Esercizi svolti sulle operazioni tra insiemi: una raccolta progressiva di 20 esercizi per imparare a calcolare correttamente unione, intersezione, differenza e complementare. Ogni esercizio è svolto passo passo, con spiegazioni pensate per chiarire il significato logico di ogni operazione.
Ricordiamo le definizioni fondamentali:
\[ A \cup B=\{x \mid x \in A \ \text{oppure} \ x \in B\} \]
\[ A \cap B=\{x \mid x \in A \ \text{e} \ x \in B\} \]
\[ A \setminus B=\{x \mid x \in A \ \text{e} \ x \notin B\} \]
\[ A^c=U \setminus A \]
Esercizio 1 — livello ★☆☆☆☆
Dati gli insiemi
\[ A=\{1,2,3\}, \qquad B=\{3,4,5\} \]
Calcolare:
\[ A \cup B \]
Risultato
\[ A \cup B=\{1,2,3,4,5\} \]
Svolgimento
L'operazione richiesta è l'unione. L'unione \(A \cup B\) contiene tutti gli elementi che appartengono ad almeno uno dei due insiemi.
Partiamo dagli elementi di \(A\):
\[ A=\{1,2,3\} \]
Aggiungiamo poi gli elementi di \(B\):
\[ B=\{3,4,5\} \]
L'elemento \(3\) compare sia in \(A\) sia in \(B\), ma negli insiemi gli elementi non si ripetono. Per questo motivo lo scriviamo una sola volta.
Quindi:
\[ A \cup B=\{1,2,3,4,5\} \]
Esercizio 2 — livello ★☆☆☆☆
Dati gli insiemi
\[ A=\{1,2,3,4\}, \qquad B=\{3,4,5,6\} \]
Calcolare:
\[ A \cap B \]
Risultato
\[ A \cap B=\{3,4\} \]
Svolgimento
L'operazione richiesta è l'intersezione. L'intersezione \(A \cap B\) contiene soltanto gli elementi che appartengono contemporaneamente ad \(A\) e a \(B\).
Osserviamo gli elementi di \(A\):
\[ A=\{1,2,3,4\} \]
e gli elementi di \(B\):
\[ B=\{3,4,5,6\} \]
Gli elementi \(1\) e \(2\) appartengono solo ad \(A\), quindi non fanno parte dell'intersezione. Gli elementi \(5\) e \(6\) appartengono solo a \(B\), quindi non fanno parte dell'intersezione.
Gli unici elementi presenti in entrambi gli insiemi sono \(3\) e \(4\). Pertanto:
\[ A \cap B=\{3,4\} \]
Esercizio 3 — livello ★☆☆☆☆
Dati gli insiemi
\[ A=\{1,2,3,4,5\}, \qquad B=\{2,4,6\} \]
Calcolare:
\[ A \setminus B \]
Risultato
\[ A \setminus B=\{1,3,5\} \]
Svolgimento
L'operazione richiesta è la differenza tra insiemi. La differenza \(A \setminus B\) contiene gli elementi che appartengono ad \(A\), ma non appartengono a \(B\).
Partiamo quindi da \(A\):
\[ A=\{1,2,3,4,5\} \]
Dobbiamo eliminare da \(A\) tutti gli elementi che si trovano anche in \(B\). Poiché:
\[ B=\{2,4,6\} \]
gli elementi di \(A\) che compaiono anche in \(B\) sono \(2\) e \(4\).
Togliendo \(2\) e \(4\) da \(A\), rimangono:
\[ 1,3,5 \]
Quindi:
\[ A \setminus B=\{1,3,5\} \]
Esercizio 4 — livello ★☆☆☆☆
Dati gli insiemi
\[ A=\{a,b,c,d\}, \qquad B=\{b,d,e\} \]
Calcolare:
\[ B \setminus A \]
Risultato
\[ B \setminus A=\{e\} \]
Svolgimento
La differenza \(B \setminus A\) contiene gli elementi che appartengono a \(B\), ma non appartengono ad \(A\).
