Le proprietà dei logaritmi permettono di trasformare espressioni complesse in forme più semplici utilizzando le regole del prodotto, quoziente e potenza. In questa raccolta sono proposti 20 esercizi progressivi con svolgimento dettagliato e commentato.
Esercizio 1 — livello ★☆☆☆☆
\[ \log_2(4 \cdot 8) \]
Risultato
\[ 5 \]
Svolgimento
Applichiamo la proprietà del logaritmo del prodotto:
\[ \log_2(4 \cdot 8) = \log_2 4 + \log_2 8 \]
Calcoliamo i singoli logaritmi: \[ \log_2 4 = 2, \quad \log_2 8 = 3 \]
Sommiamo i risultati: \[ 2 + 3 = 5 \]
Esercizio 2 — livello ★☆☆☆☆
\[ \log_3\left(\frac{81}{3}\right) \]
Risultato
\[ 3 \]
Svolgimento
Usiamo la proprietà del quoziente:
\[ \log_3\left(\frac{81}{3}\right) = \log_3 81 - \log_3 3 \]
Calcoliamo i logaritmi: \[ \log_3 81 = 4, \quad \log_3 3 = 1 \]
Sottraiamo: \[ 4 - 1 = 3 \]
Esercizio 3 — livello ★☆☆☆☆
\[ \log_5(25^3) \]
Risultato
\[ 6 \]
Svolgimento
Applichiamo la proprietà della potenza:
\[ \log_5(25^3) = 3\log_5 25 \]
Poiché \(25 = 5^2\), si ha:
\[ \log_5 25 = 2 \]
Quindi:
\[ 3 \cdot 2 = 6 \]
Esercizio 4 — livello ★★☆☆☆
\[ \log_2\sqrt{32} \]
Risultato
\[ \frac{5}{2} \]
Svolgimento
Riscriviamo la radice come potenza:
\[ \sqrt{32} = 32^{1/2} \]
Scomponiamo 32:
\[ 32 = 2^5 \]
Quindi:
\[ (2^5)^{1/2} = 2^{5/2} \]
Applichiamo il logaritmo:
\[ \log_2(2^{5/2}) = \frac{5}{2} \]
Esercizio 5 — livello ★★☆☆☆
\[ \log_3\left(\frac{1}{27}\right) \]
Risultato
\[ -3 \]
Svolgimento
Scriviamo 27 come potenza di 3:
\[ 27 = 3^3 \Rightarrow \frac{1}{27} = 3^{-3} \]
Applichiamo il logaritmo:
\[ \log_3(3^{-3}) = -3 \]
Esercizio 6 — livello ★★☆☆☆
\[ \ln(e^2 \cdot \sqrt{e}) \]
Risultato
\[ \frac{5}{2} \]
Svolgimento
Riscriviamo la radice come potenza:
\[ \sqrt{e} = e^{1/2} \]
Applichiamo la proprietà del prodotto:
\[ e^2 \cdot e^{1/2} = e^{5/2} \]
Infine applichiamo il logaritmo naturale:
\[ \ln(e^{5/2}) = \frac{5}{2} \]
Esercizio 7 — livello ★★☆☆☆
\[ \log(100x) \]
Risultato
\[ 2 + \log x \]
Svolgimento
Applichiamo la proprietà del logaritmo del prodotto:
\[ \log(100x) = \log 100 + \log x \]
Calcoliamo il valore del logaritmo numerico:
\[ \log 100 = 2 \]
Sostituiamo e otteniamo:
\[ 2 + \log x \]
Esercizio 8 — livello ★★★☆☆
\[ 2\log a + 3\log b \]
Risultato
\[ \log(a^2 b^3) \]
Svolgimento
Usiamo la proprietà della potenza dei logaritmi:
\[ 2\log a = \log(a^2), \quad 3\log b = \log(b^3) \]
Riscriviamo l’espressione:
\[ \log(a^2) + \log(b^3) \]
Applichiamo la proprietà del prodotto:
\[ \log(a^2 b^3) \]
Esercizio 9 — livello ★★★☆☆
\[ \log_b\left(\frac{x^2}{y}\right) \]
Risultato
\[ 2\log_b x - \log_b y \]
Svolgimento
Applichiamo la proprietà del quoziente:
\[ \log_b\left(\frac{x^2}{y}\right) = \log_b(x^2) - \log_b(y) \]
Usiamo la proprietà della potenza:
\[ \log_b(x^2) = 2\log_b x \]
Sostituiamo:
\[ 2\log_b x - \log_b y \]
Esercizio 10 — livello ★★★☆☆
\[ \log_4 8 \]
Risultato
\[ \frac{3}{2} \]
Svolgimento
Usiamo la formula del cambio di base:
\[ \log_4 8 = \frac{\log_2 8}{\log_2 4} \]
Calcoliamo i logaritmi:
\[ \log_2 8 = 3, \quad \log_2 4 = 2 \]
Dividiamo:
\[ \frac{3}{2} \]
Esercizio 11 — livello ★★★☆☆
\[ \log_2 6 + \log_2 4 - \log_2 3 \]
Risultato
\[ 3 \]
Svolgimento
Applichiamo le proprietà di somma e differenza:
\[ \log_2 6 + \log_2 4 = \log_2(24) \]
