Una raccolta progressiva di 20 esercizi svolti sulle disequazioni esponenziali, pensata per imparare a usare correttamente la monotonia di tali funzioni, riconoscere quando il verso della disequazione si conserva e quando invece si inverte.
In ogni esercizio useremo con attenzione le proprietà delle potenze, la riduzione alla stessa base e, quando necessario, il metodo di sostituzione.
Esercizio 1 — livello ★☆☆☆☆
Risolvere:
\[ 2^x>8 \]
Risultato
\[ S=(3,+\infty) \]
Svolgimento
Scriviamo \(8\) come potenza di \(2\):
\[ 8=2^3 \]
La disequazione diventa:
\[ 2^x>2^3 \]
Poiché \(2>1\), la funzione esponenziale \(2^x\) è strettamente crescente. Possiamo quindi confrontare gli esponenti mantenendo lo stesso verso:
\[ x>3 \]
Pertanto:
\[ S=(3,+\infty) \]
Esercizio 2 — livello ★☆☆☆☆
Risolvere:
\[ 3^{x-1}\le 27 \]
Risultato
\[ S=(-\infty,4] \]
Svolgimento
Scriviamo \(27\) come potenza di \(3\):
\[ 27=3^3 \]
Otteniamo:
\[ 3^{x-1}\le 3^3 \]
Poiché \(3>1\), la funzione esponenziale è crescente. Il verso della disequazione si conserva:
\[ x-1\le 3 \]
Quindi:
\[ x\le 4 \]
Pertanto:
\[ S=(-\infty,4] \]
Esercizio 3 — livello ★☆☆☆☆
Risolvere:
\[ \left(\frac12\right)^x>\frac1{16} \]
Risultato
\[ S=(-\infty,4) \]
Svolgimento
Scriviamo il secondo membro come potenza di \(\frac12\):
\[ \frac1{16}=\left(\frac12\right)^4 \]
La disequazione diventa:
\[ \left(\frac12\right)^x>\left(\frac12\right)^4 \]
Poiché:
\[ 0<\frac12<1 \]
la funzione esponenziale è strettamente decrescente. Perciò, confrontando gli esponenti, il verso della disequazione si inverte:
\[ x<4 \]
Pertanto:
\[ S=(-\infty,4) \]
Esercizio 4 — livello ★★☆☆☆
Risolvere:
\[ 5^{2x+1}\ge 5^{x-3} \]
Risultato
\[ S=[-4,+\infty) \]
Svolgimento
Le due potenze hanno la stessa base \(5\). Poiché \(5>1\), la funzione esponenziale è crescente.
Possiamo quindi confrontare gli esponenti mantenendo lo stesso verso:
\[ 2x+1\ge x-3 \]
Sottraendo \(x\) da entrambi i membri:
\[ x+1\ge -3 \]
Quindi:
\[ x\ge -4 \]
Pertanto:
\[ S=[-4,+\infty) \]
Esercizio 5 — livello ★★☆☆☆
Risolvere:
\[ \left(\frac13\right)^{x+2}\le \left(\frac13\right)^{2x-1} \]
Risultato
\[ S=(-\infty,3] \]
Svolgimento
La base è \(\frac13\), quindi:
\[ 0<\frac13<1 \]
La funzione esponenziale è decrescente. Di conseguenza, passando dagli esponenziali agli esponenti, il verso della disequazione si inverte.