Questa volta l'insieme di partenza è \(B\), non \(A\). Infatti:
\[ B=\{b,d,e\} \]
Dobbiamo togliere da \(B\) gli elementi che appartengono anche ad \(A\). Poiché:
\[ A=\{a,b,c,d\} \]
gli elementi \(b\) e \(d\) sono presenti sia in \(B\) sia in \(A\), quindi vanno esclusi.
L'unico elemento di \(B\) che non appartiene ad \(A\) è \(e\). Pertanto:
\[ B \setminus A=\{e\} \]
Esercizio 5 — livello ★★☆☆☆
Sia
\[ U=\{1,2,3,4,5,6,7,8\} \]
e sia
\[ A=\{2,4,6,8\} \]
Calcolare:
\[ A^c \]
Risultato
\[ A^c=\{1,3,5,7\} \]
Svolgimento
L'operazione richiesta è il complementare di \(A\) rispetto all'insieme universo \(U\).
Il complementare \(A^c\) contiene tutti gli elementi dell'universo \(U\) che non appartengono ad \(A\). In formula:
\[ A^c=U \setminus A \]
L'insieme universo è:
\[ U=\{1,2,3,4,5,6,7,8\} \]
L'insieme \(A\) è:
\[ A=\{2,4,6,8\} \]
Dobbiamo quindi togliere da \(U\) gli elementi \(2,4,6,8\). Rimangono gli elementi dispari:
\[ 1,3,5,7 \]
Quindi:
\[ A^c=\{1,3,5,7\} \]
Esercizio 6 — livello ★★☆☆☆
Dati gli insiemi
\[ A=\{x \in \mathbb{N} \mid 1 \le x \le 6\} \]
e
\[ B=\{2,4,6,8\} \]
Calcolare:
\[ A \cap B \]
Risultato
\[ A \cap B=\{2,4,6\} \]
Svolgimento
Prima di eseguire l'operazione, conviene scrivere esplicitamente l'insieme \(A\), che è definito per caratteristica.
La scrittura
\[ A=\{x \in \mathbb{N} \mid 1 \le x \le 6\} \]
si legge: «\(A\) è l'insieme dei numeri naturali \(x\) tali che \(x\) sia compreso tra \(1\) e \(6\), estremi inclusi». Elencando gli elementi otteniamo:
\[ A=\{1,2,3,4,5,6\} \]
L'insieme \(B\) è invece già scritto per elencazione:
\[ B=\{2,4,6,8\} \]
Dobbiamo calcolare l'intersezione \(A \cap B\), cioè l'insieme degli elementi che appartengono contemporaneamente ad \(A\) e a \(B\).
Confrontiamo gli elementi:
- \(2 \in A\) e \(2 \in B\): appartiene all'intersezione;
- \(4 \in A\) e \(4 \in B\): appartiene all'intersezione;
- \(6 \in A\) e \(6 \in B\): appartiene all'intersezione;
- \(8 \in B\), ma \(8 \notin A\) perché \(8 > 6\): non appartiene all'intersezione.
Pertanto:
\[ A \cap B=\{2,4,6\} \]
Esercizio 7 — livello ★★☆☆☆
Dati gli insiemi
\[ A=\{1,3,5,7\}, \qquad B=\{2,3,5,8\} \]
Calcolare:
\[ A \cup B \]
Risultato
\[ A \cup B=\{1,2,3,5,7,8\} \]
Svolgimento
L'operazione richiesta è l'unione tra \(A\) e \(B\). L'unione contiene tutti gli elementi che appartengono ad almeno uno dei due insiemi.
Partiamo dagli elementi di \(A\):
\[ A=\{1,3,5,7\} \]
Ora osserviamo gli elementi di \(B\):
\[ B=\{2,3,5,8\} \]
Gli elementi \(3\) e \(5\) sono già presenti in \(A\), quindi non devono essere ripetuti. Gli elementi nuovi portati da \(B\) sono invece \(2\) e \(8\).