Sottraiamo il terzo logaritmo:
\[ \log_2\left(\frac{24}{3}\right) \]
Semplifichiamo:
\[ \log_2 8 = 3 \]
Esercizio 12 — livello ★★★★☆
\[ \log_b \sqrt[3]{\frac{a}{b}} \]
Risultato
\[ \frac{1}{3}\log_b a - \frac{1}{3} \]
Svolgimento
Riscriviamo la radice come potenza:
\[ \sqrt[3]{\frac{a}{b}} = \left(\frac{a}{b}\right)^{1/3} \]
Applichiamo la proprietà della potenza:
\[ \log_b\left(\frac{a}{b}\right)^{1/3} = \frac{1}{3}\log_b\left(\frac{a}{b}\right) \]
Usiamo la proprietà del quoziente:
\[ \log_b a - \log_b b \]
Sostituiamo \(\log_b b = 1\):
\[ \frac{1}{3}(\log_b a - 1) \]
Esercizio 13 — livello ★★★★☆
\[ \frac{1}{2}\log x - 2\log y - 3\log z \]
Risultato
\[ \log\left(\frac{\sqrt{x}}{y^2 z^3}\right) \]
Svolgimento
Applichiamo la proprietà della potenza:
\[ \frac{1}{2}\log x = \log(x^{1/2}), \quad 2\log y = \log(y^2), \quad 3\log z = \log(z^3) \]
Riscriviamo l’espressione:
\[ \log(x^{1/2}) - \log(y^2) - \log(z^3) \]
Applichiamo le proprietà dei logaritmi:
\[ \log\left(\frac{x^{1/2}}{y^2 z^3}\right) \]
Esercizio 14 — livello ★★★★☆
\[ \log_2(x^2 - 1) - \log_2(x - 1) \]
Risultato
\[ \log_2(x+1), \quad x>1 \]
Svolgimento
Applichiamo la proprietà del quoziente:
\[ \log_2\left(\frac{x^2 - 1}{x - 1}\right) \]
Scomponiamo la differenza di quadrati:
\[ x^2 - 1 = (x-1)(x+1) \]
Semplifichiamo:
\[ \log_2(x+1) \]
Esercizio 15 — livello ★★★★☆
\[ \log_{1/2} 16 \]
Risultato
\[ -4 \]
Svolgimento
Usiamo il cambio di base:
\[ \log_{1/2} 16 = \frac{\log_2 16}{\log_2(1/2)} \]
Calcoliamo i valori:
\[ \log_2 16 = 4, \quad \log_2(1/2) = -1 \]
Dividiamo:
\[ -4 \]
Esercizio 16 — livello ★★★★★
\[ e^{-2\ln x} \]
Risultato
\[ \frac{1}{x^2} \]
Svolgimento
Usiamo la proprietà:
\[ -2\ln x = \ln(x^{-2}) \]
Riscriviamo l’espressione:
\[ e^{\ln(x^{-2})} \]
Semplifichiamo:
\[ x^{-2} = \frac{1}{x^2} \]
Esercizio 17 — livello ★★★★★
\[ \log \sqrt{x\sqrt{x}} \]
Risultato
\[ \frac{3}{4}\log x \]
Svolgimento
Riscriviamo la radice interna come potenza:
\[ \sqrt{x} = x^{1/2} \]
Quindi l’espressione diventa:
\[ \sqrt{x \cdot x^{1/2}} \]
Sommiamo gli esponenti:
\[ x \cdot x^{1/2} = x^{3/2} \]
Applichiamo la radice:
\[ (x^{3/2})^{1/2} = x^{3/4} \]
Applichiamo il logaritmo:
\[ \log(x^{3/4}) = \frac{3}{4}\log x \]
Esercizio 18 — livello ★★★★★
\[ (\log_3 5)(\log_5 9) \]
Risultato
\[ 2 \]
Svolgimento
Usiamo la formula del cambio di base:
\[ \log_3 5 = \frac{\ln 5}{\ln 3}, \quad \log_5 9 = \frac{\ln 9}{\ln 5} \]
Moltiplichiamo le espressioni:
\[ \frac{\ln 5}{\ln 3} \cdot \frac{\ln 9}{\ln 5} \]
Semplifichiamo il termine comune \(\ln 5\):
\[ \frac{\ln 9}{\ln 3} \]
Poiché \(9 = 3^2\), otteniamo:
\[ \log_3 9 = 2 \]
Esercizio 19 — livello ★★★★★
\[ \ln\left(\frac{e^x}{1+e^x}\right) \]
Risultato
\[ x - \ln(1+e^x) \]
Svolgimento
Applichiamo la proprietà del logaritmo del quoziente:
\[ \ln\left(\frac{e^x}{1+e^x}\right) = \ln(e^x) - \ln(1+e^x) \]
Semplifichiamo il primo termine:
\[ \ln(e^x) = x \]
Otteniamo quindi:
\[ x - \ln(1+e^x) \]
Esercizio 20 — livello ★★★★★
\[ \log_b\left(\frac{1}{\sqrt[n]{b^m}}\right) \]
Risultato
\[ -\frac{m}{n} \]
Svolgimento
Riscriviamo la radice come potenza:
\[ \sqrt[n]{b^m} = b^{m/n} \]
Quindi:
\[ \frac{1}{\sqrt[n]{b^m}} = b^{-m/n} \]
Applichiamo il logaritmo:
\[ \log_b(b^{-m/n}) = -\frac{m}{n} \]