Da:
\[ \left(\frac13\right)^{x+2}\le \left(\frac13\right)^{2x-1} \]
otteniamo:
\[ x+2\ge 2x-1 \]
Quindi:
\[ 3\ge x \]
cioè:
\[ x\le 3 \]
Pertanto:
\[ S=(-\infty,3] \]
Esercizio 6 — livello ★★☆☆☆
Risolvere:
\[ 4^x>2^{3x} \]
Risultato
\[ S=(-\infty,0) \]
Svolgimento
Scriviamo \(4\) come potenza di \(2\):
\[ 4=2^2 \]
Allora:
\[ 4^x=(2^2)^x=2^{2x} \]
La disequazione diventa:
\[ 2^{2x}>2^{3x} \]
Poiché \(2>1\), la funzione esponenziale \(2^x\) è strettamente crescente. Possiamo quindi confrontare gli esponenti mantenendo lo stesso verso:
\[ 2x>3x \]
Sottraendo \(3x\) da entrambi i membri:
\[ -x>0 \]
Moltiplicando per \(-1\), il verso della disequazione si inverte:
\[ x<0 \]
Pertanto:
\[ S=(-\infty,0) \]
Esercizio 7 — livello ★★☆☆☆
Risolvere:
\[ 9^x\le 3^{x+4} \]
Risultato
\[ S=(-\infty,4] \]
Svolgimento
Scriviamo \(9\) come potenza di \(3\):
\[ 9=3^2 \]
Quindi:
\[ 9^x=(3^2)^x=3^{2x} \]
La disequazione diventa:
\[ 3^{2x}\le 3^{x+4} \]
Poiché \(3>1\), confrontiamo gli esponenti mantenendo il verso:
\[ 2x\le x+4 \]
Quindi:
\[ x\le 4 \]
Pertanto:
\[ S=(-\infty,4] \]
Esercizio 8 — livello ★★☆☆☆
Risolvere:
\[ 2^{x+2}-2^x>12 \]
Risultato
\[ S=(2,+\infty) \]
Svolgimento
Riscriviamo il primo termine:
\[ 2^{x+2}=2^x\cdot 2^2=4\cdot 2^x \]
La disequazione diventa:
\[ 4\cdot 2^x-2^x>12 \]
Raccogliamo \(2^x\):
\[ 2^x(4-1)>12 \]
cioè:
\[ 3\cdot 2^x>12 \]
Dividiamo per \(3\), che è positivo:
\[ 2^x>4 \]
Poiché \(4=2^2\), otteniamo:
\[ 2^x>2^2 \]
Essendo \(2>1\), la funzione esponenziale è crescente:
\[ x>2 \]
Pertanto:
\[ S=(2,+\infty) \]
Esercizio 9 — livello ★★☆☆☆
Risolvere:
\[ 3^{x+1}+3^x\le 36 \]
Risultato
\[ S=(-\infty,2] \]
Svolgimento
Riscriviamo:
\[ 3^{x+1}=3\cdot 3^x \]
Quindi:
\[ 3^{x+1}+3^x=3\cdot 3^x+3^x=4\cdot 3^x \]
La disequazione diventa:
\[ 4\cdot 3^x\le 36 \]
Dividiamo per \(4\), che è positivo:
\[ 3^x\le 9 \]
Poiché \(9=3^2\), otteniamo:
\[ 3^x\le 3^2 \]
Essendo \(3>1\), confrontiamo gli esponenti:
\[ x\le 2 \]
Pertanto:
\[ S=(-\infty,2] \]
Esercizio 10 — livello ★★★☆☆
Risolvere:
\[ 2^{2x}-5\cdot 2^x+4\le 0 \]
Risultato
\[ S=[0,2] \]
Svolgimento
Poniamo:
\[ t=2^x \]
Poiché \(2^x>0\), abbiamo:
\[ t>0 \]
Inoltre:
\[ 2^{2x}=(2^x)^2=t^2 \]
La disequazione diventa:
\[ t^2-5t+4\le 0 \]
Scomponiamo:
\[ t^2-5t+4=(t-1)(t-4) \]
Quindi:
\[ (t-1)(t-4)\le 0 \]
Il prodotto è minore o uguale a zero tra le due radici:
\[ 1\le t\le 4 \]
