato finale

\[ \boxed{\text{Asintoto obliquo: } y=x+1; \quad \text{Max}(0,0); \quad \text{Min}(2,4)} \]

Grafico della Funzione

Funzione dispari, dominio \(\mathbb{R}\setminus\{\pm1\}\), asintoti verticali \(x=\pm1\), asintoto orizzontale \(y=0\), strettamente decrescente su ogni intervallo del dominio.

Dominio e simmetrie

Il denominatore \(x^2-1=(x-1)(x+1)\) si annulla in \(x=\pm1\), quindi \(\mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}\). Poiché \(f(-x)=\tfrac{-x}{x^2-1}=-f(x)\), la funzione è dispari.

Intersezioni con gli assi e segno

L'unico zero è \(x=0\), con \(f(0)=0\). Per studiare il segno si analizza il numeratore e il denominatore separatamente. Il denominatore \((x-1)(x+1)\) è positivo per \(|x|>1\) e negativo per \(|x|<1\):

\[ f(x)>0 \iff \frac{x}{(x-1)(x+1)}>0 \iff x\in(-1,0)\cup(1,+\infty) \]

Limiti e asintoti

Calcoliamo i limiti nei punti esclusi. In \(x=1\): il numeratore vale \(1\) e il denominatore tende a \(0\), quindi \(f(x)\to\pm\infty\): asintoto verticale \(x=1\). Analogamente \(x=-1\) è asintoto verticale.

Per \(x\to\pm\infty\): il grado del numeratore è inferiore a quello del denominatore, quindi

\[ \lim_{x\to\pm\infty}\frac{x}{x^2-1}=0 \]

L'asse \(x\) è un asintoto orizzontale \(y=0\).

Derivata prima e monotonia

Applicando la regola del quoziente:

\[ f'(x)=\frac{(x^2-1)-x\cdot2x}{(x^2-1)^2}=\frac{-x^2-1}{(x^2-1)^2} \]

Il numeratore \(-(x^2+1)\) è sempre negativo (poiché \(x^2+1\geq1>0\)), e il denominatore è sempre positivo. Quindi \(f'(x)<0\) su tutto il dominio: la funzione è strettamente decrescente su ciascun intervallo e non ha estremi.

Risultato

\[ \boxed{f \text{ strettamente decrescente su ogni intervallo del dominio, nessun estremo}} \]

Grafico della Funzione

Funzione pari, dominio \((-\infty,-2]\cup[2,+\infty)\), zeri in \(x=\pm2\), asintoti obliqui \(y=\pm x\).

Dominio e simmetrie

L'espressione sotto radice deve essere non negativa: \(x^2-4\geq0\) se e solo se \((x-2)(x+2)\geq0\), cioè \(x\leq-2\) oppure \(x\geq2\). Il dominio è quindi \(\mathcal{D}=(-\infty,-2]\cup[2,+\infty)\). Poiché \(f(-x)=\sqrt{(-x)^2-4}=\sqrt{x^2-4}=f(x)\), la funzione è pari.

Intersezioni con gli assi e segno

Gli estremi del dominio \(x=\pm2\) sono gli unici zeri, perché in questi punti l'argomento della radice vale zero. Non ci sono intersezioni con l'asse \(y\) poiché \(0\notin\mathcal{D}\). La funzione è non negativa per costruzione: \(f(x)\geq0\) sempre.

Asintoti obliqui

Per \(x\to+\infty\) si calcola prima il coefficiente angolare:

\[ m=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x^2-4}}{x}=\lim_{x\to+\infty}\sqrt{1-\frac{4}{x^2}}=1 \]

Poi la quota:

\[ q=\lim_{x\to+\infty}(f(x)-x)=\lim_{x\to+\infty}(\sqrt{x^2-4}-x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{(x^2-4)-x^2}{\sqrt{x^2-4}+x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{-4}{\sqrt{x^2-4}+x}=0 \]

L'asintoto per \(x\to+\infty\) è \(y=x\). Per simmetria (funzione pari), per \(x\to-\infty\) l'asintoto è \(y=-x\).

Derivata prima e monotonia

Si calcola \(f'(x)=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2-4}}=\dfrac{x}{\sqrt{x^2-4}}\). Per \(x>2\) il numeratore è positivo: la funzione è crescente. Per \(x<-2\) il numeratore è negativo: la funzione è decrescente. I punti \(x=\pm2\) sono minimi assoluti con \(f(\pm2)=0\).

Risultato

\[ \boxed{\text{minimi in }(\pm2,0),\quad \text{asintoti obliqui }y=\pm x} \]

Grafico della Funzione

Dominio \(\mathbb{R}\), zero in \(x=0\), massimo in \((1,e^{-1})\), flesso in \((2,2e^{-2})\), asintoto orizzontale \(y=0\).

Dominio e simmetrie

La funzione è definita su \(\mathbb{R}\). Non è né pari né dispari.

Intersezioni con gli assi e segno

Si ha \(f(0)=0\). Poiché \(e^{-x}>0\) per ogni \(x\), il segno di \(f\) coincide con quello di \(x\):

\[ f(x)>0 \iff x>0 \qquad f(x)<0 \iff x<0 \]

Limiti e asintoti

Per \(x\to+\infty\) l'esponenziale decrescente \(e^{-x}\) tende a zero molto più velocemente di quanto \(x\) cresca, quindi \(f(x)\to0\): esiste l'asintoto orizzontale \(y=0\). Per \(x\to-\infty\) invece \(e^{-x}\to+\infty\) e \(x\to-\infty\), quindi \(f(x)\to-\infty\).

Derivata prima e monotonia

Applicando la regola del prodotto:

\[ f'(x)=1\cdot e^{-x}+x\cdot(-e^{-x})=e^{-x}(1-x) \]

Poiché \(e^{-x}>0\) sempre, il segno di \(f'\) dipende da \((1-x)\):

Il punto \(x=1\) è un massimo assoluto con \(f(1)=e^{-1}\).

Derivata seconda e flessi

Si calcola:

\[ f''(x)=-e^{-x}(1-x)+e^{-x}(-1)=e^{-x}(x-2) \]

Poiché \(e^{-x}>0\), il segno di \(f''\) dipende da \((x-2)\): la funzione è concava verso il basso per \(x<2\) e concava verso l'alto per \(x>2\). In \(x=2\) la concavità cambia: il punto \((2,2e^{-2})\) è un flesso.

Risultato

\[ \boxed{\max(1,e^{-1}),\quad \text{flesso in }(2,2e^{-2}),\quad \text{asintoto }y=0} \]

Grafico della Funzione

Funzione pari, dominio \((-\infty,-1)\cup(1,+\infty)\), asintoti verticali \(x=\pm1\), zeri in \(x=\pm\sqrt{2}\), concava verso il basso.

Dominio e simmetrie

Il logaritmo è definito solo per argomento strettamente positivo: occorre risolvere \(x^2-1>0\), cioè \((x-1)(x+1)>0\), che vale per \(x<-1\) oppure \(x>1\). Il dominio è \(\mathcal{D}=(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)\). Poiché \(f(-x)=\ln(x^2-1)=f(x)\), la funzione è pari.

Intersezioni con gli assi

Non ci sono intersezioni con l'asse \(y\) perché \(0\notin\mathcal{D}\). Per trovare gli zeri si impone \(\ln(x^2-1)=0\), cioè \(x^2-1=1\), da cui \(x^2=2\) e quindi \(x=\pm\sqrt{2}\).

