In questa sezione proponiamo una raccolta di 20 esercizi svolti sulle funzioni, pensati per comprendere in modo rigoroso e graduale i concetti fondamentali legati alla definizione di funzione, al dominio, al codominio e all'immagine di una funzione.
Gli esercizi sono ordinati per difficoltà crescente e accompagnati da uno svolgimento completo passo passo, con spiegazioni dettagliate e particolare attenzione ai ragionamenti teorici fondamentali.
In particolare, impareremo a:
- riconoscere quando una corrispondenza definisce effettivamente una funzione;
- determinare il dominio di una funzione;
- distinguere correttamente codominio e immagine;
- studiare i valori effettivamente assunti da una funzione.
Prima di iniziare, consigliamo la lettura delle sezioni teoriche:
Ricordiamo che una funzione è una corrispondenza che associa a ogni elemento del dominio uno e un solo elemento del codominio.
Sarà inoltre fondamentale distinguere correttamente:
- il dominio, cioè l'insieme degli elementi per cui la funzione è definita;
- il codominio, cioè l'insieme nel quale la funzione assume valori;
- l'immagine, cioè l'insieme dei valori effettivamente assunti dalla funzione.
Esercizio 1 — livello ★☆☆☆☆
Consideriamo la funzione:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=2x-1. \]
Determinare:
- il dominio;
- il codominio;
- l'immagine della funzione.
Risultato
\[ \mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R} \]
\[ \mathrm{Cod}(f)=\mathbb{R} \]
\[ \mathrm{Im}(f)=\mathbb{R} \]
Svolgimento
La funzione assegnata è:
\[ f(x)=2x-1. \]
Si tratta di una funzione polinomiale di primo grado. Le funzioni polinomiali sono definite per ogni numero reale, poiché non compaiono denominatori, radicali o logaritmi che possano imporre limitazioni.
Di conseguenza:
\[ \mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}. \]
Dalla notazione:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \]
deduciamo che il codominio scelto è:
\[ \mathrm{Cod}(f)=\mathbb{R}. \]
Studiamo ora l'immagine della funzione.
Poniamo:
\[ y=2x-1. \]
Risolvendo rispetto a \(x\), otteniamo:
\[ x=\frac{y+1}{2}. \]
Tale valore esiste per ogni \(y\in\mathbb{R}\). Questo significa che ogni numero reale viene assunto dalla funzione.
Pertanto:
\[ \mathrm{Im}(f)=\mathbb{R}. \]
Esercizio 2 — livello ★☆☆☆☆
Consideriamo la funzione:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=x^2. \]
Determinare:
- il dominio;
- il codominio;
- l'immagine della funzione.
Risultato
\[ \mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R} \]
\[ \mathrm{Cod}(f)=\mathbb{R} \]
\[ \mathrm{Im}(f)=[0,+\infty) \]
Svolgimento
La funzione:
\[ f(x)=x^2 \]
è una funzione polinomiale, dunque è definita per ogni numero reale.
Pertanto:
\[ \mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}. \]
Dalla scrittura:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \]
deduciamo che il codominio è:
\[ \mathrm{Cod}(f)=\mathbb{R}. \]
Determiniamo ora l'immagine della funzione.
Poiché il quadrato di un numero reale è sempre non negativo, vale:
\[ x^2\ge0 \qquad \forall x\in\mathbb{R}. \]
Inoltre:
- il valore \(0\) è assunto per \(x=0\);
- ogni numero positivo \(y>0\) può essere scritto nella forma: \[ y=x^2 \] scegliendo: \[ x=\sqrt{y}. \]
La funzione assume quindi tutti e soli i valori non negativi.
Di conseguenza:
\[ \mathrm{Im}(f)=[0,+\infty). \]
Osserviamo infine che:
\[ \mathrm{Im}(f)\subsetneq\mathrm{Cod}(f), \]
poiché la funzione non assume mai valori negativi.