Tornando a \(x\):
\[ 1\le 2^x\le 4 \]
Scriviamo:
\[ 1=2^0,\qquad 4=2^2 \]
Poiché \(2>1\), otteniamo:
\[ 0\le x\le 2 \]
Pertanto:
\[ S=[0,2] \]
Esercizio 11 — livello ★★★☆☆
Risolvere:
\[ 3^{2x}-4\cdot 3^x+3>0 \]
Risultato
\[ S=(-\infty,0)\cup(1,+\infty) \]
Svolgimento
Poniamo:
\[ t=3^x \]
Poiché \(3^x>0\), abbiamo:
\[ t>0 \]
Inoltre:
\[ 3^{2x}=(3^x)^2=t^2 \]
La disequazione diventa:
\[ t^2-4t+3>0 \]
Scomponiamo:
\[ t^2-4t+3=(t-1)(t-3) \]
Quindi:
\[ (t-1)(t-3)>0 \]
Il prodotto è positivo all’esterno delle radici:
\[ t<1 \quad \text{oppure} \quad t>3 \]
Tenendo conto che \(t>0\), la prima condizione significa:
\[ 0<t<1 \]
Tornando a \(x\):
\[ 3^x<1 \quad \text{oppure} \quad 3^x>3 \]
Scriviamo:
\[ 1=3^0,\qquad 3=3^1 \]
Poiché \(3>1\), otteniamo:
\[ x<0 \quad \text{oppure} \quad x>1 \]
Pertanto:
\[ S=(-\infty,0)\cup(1,+\infty) \]
Esercizio 12 — livello ★★★☆☆
Risolvere:
\[ 4^x-6\cdot 2^x+8\ge 0 \]
Risultato
\[ S=(-\infty,1]\cup[2,+\infty) \]
Svolgimento
Osserviamo che:
\[ 4^x=(2^2)^x=2^{2x}=(2^x)^2 \]
Poniamo:
\[ t=2^x \]
con:
\[ t>0 \]
La disequazione diventa:
\[ t^2-6t+8\ge 0 \]
Scomponiamo:
\[ t^2-6t+8=(t-2)(t-4) \]
Quindi:
\[ (t-2)(t-4)\ge 0 \]
Il prodotto è maggiore o uguale a zero all’esterno delle radici:
\[ t\le 2 \quad \text{oppure} \quad t\ge 4 \]
Tornando a \(x\):
\[ 2^x\le 2 \quad \text{oppure} \quad 2^x\ge 4 \]
Poiché:
\[ 2=2^1,\qquad 4=2^2 \]
ed essendo \(2>1\), otteniamo:
\[ x\le 1 \quad \text{oppure} \quad x\ge 2 \]
Pertanto:
\[ S=(-\infty,1]\cup[2,+\infty) \]
Esercizio 13 — livello ★★★☆☆
Risolvere:
\[ \frac{2^x-4}{2^x+1}\ge 0 \]
Risultato
\[ S=[2,+\infty) \]
Svolgimento
Poniamo:
\[ t=2^x \]
Poiché \(2^x>0\), abbiamo:
\[ t>0 \]
La disequazione diventa:
\[ \frac{t-4}{t+1}\ge 0 \]
Poiché \(t>0\), il denominatore è sempre positivo:
\[ t+1>0 \]
Quindi il segno della frazione dipende solo dal numeratore:
\[ t-4\ge 0 \]
cioè:
\[ t\ge 4 \]
Tornando a \(x\):
\[ 2^x\ge 4 \]
Poiché \(4=2^2\) e \(2>1\), otteniamo:
\[ x\ge 2 \]
Pertanto:
\[ S=[2,+\infty) \]
Esercizio 14 — livello ★★★★☆
Risolvere:
\[ \frac{3^x-9}{3^x-1}<0 \]
Risultato
\[ S=(0,2) \]
Svolgimento
Poniamo:
\[ t=3^x \]
Poiché \(3^x>0\), abbiamo:
\[ t>0 \]
La disequazione diventa:
\[ \frac{t-9}{t-1}<0 \]
I punti critici sono:
\[ t=1,\qquad t=9 \]
Il valore \(t=1\) annulla il denominatore e quindi non è ammesso. Il valore \(t=9\) annulla il numeratore.
