Una raccolta progressiva di 20 esercizi svolti sulle disequazioni irrazionali, pensata per imparare a risolvere correttamente disequazioni con radicali, prestando attenzione alle condizioni di esistenza, al segno dei membri e alle eventuali soluzioni non ammissibili.
In ogni esercizio non ci limiteremo a elevare al quadrato, ma giustificheremo perché tale passaggio è lecito. Questo è il punto centrale delle disequazioni irrazionali: il quadrato non è sempre una trasformazione equivalente se non si controllano prima le condizioni opportune.
Esercizio 1 — livello ★☆☆☆☆
Risolvere:
\[ \sqrt{x-2}\gt 3. \]
Risultato
\[ S=(11,+\infty). \]
Svolgimento
La radice esiste se:
\[ x-2\ge 0. \]
Quindi:
\[ x\ge 2. \]
Poiché il secondo membro è positivo, possiamo elevare al quadrato:
\[ x-2\gt 9. \]
Da cui:
\[ x\gt 11. \]
Intersecando con il dominio, otteniamo:
\[ S=(11,+\infty). \]
Esercizio 2 — livello ★☆☆☆☆
Risolvere:
\[ \sqrt{2x+1}\le 5. \]
Risultato
\[ S=\left[-\frac{1}{2},12\right]. \]
Svolgimento
La condizione di esistenza è:
\[ 2x+1\ge 0. \]
Quindi:
\[ x\ge -\frac{1}{2}. \]
Il secondo membro è positivo, quindi possiamo elevare al quadrato:
\[ 2x+1\le 25. \]
Da cui:
\[ 2x\le 24. \]
Quindi:
\[ x\le 12. \]
Intersecando le condizioni:
\[ S=\left[-\frac{1}{2},12\right]. \]
Esercizio 3 — livello ★☆☆☆☆
Risolvere:
\[ \sqrt{x+4}\lt 2. \]
Risultato
\[ S=[-4,0). \]
Svolgimento
La radice esiste se:
\[ x+4\ge 0. \]
Quindi:
\[ x\ge -4. \]
Il secondo membro è positivo, dunque possiamo elevare al quadrato:
\[ x+4\lt 4. \]
Da cui:
\[ x\lt 0. \]
Intersecando con il dominio:
\[ S=[-4,0). \]
Esercizio 4 — livello ★★☆☆☆
Risolvere:
\[ \sqrt{x+1}\ge x-1. \]
Risultato
\[ S=[-1,3]. \]
Svolgimento
La radice esiste se:
\[ x+1\ge 0. \]
Quindi:
\[ x\ge -1. \]
Il primo membro è sempre non negativo. Studiamo quindi il segno del secondo membro \(x-1\).
Primo caso: \(x-1\le 0\)
Se:
\[ x-1\le 0, \]
allora:
\[ x\le 1. \]
In questo caso il secondo membro è non positivo, mentre la radice è non negativa. La disequazione è quindi verificata per:
\[ -1\le x\le 1. \]
Secondo caso: \(x-1\gt 0\)
Se:
\[ x-1\gt 0, \]
allora:
\[ x\gt 1. \]
In questo caso entrambi i membri sono non negativi, quindi possiamo elevare al quadrato:
\[ x+1\ge (x-1)^2. \]
Sviluppiamo:
\[ x+1\ge x^2-2x+1. \]
