Un sistema di equazioni è un insieme di due o più equazioni che devono essere soddisfatte contemporaneamente.
Risolvere un sistema significa quindi determinare i valori delle incognite che rendono vere tutte le equazioni del sistema nello stesso istante.
I sistemi rappresentano uno degli strumenti fondamentali dell’algebra, perché permettono di modellizzare condizioni simultanee e compaiono in moltissimi contesti matematici, geometrici e applicativi.
Dal punto di vista geometrico, un sistema lineare a due incognite descrive generalmente l’intersezione di due rette nel piano cartesiano.
Indice
- Che cos’è un sistema di equazioni
- Forma generale di un sistema lineare
- Sistema determinato, impossibile e indeterminato
- Metodo di sostituzione
- Metodo di riduzione (o eliminazione)
- Algoritmo di eliminazione gaussiana
- Sistemi lineari a tre incognite
- Interpretazione geometrica
- Determinante del sistema e Teorema di Cramer
- Sistemi con parametro
- Sistemi non lineari
- Errori comuni
Che cos’è un sistema di equazioni
Consideriamo due equazioni nelle stesse incognite:
\[ \begin{cases} x+y=5\\ x-y=1 \end{cases} \]
Nessuna delle due equazioni deve essere studiata separatamente: vogliamo trovare i valori di \(x\) e \(y\) che soddisfano entrambe contemporaneamente.
In questo caso:
\[ x=3,\qquad y=2 \]
perché:
\[ 3+2=5 \]
e contemporaneamente:
\[ 3-2=1. \]
La coppia:
\[ (3,2) \]
è quindi la soluzione del sistema.
In generale, una soluzione di un sistema è una coppia, una terna oppure un insieme di valori che rende vere tutte le equazioni del sistema.
Forma generale di un sistema lineare
Un sistema lineare a due incognite ha generalmente la forma:
\[ \begin{cases} a_1x+b_1y=c_1\\ a_2x+b_2y=c_2 \end{cases} \]
dove:
- \(x\) e \(y\) sono le incognite;
- \(a_1,a_2,b_1,b_2\) sono i coefficienti;
- \(c_1,c_2\) sono i termini noti.
Si parla di sistema lineare perché le incognite compaiono solo al primo grado.
Per esempio:
\[ \begin{cases} 2x+3y=7\\ x-y=4 \end{cases} \]
è un sistema lineare.
Invece:
\[ \begin{cases} x+y=5\\ x^2+y^2=13 \end{cases} \]
non è lineare, perché compare il termine:
\[ x^2. \]
Sistema determinato, impossibile e indeterminato
Un sistema può avere:
- una sola soluzione;
- nessuna soluzione;
- infinite soluzioni.
Sistema determinato
Un sistema è determinato quando possiede una sola soluzione.
Per esempio:
\[ \begin{cases} x+y=5\\ x-y=1 \end{cases} \]
ha soluzione unica:
\[ x=3,\qquad y=2. \]
Sistema impossibile
Un sistema è impossibile quando non possiede soluzioni.
Per esempio:
\[ \begin{cases} x+y=2\\ x+y=5 \end{cases} \]
è impossibile, perché una stessa somma non può essere contemporaneamente uguale a \(2\) e a \(5\).
Sistema indeterminato
Un sistema è indeterminato quando possiede infinite soluzioni.
Per esempio:
\[ \begin{cases} x+y=4\\ 2x+2y=8 \end{cases} \]
contiene in realtà due equazioni equivalenti.
Tutte le coppie che soddisfano:
\[ x+y=4 \]
sono quindi soluzioni del sistema.
Metodo di sostituzione
Il metodo di sostituzione consiste nell’isolare una variabile in una delle equazioni e sostituirla nell’altra.
Esempio
Risolviamo:
\[ \begin{cases} x-2y=0\\ x+y=6 \end{cases} \]
Dalla prima equazione:
\[ x=2y. \]
Sostituendo nella seconda:
\[ 2y+y=6. \]
Otteniamo:
\[ 3y=6. \]
quindi:
\[ y=2. \]
Infine:
\[ x=2\cdot 2=4. \]
La soluzione del sistema è:
\[ (x,y)=(4,2). \]
Quando conviene usare questo metodo
Il metodo di sostituzione è particolarmente conveniente quando una variabile ha coefficiente \(1\) oppure \(-1\), perché può essere isolata rapidamente.
Metodo di riduzione (o eliminazione)
Il metodo di riduzione (chiamato anche metodo di eliminazione) consiste nel rendere uguali o opposti i coefficienti di una variabile tramite principi di equivalenza, in modo da eliminarla sommando o sottraendo le equazioni membro a membro.
