Le disequazioni irrazionali sono disequazioni nelle quali l'incognita compare sotto il segno di radice. Si tratta di un argomento fondamentale dell'algebra, perché richiede l'uso simultaneo delle proprietà delle radici, dello studio del segno e delle condizioni di esistenza.
A differenza delle disequazioni polinomiali o razionali, nelle disequazioni irrazionali non è sufficiente manipolare algebricamente l'espressione: ogni passaggio deve rispettare il dominio di definizione delle radici coinvolte.
In particolare, quando si elevano entrambi i membri al quadrato, occorre verificare con attenzione che tale trasformazione sia logicamente equivalente alla disequazione iniziale. Un uso scorretto del quadrato può infatti introdurre soluzioni non accettabili.
Studieremo:
- le condizioni di esistenza delle radici;
- il metodo generale di risoluzione;
- i casi fondamentali;
- le disequazioni con una sola radice;
- le disequazioni con più radicali;
- gli errori più comuni da evitare.
Indice
- Che cosa sono le disequazioni irrazionali
- Condizioni di esistenza
- Disequazioni del tipo \(\sqrt{A(x)}>B(x)\)
- Disequazioni del tipo \(\sqrt{A(x)}<B(x)\)
- Disequazioni con radicali in entrambi i membri
- Disequazioni con più radicali
- Metodo generale
- Errori da evitare
Che cosa sono le disequazioni irrazionali
Una disequazione irrazionale è una disequazione nella quale l'incognita compare sotto il segno di radice.
Per esempio:
\[ \sqrt{x-1}>2 \]
\[ \sqrt{2x+3}\le x \]
\[ \sqrt{x+1}>\sqrt{2x-3} \]
sono tutte disequazioni irrazionali.
L'aspetto più delicato di queste disequazioni è che le radici quadrate reali esistono solo quando il radicando è maggiore o uguale a zero.
Per questo motivo, prima di qualunque trasformazione algebrica, bisogna sempre determinare le condizioni di esistenza.
Condizioni di esistenza
Se compare una radice quadrata:
\[ \sqrt{A(x)}, \]
allora deve necessariamente valere:
\[ A(x)\ge 0. \]
Questa è la condizione fondamentale di esistenza.
Esempio
Consideriamo:
\[ \sqrt{2x-5}>1. \]
La radice esiste solo se:
\[ 2x-5\ge 0. \]
Risolvendo:
\[ 2x\ge 5 \]
otteniamo:
\[ x\ge \frac52. \]
Questo significa che qualsiasi soluzione finale dovrà appartenere all'intervallo:
\[ \left[\frac52,+\infty\right). \]
Disequazioni del tipo \(\sqrt{A(x)}>B(x)\)
Consideriamo una disequazione della forma:
\[ \sqrt{A(x)}>B(x). \]
Il metodo cambia a seconda del segno del secondo membro.
Infatti la radice quadrata è sempre non negativa:
\[ \sqrt{A(x)}\ge 0. \]
Di conseguenza:
- se \(B(x)<0\), la disequazione è automaticamente verificata ogni volta che la radice esiste;
- se \(B(x)\ge 0\), allora si può elevare al quadrato entrambi i membri.
Esempio
Risolviamo:
\[ \sqrt{x+1}>3. \]
Innanzitutto imponiamo le condizioni di esistenza:
\[ x+1\ge 0. \]
Quindi:
\[ x\ge -1. \]
Il secondo membro è positivo. Possiamo allora elevare al quadrato:
\[ x+1>9. \]
Da cui:
\[ x>8. \]
Intersecando con le condizioni di esistenza otteniamo:
\[ S=(8,+\infty). \]
Disequazioni del tipo \(\sqrt{A(x)}<B(x)\)
Consideriamo ora:
\[ \sqrt{A(x)}<B(x). \]
In questo caso occorre prestare ancora più attenzione.
Poiché la radice è sempre non negativa, affinché una quantità non negativa sia minore di \(B(x)\), è necessario che:
\[ B(x)>0. \]
Solo dopo aver imposto questa condizione si può elevare al quadrato.