Segno

Il logaritmo è positivo quando il suo argomento è maggiore di \(1\), cioè quando \(x^2-1>1\), ossia \(|x|>\sqrt{2}\). È negativo per \(1<|x|<\sqrt{2}\).

Asintoti

Avvicinandosi a \(x=1^+\) l'argomento \(x^2-1\to0^+\), quindi \(\ln(x^2-1)\to-\infty\): la retta \(x=1\) è un asintoto verticale. Per simmetria, lo è anche \(x=-1\). Per \(x\to+\infty\) la funzione tende a \(+\infty\): non ci sono asintoti orizzontali.

Derivata prima e monotonia (per \(x>1\))

Derivando con la regola della funzione composta:

\[ f'(x)=\frac{1}{x^2-1}\cdot2x=\frac{2x}{x^2-1} \]

Per \(x>1\) sia il numeratore \(2x\) che il denominatore \(x^2-1\) sono positivi, quindi \(f'(x)>0\): la funzione è crescente su \((1,+\infty)\). Per simmetria è decrescente su \((-\infty,-1)\). Non ci sono estremi relativi.

Derivata seconda e concavità

Si calcola:

\[ f''(x)=\frac{2(x^2-1)-2x\cdot2x}{(x^2-1)^2}=\frac{-2x^2-2}{(x^2-1)^2}=\frac{-2(x^2+1)}{(x^2-1)^2} \]

Poiché \(x^2+1>0\) sempre, si ha \(f''(x)<0\) su tutto il dominio: il grafico è ovunque concavo verso il basso e non presenta flessi.

Risultato

\[ \boxed{\text{zeri in }x=\pm\sqrt{2},\quad \text{asintoti }x=\pm1,\quad \text{concava verso il basso}} \]

Grafico della Funzione

Dominio \(\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}\), "buco" in \(x=1\), asintoto verticale \(x=-1\), asintoto orizzontale \(y=1\), zero in \(x=2\), strettamente crescente.

Semplificazione preliminare

Prima di procedere conviene fattorizzare numeratore e denominatore:

\[ f(x)=\frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)(x+1)} \]

Il fattore \((x-1)\) è comune: si semplifica e si ottiene la forma ridotta \(g(x)=\dfrac{x-2}{x+1}\), valida per \(x\neq1\). In \(x=1\) la funzione originale non è definita, ma il limite esiste finito:

\[ \lim_{x\to1}f(x)=\frac{1-2}{1+1}=-\frac{1}{2} \]

Si tratta di una discontinuità eliminabile.

Dominio

Il denominatore originale si annulla in \(x=\pm1\), quindi \(\mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}\).

Intersezioni con gli assi e segno

Con l'asse \(y\): \(f(0)=\tfrac{0-2}{0+1}=-2\). Con l'asse \(x\): il numeratore ridotto si annulla in \(x=2\), unico zero della funzione. Il segno si studia sulla forma ridotta: \(\dfrac{x-2}{x+1}>0\) per \(x<-1\) oppure \(x>2\).

Asintoti

Asintoto verticale. In \(x=-1\) il denominatore ridotto si annulla mentre il numeratore vale \(-3\neq0\): la retta \(x=-1\) è un asintoto verticale. (In \(x=1\) c'è invece il buco, non un asintoto.)

Asintoto orizzontale. Per \(x\to\pm\infty\) si ha:

\[ \lim_{x\to\pm\infty}\frac{x-2}{x+1}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1-2/x}{1+1/x}=1 \]

La retta \(y=1\) è un asintoto orizzontale.

Derivata prima e monotonia

Derivando la forma ridotta con la regola del quoziente:

\[ f'(x)=\frac{1\cdot(x+1)-(x-2)\cdot1}{(x+1)^2}=\frac{3}{(x+1)^2} \]

Poiché \((x+1)^2>0\) sempre, si ha \(f'(x)>0\) su tutto il dominio: la funzione è strettamente crescente su \((-\infty,-1)\), su \((-1,1)\) e su \((1,+\infty)\). Non presenta alcun estremo.

Risultato

\[ \boxed{\text{buco in }x=1,\quad \text{asintoti }x=-1\text{ e }y=1,\quad \text{zero in }x=2} \]

Grafico della Funzione

Parabola con zeri in \(x=-1\) e \(x=3\), minimo assoluto in \((1,-4)\).

Dominio e simmetrie

Il dominio è \(\mathbb{R}\). La funzione non è né pari né dispari. L'asse di simmetria della parabola è la retta verticale \(x=1\), ricavata dalla formula \(x_V = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2} = 1\).

Intersezioni con gli assi

Con l'asse \(y\): si calcola \(f(0) = -3\), ottenendo il punto \((0,-3)\).
Con l'asse \(x\): risolvendo \(x^2-2x-3=0\) (tramite scomposizione in \((x-3)(x+1)=0\) o formula del delta), si ottengono i punti \(x=-1\) e \(x=3\).

Studio del segno

Poiché il coefficiente di \(x^2\) è positivo (\(a=1\)), la parabola ha la concavità rivolta verso l'alto. La funzione è positiva per valori esterni agli zeri e negativa per valori interni: \[ f(x) > 0 \iff x < -1 \lor x > 3 \qquad f(x) < 0 \iff -1 < x < 3 \]

Limiti e asintoti

Trattandosi di un polinomio di secondo grado: \[ \lim_{x\to\pm\infty} f(x) = +\infty \] Non esistono asintoti orizzontali, verticali o obliqui.

Derivata prima e monotonia

La derivata prima è \(f'(x) = 2x - 2\). Ponendo \(f'(x) = 0\) si trova il punto stazionario in \(x=1\). Studiando il segno della derivata (\(2x-2 > 0 \implies x > 1\)), si conferma che la funzione decresce per \(x < 1\) e cresce per \(x > 1\). Il punto \(V(1, -4)\) è il minimo assoluto della funzione.

Derivata seconda e concavità

Si ha \(f''(x) = 2\). Essendo la derivata seconda costantemente positiva, la funzione volge sempre la concavità verso l'alto e non presenta punti di flesso.

Risultato finale

\[ \boxed{\text{Zeri: } x=-1, 3; \quad \text{Minimo assoluto: } (1,-4)} \]

Grafico della Funzione

Zeri in \(x=0\) e \(x=3\) (doppio), massimo relativo in \((1,4)\), minimo relativo in \((3,0)\), flesso in \((2,2)\).

Dominio e simmetrie

Il dominio è \(\mathbb{R}\). La funzione non è né pari né dispari.

Intersezioni con gli assi

Con l'asse \(y\): \(f(0)=0\). Raccogliendo \(x\) si ottiene \(f(x)=x(x^2-6x+9)=x(x-3)^2\): gli zeri sono \(x=0\) e \(x=3\). Poiché \(x=3\) è uno zero di molteplicità due, il grafico tocca l'asse \(x\) in quel punto senza attraversarlo.

Studio del segno

Dal prodotto \(x(x-3)^2\), il fattore \((x-3)^2\) è sempre non negativo. Il segno di \(f\) dipende quindi solo da \(x\):

\[ f(x)>0 \iff x>0,\;x\neq3 \qquad f(x)<0 \iff x<0 \]

Limiti e asintoti

Come ogni cubica con coefficiente direttore positivo, \(f(x)\to+\infty\) per \(x\to+\infty\) e \(f(x)\to-\infty\) per \(x\to-\infty\). Non esistono asintoti.

