In questa raccolta proponiamo 20 esercizi svolti sulle disequazioni con valore assoluto, ordinati in modo progressivo. Ogni esercizio è risolto passo dopo passo, con particolare attenzione al significato delle equivalenze usate e alla corretta scrittura dell’insieme delle soluzioni.
Ricordiamo che, per \(k>0\), valgono le equivalenze fondamentali:
\[ |A(x)|<k \iff -k<A(x)<k \]
\[ |A(x)|\le k \iff -k\le A(x)\le k \]
\[ |A(x)|>k \iff A(x)<-k \quad \text{oppure} \quad A(x)>k \]
\[ |A(x)|\ge k \iff A(x)\le -k \quad \text{oppure} \quad A(x)\ge k \]
Esercizio 1 — livello ★☆☆☆☆
Risolvere la disequazione:
\[ |x-2|<5 \]
Risultato
\[ S=(-3,7) \]
Svolgimento
La disequazione ha la forma:
\[ |A(x)|<k \]
con:
\[ A(x)=x-2, \qquad k=5 \]
Poiché \(5>0\), possiamo trasformare la disequazione con valore assoluto nella doppia disequazione:
\[ -5<x-2<5 \]
Sommiamo \(2\) a tutti i membri:
\[ -5+2<x-2+2<5+2 \]
cioè:
\[ -3<x<7 \]
Quindi l’insieme delle soluzioni è:
\[ S=(-3,7) \]
Esercizio 2 — livello ★☆☆☆☆
Risolvere la disequazione:
\[ |x+4|\le 3 \]
Risultato
\[ S=[-7,-1] \]
Svolgimento
La disequazione ha la forma:
\[ |A(x)|\le k \]
con:
\[ A(x)=x+4, \qquad k=3 \]
Poiché \(3>0\), possiamo scrivere:
\[ -3\le x+4\le 3 \]
Sottraiamo \(4\) da tutti i membri:
\[ -3-4\le x+4-4\le 3-4 \]
Otteniamo:
\[ -7\le x\le -1 \]
Poiché la disequazione iniziale contiene il simbolo \(\le\), anche gli estremi sono inclusi.
Pertanto:
\[ S=[-7,-1] \]
Esercizio 3 — livello ★☆☆☆☆
Risolvere la disequazione:
\[ |2x-1|>7 \]
Risultato
\[ S=(-\infty,-3)\cup(4,+\infty) \]
Svolgimento
La disequazione ha la forma:
\[ |A(x)|>k \]
con:
\[ A(x)=2x-1, \qquad k=7 \]
Poiché \(7>0\), il valore assoluto è maggiore di \(7\) quando l’argomento è minore di \(-7\) oppure maggiore di \(7\). Dunque:
\[ 2x-1<-7 \quad \text{oppure} \quad 2x-1>7 \]
Risolviamo la prima disequazione:
\[ 2x-1<-7 \]
Sommiamo \(1\):
\[ 2x<-6 \]
Dividiamo per \(2\):
\[ x<-3 \]
Risolviamo ora la seconda disequazione:
\[ 2x-1>7 \]
Sommiamo \(1\):
\[ 2x>8 \]
Dividiamo per \(2\):
\[ x>4 \]
Unendo le due soluzioni, otteniamo:
\[ S=(-\infty,-3)\cup(4,+\infty) \]
Esercizio 4 — livello ★☆☆☆☆
Risolvere la disequazione:
\[ |3x+2|\ge 4 \]
Risultato
\[ S=\left(-\infty,-2\right]\cup\left[\frac{2}{3},+\infty\right) \]
Svolgimento
La disequazione ha la forma:
\[ |A(x)|\ge k \]
con:
\[ A(x)=3x+2, \qquad k=4 \]
Poiché \(4>0\), possiamo scrivere:
\[ 3x+2\le -4 \quad \text{oppure} \quad 3x+2\ge 4 \]
Risolviamo la prima disequazione:
\[ 3x+2\le -4 \]
Sottraiamo \(2\):
\[ 3x\le -6 \]
Dividiamo per \(3\):
\[ x\le -2 \]
Risolviamo la seconda disequazione:
\[ 3x+2\ge 4 \]
Sottraiamo \(2\):
\[ 3x\ge 2 \]
Dividiamo per \(3\):
\[ x\ge \frac{2}{3} \]
Poiché nella disequazione iniziale compare il simbolo \(\ge\), gli estremi trovati sono inclusi.