Il sistema equivalente è dunque:
\[ \begin{cases} A(x)\ge 0 \\ B(x)>0 \\ A(x)<B(x)^2 \end{cases} \]
Esempio
Risolviamo:
\[ \sqrt{x-2}<x-4. \]
Impostiamo le condizioni:
\[ \begin{cases} x-2\ge 0 \\ x-4>0 \end{cases} \]
cioè:
\[ \begin{cases} x\ge 2 \\ x>4 \end{cases} \]
La seconda condizione implica già la prima, quindi basta considerare:
\[ x>4. \]
Ora possiamo elevare al quadrato:
\[ x-2<(x-4)^2. \]
Sviluppando:
\[ x-2<x^2-8x+16. \]
Portiamo tutto a destra:
\[ 0<x^2-9x+18. \]
cioè:
\[ x^2-9x+18>0. \]
Scomponiamo:
\[ x^2-9x+18=(x-3)(x-6). \]
La disequazione diventa:
\[ (x-3)(x-6)>0. \]
Dallo studio del segno otteniamo:
\[ x<3 \quad \text{oppure} \quad x>6. \]
Intersecando con la condizione \(x>4\), rimane:
\[ S=(6,+\infty). \]
Disequazioni con radicali in entrambi i membri
Consideriamo disequazioni del tipo:
\[ \sqrt{A(x)}>\sqrt{B(x)}. \]
In questo caso entrambe le radici devono esistere:
\[ \begin{cases} A(x)\ge 0 \\ B(x)\ge 0 \end{cases} \]
Una volta imposte queste condizioni, possiamo elevare al quadrato:
\[ A(x)>B(x). \]
Esempio
Risolviamo:
\[ \sqrt{x+3}>\sqrt{2x-1}. \]
Impostiamo le condizioni di esistenza:
\[ \begin{cases} x+3\ge 0 \\ 2x-1\ge 0 \end{cases} \]
cioè:
\[ \begin{cases} x\ge -3 \\ x\ge \frac12 \end{cases} \]
Quindi:
\[ x\ge \frac12. \]
Eleviamo ora al quadrato:
\[ x+3>2x-1. \]
Risolvendo:
\[ 4>x. \]
Quindi:
\[ x<4. \]
Intersecando con \(x\ge \frac12\) otteniamo:
\[ S=\left[\frac12,4\right). \]
Disequazioni con più radicali
Quando una disequazione contiene più radicali nella stessa espressione, il procedimento può richiedere più elevamenti al quadrato successivi.
In questi casi è importante:
- isolare una radice alla volta;
- imporre sempre le condizioni di esistenza;
- controllare le soluzioni finali.
Esempio
Risolviamo:
\[ \sqrt{x+5}-\sqrt{x-1}>0. \]
Impostiamo le condizioni di esistenza:
\[ \begin{cases} x+5\ge 0 \\ x-1\ge 0 \end{cases} \]
Da cui:
\[ \begin{cases} x\ge -5 \\ x\ge 1 \end{cases} \]
Quindi:
\[ x\ge 1. \]
Portiamo una radice a destra:
\[ \sqrt{x+5}>\sqrt{x-1}. \]
Entrambi i membri sono non negativi, quindi possiamo elevare al quadrato:
\[ x+5>x-1. \]
Semplificando:
\[ 5>-1. \]
Questa relazione è sempre vera.
Di conseguenza la disequazione è verificata per tutti i valori ammessi dal dominio:
\[ S=[1,+\infty). \]
Metodo generale
Per risolvere correttamente una disequazione irrazionale conviene seguire sempre lo stesso schema.
- determinare le condizioni di esistenza delle radici;
- isolare eventualmente una radice;
- studiare il segno dei membri della disequazione;
- elevare al quadrato solo quando l'equivalenza è garantita;
- risolvere la disequazione ottenuta;
- intersecare con le condizioni iniziali;
- verificare eventuali soluzioni spurie.
La verifica finale è fondamentale soprattutto nelle disequazioni ottenute dopo più elevamenti al quadrato.
Errori da evitare
Dimenticare le condizioni di esistenza
È l'errore più frequente.
Per esempio:
\[ \sqrt{x-2}>1 \]
richiede necessariamente:
\[ x-2\ge 0. \]
Ignorare questa condizione può portare a soluzioni non valide.
Elevare al quadrato senza controllare il segno
Le disequazioni:
\[ a>b \]
e
\[ a^2>b^2 \]
non sono equivalenti in generale.
L'elevamento al quadrato conserva l'equivalenza solo sotto opportune condizioni di segno.
Non verificare le soluzioni finali
Dopo aver elevato al quadrato possono comparire soluzioni spurie.
Per questo motivo bisogna sempre controllare il risultato finale nella disequazione iniziale.
Le disequazioni irrazionali richiedono un approccio rigoroso e ordinato. Ogni passaggio deve rispettare sia il dominio delle radici sia le condizioni che garantiscono l'equivalenza delle trasformazioni effettuate.
Il punto centrale non è soltanto saper elevare al quadrato, ma capire quando questo passaggio è logicamente lecito.
Una buona padronanza delle disequazioni irrazionali è indispensabile per affrontare lo studio delle funzioni, delle intersezioni tra grafici e delle disequazioni più avanzate dell'analisi matematica.