Derivata prima e monotonia

Si calcola \(f'(x)=3x^2-12x+9=3(x^2-4x+3)=3(x-1)(x-3)\), che si annulla in \(x=1\) e \(x=3\).

Il punto \(x=1\) è un massimo relativo con \(f(1)=1-6+9=4\). Il punto \(x=3\) è un minimo relativo con \(f(3)=0\): il grafico tocca l'asse \(x\) con tangente orizzontale.

Derivata seconda e flessi

Si calcola \(f''(x)=6x-12=6(x-2)\), che si annulla in \(x=2\). La derivata seconda è negativa per \(x<2\) (concava verso il basso) e positiva per \(x>2\) (concava verso l'alto): il punto \((2,\,f(2))=(2,\,8-24+18)=(2,2)\) è un flesso.

Risultato

\[ \boxed{\max(1,4),\quad \min(3,0),\quad \text{flesso in }(2,2)} \]

Grafico della Funzione

Dominio \(\mathbb{R}\setminus\{2\}\), asintoto verticale \(x=2\), asintoto orizzontale \(y=1\), zero in \(x=-1\), strettamente decrescente su ciascun ramo.

Dominio e simmetrie

Il denominatore si annulla in \(x=2\), quindi \(\mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus\{2\}\). La funzione non presenta simmetrie (né pari né dispari).

Intersezioni con gli assi e segno

Con l'asse \(y\): si calcola \(f(0) = \frac{1}{-2} = -0.5\).
Con l'asse \(x\): si pone il numeratore \(x+1=0\), ottenendo \(x=-1\).

Lo studio del segno del rapporto porta a: \[ f(x)>0 \iff x < -1 \lor x > 2 \qquad f(x)<0 \iff -1 < x < 2 \]

Asintoti

Asintoto verticale: Calcoliamo i limiti per \(x \to 2\): \[ \lim_{x\to2^+} \frac{x+1}{x-2} = +\infty, \quad \lim_{x\to2^-} \frac{x+1}{x-2} = -\infty \] La retta \(x=2\) è un asintoto verticale.

Asintoto orizzontale: Poiché numeratore e denominatore hanno lo stesso grado: \[ \lim_{x\to\pm\infty} \frac{x+1}{x-2} = 1 \] La retta \(y=1\) è un asintoto orizzontale.

Derivata prima e monotonia

Utilizzando la regola del quoziente: \[ f'(x) = \frac{1\cdot(x-2) - (x+1)\cdot1}{(x-2)^2} = \frac{x-2-x-1}{(x-2)^2} = \frac{-3}{(x-2)^2} \] Poiché il numeratore è costante negativo e il denominatore è un quadrato sempre positivo, \(f'(x) < 0\) in tutto il dominio. La funzione è strettamente decrescente su \((-\infty, 2)\) e su \((2, +\infty)\).

Risultato finale

\[ \boxed{\text{Asintoti: } x=2, y=1; \quad \text{Zero: } x=-1; \quad \text{Decrescente}} \]

Grafico della Funzione

Funzione pari, dominio \([-2,2]\), zeri in \(x=\pm2\), massimo assoluto in \((0,2)\), sempre concava verso il basso.

Dominio e simmetrie

L'argomento della radice deve essere non negativo: \(4-x^2 \geq 0 \iff x^2 \leq 4 \iff |x| \leq 2\). Il dominio è \(\mathcal{D}=[-2,2]\).
Poiché \(f(-x)=\sqrt{4-(-x)^2}=\sqrt{4-x^2}=f(x)\), la funzione è pari (simmetrica rispetto all'asse \(y\)). Geometricamente, rappresenta la parte superiore della circonferenza \(x^2 + y^2 = 4\).

Intersezioni con gli assi e segno

Con l'asse \(y\): \(f(0) = \sqrt{4} = 2\).
Con l'asse \(x\): \(f(x) = 0 \iff 4-x^2 = 0 \iff x = \pm 2\).
La funzione è sempre non negativa (\(f(x) \geq 0\)) nel suo dominio.

Derivata prima e monotonia

Calcoliamo la derivata prima: \[ f'(x) = \frac{-2x}{2\sqrt{4-x^2}} = \frac{-x}{\sqrt{4-x^2}} \] La derivata si annulla in \(x=0\). Studiandone il segno nel dominio aperto \((-2, 2)\): \[ f'(x) > 0 \iff -x > 0 \iff x < 0 \quad (\text{crescente}) \] \[ f'(x) < 0 \iff -x < 0 \iff x > 0 \quad (\text{decrescente}) \] Il punto \((0,2)\) è un massimo assoluto. Negli estremi \(x = \pm 2\), il limite della derivata tende a \(\infty\), indicando tangenti verticali.

Derivata seconda e concavità

Calcoliamo la derivata seconda: \[ f''(x) = \frac{-1 \cdot \sqrt{4-x^2} - (-x) \cdot \frac{-x}{\sqrt{4-x^2}}}{4-x^2} = \frac{-(4-x^2) - x^2}{(4-x^2)\sqrt{4-x^2}} = \frac{-4}{(4-x^2)^{3/2}} \] Poiché il denominatore è sempre positivo e il numeratore è \(-4\), si ha \(f''(x) < 0\) per ogni \(x \in (-2,2)\). La funzione volge sempre la concavità verso il basso.

Risultato finale

\[ \boxed{\text{Semicirconferenza: Max}(0,2), \text{ Zeri } x=\pm 2, \text{ Concava verso il basso}} \]

Grafico della Funzione

Funzione pari, dominio \(\mathbb{R}\), sempre positiva, massimo assoluto in \((0,1)\), asintoto orizzontale \(y=0\), punti di flesso in \(\left(\pm\frac{\sqrt{2}}{2},\,e^{-1/2}\right)\).

Dominio e simmetrie

Il dominio è \(\mathbb{R}\). Poiché \(f(-x) = e^{-(-x)^2} = e^{-x^2} = f(x)\), la funzione è pari: il grafico è simmetrico rispetto all'asse \(y\).

Intersezioni con gli assi e segno

Poiché la funzione esponenziale è sempre positiva (\(e^{-x^2} > 0\)), non esistono intersezioni con l'asse \(x\).
L'intersezione con l'asse \(y\) è nel punto \((0,1)\).

Limiti e asintoti

Calcoliamo il comportamento all'infinito: \[ \lim_{x\to\pm\infty} e^{-x^2} = 0 \] L'asse \(x\) (retta \(y=0\)) è un asintoto orizzontale per la funzione.

Derivata prima e monotonia

Usando la regola della catena: \[ f'(x) = -2x \cdot e^{-x^2} \] Il segno della derivata dipende solo dal fattore \(-2x\):

• \(f'(x) > 0\) per \(x < 0\) (funzione crescente)
• \(f'(x) < 0\) per \(x > 0\) (funzione decrescente)

Il punto \((0,1)\) è un massimo assoluto.

Derivata seconda e concavità

Derivando ulteriormente \(f'(x)\) con la regola del prodotto: \[ f''(x) = -2 \cdot e^{-x^2} + (-2x) \cdot (-2x \cdot e^{-x^2}) = e^{-x^2}(4x^2 - 2) = 2e^{-x^2}(2x^2 - 1) \] I punti di flesso si trovano dove \(2x^2 - 1 = 0\), ovvero \(x = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}\).
La concavità è rivolta verso l'alto per \(x < -\frac{\sqrt{2}}{2}\) e \(x > \frac{\sqrt{2}}{2}\), mentre è rivolta verso il basso nell'intervallo centrale.

