Un sistema di disequazioni è formato da due o più disequazioni che devono essere verificate contemporaneamente.
Risolvere un sistema di disequazioni significa determinare tutti e soli i valori dell’incognita che soddisfano simultaneamente ogni condizione imposta dal sistema.
Dal punto di vista insiemistico, la soluzione di un sistema si ottiene intersecando gli insiemi soluzione delle singole disequazioni.
Indice
- Definizione di sistema di disequazioni
- Principio fondamentale
- Intersezione degli insiemi soluzione
- Interpretazione grafica sulla retta reale
- Sistemi di disequazioni lineari
- Sistemi con disequazioni di secondo grado
- Sistemi con disequazioni fratte
- Esempio completo con studio del segno
- Sistemi impossibili e sistemi sempre verificati
- Errori più comuni
- Schema generale di risoluzione
Definizione di sistema di disequazioni
Un sistema di disequazioni è un insieme di condizioni espresse mediante disequazioni che devono essere verificate simultaneamente dalla stessa incognita.
Ad esempio:
\[ \begin{cases} x-1>0,\\ 2x+3\le 7. \end{cases} \]
Una soluzione del sistema è un numero reale che rende vere entrambe le disequazioni.
Non è quindi sufficiente soddisfare una sola condizione: tutte le disequazioni del sistema devono essere contemporaneamente verificate.
Se indichiamo con:
\[ S_1 \]
l’insieme soluzione della prima disequazione e con:
\[ S_2 \]
l’insieme soluzione della seconda, allora la soluzione del sistema sarà:
\[ S=S_1\cap S_2. \]
Principio fondamentale
Il principio fondamentale dei sistemi di disequazioni afferma che:
l’insieme soluzione di un sistema è l’intersezione degli insiemi soluzione delle singole disequazioni.
Questo principio deriva direttamente dal significato della parola “sistema”: tutte le condizioni devono essere vere contemporaneamente.
Per risolvere correttamente un sistema conviene quindi:
- risolvere separatamente ogni disequazione;
- determinare i relativi insiemi soluzione;
- calcolare l’intersezione finale.
L’errore più frequente consiste proprio nel dimenticare l’ultimo passaggio.
Intersezione degli insiemi soluzione
Consideriamo il sistema:
\[ \begin{cases} x>1,\\ x\le 4. \end{cases} \]
La prima disequazione ha soluzione:
\[ S_1=(1,+\infty). \]
La seconda disequazione ha soluzione:
\[ S_2=(-\infty,4]. \]
La soluzione del sistema è:
\[ S=S_1\cap S_2. \]
Cerchiamo quindi i numeri che appartengono contemporaneamente a entrambi gli insiemi.
Otteniamo:
\[ S=(1,4]. \]
Infatti:
- i numeri devono essere strettamente maggiori di \(1\);
- devono contemporaneamente essere minori oppure uguali a \(4\).
L’intersezione rappresenta quindi la parte comune dei due insiemi soluzione.
Interpretazione grafica sulla retta reale
Nei sistemi di disequazioni è molto utile rappresentare gli insiemi soluzione sulla retta reale.
Questo permette di visualizzare immediatamente la parte comune delle soluzioni.
Consideriamo:
\[ \begin{cases} x\ge -2,\\ x<3. \end{cases} \]
La prima disequazione rappresenta tutti i numeri maggiori oppure uguali a \(-2\).
Il simbolo:
\[ \ge \]
indica infatti che l’estremo appartiene all’insieme soluzione.
La seconda disequazione rappresenta invece tutti i numeri minori di \(3\).
Il simbolo:
\[ < \]
indica che \(3\) non appartiene alla soluzione.
Intersecando otteniamo:
\[ [-2,3). \]
Graficamente, questa soluzione corrisponde alla parte della retta compresa tra \(-2\) e \(3\), includendo il primo estremo ma escludendo il secondo.
Sistemi di disequazioni lineari
I sistemi più semplici sono quelli composti da disequazioni di primo grado.
Consideriamo:
\[ \begin{cases} 2x-1>3,\\ x+4\le 9. \end{cases} \]
Risolviamo la prima disequazione:
\[ 2x-1>3. \]
Sommiamo \(1\) a entrambi i membri:
\[ 2x>4. \]
Dividendo per \(2\), otteniamo:
\[ x>2. \]
Risolviamo ora la seconda disequazione:
\[ x+4\le 9. \]
Sottraendo \(4\), otteniamo:
\[ x\le 5. \]
Dobbiamo quindi intersecare:
\[ x>2 \]
con:
\[ x\le 5. \]
Otteniamo:
\[ S=(2,5]. \]
La soluzione contiene quindi tutti i numeri strettamente maggiori di \(2\) e contemporaneamente minori oppure uguali a \(5\).
Sistemi con disequazioni di secondo grado
Un sistema può contenere anche disequazioni quadratiche.
Consideriamo:
\[ \begin{cases} x^2-4>0,\\ x-1\le 0. \end{cases} \]
Risolviamo la prima disequazione:
\[ x^2-4>0. \]
Scomponiamo la differenza di quadrati:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2). \]
Otteniamo quindi:
\[ (x-2)(x+2)>0. \]
Un prodotto è strettamente positivo quando i fattori hanno lo stesso segno.
Studiamo quindi il segno del prodotto nei vari intervalli determinati dagli zeri dei fattori.