Quindi:
\[ S=\left(-\infty,-2\right]\cup\left[\frac{2}{3},+\infty\right) \]
Esercizio 5 — livello ★☆☆☆☆
Risolvere la disequazione:
\[ |5-x|<2 \]
Risultato
\[ S=(3,7) \]
Svolgimento
La disequazione è:
\[ |5-x|<2 \]
Poiché \(2>0\), possiamo trasformarla in:
\[ -2<5-x<2 \]
Ora dobbiamo isolare \(x\). Sottraiamo \(5\) da tutti i membri:
\[ -2-5<5-x-5<2-5 \]
cioè:
\[ -7<-x<-3 \]
Moltiplichiamo tutti i membri per \(-1\). Poiché moltiplichiamo per un numero negativo, i versi delle disequazioni cambiano:
\[ 7>x>3 \]
Scrivendo l’intervallo nel verso crescente della retta reale:
\[ 3<x<7 \]
Quindi:
\[ S=(3,7) \]
Esercizio 6 — livello ★★☆☆☆
Risolvere la disequazione:
\[ |4-2x|\le 6 \]
Risultato
\[ S=[-1,5] \]
Svolgimento
Poiché \(6>0\), trasformiamo la disequazione:
\[ -6\le 4-2x\le 6 \]
Sottraiamo \(4\) da tutti i membri:
\[ -10\le -2x\le 2 \]
Dividiamo per \(-2\). Poiché dividiamo per un numero negativo, i versi delle disequazioni cambiano:
\[ 5\ge x\ge -1 \]
Riscriviamo la doppia disequazione in ordine crescente:
\[ -1\le x\le 5 \]
Pertanto:
\[ S=[-1,5] \]
Esercizio 7 — livello ★★☆☆☆
Risolvere la disequazione:
\[ |2x+3|<|x-1| \]
Risultato
\[ S=\left(-4,-\frac{2}{3}\right) \]
Svolgimento
In questa disequazione compaiono due valori assoluti. Poiché entrambi i membri sono non negativi, possiamo elevare al quadrato senza cambiare l’insieme delle soluzioni:
\[ |2x+3|<|x-1| \iff (2x+3)^2<(x-1)^2 \]
Sviluppiamo i quadrati:
\[ 4x^2+12x+9<x^2-2x+1 \]
Portiamo tutto al primo membro:
\[ 4x^2+12x+9-x^2+2x-1<0 \]
cioè:
\[ 3x^2+14x+8<0 \]
Scomponiamo il trinomio:
\[ 3x^2+14x+8=(3x+2)(x+4) \]
La disequazione diventa:
\[ (3x+2)(x+4)<0 \]
Gli zeri dei fattori sono:
\[ 3x+2=0 \iff x=-\frac{2}{3}, \qquad x+4=0 \iff x=-4 \]
Attenzione però: la scomposizione precedente non è corretta rispetto al trinomio \(3x^2+14x+8\), perché:
\[ (3x+2)(x+4)=3x^2+14x+8 \]
quindi è corretta. Studiamo allora il segno del prodotto:
\[ (3x+2)(x+4)<0 \]
Il prodotto è negativo tra i due zeri:
\[ -4<x<-\frac{2}{3} \]
Tuttavia ricontrolliamo il passaggio iniziale con un metodo alternativo: la disequazione \(|2x+3|<|x-1|\) equivale a dire che \(2x+3\) è più vicino a \(0\) di quanto lo sia \(x-1\). Elevando al quadrato otteniamo effettivamente:
\[ (2x+3)^2<(x-1)^2 \]
Quindi la soluzione corretta è:
\[ S=\left(-4,-\frac{2}{3}\right) \]
Esercizio 8 — livello ★★☆☆☆
Risolvere la disequazione:
\[ |x-3|>0 \]
Risultato
\[ S=(-\infty,3)\cup(3,+\infty) \]
Svolgimento
Il valore assoluto di un’espressione è sempre maggiore o uguale a zero:
\[ |x-3|\ge 0 \]
La disequazione chiede però che il valore assoluto sia strettamente maggiore di zero:
\[ |x-3|>0 \]
Un valore assoluto è uguale a zero soltanto quando il suo argomento è uguale a zero:
\[ |x-3|=0 \iff x-3=0 \iff x=3 \]
Dunque la disequazione è verificata per tutti i numeri reali tranne \(x=3\).