Risultato finale

\[ \boxed{\text{Max}(0,1); \quad \text{Flessi: } \left(\pm\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{\sqrt{e}}\right); \quad \text{Asintoto: } y=0} \]

Grafico della Funzione

Dominio \((0,+\infty)\), zero in \(x=1\), massimo assoluto in \((e,\,e^{-1})\), flesso in \((e^{3/2},\,\frac{3}{2}e^{-3/2})\), asintoti \(x=0\) e \(y=0\).

Dominio e simmetrie

La funzione è definita per \(x > 0\) a causa del logaritmo. Il denominatore \(x\) non si annulla nel dominio, quindi \(\mathcal{D}=(0,+\infty)\). Non presenta simmetrie rispetto all'origine o all'asse \(y\).

Intersezioni con gli assi e segno

Con l'asse \(x\): si pone \(\ln x = 0\), da cui \(x=1\).
Il segno di \(f(x)\) dipende solo dal numeratore, poiché il denominatore è sempre positivo nel dominio: \[ f(x) > 0 \iff x > 1 \qquad f(x) < 0 \iff 0 < x < 1 \]

Limiti e asintoti

Asintoto verticale: Per \(x \to 0^+\), il numeratore tende a \(-\infty\) e il denominatore a \(0^+\), dunque: \[ \lim_{x\to 0^+} \frac{\ln x}{x} = -\infty \] La retta \(x=0\) è un asintoto verticale.

Asintoto orizzontale: Per \(x \to +\infty\), per la gerarchia degli infiniti (la crescita lineare prevale su quella logaritmica): \[ \lim_{x\to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0 \] La retta \(y=0\) è un asintoto orizzontale.

Derivata prima e monotonia

Applicando la regola del quoziente: \[ f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2} \] La derivata si annulla per \(\ln x = 1\), ovvero \(x=e\).
Studiando il segno: \(f'(x) > 0\) per \(x < e\) (crescente) e \(f'(x) < 0\) per \(x > e\) (decrescente).
Il punto \((e, e^{-1})\) è un massimo assoluto.

Derivata seconda e flessi

Derivando ulteriormente: \[ f''(x) = \frac{-\frac{1}{x} \cdot x^2 - (1 - \ln x) \cdot 2x}{x^4} = \frac{-x - 2x + 2x \ln x}{x^4} = \frac{2\ln x - 3}{x^3} \] La derivata seconda si annulla per \(\ln x = 3/2\), cioè \(x = e^{3/2}\). In questo punto la funzione presenta un flesso, passando da concava (verso il basso) a convessa (verso l'alto).

Risultato finale

\[ \boxed{\text{Max}(e, 1/e); \quad \text{Flesso: } (e^{3/2}, 3/2e^{-3/2}); \quad \text{Asintoti: } x=0, y=0} \]

Grafico della Funzione

Dominio \(\mathbb{R}\), zero doppio in \(x=0\), minimo in \((0,0)\), massimo in \((2,4e^{-2})\), flessi in \((2\pm\sqrt{2},\,f(2\pm\sqrt{2}))\), asintoto \(y=0\).

Dominio e simmetrie

Il dominio è \(\mathbb{R}\). La funzione non è né pari né dispari.

Intersezioni con gli assi e segno

L'unico zero è \(x=0\) (doppio, poiché \(e^{-x}>0\) sempre). Il grafico tocca l'asse \(x\) nell'origine senza attraversarlo: \(f(x)\geq0\) per ogni \(x\).

Limiti e asintoti

Per \(x\to+\infty\) l'esponenziale decrescente domina sul polinomio: \(f(x)\to0\), quindi \(y=0\) è un asintoto orizzontale. Per \(x\to-\infty\) invece \(e^{-x}\to+\infty\) e \(x^2\to+\infty\): \(f(x)\to+\infty\).

Derivata prima e monotonia

Applicando la regola del prodotto:

\[ f'(x)=2x\cdot e^{-x}+x^2\cdot(-e^{-x})=e^{-x}(2x-x^2)=e^{-x}\cdot x(2-x) \]

Poiché \(e^{-x}>0\), il segno di \(f'\) dipende dal prodotto \(x(2-x)\):

Il punto \(x=0\) è un minimo con \(f(0)=0\), il punto \(x=2\) è un massimo con \(f(2)=4e^{-2}\).

Derivata seconda e flessi

Derivando \(f'(x)=e^{-x}(2x-x^2)\):

\[ f''(x)=-e^{-x}(2x-x^2)+e^{-x}(2-2x)=e^{-x}(x^2-4x+2) \]

Si annulla per \(x^2-4x+2=0\), cioè \(x=2\pm\sqrt{2}\). In entrambi i punti la concavità cambia: si hanno due flessi in \(x_1=2-\sqrt{2}\approx0.59\) e \(x_2=2+\sqrt{2}\approx3.41\).

Risultato

\[ \boxed{\min(0,0),\quad \max(2,4e^{-2}),\quad \text{flessi in }x=2\pm\sqrt{2},\quad \text{asintoto }y=0} \]

Grafico della Funzione

Funzione pari, dominio \(\mathbb{R}\), zeri in \(x=\pm1\), minimo assoluto in \((0,-1)\), asintoto orizzontale \(y=1\), flessi in \(\left(\pm\frac{\sqrt{3}}{3},\,-\frac{1}{2}\right)\).

Dominio e simmetrie

Il denominatore \(x^2+1\) è sempre maggiore o uguale a \(1\), quindi non si annulla mai. Il dominio è \(\mathcal{D}=\mathbb{R}\).
Poiché \(f(-x) = \frac{(-x)^2-1}{(-x)^2+1} = f(x)\), la funzione è pari (simmetrica rispetto all'asse \(y\)).

Intersezioni con gli assi e segno

Con l'asse \(y\): \(f(0) = \frac{-1}{1} = -1\).
Con l'asse \(x\): \(x^2-1=0 \implies x = \pm 1\).
Il segno della funzione è positivo per \(|x| > 1\) e negativo per \(-1 < x < 1\).

Asintoti

Non ci sono asintoti verticali. Verifichiamo il comportamento all'infinito: \[ \lim_{x\to\pm\infty} \frac{x^2-1}{x^2+1} = 1 \] La retta \(y=1\) è un asintoto orizzontale. Poiché \(f(x) = 1 - \frac{2}{x^2+1}\), la funzione rimane sempre al di sotto dell'asintoto.

Derivata prima e monotonia

Applicando la regola del quoziente: \[ f'(x) = \frac{2x(x^2+1) - (x^2-1)(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{2x^3+2x-2x^3+2x}{(x^2+1)^2} = \frac{4x}{(x^2+1)^2} \] Il segno di \(f'(x)\) è determinato dal numeratore \(4x\):

• \(f'(x) < 0\) per \(x < 0\) (decrescente)
• \(f'(x) > 0\) per \(x > 0\) (crescente)

Il punto \((0, -1)\) è un minimo assoluto.

Derivata seconda e flessi

Calcoliamo \(f''(x)\): \[ f''(x) = \frac{4(x^2+1)^2 - 4x[2(x^2+1) \cdot 2x]}{(x^2+1)^4} = \frac{4(x^2+1) - 16x^2}{(x^2+1)^3} = \frac{4(1-3x^2)}{(x^2+1)^3} \] La derivata seconda si annulla per \(1-3x^2 = 0 \implies x = \pm\frac{1}{\sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}\).
In tali punti (\(x \approx \pm 0.58\)) si hanno due punti di flesso con ordinata \(y = -1/2\).

