Le disequazioni con valore assoluto sono disequazioni in cui l’incognita compare all’interno di uno o più valori assoluti. Per risolverle correttamente non basta applicare regole meccaniche: è necessario comprendere il significato del valore assoluto e trasformare ogni disequazione in una forma equivalente senza modulo.
Ricordiamo innanzitutto la definizione di valore assoluto:
\[ |x|= \begin{cases} x, & \text{se } x\ge 0,\\ -x, & \text{se } x<0. \end{cases} \]
Questa definizione dice che il valore assoluto di un numero reale è sempre non negativo:
\[ |x|\ge 0 \qquad \text{per ogni } x\in\mathbb{R}. \]
Inoltre:
\[ |x|=0 \iff x=0. \]
Indice
- Significato geometrico del valore assoluto
- Disequazioni del tipo \(|A(x)|<k\)
- Disequazioni del tipo \(|A(x)|\le k\)
- Disequazioni del tipo \(|A(x)|>k\)
- Disequazioni del tipo \(|A(x)|\ge k\)
- Cosa succede se il secondo membro è negativo
- Metodo della definizione
- Disequazioni con più valori assoluti
- Esempi svolti
Significato geometrico del valore assoluto
Il valore assoluto ha un significato geometrico fondamentale: rappresenta una distanza sulla retta reale.
In particolare, \(|x|\) rappresenta la distanza del punto \(x\) dall’origine:
\[ |x|=d(x,0). \]
Più in generale, l’espressione:
\[ |x-a| \]
rappresenta la distanza tra \(x\) e \(a\):
\[ |x-a|=d(x,a). \]
Per esempio, la disequazione:
\[ |x-3|<2 \]
significa che la distanza tra \(x\) e \(3\) deve essere minore di \(2\). Quindi \(x\) deve trovarsi tra \(3-2\) e \(3+2\), cioè:
\[ 1<x<5 \]
Questa interpretazione è molto utile, perché permette di capire subito la differenza tra disequazioni del tipo “minore di” e disequazioni del tipo “maggiore di”.
Disequazioni del tipo \(|A(x)|<k\)
Consideriamo una disequazione della forma:
\[ |A(x)|<k \]
Supponiamo inizialmente che:
\[ k>0 \]
Dire che \(|A(x)|<k\) significa dire che \(A(x)\) deve trovarsi a distanza minore di \(k\) da \(0\). Dunque \(A(x)\) deve essere compreso tra \(-k\) e \(k\):
\[ |A(x)|<k \iff -k<A(x)<k \]
Quindi una disequazione con valore assoluto minore di un numero positivo diventa una doppia disequazione.
Esempio. Risolviamo:
\[ |2x-3|<5 \]
Poiché il secondo membro è positivo, possiamo scrivere:
\[ -5<2x-3<5 \]
Sommiamo \(3\) a tutti i membri:
\[ -2<2x<8 \]
Dividiamo per \(2\):
\[ -1<x<4 \]
Pertanto l’insieme delle soluzioni è:
\[ S=(-1,4) \]
Disequazioni del tipo \(|A(x)|\le k\)
Se il simbolo è \(\le\), il ragionamento è lo stesso. Per \(k>0\), si ha:
\[ |A(x)|\le k \iff -k\le A(x)\le k. \]
In questo caso gli estremi sono compresi, perché la disequazione ammette anche il caso in cui il valore assoluto sia esattamente uguale a \(k\).
Esempio. Risolviamo:
\[ |x-4|\le 2. \]
Scriviamo la disequazione equivalente:
\[ -2\le x-4\le 2. \]
Sommiamo \(4\):
\[ 2\le x\le 6. \]
Quindi:
\[ S=[2,6]. \]
Disequazioni del tipo \(|A(x)|>k\)
Consideriamo ora una disequazione della forma:
\[ |A(x)|>k, \]
con:
\[ k>0. \]
Dire che \(|A(x)|>k\) significa dire che \(A(x)\) deve trovarsi a distanza maggiore di \(k\) da \(0\). Dunque \(A(x)\) deve essere minore di \(-k\) oppure maggiore di \(k\):
\[ |A(x)|>k \iff A(x)<-k \quad \text{oppure} \quad A(x)>k. \]
A differenza del caso precedente, non otteniamo una doppia disequazione, ma l’unione di due condizioni alternative.
Esempio. Risolviamo:
\[ |3x+1|>7. \]
Scriviamo:
\[ 3x+1<-7 \quad \text{oppure} \quad 3x+1>7. \]
Risolviamo la prima disequazione:
\[ 3x<-8 \iff x<-\frac{8}{3}. \]
Risolviamo la seconda:
\[ 3x>6 \iff x>2. \]
Pertanto:
\[ S=\left(-\infty,-\frac{8}{3}\right)\cup(2,+\infty). \]
Disequazioni del tipo \(|A(x)|\ge k\)
Se il simbolo è \(\ge\), per \(k>0\) si ha:
\[ |A(x)|\ge k \iff A(x)\le -k \quad \text{oppure} \quad A(x)\ge k. \]
Gli estremi sono compresi perché il valore assoluto può essere uguale a \(k\).