Esercizio 3 — livello ★☆☆☆☆
Stabilire se la seguente corrispondenza definisce una funzione:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=\pm\sqrt{x}. \]
Risultato
La corrispondenza assegnata non definisce una funzione.
Svolgimento
Per essere una funzione, una corrispondenza deve associare a ogni elemento del dominio uno e un solo elemento del codominio.
Nel nostro caso:
\[ f(x)=\pm\sqrt{x}. \]
Il simbolo \(\pm\) indica due possibili valori:
\[ +\sqrt{x} \qquad \text{e} \qquad -\sqrt{x}. \]
Per esempio, scegliendo \(x=4\), otteniamo:
\[ f(4)=\pm2. \]
Quindi allo stesso elemento \(4\) vengono associati due valori distinti:
\[ 2 \qquad \text{e} \qquad -2. \]
Questo viola la definizione di funzione, perché un elemento del dominio non può avere due immagini diverse.
Pertanto la corrispondenza assegnata non è una funzione.
Esercizio 4 — livello ★★☆☆☆
Consideriamo la funzione:
\[ f:[0,+\infty)\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=\sqrt{x}. \]
Determinare:
- il dominio;
- il codominio;
- l'immagine della funzione.
Risultato
\[ \mathrm{Dom}(f)=[0,+\infty) \]
\[ \mathrm{Cod}(f)=\mathbb{R} \]
\[ \mathrm{Im}(f)=[0,+\infty) \]
Svolgimento
La funzione assegnata è:
\[ f(x)=\sqrt{x}. \]
Affinché una radice quadrata sia definita nei numeri reali, il radicando deve essere maggiore o uguale a zero.
Dobbiamo quindi imporre:
\[ x\ge0. \]
Di conseguenza:
\[ \mathrm{Dom}(f)=[0,+\infty). \]
Dalla notazione:
\[ f:[0,+\infty)\to\mathbb{R} \]
osserviamo che il codominio scelto è:
\[ \mathrm{Cod}(f)=\mathbb{R}. \]
Determiniamo ora l'immagine della funzione.
Poiché la radice quadrata aritmetica è sempre non negativa, si ha:
\[ \sqrt{x}\ge0 \qquad \forall x\ge0. \]
Quindi la funzione assume soltanto valori non negativi.
Inoltre, ogni numero reale non negativo viene effettivamente assunto.
Infatti, dato:
\[ y\ge0, \]
basta scegliere:
\[ x=y^2. \]
Otteniamo così:
\[ f(y^2)=\sqrt{y^2}=y. \]
La funzione assume quindi tutti e soli i valori non negativi.
Pertanto:
\[ \mathrm{Im}(f)=[0,+\infty). \]
Esercizio 5 — livello ★★☆☆☆
Consideriamo la funzione:
\[ f:\mathbb{R}\setminus\{0\}\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=\frac{1}{x}. \]
Determinare:
- il dominio;
- il codominio;
- l'immagine della funzione.
Risultato
\[ \mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{0\} \]
\[ \mathrm{Cod}(f)=\mathbb{R} \]
\[ \mathrm{Im}(f)=\mathbb{R}\setminus\{0\} \]
Svolgimento
La funzione assegnata è:
\[ f(x)=\frac{1}{x}. \]
In una frazione il denominatore non può essere uguale a zero.
Dobbiamo quindi imporre:
\[ x\neq0. \]
Pertanto:
\[ \mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{0\}. \]
Dalla notazione:
\[ f:\mathbb{R}\setminus\{0\}\to\mathbb{R} \]
osserviamo che il codominio scelto è:
\[ \mathrm{Cod}(f)=\mathbb{R}. \]
Studiamo ora l'immagine.
La funzione:
\[ f(x)=\frac{1}{x} \]
non può mai assumere il valore \(0\).
Infatti, l'equazione:
\[ \frac{1}{x}=0 \]
non ha soluzioni reali, poiché una frazione con numeratore diverso da zero non può essere uguale a zero.