Riunendo tutti gli elementi senza ripetizioni, otteniamo:
\[ A \cup B=\{1,2,3,5,7,8\} \]
Esercizio 8 — livello ★★☆☆☆
Dati gli insiemi
\[ A=\{1,2,3,4,5\}, \qquad B=\{4,5,6,7\} \]
Calcolare:
\[ (A \cup B) \setminus A \]
Risultato
\[ (A \cup B) \setminus A=\{6,7\} \]
Svolgimento
L'espressione contiene due operazioni. Bisogna rispettare le parentesi e calcolare prima:
\[ A \cup B \]
L'unione tra \(A\) e \(B\) contiene tutti gli elementi presenti almeno in uno dei due insiemi:
\[ A \cup B=\{1,2,3,4,5,6,7\} \]
Ora dobbiamo calcolare:
\[ (A \cup B) \setminus A \]
Questo significa che partiamo dall'insieme \(A \cup B\) e togliamo tutti gli elementi che appartengono ad \(A\).
Poiché:
\[ A=\{1,2,3,4,5\} \]
eliminando \(1,2,3,4,5\) dall'insieme \(\{1,2,3,4,5,6,7\}\), rimangono:
\[ 6,7 \]
Quindi:
\[ (A \cup B) \setminus A=\{6,7\} \]
Esercizio 9 — livello ★★★☆☆
Dati gli insiemi
\[ A=\{1,2,3,4\}, \qquad B=\{3,4,5,6\} \]
Calcolare:
\[ (A \cap B) \cup \{7\} \]
Risultato
\[ (A \cap B) \cup \{7\}=\{3,4,7\} \]
Svolgimento
Anche in questo caso dobbiamo prima calcolare ciò che si trova tra parentesi:
\[ A \cap B \]
L'intersezione contiene gli elementi comuni ad \(A\) e \(B\). Poiché:
\[ A=\{1,2,3,4\} \]
e
\[ B=\{3,4,5,6\} \]
gli elementi comuni sono \(3\) e \(4\). Quindi:
\[ A \cap B=\{3,4\} \]
Ora dobbiamo unire questo insieme con \(\{7\}\):
\[ (A \cap B) \cup \{7\}=\{3,4\} \cup \{7\} \]
L'unione aggiunge l'elemento \(7\), perché non era già presente.
Pertanto:
\[ (A \cap B) \cup \{7\}=\{3,4,7\} \]
Esercizio 10 — livello ★★★☆☆
Dati gli insiemi
\[ A=\{1,2,3,4,5,6\}, \qquad B=\{2,4,6\} \]
Calcolare:
\[ A \setminus B \]
Risultato
\[ A \setminus B=\{1,3,5\} \]
Svolgimento
Dobbiamo calcolare la differenza \(A \setminus B\). Questo significa che dobbiamo conservare solo gli elementi di \(A\) che non appartengono a \(B\).
L'insieme \(A\) è:
\[ A=\{1,2,3,4,5,6\} \]
L'insieme \(B\) è:
\[ B=\{2,4,6\} \]
Gli elementi \(2,4,6\) appartengono ad \(A\), ma appartengono anche a \(B\). Per questo motivo devono essere esclusi dalla differenza.
Gli elementi di \(A\) che non appartengono a \(B\) sono invece \(1,3,5\).
Quindi:
\[ A \setminus B=\{1,3,5\} \]
Esercizio 11 — livello ★★★☆☆
Sia
\[ U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\} \]
e siano
\[ A=\{1,2,3,4,5\}, \qquad B=\{4,5,6,7\} \]
Calcolare:
\[ (A \cup B)^c \]
Risultato
\[ (A \cup B)^c=\{8,9,10\} \]
Svolgimento
L'espressione richiede prima di calcolare l'unione \(A \cup B\), poi il complementare del risultato rispetto a \(U\).
Calcoliamo l'unione:
\[ A \cup B=\{1,2,3,4,5,6,7\} \]
Ora dobbiamo trovare il complementare di \(A \cup B\), cioè tutti gli elementi di \(U\) che non appartengono all'unione.
L'insieme universo è:
\[ U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\} \]
L'unione \(A \cup B\) contiene:
\[ 1,2,3,4,5,6,7 \]
Gli elementi dell'universo che restano fuori dall'unione sono:
\[ 8,9,10 \]
Quindi:
\[ (A \cup B)^c=\{8,9,10\} \]
Esercizio 12 — livello ★★★☆☆
Sia
\[ U=\{1,2,3,4,5,6,7,8\} \]
e siano
\[ A=\{1,2,3,4\}, \qquad B=\{3,4,5,6\} \]
Calcolare:
\[ A^c \cap B^c \]
Risultato
\[ A^c \cap B^c=\{7,8\} \]
Svolgimento
Dobbiamo calcolare l'intersezione tra i complementari di \(A\) e \(B\). Procediamo con ordine.