Pertanto:
\[ S=\mathbb{R}\setminus\{3\} \]
oppure, in forma di unione di intervalli:
\[ S=(-\infty,3)\cup(3,+\infty) \]
Esercizio 9 — livello ★★☆☆☆
Risolvere la disequazione:
\[ |2x-5|\le 0 \]
Risultato
\[ S=\left\{\frac{5}{2}\right\} \]
Svolgimento
Il valore assoluto è sempre non negativo:
\[ |2x-5|\ge 0 \]
La disequazione:
\[ |2x-5|\le 0 \]
può quindi essere verificata soltanto quando il valore assoluto è uguale a zero:
\[ |2x-5|=0 \]
Un valore assoluto si annulla se e solo se si annulla il suo argomento:
\[ 2x-5=0 \]
Risolviamo:
\[ 2x=5 \]
quindi:
\[ x=\frac{5}{2} \]
Pertanto:
\[ S=\left\{\frac{5}{2}\right\} \]
Esercizio 10 — livello ★★☆☆☆
Risolvere la disequazione:
\[ |x+2|<-1 \]
Risultato
\[ S=\varnothing \]
Svolgimento
Il valore assoluto di qualunque espressione reale è sempre maggiore o uguale a zero:
\[ |x+2|\ge 0 \]
La disequazione proposta richiede invece:
\[ |x+2|<-1 \]
cioè richiede che un numero non negativo sia minore di un numero negativo. Questo è impossibile.
Quindi la disequazione non ammette soluzioni:
\[ S=\varnothing \]
Esercizio 11 — livello ★★☆☆☆
Risolvere la disequazione:
\[ |3x-6|>-2 \]
Risultato
\[ S=\mathbb{R} \]
Svolgimento
Il valore assoluto è sempre maggiore o uguale a zero:
\[ |3x-6|\ge 0 \]
La disequazione richiede:
\[ |3x-6|>-2 \]
Poiché ogni valore assoluto è non negativo, esso è certamente maggiore di \(-2\).
La disequazione è quindi verificata per ogni numero reale:
\[ S=\mathbb{R} \]
Esercizio 12 — livello ★★★☆☆
Risolvere la disequazione:
\[ |x-1|+2<5 \]
Risultato
\[ S=(-2,4) \]
Svolgimento
Prima di applicare le regole sul valore assoluto, isoliamo il modulo.
Partiamo da:
\[ |x-1|+2<5 \]
Sottraiamo \(2\) da entrambi i membri:
\[ |x-1|<3 \]
Poiché \(3>0\), possiamo scrivere:
\[ -3<x-1<3 \]
Sommiamo \(1\) a tutti i membri:
\[ -2<x<4 \]
Pertanto:
\[ S=(-2,4) \]
Esercizio 13 — livello ★★★☆☆
Risolvere la disequazione:
\[ 2|x+3|-1\ge 7 \]
Risultato
\[ S=(-\infty,-7]\cup[1,+\infty) \]
Svolgimento
Isoliamo innanzitutto il valore assoluto.
Partiamo da:
\[ 2|x+3|-1\ge 7 \]
Sommiamo \(1\) a entrambi i membri:
\[ 2|x+3|\ge 8 \]
Dividiamo per \(2\):
\[ |x+3|\ge 4 \]
Poiché \(4>0\), la disequazione equivale a:
\[ x+3\le -4 \quad \text{oppure} \quad x+3\ge 4 \]
Risolviamo la prima disequazione:
\[ x\le -7 \]
Risolviamo la seconda:
\[ x\ge 1 \]
Quindi:
\[ S=(-\infty,-7]\cup[1,+\infty) \]
Esercizio 14 — livello ★★★☆☆
Risolvere la disequazione:
\[ 3-2|x-4|>1 \]
Risultato
\[ S=(3,5) \]
Svolgimento
In questo esercizio il valore assoluto è moltiplicato per un numero negativo. Procediamo con attenzione.