Mostriamo ora che ogni numero reale diverso da zero viene effettivamente assunto dalla funzione.
Sia:
\[ y\in\mathbb{R}\setminus\{0\}. \]
Cerchiamo un numero reale \(x\neq0\) tale che:
\[ \frac{1}{x}=y. \]
Risolvendo rispetto a \(x\), otteniamo:
\[ x=\frac{1}{y}. \]
Poiché \(y\neq0\), il valore:
\[ \frac{1}{y} \]
è ben definito e appartiene al dominio.
Quindi ogni numero reale diverso da zero appartiene all'immagine della funzione.
Pertanto:
\[ \mathrm{Im}(f)=\mathbb{R}\setminus\{0\}. \]
Esercizio 6 — livello ★★☆☆☆
Consideriamo la funzione:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=x^3. \]
Stabilire se la funzione è iniettiva.
Risultato
La funzione è iniettiva.
Svolgimento
Una funzione è iniettiva se elementi distinti del dominio hanno immagini distinte.
In modo equivalente, possiamo verificare che:
\[ f(x_1)=f(x_2) \implies x_1=x_2. \]
Supponiamo quindi che:
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Poiché:
\[ f(x)=x^3, \]
otteniamo:
\[ x_1^3=x_2^3. \]
Estraendo la radice cubica da entrambi i membri:
\[ x_1=x_2. \]
Abbiamo quindi dimostrato che:
\[ f(x_1)=f(x_2) \implies x_1=x_2. \]
Pertanto la funzione è iniettiva.
Esercizio 7 — livello ★★☆☆☆
Consideriamo la funzione:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=x^2. \]
Stabilire se la funzione è iniettiva.
Risultato
La funzione non è iniettiva.
Svolgimento
Per mostrare che una funzione non è iniettiva, basta trovare due elementi distinti del dominio che abbiano la stessa immagine.
Consideriamo:
\[ x_1=2 \qquad \text{e} \qquad x_2=-2. \]
Chiaramente:
\[ 2\neq-2. \]
Tuttavia:
\[ f(2)=2^2=4 \]
e:
\[ f(-2)=(-2)^2=4. \]
Quindi:
\[ f(2)=f(-2), \]
pur essendo:
\[ 2\neq-2. \]
Abbiamo trovato due valori distinti del dominio che hanno la stessa immagine.
Pertanto la funzione non è iniettiva.
Esercizio 8 — livello ★★☆☆☆
Consideriamo la funzione:
\[ f:[0,+\infty)\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=x^2. \]
Stabilire se la funzione è iniettiva.
Risultato
La funzione è iniettiva.
Svolgimento
La legge della funzione è la stessa dell'esercizio precedente:
\[ f(x)=x^2. \]
Tuttavia, il dominio è cambiato.
Ora la funzione è definita soltanto su:
\[ [0,+\infty). \]
Verifichiamo l'iniettività.
Supponiamo che:
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Otteniamo:
\[ x_1^2=x_2^2. \]
Da questa uguaglianza segue:
\[ x_1=x_2 \qquad \text{oppure} \qquad x_1=-x_2. \]
Tuttavia, \(x_1\) e \(x_2\) appartengono entrambi all'intervallo:
\[ [0,+\infty), \]
quindi sono entrambi non negativi.
Due numeri non negativi che hanno lo stesso quadrato devono necessariamente coincidere.
Di conseguenza:
\[ x_1=x_2. \]
Abbiamo dunque dimostrato che:
\[ f(x_1)=f(x_2) \implies x_1=x_2. \]
Pertanto la funzione è iniettiva.
Esercizio 9 — livello ★★☆☆☆
Consideriamo la funzione:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=x^2+1. \]
Stabilire se la funzione è suriettiva.
Risultato
La funzione non è suriettiva.
Svolgimento
Una funzione è suriettiva quando ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio.