Esempio. Risolviamo:
\[ |2x+5|\ge 1. \]
Scriviamo:
\[ 2x+5\le -1 \quad \text{oppure} \quad 2x+5\ge 1. \]
Prima disequazione:
\[ 2x\le -6 \iff x\le -3. \]
Seconda disequazione:
\[ 2x\ge -4 \iff x\ge -2. \]
Quindi:
\[ S=(-\infty,-3]\cup[-2,+\infty). \]
Cosa succede se il secondo membro è negativo
Il valore assoluto è sempre maggiore o uguale a zero. Perciò, quando il secondo membro è negativo, bisogna ragionare con attenzione.
Se \(k<0\), allora:
\[ |A(x)|<k \]
non ha soluzioni, perché un numero non negativo non può essere minore di un numero negativo.
Quindi:
\[ |A(x)|<k, \quad k<0 \implies S=\varnothing \]
Allo stesso modo:
\[ |A(x)|\le k, \quad k<0 \implies S=\varnothing \]
Invece, se \(k<0\), la disequazione:
\[ |A(x)|>k \]
è sempre verificata per tutti i valori per cui \(A(x)\) è definita, perché il valore assoluto è sempre almeno \(0\), e quindi è sicuramente maggiore di un numero negativo.
Quindi:
\[ |A(x)|>k, \quad k<0 \implies S=D \]
dove \(D\) è il dominio dell’espressione \(A(x)\).
Analogamente:
\[ |A(x)|\ge k, \quad k<0 \implies S=D \]
Esempi
La disequazione:
\[ |x-1|<-3 \]
non ha soluzioni:
\[ S=\varnothing \]
Invece:
\[ |2x+1|>-5 \]
è verificata per ogni numero reale:
\[ S=\mathbb{R} \]
Metodo della definizione
Quando la disequazione contiene un solo valore assoluto lineare, spesso conviene usare le regole viste sopra. Tuttavia, in presenza di espressioni più complesse o di più valori assoluti, è spesso più sicuro utilizzare direttamente la definizione.
La definizione generale è:
\[ |A(x)|= \begin{cases} A(x), & \text{se } A(x)\ge 0,\\ -A(x), & \text{se } A(x)<0. \end{cases} \]
Questo significa che, per eliminare il valore assoluto, bisogna sapere dove l’argomento del modulo è positivo o negativo.
Per esempio, consideriamo:
\[ |x-2|. \]
L’argomento si annulla per:
\[ x-2=0 \iff x=2. \]
Quindi:
\[ |x-2|= \begin{cases} -(x-2), & \text{se } x<2,\\ x-2, & \text{se } x\ge 2. \end{cases} \]
cioè:
\[ |x-2|= \begin{cases} -x+2, & \text{se } x<2,\\ x-2, & \text{se } x\ge 2. \end{cases} \]
Disequazioni con più valori assoluti
Quando compaiono più valori assoluti, bisogna individuare tutti i punti in cui gli argomenti dei moduli si annullano. Tali punti dividono la retta reale in intervalli. In ciascun intervallo, ogni argomento mantiene segno costante, quindi ogni modulo può essere eliminato correttamente.
Il procedimento generale è il seguente:
- si pongono uguali a zero gli argomenti dei valori assoluti;
- si ordinano i punti trovati sulla retta reale;
- si studia la disequazione separatamente in ciascun intervallo;
- si elimina ogni modulo usando il segno dell’argomento;
- si risolve la disequazione ottenuta;
- si interseca il risultato con l’intervallo considerato;
- si uniscono tutte le soluzioni parziali.
Questo metodo è più lungo, ma è anche il più generale e riduce al minimo il rischio di errori.