Partiamo da:
\[ 3-2|x-4|>1 \]
Sottraiamo \(3\) da entrambi i membri:
\[ -2|x-4|>-2 \]
Dividiamo per \(-2\). Poiché dividiamo per un numero negativo, il verso della disequazione cambia:
\[ |x-4|<1 \]
Poiché \(1>0\), possiamo scrivere:
\[ -1<x-4<1 \]
Sommiamo \(4\) a tutti i membri:
\[ 3<x<5 \]
Pertanto:
\[ S=(3,5) \]
Esercizio 15 — livello ★★★☆☆
Risolvere la disequazione:
\[ |x^2-4|\le 5 \]
Risultato
\[ S=[-3,3] \]
Svolgimento
La disequazione ha la forma:
\[ |A(x)|\le k \]
con:
\[ A(x)=x^2-4, \qquad k=5 \]
Poiché \(5>0\), possiamo trasformarla nella doppia disequazione:
\[ -5\le x^2-4\le 5 \]
Sommiamo \(4\) a tutti i membri:
\[ -1\le x^2\le 9 \]
Ora osserviamo che \(x^2\ge 0\) per ogni \(x\in\mathbb{R}\). Perciò la condizione:
\[ -1\le x^2 \]
è sempre verificata.
Rimane quindi da imporre:
\[ x^2\le 9 \]
Questa disequazione equivale a:
\[ -3\le x\le 3 \]
Pertanto:
\[ S=[-3,3] \]
Esercizio 16 — livello ★★★☆☆
Risolvere la disequazione:
\[ |x^2-1|>3 \]
Risultato
\[ S=(-\infty,-2)\cup(2,+\infty) \]
Svolgimento
La disequazione ha la forma:
\[ |A(x)|>k \]
con:
\[ A(x)=x^2-1, \qquad k=3 \]
Poiché \(3>0\), dobbiamo risolvere l’unione di due disequazioni:
\[ x^2-1<-3 \quad \text{oppure} \quad x^2-1>3 \]
Consideriamo la prima:
\[ x^2-1<-3 \]
Sommiamo \(1\):
\[ x^2<-2 \]
Questa disequazione non ha soluzioni reali, perché il quadrato di un numero reale è sempre maggiore o uguale a zero.
Consideriamo ora la seconda:
\[ x^2-1>3 \]
Sommiamo \(1\):
\[ x^2>4 \]
La disequazione \(x^2>4\) è verificata quando \(x\) è esterno all’intervallo compreso tra \(-2\) e \(2\):
\[ x<-2 \quad \text{oppure} \quad x>2 \]
Quindi:
\[ S=(-\infty,-2)\cup(2,+\infty) \]
Esercizio 17 — livello ★★★★☆
Risolvere la disequazione:
\[ |x-1|+|x+2|\le 5 \]
Risultato
\[ S=[-3,2] \]
Svolgimento
In questa disequazione compaiono due valori assoluti. Utilizziamo quindi il metodo della definizione, dividendo la retta reale negli intervalli determinati dagli zeri degli argomenti dei moduli.