In questo caso il codominio è:
\[ \mathbb{R}. \]
Studiamo i valori assunti dalla funzione:
\[ f(x)=x^2+1. \]
Poiché:
\[ x^2\ge0 \qquad \forall x\in\mathbb{R}, \]
allora:
\[ x^2+1\ge1. \]
Dunque la funzione assume soltanto valori maggiori o uguali a \(1\).
Per esempio, il numero \(0\) appartiene al codominio \(\mathbb{R}\), ma non viene mai assunto dalla funzione.
Infatti l'equazione:
\[ x^2+1=0 \]
equivale a:
\[ x^2=-1, \]
che non ha soluzioni reali.
Esiste quindi almeno un elemento del codominio che non è immagine di alcun elemento del dominio.
Pertanto la funzione non è suriettiva.
Esercizio 10 — livello ★★☆☆☆
Consideriamo la funzione:
\[ f:\mathbb{R}\to[1,+\infty) \qquad,\qquad f(x)=x^2+1. \]
Stabilire se la funzione è suriettiva.
Risultato
La funzione è suriettiva.
Svolgimento
La legge della funzione è:
\[ f(x)=x^2+1. \]
Rispetto all'esercizio precedente, il codominio è cambiato.
Ora infatti abbiamo:
\[ f:\mathbb{R}\to[1,+\infty). \]
Per verificare la suriettività, dobbiamo mostrare che ogni elemento del codominio \([1,+\infty)\) viene raggiunto dalla funzione.
Sia dunque:
\[ y\in[1,+\infty). \]
Cerchiamo un numero reale \(x\) tale che:
\[ f(x)=y. \]
Cioè:
\[ x^2+1=y. \]
Sottraendo \(1\) da entrambi i membri:
\[ x^2=y-1. \]
Poiché \(y\in[1,+\infty)\), abbiamo:
\[ y-1\ge0. \]
Possiamo quindi scegliere:
\[ x=\sqrt{y-1}. \]
Questo numero appartiene a \(\mathbb{R}\), cioè al dominio della funzione.
Inoltre:
\[ f(\sqrt{y-1}) = (\sqrt{y-1})^2+1 = y-1+1 = y. \]
Abbiamo dimostrato che ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio.
Pertanto la funzione è suriettiva.
Esercizio 11 — livello ★★★☆☆
Consideriamo la funzione:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=2x+3. \]
Stabilire se la funzione è biiettiva.
Risultato
La funzione è biiettiva.
Svolgimento
Una funzione è biiettiva se è sia iniettiva sia suriettiva.
Verifichiamo prima l'iniettività.
Supponiamo che:
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Allora:
\[ 2x_1+3=2x_2+3. \]
Sottraendo \(3\) da entrambi i membri:
\[ 2x_1=2x_2. \]
Dividendo per \(2\):
\[ x_1=x_2. \]
La funzione è quindi iniettiva.
Verifichiamo ora la suriettività.
Sia:
\[ y\in\mathbb{R}. \]
Cerchiamo un \(x\in\mathbb{R}\) tale che:
\[ 2x+3=y. \]
Risolvendo:
\[ x=\frac{y-3}{2}. \]
Questo valore è reale per ogni \(y\in\mathbb{R}\).
Dunque la funzione è suriettiva.
Essendo sia iniettiva sia suriettiva, la funzione è biiettiva.
Esercizio 12 — livello ★★★☆☆
Consideriamo la funzione:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=x^3. \]
Stabilire se la funzione è biiettiva.
Risultato
La funzione è biiettiva.
Svolgimento
Una funzione è biiettiva se è contemporaneamente:
- iniettiva;
- suriettiva.
Verifichiamo innanzitutto l'iniettività.
Supponiamo che:
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Otteniamo:
\[ x_1^3=x_2^3. \]
Estraendo la radice cubica da entrambi i membri:
\[ x_1=x_2. \]
La funzione è quindi iniettiva.
Verifichiamo ora la suriettività.