Esempio
Risolviamo:
\[ \begin{cases} 3x+2y=12\\ 5x-2y=4 \end{cases} \]
I coefficienti di \(y\) sono già opposti:
\[ 2y \qquad \text{e} \qquad -2y. \]
Sommando membro a membro:
\[ (3x+2y)+(5x-2y)=12+4. \]
otteniamo:
\[ 8x=16. \]
Da cui:
\[ x=2. \]
Sostituendo nella prima equazione:
\[ 3\cdot 2+2y=12. \]
cioè:
\[ 6+2y=12. \]
Otteniamo:
\[ y=3. \]
Doppia moltiplicazione
Se i coefficienti non sono già opposti, si possono moltiplicare le equazioni per opportuni numeri non nulli.
Per esempio:
\[ \begin{cases} 4x+3y=17\\ 5x-2y=4 \end{cases} \]
possiamo moltiplicare:
- la prima equazione per \(2\);
- la seconda equazione per \(3\).
Otteniamo:
\[ \begin{cases} 8x+6y=34\\ 15x-6y=12 \end{cases} \]
Sommando:
\[ 23x=46. \]
quindi:
\[ x=2. \]
Algoritmo di eliminazione gaussiana
Quando i sistemi presentano tre o più incognite, l'applicazione casuale della riduzione può diventare complessa. Si utilizza allora l'algoritmo di eliminazione gaussiana, un metodo sistematico che trasforma progressivamente il sistema in uno equivalente di forma "triangolare" (a gradini), eliminando ordinatamente le variabili.
Sistemi lineari a tre incognite
Un sistema lineare a tre incognite ha generalmente la forma:
\[ \begin{cases} a_1x+b_1y+c_1z=d_1\\ a_2x+b_2y+c_2z=d_2\\ a_3x+b_3y+c_3z=d_3 \end{cases} \]
In generale, l'algoritmo prevede di combinare le equazioni a due a due per eliminare la stessa variabile e ridursi a un sistema più piccolo. Tuttavia, in casi con particolari simmetrie, i calcoli possono semplificarsi notevolmente eliminando più incognite contemporaneamente.
Esempio
Consideriamo il seguente sistema simmetrico:
\[ \begin{cases} x+y+z=6\\ x-y+z=2\\ x+y-z=0 \end{cases} \]
Sottraendo la seconda equazione dalla prima, le incognite \(x\) e \(z\) si eliminano a vicenda:
\[ (x+y+z) - (x-y+z) = 6 - 2 \implies 2y=4. \]
Quindi:
\[ y=2. \]
Allo stesso modo, sottraendo la terza equazione dalla prima:
\[ (x+y+z) - (x+y-z) = 6 - 0 \implies 2z=6. \]
Da cui:
\[ z=3. \]
Ora è sufficiente sostituire i valori trovati di \(y\) e \(z\) nella prima equazione originale per ricavare l'ultima incognita:
\[ x+2+3=6. \]
Otteniamo:
\[ x=1. \]
La soluzione del sistema è la terna ordinata:
\[ (x,y,z)=(1,2,3). \]
Interpretazione geometrica
Nei sistemi lineari a due incognite, ogni equazione di primo grado rappresenta una retta nel piano cartesiano. Risolvere il sistema significa determinare l'intersezione geometrica tra queste rette.
Rette secanti
Se le rette hanno coefficienti angolari diversi, si intersecano in un solo punto. Le coordinate del punto rappresentano l'unica soluzione comune: il sistema è quindi determinato.
Rette parallele e distinte
Se le rette hanno lo stesso coefficiente angolare ma diversa intercetta, sono parallele e non hanno punti in comune. Il sistema non ammette soluzioni ed è quindi impossibile.
Rette coincidenti
Se le equazioni sono equivalenti, le due rette giacciono l'una sull'altra, avendo infiniti punti in comune. Il sistema ammette infinite soluzioni ed è quindi indeterminato.
Determinante del sistema e Teorema di Cramer
Consideriamo un sistema lineare scritto in forma normale:
\[ \begin{cases} a_1x+b_1y=c_1\\ a_2x+b_2y=c_2 \end{cases} \]
Si definisce determinante del sistema (o determinante principale \(\Delta\)) il calcolo associato alla matrice dei coefficienti:
\[ \Delta= \begin{vmatrix} a_1 & b_1\\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} =a_1b_2-a_2b_1. \]
Per analizzare compiutamente il sistema senza procedere a tentativi, introduciamo anche i determinanti parziali \(\Delta_x\) e \(\Delta_y\), ottenuti sostituendo la colonna dei termini noti al posto dei coefficienti della variabile corrispondente:
\[ \Delta_x= \begin{vmatrix} c_1 & b_1\\ c_2 & b_2 \end{vmatrix} =c_1b_2-c_2b_1 \qquad \text{e} \qquad \Delta_y= \begin{vmatrix} a_1 & c_1\\ a_2 & c_2 \end{vmatrix} =a_1c_2-a_2c_1 \]
Il Teorema di Cramer ci permette di classificare il sistema in base ai valori di questi determinanti:
- Se \(\Delta \neq 0\): il sistema è sempre determinato e l'unica soluzione si ricava dalle formule: \[ x = \frac{\Delta_x}{\Delta}, \qquad y = \frac{\Delta_y}{\Delta} \]
- Se \(\Delta = 0\) e almeno uno tra \(\Delta_x\) e \(\Delta_y\) è diverso da zero: il sistema è impossibile (rette parallele e distinte).