Portiamo tutto a destra:
\[ 0\ge x^2-3x. \]
Equivalentemente:
\[ x^2-3x\le 0. \]
Scomponiamo:
\[ x^2-3x=x(x-3). \]
Risolviamo:
\[ x(x-3)\le 0. \]
Otteniamo:
\[ 0\le x\le 3. \]
Intersecando con \(x\gt 1\), si ha:
\[ 1\lt x\le 3. \]
Unendo i due casi:
\[ [-1,1]\cup(1,3]=[-1,3]. \]
Pertanto:
\[ S=[-1,3]. \]
Esercizio 5 — livello ★★☆☆☆
Risolvere:
\[ \sqrt{x-2}\lt x-4. \]
Risultato
\[ S=(6,+\infty). \]
Svolgimento
La radice esiste se:
\[ x-2\ge 0. \]
Quindi:
\[ x\ge 2. \]
Poiché il primo membro è non negativo, è necessario che:
\[ x-4\gt 0. \]
Quindi:
\[ x\gt 4. \]
Ora possiamo elevare al quadrato:
\[ x-2\lt (x-4)^2. \]
Sviluppando:
\[ x-2\lt x^2-8x+16. \]
Portiamo tutto a destra:
\[ 0\lt x^2-9x+18. \]
Scomponiamo:
\[ x^2-9x+18=(x-3)(x-6). \]
Quindi:
\[ (x-3)(x-6)\gt 0. \]
Otteniamo:
\[ x\lt 3 \quad \text{oppure} \quad x\gt 6. \]
Intersecando con \(x\gt 4\), rimane:
\[ S=(6,+\infty). \]
Esercizio 6 — livello ★★☆☆☆
Risolvere:
\[ \sqrt{2x-1}\le x+1. \]
Risultato
\[ S=\left[\frac{1}{2},+\infty\right). \]
Svolgimento
La condizione di esistenza è:
\[ 2x-1\ge 0. \]
Quindi:
\[ x\ge \frac{1}{2}. \]
Sul dominio trovato, \(x+1\gt 0\). Possiamo quindi elevare al quadrato:
\[ 2x-1\le (x+1)^2. \]
Sviluppiamo:
\[ 2x-1\le x^2+2x+1. \]
Sottraendo \(2x-1\) da entrambi i membri:
\[ 0\le x^2+2. \]
Questa disequazione è sempre vera. Rimane soltanto il dominio:
\[ S=\left[\frac{1}{2},+\infty\right). \]
Esercizio 7 — livello ★★☆☆☆
Risolvere:
\[ \sqrt{x+3}\ge 2x-1. \]
Risultato
\[ S=\left[-3,\frac{5+\sqrt{57}}{8}\right]. \]
Svolgimento
La radice esiste se:
\[ x+3\ge 0. \]
Quindi:
\[ x\ge -3. \]
Se \(2x-1\le 0\), cioè \(x\le \frac{1}{2}\), la disequazione è automaticamente verificata sul dominio:
\[ -3\le x\le \frac{1}{2}. \]
Se invece \(2x-1\gt 0\), cioè \(x\gt \frac{1}{2}\), possiamo elevare al quadrato:
\[ x+3\ge (2x-1)^2. \]
Sviluppiamo:
\[ x+3\ge 4x^2-4x+1. \]
Portando tutto a destra:
\[ 4x^2-5x-2\le 0. \]
Risolviamo l'equazione associata:
\[ 4x^2-5x-2=0. \]
Il discriminante è:
\[ \Delta=57. \]
Le radici sono:
\[ x=\frac{5-\sqrt{57}}{8} \quad \text{e} \quad x=\frac{5+\sqrt{57}}{8}. \]
Quindi:
\[ \frac{5-\sqrt{57}}{8}\le x\le \frac{5+\sqrt{57}}{8}. \]
Intersecando con \(x\gt \frac{1}{2}\), otteniamo:
\[ \frac{1}{2}\lt x\le \frac{5+\sqrt{57}}{8}. \]