Sia:
\[ y\in\mathbb{R}. \]
Cerchiamo un numero reale \(x\) tale che:
\[ x^3=y. \]
Basta scegliere:
\[ x=\sqrt[3]{y}. \]
Infatti:
\[ \left(\sqrt[3]{y}\right)^3=y. \]
Ogni numero reale viene quindi assunto dalla funzione.
La funzione è suriettiva.
Essendo sia iniettiva sia suriettiva, la funzione è biiettiva.
Esercizio 13 — livello ★★★☆☆
Consideriamo la funzione:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=x^2. \]
Stabilire se la funzione è biiettiva.
Risultato
La funzione non è biiettiva.
Svolgimento
Una funzione è biiettiva se è sia iniettiva sia suriettiva.
Studiamo separatamente le due proprietà.
La funzione:
\[ f(x)=x^2 \]
non è iniettiva.
Infatti:
\[ f(2)=4 \]
e:
\[ f(-2)=4. \]
Dunque:
\[ f(2)=f(-2), \]
pur essendo:
\[ 2\neq-2. \]
La funzione non è quindi iniettiva.
Inoltre non è suriettiva su \(\mathbb{R}\).
Infatti:
\[ x^2\ge0 \qquad \forall x\in\mathbb{R}, \]
quindi la funzione non assume mai valori negativi.
Per esempio, il numero:
\[ -1\in\mathbb{R} \]
non è immagine di alcun elemento del dominio.
La funzione non è quindi suriettiva.
Poiché non è né iniettiva né suriettiva, la funzione non è biiettiva.
Esercizio 14 — livello ★★★☆☆
Consideriamo la funzione:
\[ f:(0,+\infty)\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=\ln(x). \]
Stabilire se la funzione è biiettiva.
Risultato
La funzione è biiettiva.
Svolgimento
Studiamo innanzitutto l'iniettività.
La funzione logaritmo naturale è strettamente crescente nell'intervallo:
\[ (0,+\infty). \]
Una funzione strettamente crescente associa sempre immagini distinte a elementi distinti del dominio.
La funzione è quindi iniettiva.
Verifichiamo ora la suriettività.
Sia:
\[ y\in\mathbb{R}. \]
Cerchiamo un numero reale positivo \(x\) tale che:
\[ \ln(x)=y. \]
Applicando l'esponenziale a entrambi i membri:
\[ x=e^y. \]
Poiché:
\[ e^y>0 \qquad \forall y\in\mathbb{R}, \]
il valore trovato appartiene al dominio:
\[ (0,+\infty). \]
Inoltre:
\[ \ln(e^y)=y. \]
Ogni numero reale appartiene quindi all'immagine della funzione.
La funzione è suriettiva.
Essendo sia iniettiva sia suriettiva, la funzione è biiettiva.
Esercizio 15 — livello ★★★★☆
Consideriamo la funzione:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=2x-5. \]
Determinare la funzione inversa.
Risultato
\[ f^{-1}(x)=\frac{x+5}{2}. \]
Svolgimento
Per determinare la funzione inversa, poniamo:
\[ y=2x-5. \]
L'obiettivo è esprimere \(x\) in funzione di \(y\).
Sommiamo \(5\) a entrambi i membri:
\[ y+5=2x. \]
Dividiamo ora per \(2\):
\[ x=\frac{y+5}{2}. \]
A questo punto scambiamo il ruolo delle variabili e otteniamo:
\[ f^{-1}(x)=\frac{x+5}{2}. \]
Verifichiamo il risultato calcolando \(f(f^{-1}(x))\):
\[ f\left(\frac{x+5}{2}\right) = 2\cdot\frac{x+5}{2}-5. \]
Semplificando:
\[ x+5-5=x. \]
Quindi:
\[ f(f^{-1}(x))=x. \]
La funzione inversa trovata è dunque corretta.
Esercizio 16 — livello ★★★★☆
Consideriamo la funzione:
\[ f:[0,+\infty)\to[0,+\infty) \qquad,\qquad f(x)=x^2. \]
Determinare la funzione inversa.
