In questa sezione proponiamo una raccolta di 20 esercizi svolti su funzioni iniettive, suriettive e biiettive, pensati per comprendere in modo rigoroso e progressivo tre proprietà fondamentali delle funzioni.
Ricordiamo brevemente che una funzione \(f:A\to B\) si dice:
- iniettiva se elementi distinti del dominio hanno immagini distinte;
- suriettiva se ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio;
- biiettiva se è contemporaneamente iniettiva e suriettiva.
In formule:
\[ f \text{ è iniettiva} \iff f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2. \]
\[ f \text{ è suriettiva} \iff \mathrm{Im}(f)=\mathrm{Cod}(f). \]
Esercizio 1 — livello ★☆☆☆☆
Consideriamo la funzione:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \qquad f(x)=2x+1. \]
Stabilire se \(f\) è iniettiva.
Risultato
La funzione è iniettiva.
Svolgimento
Per verificare se una funzione è iniettiva, dobbiamo controllare se due elementi del dominio con la stessa immagine coincidono necessariamente.
Supponiamo quindi che:
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Poiché \(f(x)=2x+1\), otteniamo:
\[ 2x_1+1=2x_2+1. \]
Sottraiamo \(1\) da entrambi i membri:
\[ 2x_1=2x_2. \]
Dividiamo per \(2\):
\[ x_1=x_2. \]
Abbiamo dimostrato che:
\[ f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2. \]
Pertanto la funzione è iniettiva.
Esercizio 2 — livello ★☆☆☆☆
Consideriamo la funzione:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \qquad f(x)=x^2. \]
Stabilire se \(f\) è iniettiva.
Risultato
La funzione non è iniettiva.
Svolgimento
Per dimostrare che una funzione non è iniettiva, basta trovare due elementi distinti del dominio che abbiano la stessa immagine.
Consideriamo:
\[ x_1=2, \qquad x_2=-2. \]
Chiaramente:
\[ 2\ne -2. \]
Calcoliamo ora le immagini:
\[ f(2)=2^2=4. \]
Inoltre:
\[ f(-2)=(-2)^2=4. \]
Quindi:
\[ f(2)=f(-2), \]
pur essendo \(2\ne -2\).
Esistono dunque due elementi distinti del dominio con la stessa immagine.
Pertanto la funzione non è iniettiva.
Esercizio 3 — livello ★☆☆☆☆
Consideriamo la funzione:
\[ f:[0,+\infty)\to\mathbb{R}, \qquad f(x)=x^2. \]
Stabilire se \(f\) è iniettiva.
Risultato
La funzione è iniettiva.
Svolgimento
La legge della funzione è \(f(x)=x^2\), ma il dominio non è più tutto \(\mathbb{R}\). Ora il dominio è:
\[ [0,+\infty). \]
Questo dettaglio è fondamentale. Su tutto \(\mathbb{R}\), la funzione quadrato non è iniettiva; sui soli numeri non negativi, invece, lo diventa.
Supponiamo che:
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Allora:
\[ x_1^2=x_2^2. \]
Poiché \(x_1\) e \(x_2\) appartengono entrambi a \([0,+\infty)\), sono entrambi non negativi.
Due numeri non negativi che hanno lo stesso quadrato devono coincidere.
Quindi:
\[ x_1=x_2. \]
Pertanto:
\[ f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2. \]
La funzione è quindi iniettiva.
Esercizio 4 — livello ★★☆☆☆
Consideriamo la funzione:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \qquad f(x)=x^3. \]
Stabilire se \(f\) è iniettiva.
Risultato
La funzione è iniettiva.
Svolgimento
Verifichiamo l'iniettività usando la definizione.
Supponiamo che:
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Poiché \(f(x)=x^3\), otteniamo:
\[ x_1^3=x_2^3. \]
La funzione radice cubica è definita su tutto \(\mathbb{R}\). Possiamo quindi estrarre la radice cubica da entrambi i membri:
\[ \sqrt[3]{x_1^3}=\sqrt[3]{x_2^3}. \]
Di conseguenza:
\[ x_1=x_2. \]
Abbiamo dimostrato che due elementi con la stessa immagine coincidono necessariamente.
Pertanto la funzione è iniettiva.
Esercizio 5 — livello ★★☆☆☆
Consideriamo la funzione:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \qquad f(x)=x^2+1. \]
Stabilire se \(f\) è suriettiva.
Risultato
La funzione non è suriettiva.