Unendo i due casi:
\[ S=\left[-3,\frac{5+\sqrt{57}}{8}\right]. \]
Esercizio 8 — livello ★★☆☆☆
Risolvere:
\[ \sqrt{x+5}\gt \sqrt{2x-1}. \]
Risultato
\[ S=\left[\frac{1}{2},6\right). \]
Svolgimento
Le condizioni di esistenza sono:
\[ \begin{cases} x+5\ge 0,\\ 2x-1\ge 0. \end{cases} \]
Quindi:
\[ x\ge \frac{1}{2}. \]
Entrambi i membri sono radici, quindi possiamo elevare al quadrato:
\[ x+5\gt 2x-1. \]
Da cui:
\[ x\lt 6. \]
Intersecando con il dominio:
\[ S=\left[\frac{1}{2},6\right). \]
Esercizio 9 — livello ★★★☆☆
Risolvere:
\[ \sqrt{x^2-1}\le 2. \]
Risultato
\[ S=[-\sqrt{5},-1]\cup[1,\sqrt{5}]. \]
Svolgimento
La radice esiste se:
\[ x^2-1\ge 0. \]
Cioè:
\[ x\le -1 \quad \text{oppure} \quad x\ge 1. \]
Possiamo elevare al quadrato:
\[ x^2-1\le 4. \]
Quindi:
\[ x^2\le 5. \]
Da cui:
\[ -\sqrt{5}\le x\le \sqrt{5}. \]
Intersecando con il dominio:
\[ S=[-\sqrt{5},-1]\cup[1,\sqrt{5}]. \]
Esercizio 10 — livello ★★★☆☆
Risolvere:
\[ \sqrt{x^2-4x}\ge x-2. \]
Risultato
\[ S=(-\infty,0]. \]
Svolgimento
La radice esiste se:
\[ x^2-4x\ge 0. \]
Scomponiamo:
\[ x^2-4x=x(x-4). \]
Quindi:
\[ x\le 0 \quad \text{oppure} \quad x\ge 4. \]
Se \(x\le 0\), allora \(x-2\lt 0\), mentre la radice è non negativa. Quindi tutti questi valori sono soluzioni.
Se \(x\ge 4\), possiamo elevare al quadrato:
\[ x^2-4x\ge (x-2)^2. \]
Sviluppando:
\[ x^2-4x\ge x^2-4x+4. \]
Da cui:
\[ 0\ge 4, \]
che è falso. Pertanto:
\[ S=(-\infty,0]. \]
Esercizio 11 — livello ★★★☆☆
Risolvere:
\[ \sqrt{x^2-4x}\le x-2. \]
Risultato
\[ S=[4,+\infty). \]
Svolgimento
Dal dominio:
\[ x^2-4x\ge 0 \]
otteniamo:
\[ x\le 0 \quad \text{oppure} \quad x\ge 4. \]
Inoltre, poiché il primo membro è non negativo, è necessario che:
\[ x-2\ge 0. \]
Quindi:
\[ x\ge 2. \]
Intersecando, rimane:
\[ x\ge 4. \]
Eleviamo al quadrato:
\[ x^2-4x\le (x-2)^2. \]
Quindi:
\[ x^2-4x\le x^2-4x+4. \]
Da cui:
\[ 0\le 4. \]
Sempre vero. Pertanto:
\[ S=[4,+\infty). \]
Esercizio 12 — livello ★★★☆☆
Risolvere:
\[ \sqrt{3x+1}\gt x+1. \]
Risultato
\[ S=(0,1). \]
Svolgimento
La radice esiste se:
\[ 3x+1\ge 0. \]
Quindi:
\[ x\ge -\frac{1}{3}. \]
Sul dominio, \(x+1\gt 0\). Possiamo elevare al quadrato:
\[ 3x+1\gt (x+1)^2. \]
Sviluppiamo:
\[ 3x+1\gt x^2+2x+1. \]
Portiamo tutto a destra:
\[ x^2-x\lt 0. \]
Scomponiamo:
\[ x(x-1)\lt 0. \]
Quindi:
\[ 0\lt x\lt 1. \]
Pertanto:
\[ S=(0,1). \]
Esercizio 13 — livello ★★★★☆
Risolvere:
\[ \sqrt{x+2}+1\gt x. \]
Risultato
\[ S=\left[-2,\frac{3+\sqrt{13}}{2}\right). \]
Svolgimento
La radice esiste se:
\[ x+2\ge 0. \]
Quindi:
\[ x\ge -2. \]
Portiamo \(1\) a destra:
\[ \sqrt{x+2}\gt x-1. \]
Se \(x-1\lt 0\), cioè \(x\lt 1\), la disequazione è verificata per:
\[ -2\le x\lt 1. \]
Se \(x\ge 1\), eleviamo al quadrato:
\[ x+2\gt (x-1)^2. \]
Quindi:
\[ x+2\gt x^2-2x+1. \]
Portiamo tutto a destra:
\[ x^2-3x-1\lt 0. \]
Le radici sono:
\[ x=\frac{3-\sqrt{13}}{2} \quad \text{e} \quad x=\frac{3+\sqrt{13}}{2}. \]
Quindi:
\[ \frac{3-\sqrt{13}}{2}\lt x\lt \frac{3+\sqrt{13}}{2}. \]
Intersecando con \(x\ge 1\), otteniamo:
\[ 1\le x\lt \frac{3+\sqrt{13}}{2}. \]
Unendo i due casi:
\[ S=\left[-2,\frac{3+\sqrt{13}}{2}\right). \]
Esercizio 14 — livello ★★★★☆
Risolvere:
\[ \sqrt{x+4}+\sqrt{x-1}\gt 5. \]
Risultato
\[ S=(5,+\infty). \]
Svolgimento
Le condizioni di esistenza sono:
\[ \begin{cases} x+4\ge 0,\\ x-1\ge 0. \end{cases} \]
Quindi:
\[ x\ge 1. \]
La funzione:
\[ f(x)=\sqrt{x+4}+\sqrt{x-1} \]
è crescente nel dominio. Risolviamo l'equazione:
\[ \sqrt{x+4}+\sqrt{x-1}=5. \]
Isoliamo:
\[ \sqrt{x+4}=5-\sqrt{x-1}. \]
Elevando al quadrato:
\[ x+4=25-10\sqrt{x-1}+x-1. \]
Quindi:
\[ x+4=x+24-10\sqrt{x-1}. \]
Da cui:
\[ \sqrt{x-1}=2. \]
Quindi:
\[ x=5. \]
Poiché la funzione è crescente e la disequazione è stretta:
\[ S=(5,+\infty). \]
Esercizio 15 — livello ★★★★☆
Risolvere:
\[ \sqrt{x+4}-\sqrt{x-1}\le 1. \]
Risultato
\[ S=[5,+\infty). \]
Svolgimento
Il dominio è:
\[ x\ge 1. \]
Portiamo la seconda radice a destra:
\[ \sqrt{x+4}\le 1+\sqrt{x-1}. \]
Il secondo membro è positivo, quindi possiamo elevare al quadrato:
\[ x+4\le \left(1+\sqrt{x-1}\right)^2. \]
Sviluppiamo:
\[ x+4\le x+2\sqrt{x-1}. \]
Sottraendo \(x\):
\[ 4\le 2\sqrt{x-1}. \]
Quindi:
\[ 2\le \sqrt{x-1}. \]
Elevando al quadrato:
\[ 4\le x-1. \]
Da cui:
\[ x\ge 5. \]
Pertanto:
\[ S=[5,+\infty). \]
Esercizio 16 — livello ★★★★☆
Risolvere:
\[ \sqrt{2x+3}\ge \sqrt{x+1}+1. \]
Risultato
\[ S=\{-1\}\cup[3,+\infty). \]
Svolgimento
Il dominio è:
\[ x\ge -1. \]
Eleviamo al quadrato:
\[ 2x+3\ge \left(\sqrt{x+1}+1\right)^2. \]
Quindi:
\[ 2x+3\ge x+2+2\sqrt{x+1}. \]
Da cui:
\[ x+1\ge 2\sqrt{x+1}. \]