Per \(t>0\), studiamo gli intervalli:
\[ (0,1),\qquad (1,9),\qquad (9,+\infty) \]
Lo schema dei segni è:
\[ \begin{array}{c|ccc} t & (0,1) & (1,9) & (9,+\infty)\\ \hline t-9 & - & - & +\\ t-1 & - & + & +\\ \hline \dfrac{t-9}{t-1} & + & - & + \end{array} \]
La frazione deve essere negativa, quindi:
\[ 1<t<9 \]
Tornando alla variabile \(x\):
\[ 1<3^x<9 \]
Scriviamo:
\[ 1=3^0,\qquad 9=3^2 \]
Quindi:
\[ 3^0<3^x<3^2 \]
Poiché \(3>1\), otteniamo:
\[ 0<x<2 \]
Pertanto:
\[ S=(0,2) \]
Esercizio 15 — livello ★★★★☆
Risolvere:
\[ 2^{x+1}+2^{1-x}\le 5 \]
Risultato
\[ S=[-1,1] \]
Svolgimento
Poniamo:
\[ t=2^x \]
Poiché \(2^x>0\), abbiamo:
\[ t>0 \]
Riscriviamo i due termini:
\[ 2^{x+1}=2\cdot 2^x=2t \]
Inoltre:
\[ 2^{1-x}=2\cdot 2^{-x}=\frac{2}{2^x}=\frac{2}{t} \]
La disequazione diventa:
\[ 2t+\frac{2}{t}\le 5 \]
Poiché \(t>0\), possiamo moltiplicare per \(t\) senza cambiare il verso:
\[ 2t^2+2\le 5t \]
Portiamo tutto a primo membro:
\[ 2t^2-5t+2\le 0 \]
Scomponiamo:
\[ 2t^2-5t+2=(2t-1)(t-2) \]
Quindi:
\[ (2t-1)(t-2)\le 0 \]
Il prodotto è minore o uguale a zero tra le due radici:
\[ \frac12\le t\le 2 \]
Tornando a \(x\):
\[ \frac12\le 2^x\le 2 \]
Scriviamo:
\[ \frac12=2^{-1},\qquad 2=2^1 \]
Poiché \(2>1\), otteniamo:
\[ -1\le x\le 1 \]
Pertanto:
\[ S=[-1,1] \]
Esercizio 16 — livello ★★★★☆
Risolvere:
\[ 9^x-10\cdot 3^x+9\ge 0 \]
Risultato
\[ S=(-\infty,0]\cup[2,+\infty) \]
Svolgimento
Osserviamo che:
\[ 9^x=(3^2)^x=3^{2x}=(3^x)^2 \]
Poniamo:
\[ t=3^x \]
con:
\[ t>0 \]
La disequazione diventa:
\[ t^2-10t+9\ge 0 \]
Scomponiamo:
\[ t^2-10t+9=(t-1)(t-9) \]
Quindi:
\[ (t-1)(t-9)\ge 0 \]
Il prodotto è maggiore o uguale a zero all’esterno delle radici:
\[ t\le 1 \quad \text{oppure} \quad t\ge 9 \]
Tornando a \(x\):
\[ 3^x\le 1 \quad \text{oppure} \quad 3^x\ge 9 \]
Poiché:
\[ 1=3^0,\qquad 9=3^2 \]
ed essendo \(3>1\), otteniamo:
\[ x\le 0 \quad \text{oppure} \quad x\ge 2 \]
Pertanto:
\[ S=(-\infty,0]\cup[2,+\infty) \]
Esercizio 17 — livello ★★★★☆
Risolvere:
\[ \left(\frac14\right)^x-5\left(\frac12\right)^x+4\le 0 \]
Risultato
\[ S=[-2,0] \]
Svolgimento
Scriviamo tutto in funzione di \(\left(\frac12\right)^x\).
Poiché:
\[ \frac14=\left(\frac12\right)^2 \]
abbiamo:
\[ \left(\frac14\right)^x=\left(\frac12\right)^{2x} \]
Poniamo:
\[ t=\left(\frac12\right)^x \]
con:
\[ t>0 \]
Allora:
\[ \left(\frac12\right)^{2x}=t^2 \]
La disequazione diventa:
\[ t^2-5t+4\le 0 \]
Scomponiamo:
\[ t^2-5t+4=(t-1)(t-4) \]
Quindi:
\[ (t-1)(t-4)\le 0 \]
Il prodotto è minore o uguale a zero tra le radici:
\[ 1\le t\le 4 \]
Tornando a \(x\):
\[ 1\le \left(\frac12\right)^x\le 4 \]
Scriviamo gli estremi come potenze di \(\frac12\):
\[ 1=\left(\frac12\right)^0,\qquad 4=\left(\frac12\right)^{-2} \]
Poiché la base \(\frac12\) è compresa tra \(0\) e \(1\), la funzione è decrescente. Per questo motivo l’ordine sugli esponenti si inverte.
Risolviamo separatamente:
\[ \left(\frac12\right)^x\ge 1 \]
e:
\[ \left(\frac12\right)^x\le 4 \]
Poiché:
\[ 1=\left(\frac12\right)^0,\qquad 4=\left(\frac12\right)^{-2} \]
e la funzione esponenziale con base \(\frac12\) è decrescente, otteniamo:
\[ x\le 0 \]
e:
\[ x\ge -2 \]
Intersecando:
\[ -2\le x\le 0 \]
Pertanto:
\[ S=[-2,0] \]
Esercizio 18 — livello ★★★★☆
Risolvere:
\[ \begin{cases} 2^x>4\\ 3^{x-1}\le 9 \end{cases} \]
Risultato
\[ S=(2,3] \]
Svolgimento
Risolviamo separatamente le due disequazioni.