Svolgimento
Una funzione \(f:A\to B\) è suriettiva se ogni elemento del codominio \(B\) viene effettivamente assunto dalla funzione.
In questo caso il codominio è:
\[ \mathbb{R}. \]
Studiamo i valori assunti da:
\[ f(x)=x^2+1. \]
Per ogni \(x\in\mathbb{R}\), vale:
\[ x^2\ge 0. \]
Quindi:
\[ x^2+1\ge 1. \]
La funzione assume soltanto valori maggiori o uguali a \(1\).
Per esempio, il numero \(0\) appartiene al codominio \(\mathbb{R}\), ma non viene mai assunto dalla funzione.
Infatti l'equazione:
\[ x^2+1=0 \]
equivale a:
\[ x^2=-1, \]
che non ha soluzioni reali.
Esiste quindi almeno un elemento del codominio che non è immagine di alcun elemento del dominio.
Pertanto la funzione non è suriettiva.
Esercizio 6 — livello ★★☆☆☆
Consideriamo la funzione:
\[ f:\mathbb{R}\to[1,+\infty), \qquad f(x)=x^2+1. \]
Stabilire se \(f\) è suriettiva.
Risultato
La funzione è suriettiva.
Svolgimento
La legge della funzione è la stessa dell'esercizio precedente:
\[ f(x)=x^2+1. \]
Tuttavia il codominio è cambiato. Ora abbiamo:
\[ f:\mathbb{R}\to[1,+\infty). \]
Per dimostrare la suriettività, dobbiamo mostrare che ogni elemento di \([1,+\infty)\) viene assunto dalla funzione.
Sia quindi:
\[ y\in[1,+\infty). \]
Cerchiamo \(x\in\mathbb{R}\) tale che:
\[ f(x)=y. \]
Cioè:
\[ x^2+1=y. \]
Sottraendo \(1\) da entrambi i membri:
\[ x^2=y-1. \]
Poiché \(y\ge 1\), abbiamo:
\[ y-1\ge 0. \]
Possiamo quindi scegliere:
\[ x=\sqrt{y-1}. \]
Questo valore appartiene a \(\mathbb{R}\). Inoltre:
\[ f(\sqrt{y-1})=(\sqrt{y-1})^2+1=y. \]
Abbiamo mostrato che ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio.
Pertanto la funzione è suriettiva.
Esercizio 7 — livello ★★☆☆☆
Consideriamo la funzione:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \qquad f(x)=2x-5. \]
Stabilire se \(f\) è biiettiva.
Risultato
La funzione è biiettiva.
Svolgimento
Una funzione è biiettiva se è sia iniettiva sia suriettiva.
Verifichiamo prima l'iniettività.
Supponiamo che:
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Allora:
\[ 2x_1-5=2x_2-5. \]
Sommando \(5\) a entrambi i membri:
\[ 2x_1=2x_2. \]
Dividendo per \(2\):
\[ x_1=x_2. \]
Dunque \(f\) è iniettiva.
Verifichiamo ora la suriettività.
Sia:
\[ y\in\mathbb{R}. \]
Cerchiamo \(x\in\mathbb{R}\) tale che:
\[ 2x-5=y. \]
Risolvendo:
\[ 2x=y+5, \]
quindi:
\[ x=\frac{y+5}{2}. \]
Questo valore è reale per ogni \(y\in\mathbb{R}\). Quindi ogni elemento del codominio viene assunto.
La funzione è suriettiva.
Essendo sia iniettiva sia suriettiva, la funzione è biiettiva.
Esercizio 8 — livello ★★☆☆☆
Consideriamo la funzione:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \qquad f(x)=x^2. \]
Stabilire se \(f\) è biiettiva.
Risultato
La funzione non è biiettiva.
Svolgimento
Una funzione è biiettiva se è contemporaneamente iniettiva e suriettiva.
Studiamo le due proprietà separatamente.
La funzione non è iniettiva. Infatti:
\[ f(2)=2^2=4 \]
e:
\[ f(-2)=(-2)^2=4. \]
Quindi:
\[ f(2)=f(-2), \]
pur essendo \(2\ne -2\).
Dunque \(f\) non è iniettiva.
Inoltre non è suriettiva su \(\mathbb{R}\), perché:
\[ x^2\ge 0 \qquad \forall x\in\mathbb{R}. \]
La funzione non assume mai valori negativi.