Risultato
\[ f^{-1}(x)=\sqrt{x}. \]
Svolgimento
La funzione:
\[ f(x)=x^2 \]
è considerata con dominio:
\[ [0,+\infty) \]
e codominio:
\[ [0,+\infty). \]
Questa scelta è fondamentale: su tutto \(\mathbb{R}\), la funzione \(x^2\) non sarebbe iniettiva; invece, su \([0,+\infty)\), diventa iniettiva.
Per determinare l'inversa, poniamo:
\[ y=x^2. \]
Risolvendo rispetto a \(x\), otteniamo formalmente:
\[ x=\pm\sqrt{y}. \]
Tuttavia, poiché il dominio della funzione originale è \([0,+\infty)\), dobbiamo scegliere soltanto il valore non negativo.
Quindi:
\[ x=\sqrt{y}. \]
Scambiando il ruolo delle variabili, otteniamo:
\[ f^{-1}(x)=\sqrt{x}. \]
Verifichiamo:
\[ f(f^{-1}(x))=f(\sqrt{x})=(\sqrt{x})^2=x, \qquad x\in[0,+\infty). \]
La funzione inversa è quindi corretta.
Esercizio 17 — livello ★★★★☆
Consideriamo la funzione:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=|x|. \]
Stabilire se la funzione è iniettiva e, in caso negativo, determinare una restrizione del dominio che la renda iniettiva.
Risultato
La funzione non è iniettiva su \(\mathbb{R}\).
Una possibile restrizione del dominio è:
\[ [0,+\infty). \]
Svolgimento
La funzione valore assoluto è:
\[ f(x)=|x|. \]
Per verificare se è iniettiva su \(\mathbb{R}\), cerchiamo due valori distinti del dominio con la stessa immagine.
Consideriamo:
\[ x_1=2 \qquad \text{e} \qquad x_2=-2. \]
Abbiamo:
\[ 2\neq-2. \]
Tuttavia:
\[ f(2)=|2|=2 \]
e:
\[ f(-2)=|-2|=2. \]
Quindi:
\[ f(2)=f(-2), \]
pur essendo \(2\neq-2\).
La funzione non è quindi iniettiva su tutto \(\mathbb{R}\).
Per renderla iniettiva possiamo restringere il dominio a:
\[ [0,+\infty). \]
Su questo intervallo, infatti, vale:
\[ |x|=x. \]
La funzione diventa quindi:
\[ f(x)=x, \]
che è chiaramente iniettiva.
Esercizio 18 — livello ★★★★☆
Consideriamo la funzione:
\[ f:\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=\tan(x). \]
Stabilire se la funzione è biiettiva.
Risultato
La funzione è biiettiva.
Svolgimento
Per stabilire se la funzione è biiettiva dobbiamo verificare che sia sia iniettiva sia suriettiva.
Studiamo prima l'iniettività.
Nell'intervallo:
\[ \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) \]
la funzione tangente è strettamente crescente.
Una funzione strettamente crescente è iniettiva, perché a valori distinti del dominio corrispondono immagini distinte.
Dunque \(f\) è iniettiva.
Verifichiamo ora la suriettività.
Il codominio della funzione è \(\mathbb{R}\). Dobbiamo quindi mostrare che ogni numero reale viene assunto dalla funzione.
È noto che:
\[ \lim_{x\to-\frac{\pi}{2}^{+}}\tan(x)=-\infty \]
e:
\[ \lim_{x\to\frac{\pi}{2}^{-}}\tan(x)=+\infty. \]
Inoltre la funzione tangente è continua nell'intervallo:
\[ \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right). \]
Quindi, mentre \(x\) percorre l'intervallo \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\), la funzione \(\tan(x)\) assume tutti i valori reali.
Di conseguenza:
\[ \mathrm{Im}(f)=\mathbb{R}. \]
Poiché l'immagine coincide con il codominio, la funzione è suriettiva.