Risultato finale

\[ \boxed{\text{Min}(0,-1); \quad \text{Asintoto } y=1; \quad \text{Flessi } \left(\pm\frac{\sqrt{3}}{3}, -\frac{1}{2}\right)} \]

Grafico della Funzione

Dominio \((0,+\infty)\), nessun zero (funzione sempre positiva), minimo assoluto in \((1,1)\), sempre concava verso l'alto.

Dominio e simmetrie

Per la presenza del logaritmo, deve essere \(x > 0\). Il dominio è quindi \(\mathcal{D}=(0,+\infty)\). La funzione non presenta simmetrie.

Intersezioni con gli assi e segno

Non esistono intersezioni con l'asse \(y\) (\(0 \notin \mathcal{D}\)). Per gli zeri, l'equazione \(x = \ln x\) non ha soluzioni reali (la retta \(y=x\) è sempre sopra la curva \(y=\ln x\)). Vedremo con lo studio del minimo che la funzione è sempre positiva.

Limiti e asintoti

Asintoto verticale: Per \(x \to 0^+\), abbiamo \(0 - (-\infty) = +\infty\). La retta \(x=0\) è un asintoto verticale.
Comportamento all'infinito: Per \(x \to +\infty\), per la gerarchia degli infiniti la componente lineare prevale su quella logaritmica: \[ \lim_{x\to +\infty} (x - \ln x) = +\infty \] Non esistono asintoti orizzontali o obliqui.

Derivata prima e monotonia

Calcoliamo la derivata prima: \[ f'(x) = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x-1}{x} \] Poiché \(x > 0\), il segno dipende solo da \(x-1\):

• \(f'(x) < 0\) per \(0 < x < 1\) (decrescente)
• \(f'(x) > 0\) per \(x > 1\) (crescente)

Il punto \((1,1)\) è un minimo assoluto. Essendo l'ordinata del minimo positiva (\(y=1\)), resta confermato che la funzione non ha zeri.

Derivata seconda e concavità

Calcoliamo la derivata seconda: \[ f''(x) = \frac{1}{x^2} \] Essendo \(1/x^2\) sempre positivo nel dominio, la funzione volge costantemente la concavità verso l'alto e non presenta punti di flesso.

Risultato finale

\[ \boxed{\text{Min}(1,1); \quad \text{Asintoto: } x=0; \quad \text{Sempre positiva}} \]

Grafico della Funzione

Dominio \(\mathbb{R}\setminus\{-1\}\), asintoto verticale \(x=-1\), asintoto obliquo \(y=x-3\), massimo relativo in \((-3,-8)\), minimo relativo in \((1,0)\).

Dominio e simmetrie

La funzione è definita per ogni \(x\) tale che il denominatore sia non nullo: \(\mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus\{-1\}\). Non sono presenti simmetrie evidenti.

Intersezioni e Segno

L'intersezione con l'asse \(y\) è \(f(0) = 1\). 
L'unica intersezione con l'asse \(x\) si ha per \(x=1\). Poiché il numeratore è un quadrato perfetto, lo zero è doppio: il grafico tange l'asse \(x\) senza attraversarlo. 
Il segno della funzione dipende esclusivamente dal denominatore: \(f(x) > 0\) per \(x > -1\) e \(f(x) < 0\) per \(x < -1\).

Asintoti

Asintoto verticale: Poiché \(\lim_{x\to -1} f(x) = \infty\), la retta \(x=-1\) è un asintoto verticale.

Asintoto obliquo: Eseguendo la divisione tra polinomi o notando che: \[ f(x) = \frac{x^2-2x+1}{x+1} = x - 3 + \frac{4}{x+1} \] Si ricava immediatamente che la retta \(y = x - 3\) è l'asintoto obliquo.

Derivata prima e monotonia

Calcoliamo \(f'(x)\) applicando la regola del quoziente: \[ f'(x) = \frac{2(x-1)(x+1) - (x-1)^2}{(x+1)^2} = \frac{(x-1)(x+3)}{(x+1)^2} \] Gli zeri della derivata sono \(x=1\) e \(x=-3\). Studiando il segno del prodotto a numeratore:

• Crescente in \((-\infty, -3)\) e \((1, +\infty)\)
• Decrescente in \((-3, -1)\) e \((-1, 1)\)

Abbiamo un massimo relativo in \((-3, -8)\) e un minimo relativo in \((1, 0)\).

Risultato finale

\[ \boxed{\text{Asintoti: } x=-1, y=x-3; \quad \text{Max}(-3,-8); \quad \text{Min}(1,0)} \]

Grafico della Funzione

Funzione dispari, dominio \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\), asintoti \(x=0\) e \(y=x\), massimo relativo in \((-1,-2)\) e minimo relativo in \((1,2)\).

Dominio e simmetrie

La funzione non è definita per \(x=0\), quindi \(\mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus\{0\}\).
Verifichiamo la simmetria: \(f(-x) = -x + \frac{1}{-x} = -(x + \frac{1}{x}) = -f(x)\).
La funzione è dispari: il grafico è simmetrico rispetto all'origine degli assi.

Intersezioni e segno

Non ci sono intersezioni con l'asse \(x\) poiché \(x + \frac{1}{x} = 0 \implies x^2 + 1 = 0\), che non ha soluzioni reali. 
Il segno della funzione è concorde con quello di \(x\): positiva per \(x > 0\) e negativa per \(x < 0\).

Asintoti

Asintoto verticale: \(\lim_{x\to 0^\pm} f(x) = \pm\infty\). La retta \(x=0\) è un asintoto verticale.
Asintoto obliquo: Poiché per \(x \to \infty\) il termine \(\frac{1}{x}\) tende a zero, la funzione si avvicina indefinitamente alla retta \(y=x\).

Derivata prima e monotonia

Calcoliamo la derivata: \[ f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2} = \frac{x^2 - 1}{x^2} \] La derivata si annulla per \(x = \pm 1\). Studiandone il segno:

• Crescente per \(x < -1\) e \(x > 1\)
• Decrescente per \(-1 < x < 0\) e \(0 < x < 1\)

Si ha un massimo relativo in \((-1, -2)\) e un minimo relativo in \((1, 2)\).

Derivata seconda e concavità

\[ f''(x) = \frac{2}{x^3} \] La concavità è rivolta verso l'alto per \(x > 0\) e verso il basso per \(x < 0\). Non ci sono punti di flesso poiché \(x=0\) non appartiene al dominio.

Risultato finale

\[ \boxed{\text{Asintoti: } x=0, y=x; \quad \text{Max}(-1,-2); \quad \text{Min}(1,2)} \]

Grafico della Funzione

Funzione pari, dominio \(\mathbb{R}\), zero in \(x=0\), minimo assoluto in \((0,0)\), flessi in \((\pm1,\,\ln 2)\).

Dominio e simmetrie

L'argomento del logaritmo \(x^2+1\) è sempre maggiore o uguale a \(1\), quindi la funzione è definita su tutto l'asse reale: \(\mathcal{D}=\mathbb{R}\).
Poiché \(f(-x) = \ln((-x)^2+1) = \ln(x^2+1) = f(x)\), la funzione è pari (simmetrica rispetto all'asse \(y\)).