Per esempio:
\[ -1\in\mathbb{R} \]
appartiene al codominio, ma non è immagine di alcun elemento del dominio.
La funzione non è quindi suriettiva.
Poiché non è né iniettiva né suriettiva, non è biiettiva.
Esercizio 9 — livello ★★★☆☆
Consideriamo la funzione:
\[ f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, \qquad f(x)=\ln(x). \]
Stabilire se \(f\) è biiettiva.
Risultato
La funzione è biiettiva.
Svolgimento
Studiamo separatamente iniettività e suriettività.
Verifichiamo prima l'iniettività.
Supponiamo che:
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Allora:
\[ \ln(x_1)=\ln(x_2). \]
La funzione logaritmo naturale è strettamente crescente nell'intervallo:
\[ (0,+\infty). \]
Di conseguenza, due logaritmi uguali implicano necessariamente:
\[ x_1=x_2. \]
La funzione è quindi iniettiva.
Verifichiamo ora la suriettività.
Sia:
\[ y\in\mathbb{R}. \]
Cerchiamo \(x\gt0\) tale che:
\[ \ln(x)=y. \]
Esponenziando entrambi i membri:
\[ x=e^y. \]
Poiché:
\[ e^y\gt0 \]
per ogni \(y\in\mathbb{R}\), il valore trovato appartiene al dominio.
Inoltre:
\[ \ln(e^y)=y. \]
Quindi ogni elemento del codominio viene effettivamente assunto.
La funzione è suriettiva.
Essendo sia iniettiva sia suriettiva, la funzione è biiettiva.
Esercizio 10 — livello ★★★☆☆
Consideriamo la funzione:
\[ f:\mathbb{R}\to[0,+\infty), \qquad f(x)=x^2. \]
Stabilire se \(f\) è suriettiva.
Risultato
La funzione è suriettiva.
Svolgimento
Il codominio della funzione è:
\[ [0,+\infty). \]
Per verificare la suriettività, dobbiamo mostrare che ogni elemento di questo insieme viene assunto dalla funzione.
Sia quindi:
\[ y\in[0,+\infty). \]
Cerchiamo \(x\in\mathbb{R}\) tale che:
\[ x^2=y. \]
Poiché:
\[ y\ge0, \]
possiamo scegliere:
\[ x=\sqrt{y}. \]
Questo valore appartiene a \(\mathbb{R}\). Inoltre:
\[ f(\sqrt{y})=(\sqrt{y})^2=y. \]
Ogni elemento del codominio viene quindi assunto dalla funzione.
Pertanto la funzione è suriettiva.
Esercizio 11 — livello ★★★☆☆
Consideriamo la funzione:
\[ f:\mathbb{R}\setminus\{0\}\to\mathbb{R}\setminus\{0\}, \qquad f(x)=\frac{1}{x}. \]
Stabilire se \(f\) è biiettiva.
Risultato
La funzione è biiettiva.
Svolgimento
Verifichiamo innanzitutto l'iniettività.
Supponiamo che:
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Otteniamo:
\[ \frac{1}{x_1}=\frac{1}{x_2}. \]
Moltiplicando per \(x_1x_2\), che è diverso da zero, otteniamo:
\[ x_2=x_1. \]
La funzione è quindi iniettiva.
Verifichiamo ora la suriettività.
Sia:
\[ y\in\mathbb{R}\setminus\{0\}. \]
Cerchiamo \(x\ne0\) tale che:
\[ \frac{1}{x}=y. \]
Risolvendo:
\[ x=\frac{1}{y}. \]
Poiché \(y\ne0\), questo valore è ben definito e appartiene al dominio.
Inoltre:
\[ f\left(\frac{1}{y}\right)=\frac{1}{\frac{1}{y}}=y. \]
La funzione è quindi suriettiva.
Essendo sia iniettiva sia suriettiva, la funzione è biiettiva.
Esercizio 12 — livello ★★★☆☆
Consideriamo la funzione:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \qquad f(x)=|x|. \]
Stabilire se \(f\) è iniettiva.
Risultato
La funzione non è iniettiva.
Svolgimento
Per dimostrare che una funzione non è iniettiva, basta trovare due elementi distinti del dominio che abbiano la stessa immagine.
Consideriamo:
\[ x_1=3, \qquad x_2=-3. \]
Chiaramente:
\[ 3\ne -3. \]
Tuttavia:
\[ f(3)=|3|=3 \]
e:
\[ f(-3)=|-3|=3. \]
Quindi:
\[ f(3)=f(-3), \]
pur essendo:
\[ 3\ne -3. \]
La funzione non è dunque iniettiva.