Poniamo:
\[ t=\sqrt{x+1}. \]
Allora \(t\ge 0\) e:
\[ t^2\ge 2t. \]
Quindi:
\[ t(t-2)\ge 0. \]
Poiché \(t\ge 0\), otteniamo:
\[ t=0 \quad \text{oppure} \quad t\ge 2. \]
Quindi:
\[ x=-1 \quad \text{oppure} \quad x\ge 3. \]
Pertanto:
\[ S=\{-1\}\cup[3,+\infty). \]
Esercizio 17 — livello ★★★★☆
Risolvere:
\[ \sqrt{x+6}\gt x. \]
Risultato
\[ S=[-6,3). \]
Svolgimento
Il dominio è:
\[ x\ge -6. \]
Se \(x\lt 0\), la disequazione è verificata:
\[ -6\le x\lt 0. \]
Se \(x\ge 0\), eleviamo al quadrato:
\[ x+6\gt x^2. \]
Quindi:
\[ x^2-x-6\lt 0. \]
Scomponiamo:
\[ x^2-x-6=(x-3)(x+2). \]
Otteniamo:
\[ -2\lt x\lt 3. \]
Intersecando con \(x\ge 0\):
\[ 0\le x\lt 3. \]
Unendo:
\[ S=[-6,3). \]
Esercizio 18 — livello ★★★★★
Risolvere:
\[ \sqrt{x+1}+\sqrt{x+4}\le 5. \]
Risultato
\[ S=\left[-1,\frac{96}{25}\right]. \]
Svolgimento
Il dominio è:
\[ x\ge -1. \]
La funzione:
\[ f(x)=\sqrt{x+1}+\sqrt{x+4} \]
è crescente nel dominio. Risolviamo:
\[ \sqrt{x+1}+\sqrt{x+4}=5. \]
Isoliamo:
\[ \sqrt{x+4}=5-\sqrt{x+1}. \]
Elevando al quadrato:
\[ x+4=25-10\sqrt{x+1}+x+1. \]
Quindi:
\[ x+4=x+26-10\sqrt{x+1}. \]
Da cui:
\[ \sqrt{x+1}=\frac{11}{5}. \]
Elevando al quadrato:
\[ x+1=\frac{121}{25}. \]
Quindi:
\[ x=\frac{96}{25}. \]
Poiché \(f\) è crescente:
\[ S=\left[-1,\frac{96}{25}\right]. \]
Esercizio 19 — livello ★★★★★
Risolvere:
\[ \sqrt{x+2}\ge x. \]
Risultato
\[ S=[-2,2]. \]
Svolgimento
Il dominio è:
\[ x\ge -2. \]
Se \(x\lt 0\), la disequazione è verificata:
\[ -2\le x\lt 0. \]
Se \(x\ge 0\), eleviamo al quadrato:
\[ x+2\ge x^2. \]
Quindi:
\[ x^2-x-2\le 0. \]
Scomponiamo:
\[ x^2-x-2=(x-2)(x+1). \]
Otteniamo:
\[ -1\le x\le 2. \]
Intersecando con \(x\ge 0\):
\[ 0\le x\le 2. \]
Unendo:
\[ S=[-2,2]. \]
Esercizio 20 — livello ★★★★★
Risolvere:
\[ \sqrt{x+3}-\sqrt{x-1}\ge 1. \]
Risultato
\[ S=\left[1,\frac{13}{4}\right]. \]
Svolgimento
Il dominio è:
\[ x\ge 1. \]
Portiamo la seconda radice a destra:
\[ \sqrt{x+3}\ge 1+\sqrt{x-1}. \]
Eleviamo al quadrato:
\[ x+3\ge \left(1+\sqrt{x-1}\right)^2. \]
Sviluppiamo:
\[ x+3\ge x+2\sqrt{x-1}. \]
Sottraendo \(x\):
\[ 3\ge 2\sqrt{x-1}. \]
Quindi:
\[ \sqrt{x-1}\le \frac{3}{2}. \]
Elevando al quadrato:
\[ x-1\le \frac{9}{4}. \]
Da cui:
\[ x\le \frac{13}{4}. \]
Intersecando con il dominio:
\[ S=\left[1,\frac{13}{4}\right]. \]