Il complementare di \(A\) è formato dagli elementi di \(U\) che non appartengono ad \(A\):
\[ A^c=U \setminus A \]
Poiché:
\[ A=\{1,2,3,4\} \]
otteniamo:
\[ A^c=\{5,6,7,8\} \]
Allo stesso modo:
\[ B^c=U \setminus B \]
Poiché:
\[ B=\{3,4,5,6\} \]
otteniamo:
\[ B^c=\{1,2,7,8\} \]
Ora calcoliamo l'intersezione:
\[ A^c \cap B^c=\{5,6,7,8\} \cap \{1,2,7,8\} \]
Gli elementi comuni ai due complementari sono \(7\) e \(8\). Quindi:
\[ A^c \cap B^c=\{7,8\} \]
Esercizio 13 — livello ★★★★☆
Sia
\[ U=\{1,2,3,4,5,6,7,8\} \]
e siano
\[ A=\{1,2,3,4\}, \qquad B=\{3,4,5,6\} \]
verificare che:
\[ (A \cup B)^c=A^c \cap B^c \]
Risultato
\[ (A \cup B)^c=A^c \cap B^c=\{7,8\} \]
Svolgimento
Per verificare l'identità, calcoliamo separatamente il primo membro e il secondo membro.
Partiamo dal primo membro:
\[ (A \cup B)^c \]
Calcoliamo prima l'unione:
\[ A \cup B=\{1,2,3,4,5,6\} \]
Ora prendiamo il complementare rispetto a \(U\):
\[ (A \cup B)^c=U \setminus (A \cup B) \]
quindi:
\[ (A \cup B)^c=\{7,8\} \]
Calcoliamo ora il secondo membro:
\[ A^c \cap B^c \]
Il complementare di \(A\) è:
\[ A^c=\{5,6,7,8\} \]
Il complementare di \(B\) è:
\[ B^c=\{1,2,7,8\} \]
Intersechiamo i due complementari:
\[ A^c \cap B^c=\{5,6,7,8\} \cap \{1,2,7,8\} \]
Gli elementi comuni sono \(7\) e \(8\). Quindi:
\[ A^c \cap B^c=\{7,8\} \]
I due membri hanno dato lo stesso insieme:
\[ (A \cup B)^c=A^c \cap B^c=\{7,8\} \]
L'identità è verificata. Si tratta della prima legge di De Morgan.
Esercizio 14 — livello ★★★★☆
Sia
\[ U=\{1,2,3,4,5,6,7,8\} \]
e siano
\[ A=\{1,2,3,4\}, \qquad B=\{3,4,5,6\} \]
verificare che:
\[ (A \cap B)^c=A^c \cup B^c \]
Risultato
\[ (A \cap B)^c=A^c \cup B^c=\{1,2,5,6,7,8\} \]
Svolgimento
Anche qui confrontiamo il primo membro e il secondo membro.
Calcoliamo prima il primo membro:
\[ (A \cap B)^c \]
L'intersezione tra \(A\) e \(B\) contiene gli elementi comuni:
\[ A \cap B=\{3,4\} \]
Il complementare di \(A \cap B\) contiene tutti gli elementi di \(U\) diversi da \(3\) e \(4\):
\[ (A \cap B)^c=\{1,2,5,6,7,8\} \]
Calcoliamo ora il secondo membro:
\[ A^c \cup B^c \]
Abbiamo:
\[ A^c=\{5,6,7,8\} \]
e:
\[ B^c=\{1,2,7,8\} \]
Facendo l'unione dei due complementari otteniamo:
\[ A^c \cup B^c=\{5,6,7,8\} \cup \{1,2,7,8\} \]
quindi:
\[ A^c \cup B^c=\{1,2,5,6,7,8\} \]
I due membri coincidono:
\[ (A \cap B)^c=A^c \cup B^c \]
L'identità è verificata. Si tratta della seconda legge di De Morgan.