Esercizio 13 — livello ★★★★☆
Consideriamo la funzione:
\[ f:[0,+\infty)\to[0,+\infty), \qquad f(x)=|x|. \]
Stabilire se \(f\) è biiettiva.
Risultato
La funzione è biiettiva.
Svolgimento
Nell'intervallo:
\[ [0,+\infty), \]
il valore assoluto coincide con la funzione identità:
\[ |x|=x. \]
La funzione diventa quindi:
\[ f(x)=x. \]
Verifichiamo l'iniettività.
Se:
\[ f(x_1)=f(x_2), \]
allora:
\[ x_1=x_2. \]
La funzione è quindi iniettiva.
Verifichiamo ora la suriettività.
Sia:
\[ y\in[0,+\infty). \]
Basta scegliere:
\[ x=y. \]
Infatti:
\[ f(y)=y. \]
Ogni elemento del codominio viene quindi assunto.
La funzione è suriettiva.
Pertanto la funzione è biiettiva.
Esercizio 14 — livello ★★★★☆
Consideriamo la funzione:
\[ f:\mathbb{R}\to[0,+\infty), \qquad f(x)=|x|. \]
Stabilire se \(f\) è suriettiva.
Risultato
La funzione è suriettiva.
Svolgimento
Per verificare la suriettività, dobbiamo controllare se ogni elemento del codominio viene assunto dalla funzione.
Il codominio è:
\[ [0,+\infty). \]
Sia dunque:
\[ y\in[0,+\infty). \]
Dobbiamo trovare almeno un \(x\in\mathbb{R}\) tale che:
\[ |x|=y. \]
Poiché \(y\ge 0\), possiamo scegliere:
\[ x=y. \]
Infatti:
\[ f(y)=|y|=y. \]
Quindi ogni elemento del codominio \([0,+\infty)\) viene effettivamente raggiunto dalla funzione.
Pertanto \(f\) è suriettiva.
Esercizio 15 — livello ★★★★☆
Consideriamo la funzione:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \qquad f(x)=x^3-1. \]
Stabilire se \(f\) è biiettiva.
Risultato
La funzione è biiettiva.
Svolgimento
Per stabilire se \(f\) è biiettiva, dobbiamo verificare che sia sia iniettiva sia suriettiva.
Studiamo prima l'iniettività.
Supponiamo che:
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Poiché \(f(x)=x^3-1\), otteniamo:
\[ x_1^3-1=x_2^3-1. \]
Sommando \(1\) a entrambi i membri:
\[ x_1^3=x_2^3. \]
Estraendo la radice cubica:
\[ x_1=x_2. \]
Quindi \(f\) è iniettiva.
Verifichiamo ora la suriettività.
Sia:
\[ y\in\mathbb{R}. \]
Cerchiamo \(x\in\mathbb{R}\) tale che:
\[ x^3-1=y. \]
Sommando \(1\) a entrambi i membri:
\[ x^3=y+1. \]
Estraendo la radice cubica:
\[ x=\sqrt[3]{y+1}. \]
Questo valore è reale per ogni \(y\in\mathbb{R}\).
Inoltre:
\[ f\left(\sqrt[3]{y+1}\right) = \left(\sqrt[3]{y+1}\right)^3-1 = y+1-1 = y. \]
Quindi ogni elemento del codominio viene assunto dalla funzione.
La funzione è suriettiva.
Essendo sia iniettiva sia suriettiva, \(f\) è biiettiva.
Esercizio 16 — livello ★★★★☆
Consideriamo la funzione:
\[ f:[0,+\infty)\to[1,+\infty), \qquad f(x)=x^2+1. \]
Stabilire se \(f\) è biiettiva.
Risultato
La funzione è biiettiva.
Svolgimento
Verifichiamo prima l'iniettività.
Supponiamo che:
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Allora:
\[ x_1^2+1=x_2^2+1. \]
Sottraendo \(1\) da entrambi i membri:
\[ x_1^2=x_2^2. \]
Poiché \(x_1,x_2\in[0,+\infty)\), entrambi sono non negativi.
Due numeri non negativi con lo stesso quadrato coincidono.
Quindi:
\[ x_1=x_2. \]
La funzione è iniettiva.
Verifichiamo ora la suriettività.