Essendo sia iniettiva sia suriettiva, la funzione è biiettiva.
Esercizio 19 — livello ★★★★★
Consideriamo la funzione:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=x^3-1. \]
Stabilire se la funzione è invertibile e, in caso affermativo, determinarne l'inversa.
Risultato
La funzione è invertibile.
La sua inversa è:
\[ f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x+1}. \]
Svolgimento
Una funzione è invertibile se è biiettiva, cioè se è sia iniettiva sia suriettiva.
Studiamo la funzione:
\[ f(x)=x^3-1. \]
La funzione \(x^3\) è strettamente crescente su tutto \(\mathbb{R}\). Sottrarre \(1\) trasla il grafico verso il basso, ma non modifica la monotonia.
Quindi \(f(x)=x^3-1\) è strettamente crescente su \(\mathbb{R}\).
Di conseguenza è iniettiva.
Verifichiamo ora la suriettività.
Sia:
\[ y\in\mathbb{R}. \]
Cerchiamo un numero reale \(x\) tale che:
\[ x^3-1=y. \]
Sommiamo \(1\) a entrambi i membri:
\[ x^3=y+1. \]
Estraendo la radice cubica:
\[ x=\sqrt[3]{y+1}. \]
Questo valore esiste ed è reale per ogni \(y\in\mathbb{R}\).
Dunque ogni numero reale \(y\) è immagine di almeno un elemento del dominio.
La funzione è quindi suriettiva.
Essendo sia iniettiva sia suriettiva, la funzione è biiettiva e quindi invertibile.
Determiniamo ora l'inversa.
Partiamo da:
\[ y=x^3-1. \]
Risolviamo rispetto a \(x\):
\[ y+1=x^3 \]
\[ x=\sqrt[3]{y+1}. \]
Scambiando il ruolo delle variabili, otteniamo:
\[ f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x+1}. \]
Esercizio 20 — livello ★★★★★
Consideriamo la funzione:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \qquad,\qquad f(x)=x^2-4x+3. \]
Stabilire se la funzione è invertibile su \(\mathbb{R}\). In caso negativo, determinare una restrizione del dominio che la renda invertibile.
Risultato
La funzione non è invertibile su \(\mathbb{R}\).
Una possibile restrizione del dominio che la rende invertibile è:
\[ [2,+\infty). \]
Svolgimento
La funzione assegnata è:
\[ f(x)=x^2-4x+3. \]
Si tratta di una funzione quadratica. Le funzioni quadratiche, considerate su tutto \(\mathbb{R}\), non sono iniettive, perché il loro grafico è una parabola.
Verifichiamo esplicitamente che questa funzione non è iniettiva.
Calcoliamo:
\[ f(1)=1^2-4\cdot1+3=1-4+3=0. \]
Inoltre:
\[ f(3)=3^2-4\cdot3+3=9-12+3=0. \]
Quindi:
\[ f(1)=f(3), \]
ma:
\[ 1\neq3. \]
Abbiamo trovato due elementi distinti del dominio con la stessa immagine.
Pertanto la funzione non è iniettiva e quindi non è invertibile su tutto \(\mathbb{R}\).
Cerchiamo ora una restrizione del dominio che la renda invertibile.
Completiamo il quadrato:
\[ x^2-4x+3=(x-2)^2-1. \]
Da questa forma osserviamo che il vertice della parabola ha ascissa:
\[ x=2. \]
La funzione è decrescente per:
\[ x\le2 \]
ed è crescente per:
\[ x\ge2. \]
Se restringiamo il dominio a:
\[ [2,+\infty), \]
la funzione diventa strettamente crescente, quindi iniettiva.
Inoltre, su tale intervallo, l'immagine è:
\[ [-1,+\infty). \]
Dunque la funzione:
\[ f:[2,+\infty)\to[-1,+\infty) \]
definita da:
\[ f(x)=x^2-4x+3 \]
è biiettiva e quindi invertibile.