Esercizio 15 — livello ★★★★☆
Dati gli insiemi
\[ A=\{1,2,3,4,5\}, \qquad B=\{4,5,6,7\} \]
Calcolare:
\[ (A \setminus B) \cup (B \setminus A) \]
Risultato
\[ (A \setminus B) \cup (B \setminus A)=\{1,2,3,6,7\} \]
Svolgimento
L'espressione è formata da due differenze e poi da un'unione.
Calcoliamo prima:
\[ A \setminus B \]
Questa differenza contiene gli elementi di \(A\) che non appartengono a \(B\). Poiché \(4\) e \(5\) appartengono anche a \(B\), devono essere esclusi.
Quindi:
\[ A \setminus B=\{1,2,3\} \]
Calcoliamo ora:
\[ B \setminus A \]
Questa differenza contiene gli elementi di \(B\) che non appartengono ad \(A\). Gli elementi \(4\) e \(5\) sono presenti anche in \(A\), quindi vengono esclusi.
Rimangono:
\[ B \setminus A=\{6,7\} \]
Infine facciamo l'unione:
\[ (A \setminus B) \cup (B \setminus A)=\{1,2,3\} \cup \{6,7\} \]
Pertanto:
\[ (A \setminus B) \cup (B \setminus A)=\{1,2,3,6,7\} \]
Questo insieme contiene gli elementi che appartengono a uno solo dei due insiemi, ma non a entrambi.
Esercizio 16 — livello ★★★★☆
Dati gli insiemi
\[ A=\{1,2,3,4,5,6\}, \qquad B=\{2,4,6\}, \qquad C=\{1,2,7\} \]
Calcolare:
\[ (A \cap B) \cup C \]
Risultato
\[ (A \cap B) \cup C=\{1,2,4,6,7\} \]
Svolgimento
L'espressione contiene prima un'intersezione e poi un'unione. Iniziamo dalla parentesi:
\[ A \cap B \]
L'intersezione contiene gli elementi comuni ad \(A\) e \(B\). Osserviamo che:
\[ B=\{2,4,6\} \]
e tutti questi elementi appartengono anche ad \(A\), perché:
\[ A=\{1,2,3,4,5,6\} \]
Quindi:
\[ A \cap B=\{2,4,6\} \]
Ora dobbiamo unire questo risultato con \(C\):
\[ (A \cap B) \cup C=\{2,4,6\} \cup \{1,2,7\} \]
Nell'unione scriviamo tutti gli elementi senza ripetizioni. L'elemento \(2\) compare in entrambi gli insiemi, quindi si scrive una sola volta.
Otteniamo:
\[ (A \cap B) \cup C=\{1,2,4,6,7\} \]
Esercizio 17 — livello ★★★★★
Sia
\[ U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\} \]
e siano
\[ A=\{1,2,3,4,5\}, \qquad B=\{4,5,6,7\} \]
calcolare:
\[ (A \cap B)^c \cap A \]
Risultato
\[ (A \cap B)^c \cap A=\{1,2,3\} \]
Svolgimento
Dobbiamo calcolare un'espressione composta. Procediamo rispettando l'ordine delle operazioni.
Calcoliamo prima:
\[ A \cap B \]
Gli elementi comuni ad \(A\) e \(B\) sono \(4\) e \(5\). Quindi:
\[ A \cap B=\{4,5\} \]
Ora calcoliamo il complementare di questo insieme rispetto a \(U\):
\[ (A \cap B)^c=U \setminus \{4,5\} \]
Poiché:
\[ U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\} \]
togliendo \(4\) e \(5\), otteniamo:
\[ (A \cap B)^c=\{1,2,3,6,7,8,9\} \]
Infine dobbiamo intersecare questo insieme con \(A\):
\[ (A \cap B)^c \cap A=\{1,2,3,6,7,8,9\} \cap \{1,2,3,4,5\} \]
Gli elementi comuni sono \(1,2,3\).
Quindi:
\[ (A \cap B)^c \cap A=\{1,2,3\} \]
Osserviamo che il risultato coincide con gli elementi di \(A\) che non appartengono anche a \(B\).