Sia:
\[ y\in[1,+\infty). \]
Cerchiamo \(x\in[0,+\infty)\) tale che:
\[ x^2+1=y. \]
Otteniamo:
\[ x^2=y-1. \]
Poiché \(y\ge 1\), abbiamo \(y-1\ge 0\). Possiamo quindi scegliere:
\[ x=\sqrt{y-1}. \]
Tale valore appartiene a \([0,+\infty)\). Inoltre:
\[ f(\sqrt{y-1}) = (\sqrt{y-1})^2+1 = y. \]
La funzione è dunque suriettiva.
Essendo sia iniettiva sia suriettiva, \(f\) è biiettiva.
Esercizio 17 — livello ★★★★☆
Consideriamo la funzione:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \qquad f(x)=x^2-4x+3. \]
Stabilire se \(f\) è iniettiva.
Risultato
La funzione non è iniettiva.
Svolgimento
Per verificare se la funzione è iniettiva, cerchiamo due elementi distinti del dominio con la stessa immagine.
Calcoliamo:
\[ f(1)=1^2-4\cdot1+3=1-4+3=0. \]
Calcoliamo anche:
\[ f(3)=3^2-4\cdot3+3=9-12+3=0. \]
Quindi:
\[ f(1)=f(3), \]
ma:
\[ 1\ne 3. \]
Abbiamo trovato due elementi distinti del dominio con la stessa immagine.
Pertanto la funzione non è iniettiva.
Osserviamo anche il motivo geometrico: completando il quadrato otteniamo:
\[ x^2-4x+3=(x-2)^2-1. \]
Il grafico è una parabola con asse di simmetria \(x=2\). Per questo motivo, su tutto \(\mathbb{R}\), la funzione assume spesso lo stesso valore in due punti distinti.
Esercizio 18 — livello ★★★★★
Consideriamo la funzione:
\[ f:[2,+\infty)\to[-1,+\infty), \qquad f(x)=x^2-4x+3. \]
Stabilire se \(f\) è biiettiva.
Risultato
La funzione è biiettiva.
Svolgimento
Riscriviamo la funzione completando il quadrato:
\[ f(x)=x^2-4x+3=(x-2)^2-1. \]
Il dominio è:
\[ [2,+\infty). \]
Su questo intervallo, \(x-2\ge 0\). La funzione:
\[ (x-2)^2-1 \]
è crescente per \(x\ge 2\).
Verifichiamo l'iniettività in modo diretto.
Supponiamo che:
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Allora:
\[ (x_1-2)^2-1=(x_2-2)^2-1. \]
Sommando \(1\) a entrambi i membri:
\[ (x_1-2)^2=(x_2-2)^2. \]
Poiché \(x_1,x_2\in[2,+\infty)\), abbiamo:
\[ x_1-2\ge 0 \qquad\text{e}\qquad x_2-2\ge 0. \]
Due numeri non negativi con lo stesso quadrato coincidono. Dunque:
\[ x_1-2=x_2-2. \]
Quindi:
\[ x_1=x_2. \]
La funzione è iniettiva.
Verifichiamo ora la suriettività.
Sia:
\[ y\in[-1,+\infty). \]
Cerchiamo \(x\in[2,+\infty)\) tale che:
\[ (x-2)^2-1=y. \]
Otteniamo:
\[ (x-2)^2=y+1. \]
Poiché \(y\ge -1\), abbiamo:
\[ y+1\ge 0. \]
Inoltre, poiché \(x\ge 2\), dobbiamo scegliere la radice non negativa:
\[ x-2=\sqrt{y+1}. \]
Da cui:
\[ x=2+\sqrt{y+1}. \]
Questo valore appartiene a \([2,+\infty)\). Infatti:
\[ 2+\sqrt{y+1}\ge 2. \]
Inoltre:
\[ f(2+\sqrt{y+1}) = (2+\sqrt{y+1}-2)^2-1 = (\sqrt{y+1})^2-1 = y. \]
Ogni elemento del codominio viene quindi raggiunto.
La funzione è suriettiva.
Essendo sia iniettiva sia suriettiva, \(f\) è biiettiva.
Esercizio 19 — livello ★★★★★
Consideriamo la funzione:
\[ f:\mathbb{R}\setminus\{1\}\to\mathbb{R}\setminus\{2\}, \qquad f(x)=\frac{2x+1}{x-1}. \]
Stabilire se \(f\) è biiettiva.