Intersezioni e segno

L'unica intersezione con gli assi è nell'origine \((0,0)\), poiché \(\ln(x^2+1)=0 \iff x^2+1=1 \iff x=0\).
La funzione è sempre non negativa (\(f(x) \geq 0\)) perché l'argomento del logaritmo è sempre \(\geq 1\).

Limiti e asintoti

Per \(x \to \pm\infty\), \(f(x) \to +\infty\).
Non ci sono asintoti verticali (dominio \(\mathbb{R}\)) né orizzontali. Verificando l'asintoto obliquo, si nota che \(\lim_{x\to \infty} f(x)/x = 0\), quindi non sono presenti asintoti obliqui.

Derivata prima e monotonia

Applicando la regola della catena: \[ f'(x) = \frac{2x}{x^2+1} \] Il segno di \(f'(x)\) dipende solo dal numeratore \(2x\):

• Decrescente per \(x < 0\)
• Crescente per \(x > 0\)

L'origine \((0,0)\) è un punto di minimo assoluto.

Derivata seconda e concavità

Utilizzando la regola del quoziente: \[ f''(x) = \frac{2(x^2+1) - 2x(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{2 - 2x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{2(1-x^2)}{(x^2+1)^2} \] La derivata seconda si annulla per \(x = \pm 1\).
La concavità è rivolta verso l'alto per \(-1 < x < 1\) e verso il basso per \(|x| > 1\). I punti \((\pm 1, \ln 2)\) sono punti di flesso.

Risultato finale

\[ \boxed{\text{Min}(0,0); \quad \text{Flessi: } (\pm 1, \ln 2) \approx (\pm 1; 0.69)} \]

Grafico della Funzione

Dominio \(\mathbb{R}\), funzione sempre positiva (nessuno zero), minimo assoluto in \((0,1)\), sempre concava verso l'alto.

Dominio e simmetrie

La funzione è composta dalla somma di un'esponenziale e di un polinomio, entrambi definiti ovunque. Pertanto, \(\mathcal{D}=\mathbb{R}\). Non sono presenti simmetrie (nè pari nè dispari).

Intersezioni e Segno

L'intersezione con l'asse \(y\) è \(f(0) = e^0 - 0 = 1\). 
Per quanto riguarda gli zeri, l'equazione \(e^x = x\) non ha soluzioni reali. Come vedremo dallo studio del minimo, il valore più piccolo assunto dalla funzione è \(1\), il che garantisce che \(f(x) > 0\) per ogni \(x\).

Limiti e asintoti

A \(+\infty\): \(\lim_{x\to +\infty} (e^x - x) = +\infty\), poiché l'esponenziale è un infinito di ordine superiore rispetto alla retta.
A \(-\infty\): \(\lim_{x\to -\infty} (e^x - x) = 0 - (-\infty) = +\infty\).
Non sono presenti asintoti orizzontali o verticali. Nonostante la divergenza, non ci sono asintoti obliqui.

Derivata prima e monotonia

Calcoliamo la derivata: \[ f'(x) = e^x - 1 \] Studiamo il segno di \(f'(x)\):

• \(f'(x) > 0 \iff e^x > 1 \iff x > 0\)
• \(f'(x) < 0 \iff e^x < 1 \iff x < 0\)

La funzione decresce in \((-\infty, 0)\) e cresce in \((0, +\infty)\). Il punto \((0, 1)\) è un minimo assoluto.

Derivata seconda e concavità

\[ f''(x) = e^x \] Poiché \(e^x > 0\) per ogni \(x \in \mathbb{R}\), la funzione è sempre concava verso l'alto (convessa) e non presenta punti di flesso.

Risultato finale

\[ \boxed{\text{Min}(0,1); \quad \text{Sempre positiva}; \quad \text{Concavità verso l'alto}} \]

Grafico della Funzione

Dominio \((0, +\infty)\), zero in \(x=1\), minimo assoluto in \(\left(\frac{1}{e}, -\frac{1}{e}\right)\), sempre concava verso l'alto.

Dominio e simmetrie

La presenza del logaritmo impone \(x > 0\). Pertanto, \(\mathcal{D}=(0, +\infty)\). La funzione non presenta simmetrie rispetto all'asse \(y\) o all'origine.

Intersezioni e Segno

L'intersezione con l'asse \(x\) si ha per \(x\ln x = 0\). Poiché \(x=0\) è fuori dal dominio, l'unica soluzione è \(\ln x = 0 \implies x = 1\). 
Poiché per \(x > 0\) il segno di \(f(x)\) dipende solo dal logaritmo:

• \(f(x) < 0\) per \(0 < x < 1\)
• \(f(x) > 0\) per \(x > 1\)

Limiti e comportamento agli estremi

A \(0^+\): \(\lim_{x\to 0^+} x\ln x\) è una forma \(0 \cdot \infty\). 
Usando de l'Hôpital su \(\frac{\ln x}{1/x}\), otteniamo \(\lim_{x\to 0^+} (-x) = 0\). 
Il grafico "nasce" dall'origine (punto di accumulazione), ma l'origine non è inclusa nel grafico.

A \(+\infty\): \(\lim_{x\to +\infty} x\ln x = +\infty\). La funzione cresce più velocemente di una retta, quindi non ci sono asintoti obliqui.

Derivata prima e monotonia

Calcoliamo la derivata del prodotto: \[ f'(x) = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1 \] La derivata si annulla per \(\ln x = -1 \implies x = e^{-1} = \frac{1}{e}\).

• Decrescente in \((0, 1/e)\)
• Crescente in \((1/e, +\infty)\)

Il punto \(\left(\frac{1}{e}, -\frac{1}{e}\right)\) è un minimo assoluto.

Derivata seconda e concavità

\[ f''(x) = \frac{1}{x} \] Essendo \(x > 0\), la derivata seconda è sempre positiva. La funzione è sempre concava verso l'alto.

Risultato finale

\[ \boxed{\text{Min}\left(\frac{1}{e}, -\frac{1}{e}\right); \quad \text{Zero: } x=1; \quad \lim_{x\to 0^+} f(x) = 0} \]

Grafico della Funzione

Funzione dispari, dominio \(\mathbb{R}\), massimo relativo in \((1, 1/2)\), minimo relativo in \((-1, -1/2)\), asintoto orizzontale \(y=0\), flessi in \((0,0)\) e \((\pm\sqrt{3}, \pm\frac{\sqrt{3}}{4})\).

Dominio e simmetrie

Il denominatore \(x^2+1\) non si annulla mai nel campo reale (\(x^2+1 \geq 1\)). Pertanto, \(\mathcal{D}=\mathbb{R}\). 
Verifichiamo la simmetria: \(f(-x) = \frac{-x}{(-x)^2+1} = -\frac{x}{x^2+1} = -f(x)\). 
La funzione è dispari: il grafico è simmetrico rispetto all'origine degli assi.

Intersezioni e Segno

Il grafico interseca gli assi solo nell'origine \((0,0)\). 
Poiché il denominatore è sempre positivo, il segno della funzione dipende solo dal numeratore: \(f(x) > 0\) per \(x > 0\) e \(f(x) < 0\) per \(x < 0\).

Asintoti

Non ci sono asintoti verticali. 
Calcoliamo il limite per \(x \to \infty\): \[ \lim_{x\to \pm\infty} \frac{x}{x^2+1} = 0 \] L'asse delle ascisse (retta \(y=0\)) è un asintoto orizzontale.