Esercizio 18 — livello ★★★★★
Sia
\[ U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\} \]
e siano
\[ A=\{1,2,3,4,5\}, \qquad B=\{3,4,5,6,7\} \]
Calcolare:
\[ (A^c \cup B^c)^c \]
Risultato
\[ (A^c \cup B^c)^c=\{3,4,5\} \]
Svolgimento
L'espressione contiene complementari, unione e poi ancora un complementare. Procediamo con ordine.
Calcoliamo prima il complementare di \(A\):
\[ A^c=U \setminus A \]
Poiché:
\[ A=\{1,2,3,4,5\} \]
otteniamo:
\[ A^c=\{6,7,8,9,10\} \]
Calcoliamo ora il complementare di \(B\):
\[ B^c=U \setminus B \]
Poiché:
\[ B=\{3,4,5,6,7\} \]
otteniamo:
\[ B^c=\{1,2,8,9,10\} \]
Ora calcoliamo l'unione dei due complementari:
\[ A^c \cup B^c=\{6,7,8,9,10\} \cup \{1,2,8,9,10\} \]
quindi:
\[ A^c \cup B^c=\{1,2,6,7,8,9,10\} \]
Infine calcoliamo il complementare di questo insieme:
\[ (A^c \cup B^c)^c=U \setminus \{1,2,6,7,8,9,10\} \]
Gli elementi di \(U\) che non compaiono in \(\{1,2,6,7,8,9,10\}\) sono:
\[ 3,4,5 \]
Pertanto:
\[ (A^c \cup B^c)^c=\{3,4,5\} \]
Il risultato coincide con \(A \cap B\), come previsto dalla legge di De Morgan.
Esercizio 19 — livello ★★★★★
Dati gli insiemi
\[ A=\{1,2,3,4\}, \qquad B=\{3,4,5,6\}, \qquad C=\{4,6,8\} \]
Calcolare:
\[ (A \cup B) \cap C \]
Risultato
\[ (A \cup B) \cap C=\{4,6\} \]
Svolgimento
L'espressione richiede prima di calcolare l'unione tra \(A\) e \(B\), poi l'intersezione con \(C\).
Calcoliamo l'unione:
\[ A \cup B=\{1,2,3,4\} \cup \{3,4,5,6\} \]
Nell'unione inseriamo tutti gli elementi presenti in almeno uno dei due insiemi, senza ripetizioni:
\[ A \cup B=\{1,2,3,4,5,6\} \]
Ora dobbiamo calcolare:
\[ (A \cup B) \cap C \]
cioè:
\[ \{1,2,3,4,5,6\} \cap \{4,6,8\} \]
L'intersezione contiene solo gli elementi comuni ai due insiemi. Gli elementi comuni sono \(4\) e \(6\).
L'elemento \(8\) appartiene a \(C\), ma non appartiene ad \(A \cup B\), quindi non viene incluso.
Pertanto:
\[ (A \cup B) \cap C=\{4,6\} \]
Esercizio 20 — livello ★★★★★
Dati due insiemi qualsiasi \(A\) e \(B\), dimostrare la legge di assorbimento:
\[ A \cup (A \cap B)=A \]
Risultato
\[ A \cup (A \cap B)=A \]
Svolgimento
Vogliamo dimostrare che:
\[ A \cup (A \cap B)=A \]
Consideriamo l'insieme:
\[ A \cap B \]
Per definizione, \(A \cap B\) contiene gli elementi che appartengono sia ad \(A\) sia a \(B\).
In particolare, ogni elemento di \(A \cap B\) appartiene sicuramente ad \(A\). Quindi \(A \cap B\) è contenuto in \(A\):
\[ A \cap B \subseteq A \]
Ora osserviamo l'unione:
\[ A \cup (A \cap B) \]
Stiamo unendo \(A\) con un insieme che è già contenuto in \(A\). Aggiungere ad \(A\) elementi che sono già dentro \(A\) non modifica l'insieme.
Perciò:
\[ A \cup (A \cap B)=A \]
Questa proprietà si chiama legge di assorbimento.