Esempi svolti
Esempio 1. Risolvere:
\[ |x+3|<4 \]
Poiché il secondo membro è positivo, scriviamo:
\[ -4<x+3<4 \]
Sottraiamo \(3\):
\[ -7<x<1 \]
Quindi:
\[ S=(-7,1) \]
Esempio 2. Risolvere:
\[ |2x-1|\ge 5 \]
Essendo il secondo membro positivo, otteniamo:
\[ 2x-1\le -5 \quad \text{oppure} \quad 2x-1\ge 5 \]
Risolviamo la prima disequazione:
\[ 2x\le -4 \iff x\le -2 \]
Risolviamo la seconda:
\[ 2x\ge 6 \iff x\ge 3 \]
Pertanto:
\[ S=(-\infty,-2]\cup[3,+\infty) \]
Esempio 3. Risolvere:
\[ |3x+2|\le 1 \]
Scriviamo:
\[ -1\le 3x+2\le 1 \]
Sottraiamo \(2\):
\[ -3\le 3x\le -1 \]
Dividiamo per \(3\):
\[ -1\le x\le -\frac{1}{3} \]
Quindi:
\[ S=\left[-1,-\frac{1}{3}\right] \]
Esempio 4. Risolvere:
\[ |x-5|>2 \]
Scriviamo:
\[ x-5<-2 \quad \text{oppure} \quad x-5>2 \]
Risolviamo:
\[ x<3 \quad \text{oppure} \quad x>7 \]
Quindi:
\[ S=(-\infty,3)\cup(7,+\infty) \]
Esempio 5. Risolvere:
\[ |x+1|+|x-2|\le 4 \]
Gli argomenti dei valori assoluti sono:
\[ x+1, \qquad x-2 \]
Troviamo i punti in cui si annullano:
\[ x+1=0 \iff x=-1, \qquad x-2=0 \iff x=2 \]
I punti critici sono quindi:
\[ -1, \qquad 2 \]
Essi dividono la retta reale nei tre intervalli:
\[ (-\infty,-1), \qquad [-1,2), \qquad [2,+\infty) \]
Primo caso: \(x<-1\)
Se \(x<-1\), allora:
\[ x+1<0, \qquad x-2<0 \]
Dunque:
\[ |x+1|=-(x+1)=-x-1, \qquad |x-2|=-(x-2)=-x+2 \]
La disequazione diventa:
\[ -x-1-x+2\le 4 \]
Semplifichiamo:
\[ -2x+1\le 4 \]
Sottraiamo \(1\):
\[ -2x\le 3 \]
Dividendo per \(-2\), il verso della disequazione cambia:
\[ x\ge -\frac{3}{2} \]
Intersechiamo con la condizione del caso \(x<-1\):
\[ -\frac{3}{2}\le x<-1 \]
Secondo caso: \(-1\le x<2\)
Se \(-1\le x<2\), allora:
\[ x+1\ge 0, \qquad x-2<0 \]
Quindi:
\[ |x+1|=x+1, \qquad |x-2|=-(x-2)=-x+2 \]
La disequazione diventa:
\[ x+1-x+2\le 4 \]
cioè:
\[ 3\le 4 \]
Questa disuguaglianza è sempre vera, quindi tutto l’intervallo considerato è soluzione:
\[ -1\le x<2 \]
Terzo caso: \(x\ge 2\)
Se \(x\ge 2\), allora:
\[ x+1>0, \qquad x-2\ge 0 \]
Dunque:
\[ |x+1|=x+1, \qquad |x-2|=x-2 \]
La disequazione diventa:
\[ x+1+x-2\le 4 \]
Semplifichiamo:
\[ 2x-1\le 4 \]
Sommiamo \(1\):
\[ 2x\le 5 \]
Dividiamo per \(2\):
\[ x\le \frac{5}{2} \]
Intersechiamo con la condizione del caso \(x\ge 2\):
\[ 2\le x\le \frac{5}{2} \]
Unendo le soluzioni dei tre casi, otteniamo:
\[ S= \left[-\frac{3}{2},-1\right) \cup [-1,2) \cup \left[2,\frac{5}{2}\right] \]
Poiché questi intervalli sono consecutivi, possiamo scrivere più semplicemente:
\[ S=\left[-\frac{3}{2},\frac{5}{2}\right] \]
Schema riassuntivo
Per \(k>0\), valgono le seguenti equivalenze:
\[ |A(x)|<k \iff -k<A(x)<k \]
\[ |A(x)|\le k \iff -k\le A(x)\le k \]
\[ |A(x)|>k \iff A(x)<-k \quad \text{oppure} \quad A(x)>k \]
\[ |A(x)|\ge k \iff A(x)\le -k \quad \text{oppure} \quad A(x)\ge k \]
Se invece \(k<0\), bisogna ricordare che:
\[ |A(x)|\ge 0 \]
Di conseguenza:
\[ |A(x)|<k \quad \text{e} \quad |A(x)|\le k \]
non hanno soluzioni, mentre:
\[ |A(x)|>k \quad \text{e} \quad |A(x)|\ge k \]
sono vere per tutti i valori appartenenti al dominio dell’espressione.
Le disequazioni con valore assoluto si basano su un’idea semplice ma fondamentale: il valore assoluto misura una distanza. Per questo motivo, le disequazioni del tipo \(|A(x)|<k\) o \(|A(x)|\le k\) descrivono una condizione di vicinanza, mentre le disequazioni del tipo \(|A(x)|>k\) o \(|A(x)|\ge k\) descrivono una condizione di lontananza.
Nei casi più semplici si applicano direttamente le equivalenze fondamentali. Nei casi più articolati, soprattutto quando compaiono più moduli, il metodo più sicuro consiste nell’usare la definizione di valore assoluto, dividendo la retta reale negli intervalli determinati dagli zeri degli argomenti dei moduli.