Gli argomenti dei valori assoluti sono:
\[ x-1, \qquad x+2 \]
Troviamo i punti in cui essi si annullano:
\[ x-1=0 \iff x=1 \]
\[ x+2=0 \iff x=-2 \]
I punti critici sono quindi:
\[ -2, \qquad 1 \]
Essi dividono la retta reale nei tre intervalli:
\[ (-\infty,-2), \qquad [-2,1), \qquad [1,+\infty) \]
Primo caso: \(x<-2\)
Se \(x<-2\), allora:
\[ x-1<0, \qquad x+2<0 \]
Quindi:
\[ |x-1|=-(x-1)=-x+1 \]
\[ |x+2|=-(x+2)=-x-2 \]
La disequazione diventa:
\[ -x+1-x-2\le 5 \]
cioè:
\[ -2x-1\le 5 \]
Sommiamo \(1\):
\[ -2x\le 6 \]
Dividiamo per \(-2\), ricordando che il verso della disequazione cambia:
\[ x\ge -3 \]
Intersecando con la condizione iniziale \(x<-2\), otteniamo:
\[ -3\le x<-2 \]
Secondo caso: \(-2\le x<1\)
Se \(-2\le x<1\), allora:
\[ x-1<0, \qquad x+2\ge 0 \]
Quindi:
\[ |x-1|=-(x-1)=-x+1 \]
\[ |x+2|=x+2 \]
La disequazione diventa:
\[ -x+1+x+2\le 5 \]
cioè:
\[ 3\le 5 \]
Questa disuguaglianza è sempre vera, quindi tutto l’intervallo considerato è soluzione:
\[ -2\le x<1 \]
Terzo caso: \(x\ge 1\)
Se \(x\ge 1\), allora:
\[ x-1\ge 0, \qquad x+2>0 \]
Quindi:
\[ |x-1|=x-1 \]
\[ |x+2|=x+2 \]
La disequazione diventa:
\[ x-1+x+2\le 5 \]
cioè:
\[ 2x+1\le 5 \]
Sottraiamo \(1\):
\[ 2x\le 4 \]
Dividiamo per \(2\):
\[ x\le 2 \]
Intersecando con la condizione iniziale \(x\ge 1\), otteniamo:
\[ 1\le x\le 2 \]
Unendo le soluzioni ottenute nei tre casi:
\[ S= [-3,-2) \cup [-2,1) \cup [1,2] \]
Poiché gli intervalli sono consecutivi, possiamo scrivere più semplicemente:
\[ S=[-3,2] \]
Esercizio 18 — livello ★★★★☆
Risolvere la disequazione:
\[ |x+1|-|x-3|>2 \]
Risultato
\[ S=(2,+\infty) \]
Svolgimento
Gli argomenti dei valori assoluti sono:
\[ x+1, \qquad x-3 \]
Troviamo gli zeri:
\[ x+1=0 \iff x=-1, \qquad x-3=0 \iff x=3 \]
I punti critici sono:
\[ -1, \qquad 3 \]
Essi dividono la retta reale nei tre intervalli:
\[ (-\infty,-1), \qquad [-1,3), \qquad [3,+\infty) \]
Primo caso: \(x<-1\)
Se \(x<-1\), allora:
\[ x+1<0, \qquad x-3<0 \]
Quindi:
\[ |x+1|=-x-1, \qquad |x-3|=-x+3 \]
La disequazione diventa:
\[ (-x-1)-(-x+3)>2 \]
cioè:
\[ -x-1+x-3>2 \]
quindi:
\[ -4>2 \]
Questa disuguaglianza è falsa, dunque nel primo intervallo non ci sono soluzioni.
Secondo caso: \(-1\le x<3\)
Se \(-1\le x<3\), allora:
\[ x+1\ge 0, \qquad x-3<0 \]
Quindi:
\[ |x+1|=x+1, \qquad |x-3|=-x+3 \]
La disequazione diventa:
\[ x+1-(-x+3)>2 \]
cioè:
\[ x+1+x-3>2 \]
quindi:
\[ 2x-2>2 \]
Sommiamo \(2\):
\[ 2x>4 \]
Dividiamo per \(2\):
\[ x>2 \]
Intersecando con l’intervallo \(-1\le x<3\), otteniamo:
\[ 2<x<3 \]
Terzo caso: \(x\ge 3\)
Se \(x\ge 3\), allora:
\[ x+1>0, \qquad x-3\ge 0 \]
Quindi:
\[ |x+1|=x+1, \qquad |x-3|=x-3 \]
La disequazione diventa:
\[ x+1-(x-3)>2 \]
cioè:
\[ 4>2 \]
Questa disuguaglianza è sempre vera, quindi tutto l’intervallo considerato è soluzione:
\[ x\ge 3 \]
Unendo i risultati:
\[ S=(2,3)\cup[3,+\infty) \]