Derivata prima e monotonia

Applicando la regola del quoziente: \[ f'(x) = \frac{1(x^2+1) - x(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{1-x^2}{(x^2+1)^2} \] Gli zeri della derivata sono \(x = \pm 1\). Studiando il segno del numeratore \((1-x)(1+x)\):

• Crescente per \(-1 < x < 1\)
• Decrescente per \(x < -1\) e \(x > 1\)

Abbiamo un minimo relativo in \((-1, -1/2)\) e un massimo relativo in \((1, 1/2)\).

Derivata seconda e flessi

Calcoliamo la derivata seconda: \[ f''(x) = \frac{-2x(x^2+1)^2 - (1-x^2)[2(x^2+1) \cdot 2x]}{(x^2+1)^4} = \frac{2x(x^2-3)}{(x^2+1)^3} \] La derivata seconda si annulla per \(x = 0\) e \(x = \pm \sqrt{3}\). 
In questi tre punti la concavità cambia, identificando tre punti di flesso:

• \(F_1(0, 0)\)
• \(F_{2,3}(\pm\sqrt{3}, \pm\frac{\sqrt{3}}{4})\) con ordinata \(\approx \pm 0.43\)

Risultato finale

\[ \boxed{\text{Max}(1, 1/2); \quad \text{Min}(-1, -1/2); \quad \text{3 Flessi}} \]

Grafico della Funzione

Dominio \((0, +\infty)\), zero in \(x=1\), minimo assoluto in \(\left(\frac{1}{\sqrt{e}}, -\frac{1}{2e}\right)\), punto di flesso in \(\left(e^{-3/2}, -\frac{3}{2e^3}\right)\).

Dominio e simmetrie

Il dominio è dettato dalla condizione d'esistenza del logaritmo: \(\mathcal{D}=(0, +\infty)\). La funzione non presenta simmetrie.

Intersezioni e Segno

L'unica intersezione con l'asse \(x\) è per \(x^2\ln x = 0 \implies \ln x = 0 \implies x = 1\). 
Poiché \(x^2 > 0\) in tutto il dominio, il segno di \(f(x)\) è determinato esclusivamente da \(\ln x\):

\(f(x) < 0\) per \(x \in (0, 1)\)

\(f(x) > 0\) per \(x \in (1, +\infty)\)

Comportamento agli estremi

A \(0^+\): \(\lim_{x\to 0^+} x^2\ln x = 0\) (per gerarchia degli infiniti o de l'Hôpital). Il grafico "chiude" nell'origine. 
A \(+\infty\): \(\lim_{x\to +\infty} x^2\ln x = +\infty\). La crescita è superiore a quella di qualsiasi retta, quindi non ci sono asintoti obliqui.

Derivata prima e monotonia

\[ f'(x) = 2x\ln x + x^2 \cdot \frac{1}{x} = x(2\ln x + 1) \] Studiamo \(f'(x) \geq 0\): poiché \(x > 0\), risolviamo \(2\ln x + 1 \geq 0 \implies \ln x \geq -1/2 \implies x \geq e^{-1/2}\).

• Decrescente in \((0, 1/\sqrt{e})\)
• Crescente in \((1/\sqrt{e}, +\infty)\)

Il punto \(\left(\frac{1}{\sqrt{e}}, -\frac{1}{2e}\right)\) è un minimo assoluto.

Derivata seconda e concavità

\[ f''(x) = (2\ln x + 1) + x \cdot \frac{2}{x} = 2\ln x + 3 \] Si annulla per \(\ln x = -3/2 \implies x = e^{-3/2}\). 
La funzione è concava verso il basso per \(x < e^{-3/2}\) e verso l'alto per \(x > e^{-3/2}\). 
Il punto \(F(e^{-3/2}, -3/2e^3)\) è un punto di flesso.

Risultato finale

\[ \boxed{\text{Min}\left(\frac{1}{\sqrt{e}}, -\frac{1}{2e}\right); \quad \text{Flesso: } x=e^{-1.5} \approx 0.22} \]

Grafico della Funzione

Dominio \((0, +\infty)\), asintoto verticale \(x=0\), minimo assoluto in \((1, 2)\), punto di flesso in \(\left(3, \frac{4\sqrt{3}}{3}\right)\).

Dominio e simmetrie

La condizione di esistenza della radice al denominatore impone \(x > 0\). Pertanto, \(\mathcal{D}=(0, +\infty)\). La funzione non presenta simmetrie poiché il dominio non è simmetrico rispetto all'origine.

Intersezioni e Segno

Non ci sono intersezioni con l'asse \(y\) (\(0 \notin \mathcal{D}\)). 
Non ci sono intersezioni con l'asse \(x\) poiché \(x+1=0 \implies x=-1\), fuori dal dominio. 
Poiché numeratore e denominatore sono sempre positivi per \(x > 0\), la funzione è sempre positiva.

Limiti e asintoti

A \(0^+\): \(\lim_{x\to 0^+} \frac{x+1}{\sqrt{x}} = \frac{1}{0^+} = +\infty\). La retta \(x=0\) è un asintoto verticale. 
A \(+\infty\): \(\lim_{x\to +\infty} \frac{x+1}{\sqrt{x}} = +\infty\). 
Verifichiamo l'asintoto obliquo: \(m = \lim_{x\to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x\to +\infty} \frac{x+1}{x\sqrt{x}} = 0\). Non ci sono asintoti obliqui (la funzione cresce come \(\sqrt{x}\)).

Derivata prima e monotonia

Riscrivendo \(f(x) = x^{1/2} + x^{-1/2}\), la derivata è più semplice: \[ f'(x) = \frac{1}{2}x^{-1/2} - \frac{1}{2}x^{-3/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{2x\sqrt{x}} = \frac{x-1}{2x\sqrt{x}} \] Il segno dipende solo da \(x-1\):

• Decrescente in \((0, 1)\)
• Crescente in \((1, +\infty)\)

Il punto \((1, 2)\) è un minimo assoluto.

Derivata seconda e concavità

\[ f''(x) = -\frac{1}{4}x^{-3/2} + \frac{3}{4}x^{-5/2} = \frac{-x+3}{4x^2\sqrt{x}} \] La derivata seconda si annulla per \(x = 3\).

• Concava verso l'alto per \(0 < x < 3\)
• Concava verso il basso per \(x > 3\)

Il punto \(F(3, 4\sqrt{3}/3)\) è un punto di flesso.

Risultato finale

\[ \boxed{\text{Min}(1,2); \quad \text{Flesso: } x=3; \quad \text{Asintoto verticale: } x=0} \]

Grafico della Funzione

Funzione pari, dominio \(\mathbb{R}\setminus\{\pm 1\}\), zeri in \(x=\pm 2\), asintoti verticali \(x=\pm 1\), asintoto orizzontale \(y=1\), minimo relativo in \((0,4)\).

Dominio e simmetrie

Il denominatore si annulla per \(x^2-1=0 \implies x = \pm 1\). 
Quindi, \(\mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus\{-1, 1\}\). 
Poiché \(f(-x) = \frac{(-x)^2-4}{(-x)^2-1} = f(x)\), la funzione è pari: il grafico è simmetrico rispetto all'asse \(y\).