- Se \(\Delta = 0\), \(\Delta_x = 0\) e \(\Delta_y = 0\): il sistema è generalmente indeterminato (rette coincidenti).
Sistemi con parametro
In alcuni sistemi compare un parametro, cioè una lettera che rappresenta un numero reale arbitrario e non specificato. Discutere un sistema letterale significa stabilire come varia la natura del sistema al variare del parametro.
Per esempio:
\[ \begin{cases} x+y=6\\ 2x+ky=12 \end{cases} \]
Isolando la \(x\) dalla prima equazione:
\[ x=6-y. \]
Sostituendo nella seconda:
\[ 2(6-y)+ky=12. \]
Sviluppando i calcoli:
\[ 12-2y+ky=12. \]
Raggruppando i termini rispetto alla incognita \(y\):
\[ (k-2)y=0. \]
A questo punto effettuiamo la discussione matematica:
- se \(k\neq 2\), il coefficiente di \(y\) è diverso da zero, quindi possiamo dividere i membri ricavando un'unica soluzione. Il sistema è determinato;
- se \(k=2\), l'equazione diventa \(0y=0\), che è sempre vera (\(0=0\)). Il sistema ammette infinite soluzioni ed è quindi indeterminato.
Sistemi non lineari
Un sistema si definisce non lineare quando almeno una delle equazioni che lo compongono non è di primo grado (ossia presenta incognite moltiplicate tra loro o elevate a potenze superiori a uno).
Per esempio:
\[ \begin{cases} x+y=5\\ x^2+y^2=13 \end{cases} \]
In questi casi il metodo di sostituzione si rivela quasi sempre l'approccio più lineare e sicuro.
Dalla prima equazione ricaviamo:
\[ y=5-x. \]
Sostituendo l'espressione nella seconda equazione di secondo grado:
\[ x^2+(5-x)^2=13. \]
Sviluppando il quadrato del binomio:
\[ x^2+25-10x+x^2=13. \]
Raccogliendo e portando in forma normale l'equazione di secondo grado ottenuta:
\[ 2x^2-10x+12=0. \]
Dividendo tutti i termini per il fattore comune \(2\):
\[ x^2-5x+6=0. \]
Fattorizzando il trinomio speciale (cercando due numeri la cui somma sia \(-5\) e il prodotto \(6\)):
\[ (x-2)(x-3)=0. \]
Per la legge di annullamento del prodotto otteniamo due valori distinti per la \(x\):
\[ x=2 \qquad \text{oppure} \qquad x=3. \]
Sostituendo ciascun valore nell'espressione \(y=5-x\), ricaviamo le rispettive ordinate. Le soluzioni distinte del sistema sono le coppie staccate:
\[ (2,3) \qquad \text{e} \qquad (3,2). \]
Errori comuni
Errori di segno
Gli errori più frequenti avvengono durante i passaggi di spostamento dei termini da un membro all'altro o nella gestione dei segni meno davanti alle parentesi nelle sostituzioni.
Eliminazione incompleta (Principio di uguaglianza)
Quando si applica il secondo principio di equivalenza per moltiplicare un'intera equazione, ci si dimentica spesso di moltiplicare anche il termine noto a destra dell'uguale.
Sostituzione errata senza parentesi
Quando si sostituisce un'espressione composta (un binomio o trinomio) al posto di una variabile, è fondamentale racchiuderla provvisoriamente tra parentesi per non sbagliare i calcoli con i coefficienti esterni.
Per esempio, se:
\[ x=2y+1, \]
l'intera espressione deve subentrare protetta in questo modo:
\[ (2y+1). \]
Mancata verifica finale
A calcoli ultimati, è sempre un'ottima abitudine eseguire una prova sostituendo i valori numerici trovati all'interno di entrambe le equazioni di partenza per verificare la correttezza dell'identità.
Sistemi impossibili o indeterminati non riconosciuti
Se durante i passaggi algebrici le variabili si annullano completamente e si giunge a un'uguaglianza palesemente falsa del tipo:
\[ 0=5, \]
il sistema non ammette soluzioni ed è impossibile.
Se invece si giunge a un'identità sempre verificata del tipo:
\[ 0=0, \]
il sistema ammette infinite soluzioni ed è indeterminato.
In conclusione, i sistemi di equazioni costituiscono uno degli strumenti fondamentali dell’algebra, perché permettono di descrivere condizioni simultanee e di interpretare geometricamente intersezioni tra rette, piani e curve. La padronanza dei metodi di sostituzione, riduzione e l'approccio sistematico di Gauss o Cramer è essenziale sia nello studio scolastico sia negli sviluppi successivi dell’algebra lineare e dell’analisi matematica.