Risultato
La funzione è biiettiva.
Svolgimento
Per stabilire se \(f\) è biiettiva, dobbiamo verificare che sia sia iniettiva sia suriettiva.
Verifichiamo prima l'iniettività.
Supponiamo che:
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Allora:
\[ \frac{2x_1+1}{x_1-1} = \frac{2x_2+1}{x_2-1}. \]
Poiché \(x_1\ne1\) e \(x_2\ne1\), possiamo moltiplicare in croce:
\[ (2x_1+1)(x_2-1)=(2x_2+1)(x_1-1). \]
Sviluppiamo il primo membro:
\[ (2x_1+1)(x_2-1)=2x_1x_2-2x_1+x_2-1. \]
Sviluppiamo il secondo membro:
\[ (2x_2+1)(x_1-1)=2x_1x_2-2x_2+x_1-1. \]
Quindi:
\[ 2x_1x_2-2x_1+x_2-1 = 2x_1x_2-2x_2+x_1-1. \]
Sottraendo \(2x_1x_2\) e sommando \(1\) a entrambi i membri:
\[ -2x_1+x_2=-2x_2+x_1. \]
Portiamo i termini con \(x_1\) da una parte e quelli con \(x_2\) dall'altra:
\[ -3x_1=-3x_2. \]
Dividendo per \(-3\), otteniamo:
\[ x_1=x_2. \]
Dunque \(f\) è iniettiva.
Verifichiamo ora la suriettività.
Sia:
\[ y\in\mathbb{R}\setminus\{2\}. \]
Cerchiamo \(x\in\mathbb{R}\setminus\{1\}\) tale che:
\[ \frac{2x+1}{x-1}=y. \]
Moltiplichiamo per \(x-1\):
\[ 2x+1=y(x-1). \]
Sviluppiamo:
\[ 2x+1=yx-y. \]
Portiamo i termini contenenti \(x\) da una parte:
\[ 2x-yx=-y-1. \]
Raccogliamo \(x\):
\[ x(2-y)=-(y+1). \]
Poiché \(y\ne2\), possiamo dividere per \(2-y\):
\[ x=\frac{-(y+1)}{2-y}. \]
In modo equivalente:
\[ x=\frac{y+1}{y-2}. \]
Questo valore è reale per ogni \(y\ne2\). Inoltre dobbiamo verificare che appartenga al dominio, cioè che sia diverso da \(1\).
Se fosse:
\[ \frac{y+1}{y-2}=1, \]
allora avremmo:
\[ y+1=y-2, \]
cioè:
\[ 1=-2, \]
impossibile.
Quindi il valore trovato appartiene sempre al dominio.
Inoltre, sostituendolo nella funzione, si ottiene proprio \(y\).
Ogni elemento del codominio ha dunque almeno una preimmagine.
La funzione è suriettiva.
Essendo sia iniettiva sia suriettiva, \(f\) è biiettiva.
Esercizio 20 — livello ★★★★★
Consideriamo la funzione:
\[ f:\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\to\mathbb{R}, \qquad f(x)=\tan(x). \]
Stabilire se \(f\) è biiettiva.
Risultato
La funzione è biiettiva.
Svolgimento
Per stabilire se \(f\) è biiettiva, dobbiamo verificare che sia sia iniettiva sia suriettiva.
Studiamo prima l'iniettività.
Nell'intervallo:
\[ \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) \]
la funzione tangente è strettamente crescente.
Una funzione strettamente crescente associa immagini distinte a elementi distinti del dominio.
Quindi \(f\) è iniettiva.
Verifichiamo ora la suriettività.
Il codominio è:
\[ \mathbb{R}. \]
Dobbiamo mostrare che ogni numero reale viene assunto dalla funzione.
Sia:
\[ y\in\mathbb{R}. \]
Cerchiamo \(x\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\) tale che:
\[ \tan(x)=y. \]
La scelta naturale è:
\[ x=\arctan(y). \]
Per definizione, la funzione arcotangente assume valori nell'intervallo:
\[ \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right). \]
Quindi:
\[ \arctan(y)\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right). \]
Inoltre:
\[ \tan(\arctan(y))=y. \]
Abbiamo dunque trovato, per ogni \(y\in\mathbb{R}\), almeno un elemento del dominio che ha immagine \(y\).
La funzione è suriettiva.
Essendo sia iniettiva sia suriettiva, \(f\) è biiettiva.