Prima disequazione:
\[ 2^x>4 \]
Poiché \(4=2^2\), abbiamo:
\[ 2^x>2^2 \]
Essendo \(2>1\), otteniamo:
\[ x>2 \]
Seconda disequazione:
\[ 3^{x-1}\le 9 \]
Poiché \(9=3^2\), otteniamo:
\[ 3^{x-1}\le 3^2 \]
Essendo \(3>1\), confrontiamo gli esponenti:
\[ x-1\le 2 \]
Quindi:
\[ x\le 3 \]
Intersechiamo le due condizioni:
\[ x>2 \quad \text{e} \quad x\le 3 \]
Otteniamo:
\[ 2<x\le 3 \]
Pertanto:
\[ S=(2,3] \]
Esercizio 19 — livello ★★★★★
Risolvere:
\[ \frac{2^{2x}-5\cdot 2^x+4}{2^x-2}\ge 0 \]
Risultato
\[ S=[0,1)\cup[2,+\infty) \]
Svolgimento
Poniamo:
\[ t=2^x \]
Poiché \(2^x>0\), abbiamo:
\[ t>0 \]
Inoltre:
\[ 2^{2x}=(2^x)^2=t^2 \]
La disequazione diventa:
\[ \frac{t^2-5t+4}{t-2}\ge 0 \]
Scomponiamo il numeratore:
\[ t^2-5t+4=(t-1)(t-4) \]
Quindi:
\[ \frac{(t-1)(t-4)}{t-2}\ge 0 \]
I punti critici sono:
\[ t=1,\qquad t=2,\qquad t=4 \]
Il valore \(t=2\) annulla il denominatore, quindi deve essere escluso.
Studiamo il segno per \(t>0\):
\[ \begin{array}{c|cccc} t & (0,1) & (1,2) & (2,4) & (4,+\infty)\\ \hline t-1 & - & + & + & +\\ t-4 & - & - & - & +\\ t-2 & - & - & + & +\\ \hline \dfrac{(t-1)(t-4)}{t-2} & - & + & - & + \end{array} \]
Poiché vogliamo una frazione maggiore o uguale a zero, prendiamo gli intervalli in cui il segno è positivo e includiamo gli zeri del numeratore:
\[ 1\le t<2 \quad \text{oppure} \quad t\ge 4 \]
Il valore \(t=2\) resta escluso perché annulla il denominatore.
Tornando a \(x\):
\[ 1\le 2^x<2 \quad \text{oppure} \quad 2^x\ge 4 \]
Scriviamo:
\[ 1=2^0,\qquad 2=2^1,\qquad 4=2^2 \]
Poiché \(2>1\), otteniamo:
\[ 0\le x<1 \quad \text{oppure} \quad x\ge 2 \]
Pertanto:
\[ S=[0,1)\cup[2,+\infty) \]
Esercizio 20 — livello ★★★★★
Risolvere:
\[ 4^x-3\cdot 2^{x+1}+8<0 \]
Risultato
\[ S=(1,2) \]
Svolgimento
Riscriviamo tutto in funzione di \(2^x\).
Poiché:
\[ 4^x=(2^2)^x=2^{2x}=(2^x)^2 \]
e:
\[ 2^{x+1}=2\cdot 2^x \]
poniamo:
\[ t=2^x \]
con:
\[ t>0 \]
La disequazione diventa:
\[ t^2-6t+8<0 \]
cioè:
\[ t^2-6t+8<0 \]
Scomponiamo:
\[ t^2-6t+8=(t-2)(t-4) \]
Quindi:
\[ (t-2)(t-4)<0 \]
Il prodotto è negativo tra le due radici:
\[ 2<t<4 \]
Tornando a \(x\):
\[ 2<2^x<4 \]
Scriviamo:
\[ 2=2^1,\qquad 4=2^2 \]
Poiché \(2>1\), otteniamo:
\[ 1<x<2 \]
Pertanto:
\[ S=(1,2) \]