Intersezioni e Segno

Asse \(y\): \(f(0) = \frac{-4}{-1} = 4\). Il punto è \((0,4)\). 
Asse \(x\): \(x^2-4=0 \implies x = \pm 2\). I punti sono \((\pm 2, 0)\). 
Segno: Studiando il segno di numeratore e denominatore, la funzione risulta positiva per \(x < -2\), \(-1 < x < 1\) e \(x > 2\). È negativa negli intervalli \((-2, -1)\) e \((1, 2)\).

Asintoti

Verticali: In prossimità di \(x=1\), abbiamo \(\lim_{x\to 1^-} f(x) = +\infty\) e \(\lim_{x\to 1^+} f(x) = -\infty\). Per simmetria, lo stesso vale in \(x=-1\). Le rette \(x = \pm 1\) sono asintoti verticali.
Orizzontali: \(\lim_{x\to \pm\infty} \frac{x^2-4}{x^2-1} = 1\). La retta \(y = 1\) è l'asintoto orizzontale.

Derivata prima e monotonia

\[ f'(x) = \frac{2x(x^2-1) - 2x(x^2-4)}{(x^2-1)^2} = \frac{6x}{(x^2-1)^2} \] La derivata si annulla solo in \(x=0\).

• Decrescente per \(x < 0\) (escluso \(x=-1\))
• Crescente per \(x > 0\) (escluso \(x=1\))

Il punto \((0, 4)\) è un minimo relativo per il ramo centrale della funzione.

Derivata seconda e concavità

\[ f''(x) = \frac{6(x^2-1)^2 - 6x \cdot 2(x^2-1) \cdot 2x}{(x^2-1)^4} = \frac{-6(3x^2+1)}{(x^2-1)^3} \] Il numeratore è sempre negativo (\(-6 \cdot \text{positivo}\)). Il segno dipende dal denominatore:

• Concava verso l'alto per \(-1 < x < 1\) (dove \(x^2-1 < 0\))
• Concava verso il basso per \(|x| > 1\) (dove \(x^2-1 > 0\))

Non ci sono punti di flesso.

Risultato finale

\[ \boxed{\text{Asintoti: } x=\pm 1, y=1; \quad \text{Min}(0,4); \quad \text{Zeri: } \pm 2} \]

Grafico della Funzione

Funzione dispari, dominio \(\mathbb{R}\), asintoto obliquo \(y=x\), flessi in \(x=0\) e \(x=\pm\sqrt{3}\), funzione strettamente crescente su tutto il dominio.

Dominio e simmetrie

Il denominatore \(1+x^2\) è sempre positivo, dunque \(\mathcal{D}=\mathbb{R}\). 
Poiché \(f(-x) = \frac{(-x)^3}{1+(-x)^2} = -\frac{x^3}{1+x^2} = -f(x)\), la funzione è dispari: simmetria centrale rispetto all'origine.

Intersezioni e Segno

L'unico punto di intersezione con gli assi è l'origine \((0,0)\). 
Il segno della funzione segue quello del numeratore \(x^3\): la funzione è positiva per \(x > 0\) e negativa per \(x < 0\).

Asintoto obliquo

Eseguendo la divisione tra polinomi (o aggiungendo e sottraendo \(x\) al numeratore): \[ f(x) = \frac{x^3 + x - x}{1+x^2} = \frac{x(x^2+1) - x}{1+x^2} = x - \frac{x}{x^2+1} \] Per \(x \to \pm\infty\), il termine \(\frac{x}{x^2+1}\) tende a \(0\). 
Pertanto, la retta \(y = x\) è un asintoto obliquo. 
Dato che per \(x > 0\) sottraiamo una quantità positiva, il grafico si mantiene sotto l'asintoto per \(x\) positivi (e sopra per \(x\) negativi).

Derivata prima e monotonia

\[ f'(x) = \frac{3x^2(1+x^2) - x^3(2x)}{(1+x^2)^2} = \frac{3x^2 + 3x^4 - 2x^4}{(1+x^2)^2} = \frac{x^2(x^2+3)}{(1+x^2)^2} \] La derivata è nulla solo in \(x=0\) ed è positiva per ogni \(x \neq 0\). 
La funzione è quindi strettamente crescente su tutto \(\mathbb{R}\). Il punto \(x=0\) è un punto di flesso a tangente orizzontale.

Derivata seconda e concavità

Derivando ulteriormente la forma \(f'(x) = 1 - \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}\) (o la derivata precedente): \[ f''(x) = \frac{2x(3-x^2)}{(1+x^2)^3} \] Gli zeri della derivata seconda sono \(x = 0\) e \(x = \pm\sqrt{3}\).

• Concava verso l'alto per \(x < -\sqrt{3}\) e \(0 < x < \sqrt{3}\)
• Concava verso il basso per \(-\sqrt{3} < x < 0\) e \(x > \sqrt{3}\)

Si hanno tre punti di flesso: \(F_1(0,0)\) e \(F_{2,3}(\pm\sqrt{3}, \pm\frac{3\sqrt{3}}{4})\).

Risultato finale

\[ \boxed{\text{Asintoto: } y=x; \quad \text{Sempre crescente}; \quad \text{3 Flessi}} \]

Grafico della Funzione

Dominio \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\), asintoto verticale \(x=0\) (solo per \(x \to 0^+\)), asintoto orizzontale \(y=1\), sempre decrescente, flesso in \(\left(-\frac{1}{2}, e^{-2}\right)\).

Dominio e simmetrie

La funzione è definita per ogni valore che non annulli il denominatore dell'esponente: \(\mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus\{0\}\). 
Non presenta simmetrie pari o dispari, poiché \(f(-x) = e^{-1/x}\), che è diverso sia da \(f(x)\) che da \(-f(x)\).

Segno e intersezioni

Essendo un'esponenziale, la funzione è sempre positiva (\(f(x) > 0\)) nel suo dominio. 
Non esistono zeri, né intersezioni con l'asse \(y\) (essendo \(x=0\) fuori dal dominio).

Limiti e asintoti

Comportamento in \(0\):

• \(\lim_{x\to 0^+} e^{1/x} = e^{+\infty} = +\infty\) (Asintoto verticale)
• \(\lim_{x\to 0^-} e^{1/x} = e^{-\infty} = 0\) (Punto di arresto limite)

Comportamento a \(\pm\infty\):

• \(\lim_{x\to \pm\infty} e^{1/x} = e^0 = 1\) (Asintoto orizzontale \(y=1\))

Derivata prima e monotonia

\[ f'(x) = e^{1/x} \cdot \left( -\frac{1}{x^2} \right) = -\frac{e^{1/x}}{x^2} \] Poiché \(e^{1/x} > 0\) e \(x^2 > 0\) per ogni \(x \neq 0\), la derivata è sempre negativa. 
La funzione è strettamente decrescente in entrambi gli intervalli \((-\infty, 0)\) e \((0, +\infty)\).

Derivata seconda e concavità

\[ f''(x) = \frac{e^{1/x}(1+2x)}{x^4} \] Il segno dipende dal fattore lineare \(1+2x\):

• \(f''(x) > 0\) per \(x > -1/2\) (con \(x \neq 0\)): concava verso l'alto.
• \(f''(x) < 0\) per \(x < -1/2\): concava verso il basso.

Esiste un punto di flesso in \(x = -1/2\), con ordinata \(y = e^{-2} \approx 0.135\).

Risultato finale

\[ \boxed{\text{Asintoti: } x=0^+ \text{ e } y=1; \quad \text{Flesso in } (-0.5, e^{-2})} \]

Grafico della Funzione