- se \(x<-2\), entrambi i fattori sono negativi e quindi il prodotto è positivo;
- se \(-2<x<2\), i due fattori hanno segno opposto e quindi il prodotto è negativo;
- se \(x>2\), entrambi i fattori sono positivi e quindi il prodotto è positivo.
La soluzione della prima disequazione è quindi:
\[ (-\infty,-2)\cup(2,+\infty). \]
Risolviamo ora la seconda disequazione:
\[ x-1\le 0. \]
Otteniamo:
\[ x\le 1. \]
Intersechiamo ora i due insiemi soluzione:
\[ \left[(-\infty,-2)\cup(2,+\infty)\right]\cap(-\infty,1]. \]
L’intersezione dei due insiemi soluzione è:
\[ S=(-\infty,-2). \]
Infatti i numeri maggiori di \(2\) non possono appartenere alla soluzione, perché devono essere contemporaneamente minori oppure uguali a \(1\).
Sistemi con disequazioni fratte
Nei sistemi con disequazioni fratte bisogna prestare particolare attenzione alle condizioni di esistenza.
Consideriamo:
\[ \begin{cases} \dfrac{x+1}{x-2}>0,\\ x<5. \end{cases} \]
La frazione non è definita quando il denominatore è nullo.
Dobbiamo quindi imporre:
\[ x\ne 2. \]
Studiamo ora il segno della frazione:
\[ \frac{x+1}{x-2}>0. \]
Gli zeri del numeratore e del denominatore sono:
\[ x=-1, \qquad x=2. \]
Una frazione è strettamente positiva quando numeratore e denominatore sono entrambi positivi oppure entrambi negativi.
Otteniamo quindi:
\[ x<-1 \qquad \text{oppure} \qquad x>2. \]
La seconda disequazione impone:
\[ x<5. \]
Intersecando:
\[ (-\infty,-1)\cup(2,+\infty) \]
con:
\[ (-\infty,5), \]
otteniamo:
\[ S=(-\infty,-1)\cup(2,5). \]
Il valore:
\[ x=5 \]
non appartiene alla soluzione, perché la seconda disequazione impone la condizione stretta:
\[ x<5. \]
Inoltre:
\[ x=2 \]
deve essere escluso, perché annulla il denominatore.
Esempio completo con studio del segno
Consideriamo il sistema:
\[ \begin{cases} \dfrac{x^2-4}{x-1}\ge 0,\\ x<3. \end{cases} \]
Scomponiamo il numeratore:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2). \]
Otteniamo:
\[ \frac{(x-2)(x+2)}{x-1}\ge 0. \]
I punti critici sono:
\[ x=-2, \qquad x=1, \qquad x=2. \]
Il valore:
\[ x=1 \]
deve essere escluso, perché annulla il denominatore.
Studiamo ora il segno della frazione nei vari intervalli determinati dai punti critici.
- per \(x<-2\), la frazione è negativa;
- per \(-2<x<1\), la frazione è positiva;
- per \(1<x<2\), la frazione è negativa;
- per \(x>2\), la frazione è positiva.
Poiché la disequazione è:
\[ \ge 0, \]
dobbiamo includere anche gli zeri del numeratore:
\[ x=-2, \qquad x=2. \]
La soluzione della prima disequazione è quindi:
\[ [-2,1)\cup[2,+\infty). \]
La seconda disequazione impone:
\[ x<3. \]
Intersecando otteniamo:
\[ S=[-2,1)\cup[2,3). \]
Sistemi impossibili e sistemi sempre verificati
Un sistema può essere:
- impossibile, se non esistono soluzioni;
- sempre verificato, se tutti i numeri reali soddisfano il sistema.
Consideriamo:
\[ \begin{cases} x>3,\\ x<1. \end{cases} \]
Nessun numero reale può essere contemporaneamente maggiore di \(3\) e minore di \(1\).
L’intersezione è quindi vuota:
\[ S=\varnothing. \]
Consideriamo invece:
\[ \begin{cases} x^2+1>0,\\ x^2+2>0. \end{cases} \]
Poiché:
\[ x^2\ge 0 \]
per ogni numero reale, entrambe le disequazioni risultano sempre vere.
La soluzione è quindi:
\[ S=\mathbb{R}. \]
Errori più comuni
Nei sistemi di disequazioni gli errori più frequenti sono:
- dimenticare di intersecare gli insiemi soluzione;
- unire le soluzioni invece di intersecarle;
- invertire erroneamente il verso della disequazione;
- dimenticare le condizioni di esistenza nelle disequazioni fratte;
- commettere errori nello studio del segno.
Un errore molto comune consiste nel dimenticare che il verso della disequazione cambia quando si moltiplica oppure si divide per un numero negativo.
Ad esempio:
\[ -2x>4. \]
Dividendo per \(-2\), bisogna invertire il verso:
\[ x<-2. \]
Scrivere:
\[ x>-2 \]
sarebbe errato.
Schema generale di risoluzione
In generale, per risolvere correttamente un sistema di disequazioni conviene seguire sempre questo schema:
- risolvere separatamente ogni disequazione;
- determinare con precisione gli insiemi soluzione;
- rappresentare eventualmente le soluzioni sulla retta reale;
- calcolare l’intersezione degli insiemi ottenuti;
- scrivere il risultato finale in forma di intervallo oppure di unione di intervalli.
Questo procedimento permette di affrontare correttamente la grande maggioranza dei sistemi di disequazioni studiati in algebra.