quindi:
\[ S=(2,+\infty) \]
Esercizio 19 — livello ★★★★☆
Risolvere la disequazione:
\[ |2x-1|+|x+2|<6 \]
Risultato
\[ S=\left(-\frac{7}{3},\frac{5}{3}\right) \]
Svolgimento
Gli argomenti dei due valori assoluti sono:
\[ 2x-1, \qquad x+2 \]
Troviamo gli zeri:
\[ 2x-1=0 \iff x=\frac{1}{2}, \qquad x+2=0 \iff x=-2 \]
I punti critici, ordinati sulla retta reale, sono:
\[ -2, \qquad \frac{1}{2} \]
Studiamo quindi i tre intervalli:
\[ (-\infty,-2), \qquad \left[-2,\frac{1}{2}\right), \qquad \left[\frac{1}{2},+\infty\right) \]
Primo caso: \(x<-2\)
Se \(x<-2\), allora:
\[ 2x-1<0, \qquad x+2<0 \]
Quindi:
\[ |2x-1|=-(2x-1)=-2x+1, \qquad |x+2|=-(x+2)=-x-2 \]
La disequazione diventa:
\[ -2x+1-x-2<6 \]
cioè:
\[ -3x-1<6 \]
Sommiamo \(1\):
\[ -3x<7 \]
Dividiamo per \(-3\), cambiando il verso:
\[ x>-\frac{7}{3} \]
Intersecando con \(x<-2\), otteniamo:
\[ -\frac{7}{3}<x<-2 \]
Secondo caso: \(-2\le x<\frac{1}{2}\)
Se \(-2\le x<\frac{1}{2}\), allora:
\[ 2x-1<0, \qquad x+2\ge 0 \]
Quindi:
\[ |2x-1|=-2x+1, \qquad |x+2|=x+2 \]
La disequazione diventa:
\[ -2x+1+x+2<6 \]
cioè:
\[ -x+3<6 \]
Sottraiamo \(3\):
\[ -x<3 \]
Moltiplichiamo per \(-1\), cambiando verso:
\[ x>-3 \]
Intersecando con \(-2\le x<\frac{1}{2}\), tutto l’intervallo risulta soluzione:
\[ -2\le x<\frac{1}{2} \]
Terzo caso: \(x\ge \frac{1}{2}\)
Se \(x\ge \frac{1}{2}\), allora:
\[ 2x-1\ge 0, \qquad x+2>0 \]
Quindi:
\[ |2x-1|=2x-1, \qquad |x+2|=x+2 \]
La disequazione diventa:
\[ 2x-1+x+2<6 \]
cioè:
\[ 3x+1<6 \]
Sottraiamo \(1\):
\[ 3x<5 \]
Dividiamo per \(3\):
\[ x<\frac{5}{3} \]
Intersecando con \(x\ge \frac{1}{2}\), otteniamo:
\[ \frac{1}{2}\le x<\frac{5}{3} \]
Unendo le soluzioni parziali:
\[ S= \left(-\frac{7}{3},-2\right) \cup \left[-2,\frac{1}{2}\right) \cup \left[\frac{1}{2},\frac{5}{3}\right) \]
Poiché gli intervalli sono consecutivi, otteniamo:
\[ S=\left(-\frac{7}{3},\frac{5}{3}\right) \]
Esercizio 20 — livello ★★★★★
Risolvere la disequazione:
\[ |x-2|\ge 2|x+1| \]
Risultato
\[ S=[-4,0] \]
Svolgimento
Entrambi i membri della disequazione sono non negativi. Possiamo quindi elevare al quadrato i due membri senza cambiare l’insieme delle soluzioni.
Partiamo da:
\[ |x-2|\ge 2|x+1| \]
Elevando al quadrato:
\[ (x-2)^2\ge \left(2|x+1|\right)^2 \]
Poiché:
\[ \left(2|x+1|\right)^2=4(x+1)^2 \]
otteniamo:
\[ (x-2)^2\ge 4(x+1)^2 \]
Sviluppiamo i quadrati:
\[ x^2-4x+4\ge 4(x^2+2x+1) \]
cioè:
\[ x^2-4x+4\ge 4x^2+8x+4 \]
Portiamo tutto al secondo membro, oppure equivalentemente al primo. Sottraendo \(x^2-4x+4\) da entrambi i membri otteniamo:
\[ 0\ge 3x^2+12x \]
cioè:
\[ 3x^2+12x\le 0 \]
Raccogliamo \(3x\):
\[ 3x(x+4)\le 0 \]
Poiché \(3>0\), il segno dipende dal prodotto:
\[ x(x+4)\le 0 \]
Gli zeri sono:
\[ x=0, \qquad x=-4 \]
Il prodotto \(x(x+4)\) è minore o uguale a zero tra i due zeri, estremi inclusi:
\[ -4\le x\le 0 \]
Pertanto:
\[ S=[-4,0] \]